Paradoxos Clássicos no Cálculo das Probabilidades
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- Lucas Gabriel Gonçalves Aleixo
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1 Paradoxos Clássicos no Cálculo das Probabilidades Carlos Tenreiro Universidade de Coimbra Escola Secundária Drª Maria Cândida, Mira 17 de Novembro de 2004
2 Paradoxo Opinião contrária à opinião comum ou ao sentir comum; Contradição ou contra-senso, pelo menos aparente; Coisa que não liga bem com outra; Coisa incrível; Discordância, discrepância, desarmonia.
3 Probabilidade A probabilidade é um número entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%). Quantifica a maior ou menor possibilidade que um acontecimento tem de ocorrer. Quanto maior for a probabilidade de determinado acontecimento, mais possibilidade tem ele de ocorrer.
4 Probabilidade No lançamento de um dado equilibrado, qual é a probabilidade: de sair a face? 1 = 0.1 =1 de sair face com número par? = =1 = 0.8 de não sair a face?
5 Probabilidade Para resultados igualmente prováveis: Probabilidade = resultados favoráveis resultados possíveis
6 Probabilidade Para resultados igualmente prováveis: Probabilidade = 1 - resultados desfavoráveis resultados possíveis
7 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face 1 proporção
8 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face 1 proporção
9 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face 1 proporção
10 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face 1 proporção
11 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face 1 proporção Probabilidade = 0.1
12 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face par proporção
13 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face par proporção
14 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face par proporção
15 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face par proporção
16 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos face par proporção Probabilidade = 0.5
17 Probabilidade Repetindo muitas vezes a experiência: proporção de Probabilidade ~ resultados favoráveis
18 Probabilidade A igualdade anterior é conhecida como Lei dos grandes números e é devida a Jacques Bernoulli ( ). Jacques Bernoulli
19 Paradoxo dos dados Jogando com três dados, 9 e 10 pontos podem ser obtidos de seis maneiras diferentes: 9 pontos 10 pontos
20 Paradoxo dos dados Porque não está este facto de acordo com a experiência que revela que a soma 10 ocorre mais vezes que a soma 9?
21 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos Soma 9 Soma 10
22 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos Soma 9 Soma
23 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos Soma 9 Soma
24 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos Soma 9 Soma
25 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentos Soma 9 Soma
26 Paradoxo dos dados Este problema foi estudado por gente famosa: Cardano ( ) Livro sobre jogos de azar (escrito em 152, publicado em 1) Girolamo Cardano
27 Paradoxo dos dados Galileu Galilei ( ) Considerações sobre o jogo dos dados (escrito entre 11 e 12) Galileu Galilei
28 Paradoxo dos dados As combinações anteriores não são igualmente prováveis. Há 27 maneiras igualmente prováveis de obter 10 pontos. Há apenas 25 maneiras igualmente prováveis de obter 9 pontos.
29 Paradoxo dos dados Resultado 1º dado º dado º dado
30 Paradoxo dos dados Resultado 1º dado Resultado º dado º dado º dado 2º dado º dado
31 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades
32 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades
33 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades
34 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades
35 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades
36 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades
37 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades
38 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total 1 25
39 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total pontos Possibilidades
40 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total pontos Possibilidades
41 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total pontos Possibilidades
42 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total pontos Possibilidades
43 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total pontos Possibilidades
44 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total pontos Possibilidades
45 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total pontos Possibilidades
46 Paradoxo dos dados 9 pontos Possibilidades total pontos Possibilidades total 27
47 O paradoxo da divisão Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha vitórias. Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro vitórias.
48 O paradoxo da divisão Jogador A V V V V V V Jogador B V V
49 O paradoxo da divisão Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os jogadores?
50 O paradoxo da divisão Blaise Pascal Por volta de 152, este problema é colocado a Pascal (12-12).
51 O paradoxo da divisão Pierre de Fermat No verão de 154, ele é o principal motivo duma troca de correspondência entre Pascal e Fermat (101-15).
