Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Coimbra Institute of Systems Engineering and Computers INESC Coimbra

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1 Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Coimbra Institute of Systems Engineering and Computers INESC Coimbra Jorge Maria Escola Superior de Gestão Instituto Politécnico de Santarém jorgemaria@esgs.pt João Coutinho-Rodrigues Depº Engenharia Civil Universidade de Coimbra e INESC-Coimbra coutinho@dec.uc.pt Um Sistema de Apoio ao Planeamento de Rotas Turísticas: Incorporação de Técnicas de Optimização e Heurísticas com Tecnologia SIG No ISSN: Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Coimbra INESC Coimbra Rua Antero de Quental, 199; Coimbra; Portugal

2 Resumo No presente trabalho apresentamos uma aplicação desenvolvida recorrendo a tecnologia dos Sistemas de Informação Geográfica (SIG) com aplicabilidade no âmbito do turismo. O resultado final é um Sistema Espacial de Apoio à Decisão, que conjuga uma interface amigável com a implementação de algoritmos, alguns de natureza heurística, que permitem a determinação de vários tipos de percursos tendo em vista a determinação de óptimos de determinados objectivos. È proposto um algoritmo que fornece o óptimo do complexo problema do caminho mais curto com uma restrição adicional. Para além disso são propostas heurísticas para a determinação de percursos que devem passar por nós impostos à partida ou que procuram sucessivos óptimos parcelares em problemas de pesquisa encadeada em cascata. É efectuada a ilustração do funcionamento e potencialidades do sistema, e visualização dos respectivos resultados sobre um mapa, através de um Sistema de Informação Geográfica e uma aplicação à cidade de Santarém e seus monumentos. Palavras chave: Sistema de Apoio à Decisão, Redes, Caminho Óptimo, Sistema de Informação Geográfica. Abstract A GIS-based spatial decision support tool is presented in this report. It is aimed at solving several practical routing problems that may be identified in a urban tourism environment by searching the optimum for a given objective function. The constrained shortest path problem is solved with the proposal of a new approach that guarantees the respective optimum. The Vertex Constrained Shortest Path and the sequence of successive shortest paths are two different problems that are both solved by using heuristic approaches. The implemented system is illustrated with an application to the city of Santarém in Portugal and its monuments. Keywords: Decision Support Systems, Networks, Shortest Path, Constrained Shortest Path, Geographical Information Systems 1

3 1. Introdução Este trabalho surge na continuação do que foi apresentado em [Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues 2003], que visou o desenvolvimento de um sistema espacial de apoio à decisão bicritério para planeamento de rotas turísticas em meio urbano, uma vez que tomámos a cidade de Santarém e respectivos monumentos para exemplo de aplicação e experimentação dos modelos implementados. As técnicas utilizadas no presente trabalho, continuam a apoiar-se na teoria de grafos e optimização em redes suportando a resolução de vários tipos de problemas, nomeadamente: do caminho mais curto e caminho mais curto com restrição adicional (secção 2); do caminho mais curto com nós de passagem obrigatória (secção 3) e da pesquisa por proximidade (secção 4). Dada a importância do problema do caminho mais curto (um dos mais importantes e mais estudados em problemas de optimização) nas implementações efectuadas tentou-se tirar partido dos avanços conseguidos e referidos na bibliografia sobre o assunto [Cherkassky et al., 1996] [Zhan e Noon, 1998]. Em cada uma das secções é feita uma breve apresentação do problema em causa, descrição do modelo e da aplicação que leva à resolução de uma instância desse problema. Como já vem sendo apanágio nos outros problemas abordados anteriormente, também estes, na sua maioria, são NP-completos [Ahuja et al 1993] [Garey e Johnson 1979] ou seja, a obtenção de uma solução óptima em tempo útil revela-se difícil devido à elevada complexidade computacional envolvida, daí a necessidade do uso de heurísticas. Desenvolveu-se um sistema espacial de apoio à decisão que, socorrendo-se de heurísticas de forma a obter boas soluções em tempo aceitável, auxilia o utilizador na tomada de decisão. O facto de utilizar tecnologia SIG (Sistema de Informação Geográfica) permite que os resultados sejam apresentados sobre um mapa da cidade, o que confere ao agente de decisão uma perspectiva mais realista sobre aquilo que se propõe analisar ou decidir. O software de SIG utilizado foi o ArcvView [ESRI, 1996], que contém uma linguagem de programação orientada para objectos - o Avenue [ESRI, 1996a] e a extensão Dialog Designer [ESRI, 1997]. A facilidade de utilização foi algo que esteve sempre presente. Assim o utilizador tem acesso a todas as potencialidades da aplicação através de simples botões colocados nas barras de ferramentas do ArcvView (vd Figura 1) Figura 1 Botões da aplicação 2

