1 C) 1 D) 2 E) 8. A) 300 kg B) 325 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg

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1 XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeir Fse Nível - A durção d prov é de 3 hors. - Não é permitido o uso de clculdors nem consults nots ou livros. - Você pode solicitr ppel pr rscunho. - Entregue pens folh de resposts.. Fse Olimpíd Regionl BA ES MG PA PB RJ RS SC 8 de junho de 00. A rzão A) ) 8 (4 ) ( é igul : B) C) D) E) 8. Num rmzém form empilhds emblgens cúbics conforme mostr figur seguir. Se cd cix pes 5 kg, qunto pes tod pilh? A) 300 kg B) 35 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg 3. N blnç seguir temos pesds bols de chumbo, tods iguis, e leves squinhos de plástico, todos com mesm quntidde de bolinhs, iguis às que estão for dos mesmos. Qunts bolinhs há em cd squinho? A) B) C) 3 D) 5 E) 6 4. Escrev os números inteiros de 9 nos nove qudrdinhos, de form que s soms dos qutro números em cd um ds pás d hélice sejm iguis e de mior vlor possível. Esse vlor é: A) 3 B) C) D) 0 E) 9 5. Qul é quntidde totl de letrs de tods s resposts incorrets dest questão? A) Qurent e oito. B) Qurent e nove. C) Cinqüent. D) Cinqüent e um. E) Cinqüent e qutro. XXIV Olimpíd Brsileir de Mtemátic Primeir Fse

2 6. Tod produção mensl de lts de refrigernte de um cert fábric foi vendid três lojs. Pr loj A, foi vendid metde d produção; pr loj B, form vendidos 5 d produção e pr loj C, form vendids 500 uniddes. Qul foi produção mensl dess fábric? A) 466 lts B) 0000 lts C) 0000 lts D) 5000 lts E) lts 7. Um qudrdo de áre foi dividido em 4 retângulos congruentes, conforme indicdo no desenho à esquerd. Em seguid, os qutro retângulos form regrupdos de mneir formr um qudrdo, com um burco qudrdo no centro, conforme indic o desenho à direit. A áre do burco é igul : 9 A) B) 6 6 C) 5 D) 4 3 E) 8. A linh poligonl AB é desenhd mntendo-se sempre o mesmo pdrão mostrdo n figur. Seu comprimento totl é igul : A A) 3 B) 88 C) 90 D) 97 E) A diferenç entre os qudrdos de dois números inteiros positivos consecutivos é sempre: A) um número primo. B) um múltiplo de 3. C) igul à som desses números. D) um número pr. E) um qudrdo perfeito. 0. Mrcelo lev extmente 0 minutos pr ir de su cs té escol. Um cert vez, durnte o cminho, percebeu que esquecer em cs revist Eurek! que i mostrr pr clsse; ele sbi que se continusse ndr, chegri à escol 8 minutos ntes do sinl, ms se voltsse pr pegr revist, no mesmo psso, chegri trsdo 0 minutos. Que frção do cminho já tinh percorrido neste ponto? 9 9 A) B) C) D) E) B. O gráfico bixo mostr o fturmento mensl ds empress A e B no segundo semestre de 00. milhões de reis A B jul go set out nov dez XXIV Olimpíd Brsileir de Mtemátic Primeir Fse

3 Com bse nesse gráfico, podemos firmr que: A) houve um mês em que o fturmento d empres A foi o dobro do fturmento d empres B. B) no mês de julho, diferenç de fturmentos foi mior que nos demis meses. C) empres B foi que sofreu mior qued de fturmento entre dois meses consecutivos. D) no semestre, o fturmento totl de A foi mior que o de B. E) diferenç entre os fturmentos totis do semestre excedeu os 0 milhões de reis.. Ptríci mor em São Pulo e quer visitr o Rio de Jneiro num ferido prolongdo. A vigem de id e volt, de ônibus, cust 80 reis, ms Ptríci está querendo ir com seu crro, que fz, em médi, quilômetros com um litro de gsolin. O litro d gsolin cust, em médi, R$,60 e Ptríci clcul que terá de rodr cerc de 900 quilômetros com seu crro e pgr 48 reis de pedágio. El irá de crro e pr reduzir sus despess, chm dus migs, que irão reprtir com el todos os gstos. Dess form, não levndo em cont o desgste do crro e outrs despess inesperds, Ptríci irá: A) economizr R$0,00. B) gstr pens R$,00 mis. C) economizr R$4,00. D) gstr o mesmo que se fosse de ônibus. E) gstr R$4,00 mis. 3. Um escol vi orgnizr um psseio o zoológico. Há dus opções de trnsporte. A primeir opção é lugr "vns": cd vn pode levr té 6 crinçs e seu luguel cust R$60,00. A segund opção é contrtr um empres pr fzer o serviço: empres us ônibus com cpcidde pr 48 crinçs e cobr R$37,00, mis R$0,00 por ônibus utilizdo. A escol deve preferir empres de ônibus se forem o psseio pelo menos N crinçs. O vlor de N é: A) 8 B) 3 C) 3 D) 33 E) O produto de um milhão de números nturis, não necessrimente distintos, é igul um milhão. Qul é o mior vlor possível pr som desses números? A) B) C) D) E) Se você tiver um mes de bilhr retngulr cuj rzão entre lrgur e o comprimento sej 5/7 e bter em um bol que está em um cnto, de modo que el si n direção d bissetriz do ângulo desse cnto, qunts vezes el bterá nos ldos ntes de bter em um dos cntos? A) 0 vezes B) vezes C) 3 vezes D) 4 vezes E) 5 vezes 6. N mlh qudriculd seguir, tods s circunferêncis têm centro em M. Então pode-se concluir que áre pret é: M XXIV Olimpíd Brsileir de Mtemátic Primeir Fse

