TRABALHO DE RECUPERAÇÃO 1º SEMESTRE

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1 TRABALHO DE RECUPERAÇÃO 1º SEMESTRE Nome: Nº: 6º Ano Professores Décio e Leandro Valor: 2,0 pontos 1. Apresentação: Prezado aluno, A estrutura da recuperação bimestral paralela do Colégio Pentágono pressupõe uma revisão dos conteúdos essenciais que foram trabalhados neste ano. O roteiro de recuperação vai auxiliá-lo a planejar e organizar seus estudos. Para isso, sugerimos que: Anote tudo o que tiver para fazer. Fazer um esquema pode ajudar. Faça um planejamento de estudos, estabelecendo um horário para desenvolver as diversas tarefas. Planejar significa antecipar as etapas que você precisa fazer e entregar; não deixe para depois o que pode ser feito hoje... Estabeleça prioridades: onde você tem mais dúvidas? Como se organizar para resolvê-las? Para que você aproveite essa oportunidade, é necessário comprometimento: resolva todas as atividades propostas com atenção, anote em um caderno suas dúvidas e leve-as para as aulas de recuperação. Sempre que possível, aproveite a monitoria de estudos. Procure esclarecer todas as dúvidas que ficaram pendentes no bimestre que passou. Tudo o que for fazer, faça bem feito! 2. Conteúdos: Para ajudar na sua organização dos estudos, vale lembrar quais foram os conteúdos trabalhados neste semestre: 1º bimestre: I. Números naturais e sistemas de numeração (Capítulo 1); II. Operações fundamentais com números naturais (Capítulo 2); III. Potenciação, raiz quadrada e expressões numéricas (Capítulo 4) e IV. Sólidos geométricos, regiões planas e contornos (Capítulo 3 itens 1, 2 e 7).

2 2º bimestre: I. Divisores e múltiplos dos números naturais (Capítulo 3); II. Frações (Capítulo 6 itens 1, 2 e 3); III. Ponto, reta, plano, posição relativa de duas retas em um mesmo plano, ângulos e polígonos (Capítulo 3 itens 3, 4, 5 e 8). 3. Objetivos: Divisores e múltiplos Frações Ponto, reta, plano, posição relativa de duas retas em um mesmo plano, ângulos e polígonos Identificar os critérios de divisibilidade na divisão por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10. Reconhecer os números primos; Identificar e diferenciar múltiplos e divisores; Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema. Retomar conceitos sobre frações; Associar ideias envolvendo frações; Explorar relações envolvendo as frações; Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema envolvendo as frações. Reconhecer e classificar planos, retas e pontos; Reconhecer e classificar diferentes posições de duas retas em um mesmo plano; Reconhecer e classificar os ângulos e seus elementos; Relacionar os ângulos com objetos do cotidiano; Reconhecer e diferenciar os diferentes polígonos, bem como identificar seus elementos; Analisar e discutir quais são as características que permitem classificar os polígonos em regulares ou irregulares. 4. Materiais que devem ser utilizados e/ou consultados durante a recuperação: Livro didático e caderno de atividades: caps. 1, 2, 3, 4, 5 e 6; Anotações de aula feitas no próprio caderno; Atividades mensais; Prova bimestral.

3 5. Etapas e atividades que fazem parte do processo de recuperação: a) refazer as provas mensais e bimestral para identificar as dificuldades encontradas e aproveitar os momentos propostos para esclarecer as dúvidas com o professor ou monitor da disciplina; b) refazer exercícios do livro didático e caderno de atividades; c) revisar as atividades realizadas em aula, bem como as anotações que você fez no caderno; d) fazer os exercícios do roteiro de recuperação. 6. Trabalho de recuperação e forma de entrega: i. Após fazer as atividades sugeridas para o processo da recuperação paralela, entregue os exercícios do roteiro de estudos em folha de bloco. ii. O Trabalho de recuperação vale 2 pontos. iii. Para facilitar a correção, organize suas respostas em ordem numérica. Não apague os cálculos ou a maneira como você resolveu cada atividade; é importante saber como você pensou! iv. É muito importante entregar o Trabalho na data estipulada.

4 7. Seguem abaixo as revisões e os exercícios de recuperação: Exercícios do 1º bimestre Exercício 1 - Escreva em forma de potenciação e calcule. a) 5 elevado a 3 b) 13 elevado a 2 c) 21 elevado a 0 d) 17 elevado ao quadrado e) 11 elevado ao cubo Exercício 2 - Calcule as potências a) 5 3 = b) 35² = c) 40 0 = d) 1 21 = e) 10³ = f) 10 7 = g) 0 6 = Exercício 3 - Encontre as raízes quadradas dos números abaixo. a) 64 b) 125 c) 169 d) e) 81 f) 400 Exercício 4 Resolva as expressões abaixo. a) 39 [25 + (2³ - 6)] = b) 65 { 30 [ 22 ( 5 + 3) + ( )]} = e) 5² + 2³ - 3 x (5-3) = f) 6² : 3² + 4 x = g) h) ( ) x 3 + (3² - 15⁰) = i) ( )² :5 =