4 2. O problema do CMC com restrição adicional O problema em estudo (CSP - Constrained Shortest Path Problem na terminologia anglófona) colocase quando pretendemos determinar o caminho mais curto entre dois pontos mas estando sujeito a um limite que não pode ser ultrapassado. Ou seja, considerando como nó origem e nó terminal os nós 1 e n, e os custos não negativos c ij, t ij associados a cada arco (i,j) A, a formulação deste problema pode ser feita da seguinte forma: Minimizar s. a : x j ij x ij t ij ( i, j) A x ij k x ki L c ij ( i, j) A x {0,1}, ( i, j) A ij 1 se i = 1 = 0 se i = 2,..., n 1 1 se i = n onde x = 1 se o arco (i, j) pertence ao caminho da solução e x = 0 no caso contrário. ij ij Podemos enunciar o problema do seguinte modo: Qual o CMC entre os monumentos A e B tendo em conta que não pretendo gastar mais do que L tempo?, podendo eventualmente inverter os critérios: Qual o caminho mais rápido entre aqueles monumentos tendo em conta que pretendo percorrer no máximo x metros?. É evidente que tal rota pode não existir! Quanto à complexidade computacional, está demonstrado que este problema é, pelo menos, NP Completo [Handler e Zang 1980].. Uma das abordagens possíveis, além do equacionamento em termos de programação linear e programação dinâmica [Joksch 1966] é a relaxação Lagrangeana [Handler e Zang 1980]. Contudo esta abordagem é custosa computacionalmente [Coutinho-Rodrigues et al 1999]. Optámos por resolver este problema adoptando a abordagem bi-objectivo desenvolvida em [Coutinho- Rodrigues et al. 1999] e aplicada em [Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues 2003]. Em termos gerais, utiliza-se o método descrito na secção 2 deste trabalho para determinação do ponto S 3 (Figura 2) e vamos reduzindo sucessivamente o gap que inclui a restrição, para finalmente varrer esse espaço em busca de uma eventual solução óptima com um algoritmo de kcmc. Assim, assumindo que pretendemos determinar o CMC (distância) entre dois nós, sujeito a uma restrição de tempo (L), começamos por determinar as rotas que optimizam individualmente cada um dos critérios e uma terceira que resulta da ponderação das duas anteriores (vd Figura 2, pontos S 1, S 2 e S 3 ), verificamos se L é delimitado pelas soluções S 1 e S 3 (t 3 < L < t 1 ) ou por S 3 e S 2 (t 2 < L < t 3 ) 1. 1 Note-se que: se L < t 2 o problema é impossível e se L > t 1 a solução S 1 é óptima. 3

5 Tempo S 1(d 1, t 1) S 3(d 3, t 3) L S2(d2, t2) Tempo S 1(d 1, t 1) S4(d4, t4) S h(x, L) P P S 3(d 3, t 3) L S2(d2, t2) Distância Distância Figura 2 CSP, com soluções iniciais e limite L Figura 3 - CSP, com gap mínimo e solução no limite (S h ) No nosso exemplo L está compreendido entre S 1 e S 3, por isso são estas soluções que são utilizadas para determinar um novo ponto (S 4 da Figura 3). O processo é sucessivamente repetido até não ser possível encontrar novas soluções. Quando tal acontecer estamos perante o gap mínimo, situação em que podemos determinar a hipotética solução no limite. Admitindo que a Figura 3 também representa essa fase, esta solução corresponde ao ponto S h e o gap é representado pelos pontos [S h, P, S 3 ]. A melhor solução encontrada até agora é S 3, o valor que a separa da solução no limite é dado por (d 3 - x) 2, representado por AS 3 na Figura 4. Assim, se se pretender reduzir esta diferença deverá proceder-se à pesquisa dentro do gap o que, como já foi referido, será realizado utilizando um algoritmo de kcmc, donde poderiam resultar as soluções representadas pelos pontos a, b, c da Figura 5. Tempo S 1(d 1, t 1) S4(d4, t4) S h(x, L) A P P S 3(d 3, t 3) L S2(d2, t2) Tempo S 1(d 1, t 1) S4(d4, t4) P S h(x, L) P b a c S 3(d 3, t 3) L S2(d2, t2) x Distância Distância Figura 4 CSP, limite superior do ganho Figura 5 CSP, com soluções dentro do gap 2 O valor de x é determinado através da equação da recta definida pelos ponto S 3, S 4 4