52 O paradoxo da divisão O problema já tinha sido discutido por vários matemáticos: 1494 Pacioli ( ) propõe: 5 Prémio Prémio 8 8 Luca Pacioli
53 O paradoxo da divisão 155 Tartaglia ( ) diz: A solução de Pacioli não parece estar correcta, mas qualquer que seja a forma de dividir o prémio haverá sempre lugar a litígio Nicolo Tartaglia
54 O paradoxo da divisão 154 Cardano ( ) diz: Há um erro evidente na divisão do prémio proposta por Pacioli que até uma criança pode reconhecê-lo Girolamo Cardano
55 O paradoxo da divisão Para os matemáticos anteriores o problema da divisão das apostas é um problema sobre proporções. Para Pascal e Fermat o problema reduz-se a um problema de probabilidades.
56 O paradoxo da divisão Se p é a probabilidade de um dos jogadores ganhar, ele deverá arrecadar p x Prémio Divisão justa: p x Prémio (1-p) x Prémio
57 O paradoxo da divisão Jogador A V V V V V V V V V V Jogador B = V
58 O paradoxo da divisão As soluções apresentadas pelos dois matemáticos são diferentes mas chegam ao mesmo resultado. Fermat analisa as possíveis evoluções do jogo mesmo depois do vencedor estar encontrado.
59 O paradoxo da divisão 1ª partida 2ª partida A A B A B B ª partida A B A B A B A B vencedor A A A A A A A B
60 O paradoxo da divisão Divisão justa: Jogador A recebe 7 Prémio 8 Jogador B recebe 1 Prémio 8
61 Paradoxo de D Alembert Jean Le Round D Alembert Este paradoxo tem origem num artigo publicado por D Alembert ( ) na Enciclopédia Francesa de 1754.
62 Paradoxo de D Alembert
63 Paradoxo de D Alembert Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em dois lançamentos duma moeda? Resposta de D Alembert: 2 = 0.
64 Paradoxo de D Alembert 1º lançamento 2º lançamento cara 1 ou 2 caras sim cara sim coroa não coroa
65 Paradoxo de D Alembert Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em três lançamentos duma moeda? Resposta de D Alembert: =
66 Paradoxo de D Alembert 1º 2º º lançamento lançamento lançamento cara 1,2 ou caras sim cara coroa sim cara sim coroa não coroa
67 Paradoxo de D Alembert
68 Paradoxo de D Alembert E D Alembert termina: Isto parece-me digno de merecer a atenção dos calculadores que irão reformular as regras por todos aceites sobre os jogos de azar Estarão as respostas de D Alembert correctas?
69 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições ou 2 caras proporção
70 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições 1 ou 2 caras proporção
71 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições 1 ou 2 caras proporção
72 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições 1 ou 2 caras proporção
73 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições 1 ou 2 caras proporção
74 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições 1 ou 2 caras proporção Resposta de D Alembert : 0.?
75 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de lançamentos: nº repetições , 2 ou caras proporção
76 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de lançamentos: nº repetições 1, 2 ou caras proporção
77 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de lançamentos: nº repetições 1, 2 ou caras proporção
78 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de lançamentos: nº repetições 1, 2 ou caras proporção
79 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de lançamentos: nº repetições 1, 2 ou caras proporção
80 Paradoxo de D Alembert Resultados de várias repetições de lançamentos: nº repetições 1, 2 ou caras proporção Resposta de D Alembert : 0.75?
81 Paradoxo de D Alembert As respostas de D Alembert não estão correctas. As combinações por ele descritas não são igualmente prováveis. D Alembert devia ter usado o método que Fermat utilizou 100 anos antes.
82 Paradoxo de D Alembert 1º lançamento 2º lançamento cara 1 ou 2 caras sim cara coroa cara sim sim coroa não coroa
83 Paradoxo de D Alembert Resposta correcta para 2 lançamentos: 4 = 0.75 Resultado de repetições:
84 Paradoxo de D Alembert 1º 2º º lançamento lançamento lançamento cara cara coroa cara coroa coroa cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa 1,2 ou caras sim sim sim sim sim sim sim não
85 Paradoxo de D Alembert Resposta correcta para lançamentos: 7 8 = Resultado de repetições:
86 Paradoxo do dia de aniversário Se não mais que 5 pessoas estiverem reunidas, é possível que todas tenham um dia de aniversário diferente. Com pessoas é certo que pelo menos duas delas têm o mesmo dia de aniversário.