4 A) dois quintos d áre do círculo mior. B) três sétimos d áre do círculo mior. C) metde d áre do círculo mior. D) qutro sétimos d áre do círculo mior. E) três quintos d áre do círculo mior. 7. As figurs seguir são construíds com plitos pretos e brncos. Pr construir s figurs, os plitos pretos form colocdos pens ns bords e os brncos pens no interior. A figur de número n corresponde um retângulo 3 por n. Continundo esse procedimento, quntos plitos brncos teremos n figur 00? 3 A) 00 B) 4004 C) 006 D) 0007 E) Um produtor de leite engrrf dirimente tod produção de leite de su fzend. Depois de tirdo, o leite segue pr um tnque de form cilíndric e então é engrrfdo, conforme vemos n figur seguir. N tbel vemos quntidde de grrfs que form enchids e o nível do leite dentro do tnque. Depois de qunts grrfs serem enchids o tnque ficrá vzio? Quntidde de grrfs enchids Nível do tnque (cm) A) 000 B) 050 C) 00 D) 50 E) Escrevendo todos os números inteiros de , qunts vezes escrevemos o lgrismo 5? A) 50 B) 70 C) 7 D) 80 E) 9 0. Um usin comprou 000 litros de leite puro e então retirou certo volume V desse leite pr produção de iogurte e substituiu esse volume por águ. Em seguid, retirou novmente o mesmo volume V d mistur e novmente substituiu por águ. N mistur finl existem 5 litros de leite. O volume V é: A) 500 litros B) 600 litros C) 700 litros D) 800 litros E) 900 litros XXIV Olimpíd Brsileir de Mtemátic Primeir Fse

5 GABARITO NÍVEL - C 6- D - D 6- C - C 7- B - C 7- D 3- B 8- D 3- B 8- B 4- B 9- C 4- D 9- D 5- D 0- B 5- A 0- A (opção C).. Exminndo o desenho, vemos que há um totl de 4 cixs n pilh. Portnto, pilh pes kg (opção C). 3. Observndo blnç, vemos que 3 squinhos (diferenç do número de squinhos entre os dois prtos) pesm o mesmo que 6 bolinhs (diferenç do número de bolinhs entre os dois prtos). Logo cd squinho tem bolinhs. (opção B). 4. A som dos números de 9 é 45. Ao colocr no meio, podemos escrever num ds pás = e n outr = Ess não é únic possibilidde, ms isso não mud o fto de que mior som possível em cd pá é igul. (opção B). 5. O totl de letrs ns cinco resposts é 63, sendo 3 ns resposts ds lterntivs A e B, 9 n respost d lterntiv C, n respost d lterntiv D e 6 n respost d lterntiv E. Como 63 3 = 50, 63 9 = 54, 63 = 5 e 63 6 = 47, únic lterntiv corret é D. (opção D) Pr loj C foi vendido d produção, no totl de 500 uniddes. Portnto produção totl d fábric foi de lts. (opção D). 7. Cd retângulo tem comprimento e lrgur 4 ; portnto, o burco qudrdo tem ldo de medid igul e su áre é. (opção B) A linh é compost d repetição d figur o ldo, cujo comprimento é 9. Cd figur dess inici-se num ponto representdo por um múltiplo de 3 no eixo horizontl: 0, 3, 6,..., 30. A figur, incomplet, tem comprimento 7. Portnto, o comprimento d linh poligonl é igul (opção D). 9. Dois inteiros consecutivos positivos podem ser representdos por n e n, sendo n seus qudrdos é igul ( n ) n n n n n ( n ) n desses números. (opção C). e diferenç entre, resultdo igul à som 0. O tempo necessário pr retornr à cs e depois fzer todo o percurso té escol foi de 8 minutos (pois i chegr 8 minutos dintdo ms cbou chegndo 0 minutos trsdo), tempo correspondente à distânci mis que percorreu, extmente o dobro d distânci entre o ponto de retorno e su cs. Portnto, levou 9 minutos pr ir de su cs té o ponto de retorno, o que corresponde 0 9 d distânci de su cs té escol. (opção B).. - A lterntiv A é fls, pois nlisndo o gráfico fic clro que em nenhum dos meses o fturmento de A é o dobro do fturmento de B; - A lterntiv B é fls, pois em outubro diferenç de fturmento entre s dus empress foi mis de 80 milhões, mior do que diferenç em julho, que foi de 60 milhões; - A lterntiv C é fls, pois foi empres A que teve mior qued de fturmento entre dois meses consecutivos (00 milhões entre os meses de gosto e setembro); - A lterntiv D é corret, pois no semestre o fturmento de B foi de 860 milhões e o fturmento de A foi mior que 860 milhões e menor que 880 milhões; - A lterntiv E é fls, pois diferenç de fturmento no semestre foi menor que 0 milhões. (opção D). XXIV Olimpíd Brsileir de Mtemátic Primeir Fse