6 Destes, o eleito para solução do problema, é o ponto b pois é o que apresenta a menor distância a S h e satisfaz a restrição L. Note-se que aquando da determinação da solução S 4, esta poderia ser solução do problema se t 4 = L (vd Figura 6), pelo que já não haveria lugar à pesquisa no gap. Tempo S 1(d 1, t 1) S 4 (d 4, t 4 ) S 3(d 3, t 3) L S2(d2, t2) Distância Figura 6 CSP, com solução óptima Para o utilizador o processo inicia-se clicando no botão indicado na Figura 7, que permite aceder ao diálogo DiagCSP (vd Figura 8). Figura 7 Inicia resolução do CSP Figura 8 Diálogo DiagCSP 5

7 Apesar de nesta figura já estarem preenchidas, as opções vão ficando disponíveis em cascata, ou seja, começa por só se poder seleccionar a origem, depois o destino, o objectivo a minimizar, o limite, e finalmente, o botão OK que confirma os dados introduzidos e inicia a resolução do problema. É de salientar que: quando se clica em Caminho Mais Rápido ou Caminho Mais Curto no control panel Determinar, o limite alterna entre Distância e Tempo respectivamente (vd Figura 9); o control panel Informação tanto apresenta a distância, tempo e número de monumentos da rota encontrada, como uma mensagem indicando a impossibilidade de resolução do problema para o limite indicado (vd Figura 9 e Figura 10 respectivamente); no que diz respeito à indicação dos nós seleccionados e de informação relativa à rota determinada (vd Figura 9), este diálogo comporta-se de modo semelhante ao diálogo GAP s descrito na secção 2.1. em [Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues 2003] Figura 9 CSP, ex. de uma rota óptima e respectiva visualização Na Figura 9 está representada uma situação em que a rota mais curta, entre os dois monumentos seleccionados, possui um tempo de percurso inferior ao limite indicado, assim não é necessário aplicar o modelo descrito no início desta secção. Contudo, reduzindo o limite de modo a que o modelo possa ser aplicado, o gap vai sendo sucessivamente reduzido até ao ponto em que o decisor é informado da melhor solução encontrada até então, da hipotética solução no limite bem como sobre o que ainda poderá ganhar se continuar a pesquisa (vd Figura 11). 6

8 Figura 10 CSP, ex. de problema impossível Figura 11 CSP, informação relativa ao ponto S h Perante este caso, se o decisor optar por não continuar a pesquisa (devido ao reduzido ganho que daí pode advir) será exibida a rota correspondente à melhor solução encontrada até então. Aliás, mesmo que tivesse optado por continuar a pesquisa, não seria detectada mais nenhuma solução, pelo que, depois de informar o decisor de tal facto, seria exibida a rota encontrada antes da pesquisa no gap (vd Figura 12). 7

9 Figura 12 CSP, rota obtida sem pesquisa no gap O mesmo não aconteceria se optasse por pesquisar o gap utilizando o limite indicado na Figura 13 pois seria encontrada uma solução melhor que a encontrada até então (vd Figura 14). Figura 13 CSP, ex. com novo limite ( melhor solução igual à Figura 11) 8

