Volumes e Princípio de Cavalieri

Transcrição

1 Volumes e Princípio de Cavalieri MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

2 Volumes Noção intuitiva O volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupada. Unidade de volume A unidade de volume é o cubo de aresta 1. Seu volume, por definição, será igual a 1. 1 Volumes e Princípio de Cavalieri slide 2/12

3 Volume do paralelepípedo retângulo Teorema Se dois paralelepípedos retângulos possuem bases iguais, então a razão entre seus volumes é igual à razão entre suas alturas. Demonstração Sejam V e V os volumes de dois paralelepípedos retângulos com mesma base B e alturas h e h, respectivamente. a) Suponha que h e h são comensuráveis. Seja x um segmento que cabe m vezes em h e n vezes em h. Daí, h = mx, h h = nx e h = m n. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 3/12

4 Continuação da demonstração Pelos pontos de divisão traçamos planos paralelos a B que dividem os dois paralelepípedos retângulos em outros menores todos congruentes. h h Se v é o volume de cada um dos pequenos paralelepípedos então V = mv e V V = nv. Assim, V = m n e consequentemente, V V = h h, c.q.d. b) Se h e h não forem comensuráveis a demonstração está no Apêndice desta aula. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 4/12

5 Teorema O volume de um paralelepípedo retângulo é o produto de suas dimensões. Demonstração Seja V o volume do paralelepípedo cujas dimensões são a, b e c. Considere três outros paralelepípedos retângulos com as dimensões que aparecem na tabela a seguir. Dimensões Volume a b c V a b 1 V 1 a 1 1 V v V Aplicando o Teorema 1 temos: = c V 1 1, V 1 = b V 2 1, V 2 v = a 1 Multiplicando membro a membro temos: V v = a b c Mas, por definição, V = 1 (unidade de área). Logo, V = abc. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 5/12

6 O Princípio de Cavalieri São dados dois sólidos A e B e um plano H. Se todo plano paralelo a H secciona A e B segundo figuras de mesma área então esses sólidos têm mesmo volume. Na figura um plano paralelo a H, distando d de H seccionou os sólidos A e B segundo figuras de áreas A 1 e A 2. Se, para todo d, tem-se A 1 = A 2 então A e B têm mesmo volume. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 6/12

7 O volume do prisma Dado um prisma de altura h cuja base é um poĺıgono de área A, considere um paralelepípedo retângulo tal que o produto de duas das dimensões seja A e que a terceira dimensão seja h. Ponha os dois sólidos com a face de área A sobre um plano H. O prisma e o paralelepípedo retângulo possuem mesma altura h. Para qualquer plano H paralelo a H a seção produzida no prisma é congruente com a base e a seção produzida no paralelepípedo retângulo também é congruente com a base. Assim, se A 1 e A 2 são as áreas das duas seções, temos A 1 = A = A 2. Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm mesmo volume. Então, o volume do prisma é V = Ah. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 7/12

8 Definição geral de volume Um poliedro retangular é todo sólido formado pela reunião de um número finito de paralelepípedos retângulos justapostos. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 8/12

9 Definição Dado um sólido S, o volume de S é o número real cujas aproximações por falta são os volumes dos poliedros retangulares contidos em S. Seja P um poliedro retangular contido em S. A definição dada significa que não apenas se tem V (S) V (P) para todo poliedro retangular P contido em S como também, dado qualquer número real r tal que r < V (S) é possível encontrar um poliedro retangular P 1 tal que r < V (P 1 ) V (S). Volumes e Princípio de Cavalieri slide 9/12

10 Sólidos semelhantes Vamos recordar a definição de figuras semelhantes dada na Unidade Duas figuras F e F são semelhantes, com razão de semelhança k, quando existe uma bijeção s : F F entre os pontos de F e os pontos de F tais que: Se X e Y são pontos quaisquer de F e se X = s(x ) e Y = s(y ) são seus correspondentes em F então XY X Y = k. F F c c a b b a F e F são dois paralelepípedos retângulos semelhantes. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 10/12

11 F c F c a b a b Se F e F são semelhantes na razão k então a a = b b = c c = k. A razão entre os volumes dos dois paralelepípedos é: V (F ) V (F ) = abc a b c = a a b b c c = k k k = k 3. Teorema A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança. Este fato geral decorre da definição geral de volume e do resultado anterior. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 11/12

12 Apêndice Teorema Se dois paralelepípedos retângulos possuem bases iguais, então a razão entre seus volumes é igual à razão entre suas alturas. b) Suponha que as alturas h e h não são comensuráveis. Seja x um segmento que cabe n vezes em h. Temos h = nx. Suponha agora que x esteja contido em h entre m vezes e m + 1 vezes. Temos então mx < h < (m + 1)x. Assim, a razão h/h entre as alturas é tal que m n < h h < m+1 n. Traçando planos paralelos à base por cada extremidade dos segmentos x assinalados sucessivamente sobre h e h temos que a razão entre os volumes V e V dos dois paralelepípedos é tal que m n < V V < m+1 n. A razão entre os volumes e a razão entre as alturas estão entre m n e m+1 n. Entretanto, essas razões diferem de 1 n que pode ser tão pequeno quanto quisermos desde que n seja suficientemente grande. Portanto, a razão entre os volumes dos dois paralelepípedos é igual à razão entre suas V alturas: V = h h. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 12/12