6 . O custo de combustível é 900,60 0 reis; com o pedágio, o custo d vigem é = 68 reis. 68 Cd um dos três vijntes irá pgr 56 reis. Nesse cso, Ptríci irá economizr = 4 reis. 3 (opção C). 3. Observemos que um ônibus tem mesm cpcidde que 48/6 = 8 vns. Pr colocr crinçs que cberim em k + ônibus, precisrímos de pelo menos 8k vns. O gsto com ônibus seri (k + ) = 0k e o gsto com vns seri pelo menos 60 8k = 480k, que é mior que o preço do ônibus pr k mior ou igul, isto é, qundo precisrmos de ou mis ônibus. Se utilizrmos um ônibus, pgremos = 357 reis pr levr té 48 crinçs. Como 357 reis são suficientes pr pgrmos 5 vns, ms não 6, temos que é mis vntjoso utilizr ônibus se forem necessáris pelo menos 6 vns, o que contece qundo levmos pelo menos = 3 crinçs. Logo N = 3. (opção B). 4. Supondo que hj dois números e b miores do que, entre os ftores do produto, podemos sempre substituir esses ftores por b e, já que b + > + b (o fzer isso, estmos umentndo o vlor d som). Dess form, chegmos o produto , com ftores iguis e um ftor igul , cuj som desses ftores é (opção D). 5. Ao dividirmos mes em um tbuleiro 5 7, temos seguinte figur, com trjetóri d bol: Prtid Observndo figur, not-se que bol bte n tbel 0 vezes ntes de bter novmente em um cnto. Observção: pode-se demonstrr que se rzão entre lrgur e o comprimento é frção irredutível /b, bol bte n tbel + b vezes ns tbels ntes de bter novmente em um cnto. A idéi pr obter esse resultdo é construir um qudrdo de ldo b com retângulos b e contr o número de vezes que digonl do qudrdo cort os ldos dos retângulos. (opção A). 6. A figur é determind por um conjunto de circunferêncis concêntrics, com um eixo de simetri verticl (simetri de contornos), pssndo pelo centro desss circunferêncis. Cd região em negro tem um região simétric, em brnco. Logo, áre negr é igul à áre brnc, ou sej, é igul à metde d áre do círculo mior. (opção C). 7. N figur temos plitos brncos; n figur temos 7 plitos brncos; n figur 3 temos plitos brncos, etc. Isso mostr que seqüênci de figurs é formd crescentndo-se sempre 5 plitos brncos quntidde nterior. Assim, n figur de número 00, teremos + (00) 5 = 0007 plitos brncos. (opção D). 8. Pel tbel, vemos que cd vez que são retirdos 00 litros de leite, o nível do tnque bix 40 cm; portnto, o nível bix cm, qundo são enchids grrfs. Assim, o tnque ficrá vzio qundo forem enchids grrfs. (opção B). 9. Ns uniddes, do 05 o 995, o lgrismo 5 prece 90 vezes, ns dezens, do 50 o 59, do 50 o 59,, do 950 o 959, o lgrismo 5 prece 90 vezes e finlmente, ns centens, do 500 o 599, o lgrismo 5 prece 00 vezes, totlizndo ssim = 80 vezes. (opção D). 0. Sej W = 000 V. Assim, pós primeir substituição, há um certo volume W de leite e V de águ. N segund substituição, retir-se um volume W WV V de leite. Assim, W V 000 WV W (000 V ) W W 5 5 5, e deste modo obtemos W = 500 litros e V = litros. (opção A). XXIV Olimpíd Brsileir de Mtemátic Primeir Fse