10 Figura 14 CSP, solução encontrada pesquisando o gap 3. O problema do CMC com nós de passagem obrigatória Este problema é conhecido na literatura como VCSP - Vertex Constrained Shortest Path [Besaley e Christofides 1989]. Dado um conjunto de N nós e distâncias d ij 0, pretende-se determinar o caminho mais curto entre os nós 1 e N que passe por k-1 nós, em que k representa 2, 3,..., k N-1 nós intermediários. [Deo e Pang 1984], salientam que se pretendermos que o caminho mais curto entre os nós 1 e N englobe todos os restantes nós da rede, o problema transforma-se no traveling salesman path problem. Contudo, o caso que vamos abordar nesta secção é ligeiramente diferente. De facto, neste caso não existe um nó terminal especificado à partida. A ideia, de um modo geral, é a seguinte: o utilizador identifica a origem e selecciona m monumentos, dos n possíveis, que pretende visitar (m n). Pretendese obter a rota de custo (distância ou tempo) mínimo que passe pelos monumentos seleccionados; podendo, por isso, acabar num qualquer dos nós indicados. Parece evidente que poderíamos determinar todas as rotas possíveis (aplicando sucessivamente um algoritmo de caminho mais curto como o Dijkstra [Dijkstra 1959, Deo e Pang 1984]) e escolher a que possuísse o menor valor, mas vejamos (assumindo que o nó 1 é a origem): se seleccionarmos apenas um destino, isso implica a determinação de uma só rota (entre dois nós: 1,2); se seleccionarmos dois destinos, teremos duas rotas possíveis (1,2,3 e 1,3,2); com três destinos passaremos a ter seis rotas possíveis (1,2,3,4; 1,2,4,3; 1,3,2,4; etc.) e com quatro destinos já serão vinte e quatro possibilidades de rotas distintas! 9

11 Como podemos constatar o número de rotas possíveis é obtido pela expressão m!, sendo que m representa o número de destinos seleccionados. Assim, se pretendêssemos determinar a rota mínima que passa por todos os Monumentos Nacionais, sendo um deles a origem, teríamos 13! o que daria percursos. Assumindo que podemos calcular seis percursos por segundo, seriam necessários sensivelmente trinta e três anos para calcular a rota pretendida!!! Assim foi desenvolvida uma heurística para tentar obter uma solução aceitável em tempo útil. Esta heurística também utiliza o algoritmo de Dijkstra [Dijkstra 1959, Deo e Pang 1984], limita-se a determinar percursos. O que permite obter uma solução em treze segundos para o problema colocado em hipótese no parágrafo anterior. n( n 1) 2 mas Descrição algorítmica da heurística: origem origem da rota a calcular D {d 1,..., d m }; conjunto dos destinos seleccionados DO {origem}; conjunto dos destinos ordenados para a rota final P ; armazena temporariamente os vários CMC que vão sendo calculados R ; armazena a rota desejada Enquanto D fazer Para cada d D fazer P P CMC entre a origem e d FimPara seja p o menor percurso de P seja dp o destino do percurso p DO DO {dp} D D {dp} origem dp R R {p} P FimEnquanto Para o utilizador o processo desenvolve-se como o que foi descrito na secção 2.2 de [Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues 2003], tendo algumas diferenças: o Slider não permite fazer selecções intermédias, ou seja apenas se pode seleccionar um dos critérios (distância ou tempo); uma vez seleccionada a origem, passamos à selecção dos destinos com a caixa de listagem que foi descrita na referida secção 2.2, mas devemos agora acrescentar algo que na altura omitimos, é que clicando em vários destinos, estes ficam todos seleccionados (vd Figura 15); para desmarcar um destino basta voltar a clicar em cima dele (note-se que, se só seleccionarmos um destino caímos no problema que foi tratado naquela secção); 10

12 Figura 15 Selecção de vários destinos a solução traduz-se numa rota marcada no mapa com a indicação da ordem pela qual os monumentos devem ser visitados (vd Figura 16). Figura 16 Resultado de um problema com múltiplos destinos 11

13 4. Pesquisa por proximidade 4.1. O problema de base Pretende-se saber qual o(s) monumentos que ficam mais perto, em termos de distância ou tempo, de um outro, impondo ou não um certo limite de distância ou tempo respectivamente. Note-se que não se trata somente de uma selecção com base nos atributos geográficos (através da criação de buffers ou da opção select by theme do ArcView : selecção de entidades nos temas) pois o monumento mais perto geograficamente pode não o ser em termos de percurso. É de salientar que aqui, a restrição de tempo ou distância não funciona como restrição adicional ao cálculo do caminho mais curto entre dois pontos (problema tratado na secção 2 deste trabalho), mas tãosomente como filtro para eliminar as rotas que a violam (por exemplo: quais os monumentos que estão a uma distância inferior a x de um outro?). O utilizador, iniciando o processo através do botão indicado na Figura 17, é convidado a seleccionar a origem (monumento central que serve de referência), o critério a utilizar na determinação do caminho mais curto e a introduzir, caso o pretenda, um limite de tempo ou distância. Figura 17 Botão para iniciar pesquisa por proximidade A aplicação devolve os monumentos que podem ser visitados respeitando aquele limite, ou todos no caso de omissão do limite, identificados de 1 a n por ordem crescente de custo (tempo ou distância) em relação à origem. Estas acções são fomentadas através da interacção com o diálogo Proximidade representado pela Figura