87 Paradoxo do dia de aniversário Se 57 pessoas estiverem reunidas, qual é a probabilidade de pelo menos duas terem o mesmo dia de aniversário? Com certeza deve ser pequena...
88 Paradoxo do dia de aniversário Para resultados igualmente prováveis: Probabilidade = resultados favoráveis resultados possíveis
89 Paradoxo do dia de aniversário resultados possíveis 2 pessoas 1 2 1,2,,,5 1,2,,,5 1,2,,,5 5 1,2,,,5 5 x 5 resultados possíveis
90 Paradoxo do dia de aniversário resultados favoráveis 2 pessoas resultados favoráveis
91 Paradoxo do dia de aniversário Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a = Em 0.27% das reuniões com 2 pessoas, essas duas pessoas têm o mesmo dia de aniversário
92 Paradoxo do dia de aniversário Para resultados igualmente prováveis: Probabilidade = 1 - resultados desfavoráveis resultados possíveis
93 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas 1 2 2,,,5 1,,,5 1,2,,5 5 1,2,,4 resultados desfavoráveis 5 x 4 resultados desfavoráveis
94 Paradoxo do dia de aniversário Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a =
95 Paradoxo do dia de aniversário pessoas resultados possíveis x 5 x 5 resultados possíveis
96 Paradoxo do dia de aniversário pessoas resultados desfavoráveis x 4 x resultados desfavoráveis
97 Paradoxo do dia de aniversário Para pessoas a probabilidade pedida é igual a = Em 0.82% das reuniões com pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário
98 Paradoxo do dia de aniversário Fórmula de cálculo para 2 pessoas Fórmula de cálculo para pessoas
99 Paradoxo do dia de aniversário Fórmula de cálculo para 57 pessoas = !!!
100 Paradoxo do dia de aniversário Em 99.01% das reuniões com 57 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário
101 Paradoxo do dia de aniversário nº P nº P nº P % % % % 0 70.% % % % %
102 Paradoxo do dia de aniversário Não devemos confundir o problema anterior com o seguinte: Qual é a probabilidade de alguém nesta sala ter o mesmo dia de aniversário que eu?
103 Paradoxo do dia de aniversário pessoas além de mim resultados possíveis resultados desfavoráveis eu x 5 x 5 4 x 4 x 4
104 Paradoxo do dia de aniversário nº P nº P nº P 2 5.8% % % % % % % % %
105 O paradoxo das coincidências Numa festa de natal os alunos de uma escola decidem dar presente uns aos outros. Cada um traz um presente que é misturado com os outros presentes. Os presentes são distribuídos ao acaso pelos alunos.
106 O paradoxo das coincidências Este procedimento é usado acreditando-se que, se o número de alunos for grande, a probabilidade de alguém receber o seu próprio presente deve ser muito pequena... Será isto verdade?
107 O paradoxo das coincidências Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort ( ) em 1708.
108 O paradoxo das coincidências Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort ( ) em Uma tal probabilidade é dada por: 1 1 n !! n!
109 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº P
110 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº 1 100% P
111 O paradoxo das coincidências nº P nº 1 100% % P nº P
112 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº 1 100% % 5 8.% 9 P
113 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº 1 100% 4 2.5% % 5 8.% 9 P
114 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº 1 100% 4 2.5% % 5.% 8.% 9 P
115 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº 1 100% 4 2.5% % 5.% 8.%.19% 9 P
116 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº P 1 100% 4 2.5% 7.21% 2 50% 5.% 8.%.19% 9
117 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº P 1 100% 4 2.5% 7.21% 2 50% 5.% 8.21%.%.19% 9
118 O paradoxo das coincidências nº P nº P nº P 1 100% 4 2.5% 7.21% 2 50% 5.% 8.21%.%.19% 9.21%
119 O paradoxo das coincidências 1 1 n e =.21 2!! n!
120 Bibliografia Deheuvels, Paul (1990) La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their applications before 1750, Wiley. Székely, Gábor J. (198) Paradoxes in probability theory and mathematical statistics, Reidel.
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