14 Figura 18 Diálogo Proximidade Este diálogo, à excepção da list box onde são listados os monumentos ordenados, comporta-se de maneira semelhante ao diálogo DiagCSP descrito na secção 2 (com a devida ressalva ao limite: tempo para o caminho mais rápido e distância para o caminho mais curto). Ao clicar sobre um dos monumentos listados na list box, a sua posição é identificada no mapa com o símbolo ❶ (vd Figura 19). Se se fizer um duplo clique sobre outro monumento, é este que passa a ser indicado sendo simultaneamente traçada a respectiva rota (vd Figura 20). Figura 19 Diálogo Proximidade com imposição de limite e indicação de monumentos seleccionados 13

15 Figura 20 Diálogo Proximidade com indicação de rota Caso o limite introduzido não conduza à determinação de qualquer rota, o utilizador é avisado de tal facto e informado de qual o monumento mais próximo, podendo decidir pela sua visualização ou não (vd Figura 21). Optando pela afirmativa, o monumento passa a constar na list box acima referida, sendo de imediato identificado no mapa com a respectiva rota. Figura 21 Diálogo Proximidade com limite que não promove a determinação de rotas e indicação do monumento mais próximo 14

16 Para resolver este problema criámos previamente uma matriz com os custos mínimos (distância e tempo) entre todos os monumentos da rede. Como tal determinação é forçosamente morosa, optámos por armazenar fisicamente essa matriz para posterior utilização. De facto, enquanto que o problema que acabámos de referir poderia ser resolvido recorrendo ao algoritmo de Dijkstra [Dijkstra 1959, Deo e Pang 1984] outros existem em que, por uma questão de eficiência, aquela matriz é de primordial importância. Indicamos, de seguida, a título meramente exemplificativo, dois desses problemas Proximidade em cascata Escolhida uma origem, pretende-se determinar, sucessivamente, o monumento mais próximo (distância ou tempo) relativamente ao último encontrado, até os visitar todos ou, em alternativa, até atingir um certo limite (distância ou tempo) indicado pelo utilizador. Figura 22 Diálogo Proximidade com opção em Cascata Para optar por este problema, basta seleccionar a check box Proximidade em cascata (não abordada até aqui propositadamente) do diálogo Proximidade (vd Figura 22 e Figura 23). Esta validação não interfere com as restantes acções do diálogo. 15

17 Figura 23 Diálogo Proximidade com opção em Cascata e limite 4.3. Localização de equipamentos Imaginemos que, por qualquer motivo, só se pode disponibilizar esta aplicação (através da colocação de um quiosque multimédia) num único ponto da cidade. Devido às suas características, opta-se por colocá-lo junto a um dos monumentos. A questão é saber, em qual? Como podemos constatar, trata-se de um simples problema de localização de equipamentos (simples no sentido de só se ter em linha de conta um factor, ignorando, por exemplo, a maior ou menor concentração ou fluxo de visitas para um dado monumento em detrimento de outros). Consiste em determinar o ponto da rede (neste caso monumento) em que deve ser localizado o quiosque de modo a ser minimizada a distância total a percorrer pelos turistas vindos dos vários monumentos. Podemos entender este problema, na perspectiva de criação de um meeting point. Se neste caso é estático (a menos que se verifiquem alterações na estrutura da rede, basta calculá-lo uma vez), também o podemos encarar duma forma mais dinâmica e interactiva: imaginemos, desta feita, que um grupo de turistas, de gostos heterogéneos, pretendem visitar os seus monumentos preferidos para depois se voltarem a encontrar. A questão mantêm-se, onde? O meeting point encontrado acima pode não representar esse local. Assim, dependendo dos monumentos a visitar, é determinado um meeting point diferente. Relativamente ao problema inicial, podemos resolvê-lo através da opção Localizar meeting point do menu Manutenção. Ao seleccionar esta opção é assinalado, com uma bandeira verde, no mapa o monumento correspondente (vd Figura 24). 16

18 Figura 24 Mapa com Meeting Point assinalado Quanto ao segundo problema, ao clicar no botão indicado na Figura 25 é solicitado ao utilizador a indicação dos monumentos a serem visitados através da caixa de listagem representada na Figura 26, ao validar a escolha é informado de qual o monumento que deve funcionar como Meeting Point (vd Figura 27) sendo também localizado no mapa (vd Figura 28). Figura 25 Iniciar localização de um ponto central relativamente a um conjunto de monumentos Figura 26 Selecção de monumentos para determinação de um Meeting Point Figura 27 Indicação do monumento Meeting Point 17

19 Figura 28 Indicação, no mapa, do monumento Meeting Point 5. Conclusões No âmbito do turismo, a existência de informação georeferenciada sobre países ou locais a visitar (limites político-administrativos, localização de diversos equipamentos, rede viária, etc.), bem como a determinação de rotas óptimas entre eles, pode ser fomentada através da implementação de adequadas técnicas matemáticas (nomeadamente modelos e abordagens heurísticas), computacionais e multimédia, agrupadas num sistema de informação e promoção turística baseado em tecnologia SIG. As técnicas utilizadas neste trabalho, apoiam-se na teoria de grafos, optimização em redes e suportam a resolução de vários tipos de problemas com base em técnicas de Investigação Operacional. Foi desenvolvido um protótipo que conjuga uma interface amigável (através da qual o utilizador interage facilmente sem necessidade de grandes conhecimentos técnicos) com a implementação de algoritmos desenvolvidos especificamente para resolução daqueles problemas. O protótipo desenvolvido auxilia o utilizador na tomada de decisões com a vantagem de os resultados serem apresentados sobre um mapa, o que dá ao utilizador uma perspectiva mais realista sobre aquilo que se propõe analisar ou decidir. No futuro e relativamente à determinação dos vários tipos de rotas, poderemos ter em linha de conta alguns factores adicionais: o eventuais horários de visita nos nós (monumentos), conhecido por Shortest Path Problem with Time Window [Solomon 1987]; o eventuais restrições de tempo ou distância, por exemplo Orienteering Problem [Golden et al 1987]; no caso de percursos turísticos, este problema pode ser colocado da seguinte forma: 18

20 dados um ponto inicial e um final, qual a rota que permite visitar o máximo número de monumentos, sem ultrapassar um dado limite de tempo imposto à partida; o permitir a determinação de rotas pedestres, ou, eventualmente, rotas mistas que obedeçam a outros tipos de requisitos ou condicionalismos. 6. Referências Ahuja, Magnanti, Orlin, Network Flows. Theory, Algorithms, and Applications. Prentice-Hall, New Jersey, Besaley e Christofides, N., An algorithm for the resource constrained shortest path problem, Networks, 19, pp , Cherkassky, B.V., Goldberg, A.V. e Radzik, T.,. Shortest Paths Algorithms: Theory and Experimental Evaluation, Mathematical Programming 73, , Coutinho-Rodrigues, Clímaco, Current, An interactive bi-objective shortest path approach: searching for unsupported nondominated solutions, Computers and Operations Research, 26, pp , Dijsktra, E. W., A Note on Two Problems with Connection with Graphs. Numerische Mathematik, 1, Deo e Pang, Shortest paths algorithms: taxonomy and annotation, Networks, 14, pp , ESRI, ArcView GIS The Geographic Information System for Everyone, Environmental Systems Research Institute (ESRI) Inc., Redlands, Califórnia, EUA, ESRI, Avenue Customization and Application Development for ArcView GIS, Environmental Systems Research Institute (ESRI) Inc., Redlands, Califórnia, EUA, 1996a. ESRI, ArcView Dialog Designer, Environmental Systems Research Institute (ESRI) Inc., Redlands, Califórnia, EUA, Garey e Johnson, Computers and Intractability: A guide to the theory of NP-Completeness. W.H. Freeman, New York, Golden, Levy, Vohra, The orienteering problem, Naval Research Logistics, 34, pp , Handler, G.Y. e Zang, I., A Dual Algorithm for the Constrained Shortest Path Problem, Network 10, , Joksch, The shortest route problem with constraints, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 14, pp , Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues, Um Sistema Espacial de Apoio à Decisão Bicritério para Planeamento de Rotas Turísticas, Research Report, 13, INESC-Coimbra,

21 Solomon, Algorithms for the vehicle routing and scheduling problem with time window constraints. Operations Research, 35, pp , Zhan, F.B. e Noon C.E, Shortest Path Algorithms on Real Road Networks, Transportation Science 32, 65-73,