5 Exercício 5 - O dono do Hotel Place V tem 8500 reais para itens para um café da manhã. Foram gastos 2050 reais com pães, 1530 reais com frutas, 1120 reais com sucos e 1700 reais com frios (queijo, presunto, salame...). Para essa compra, qual será o troco para o dono da pousada? Exercício 6 - Três dúzias de barras de chocolate belga custam R$ 360,00. Quantos reais custará 9 barras deste mesmo chocolate? Exercício 7 - Pensei em um número. Somei 3 e dividi por 4 obtendo 13 como resultado. Em que número pensei? Exercício 8 Qual é o número que, quando elevamos ao quadrado e subtraímos 9 unidades, resulta em 40? Exercício 9 - De acordo com seus conhecimentos julgue os itens em V se for verdadeiro ou F se for falso. a) ( ) As faces laterais do prisma triangular são triângulos. b) ( ) Uma pirâmide hexagonal tem 12 arestas. c) ( ) O cubo é um prisma. d) ( ) O cone é um prisma. e) ( ) O cilindro tem duas arestas. f) ( ) A planificação do cone é constituída por um triângulo e uma base circular. g) ( ) O paralelepípedo é um prisma com 8 vértices. Exercício 10 - Observando os sólidos geométricos abaixo, classifique-os em corpos redondos ou poliedros: a) Corpos redondos: b) Poliedros:

6 Conteúdos do 2º bimestre I) NÚMEROS: Múltiplos: Definição: Os múltiplos de um número são aqueles que podem ser obtidos pela multiplicação do número por um natural, ou ainda, aqueles presentes na tabuada de um número. Por essa definição percebemos que ao tratarmos do conjunto dos múltiplos de um número, estamos falando de um conjunto infinito, pois os números naturais são infinitos. A seguir faremos alguns exemplos obtendo o conjunto dos múltiplos de um determinado número m(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60,...} m(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40,...} m(130) = {0, 130, 260, 390,...} Observações: 1 Zero sempre é múltiplo e qualquer número, pois zero multiplicado por qualquer úmero resulta em zero. 2 Um número sempre é múltiplo de si mesmo, pois um número multiplicado por 1 sempre resulta em si mesmo. Divisores: Definição: Os divisores de um número são aqueles que deixam resto zero ao efetuar a divisão desse número. Em outras palavras são os números que representam em quantas partes podemos dividir um número sem sobrar resto. Por essa definição podemos perceber que trabalharemos com conjuntos finitos, pos um número não pode ser dividido por outro maior. A seguir faremos alguns exemplos obtendo o conjunto dos divisores de um determinado número d(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

7 d(8) = {1, 2, 4, 8} d(13) = {1, 13} Observações: 1 1 sempre é divisor de qualquer número. 2 Um número sempre é divisor de si mesmo. Mínimo Múltiplo Comum: Definição: Menor número que aprece entre os múltiplos comuns de dois ou mais números, com exceção do zero. Encontraremos o mínimo múltiplo comum de 8 e 10, denotado por MMC (8,10) m(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48,...} m(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,...} O primeiro múltiplo comum entre 8 e 10 diferente de 0 é o 40, portanto MMC (8,10) = 40. Máximo Divisor Comum: Definição: Maior número que aprece entre os divisores comuns de dois ou mais números. Encontraremos o máximo divisor comum de 12 e 160, denotado por MDC (12,16) d(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} d(16) = {1, 2, 4, 8, 16} O maior divisor comum entre 12 e 16 4, portanto MDC (12,16) = 4.

8 Decomposição em fatores primos: A decomposição em fatores é uma técnica que nos auxiliará no processo de determinação do MMC e MDC, pois podem ser muito trabalhosos apenas pela definição. Antes de decompormos um número em fatores primos vamos definir o que é um número primo. Definição: Um número é primo se é divisível exatamente por dois números (1 e o próprio número) Assim sendo, decompor um número em fatores primos, nada mais é do que escreve lo como uma multiplicação de fatores primos. Faremos a decomposição do número 60 abaixo. * Note que poderíamos ter escrito o número 48 como 4x12 em vez de 2x24 na primeira decomposição. Isso não seria um problema e seguindo os passos apresentados deve resultar na mesma decomposição. Também podemos decompor o número pensando em seus divisores primos.

9 Processo prático para o cálculo de MMC e MDC: Listar múltiplos e divisores pode ser trabalhoso. Para contornar esse processo utilizaremos a decomposição em fatores primos. - Para o MMC utilizaremos uma decomposição conjunta, como no exemplo a seguir. Mínimo múltiplo comum entre 12 e 28: Os números são fatorados ao mesmo tempo, isto é, divididos pelo mesmo número. O quociente da divisão é colocado abaixo do dividendo. Esse processo deve ocorrer até a simplificação total do dividendo. Perceba que no exemplo acima, na terceira linha da fatoração, os números 3 e 7 não possuíam divisor comum. Assim sendo, dividimos primeiro o 3 e depois o 7. Ao fim, multiplicaremos os fatores primos para obter o MMC MMC (12, 28) = = 84 - Para o MDC fatoraremos cada um dos números separadamente e tomaremos os divisores comuns. Máximo divisor comum entre 75 e 125:

10 75 = 3 * 5 * = 5 * 5 * 5 Observe que a multiplicação dos fatores primos coincidentes nas duas fatorações, formam o maior divisor comum, então: O MDC entre (75, 125) = 5 * 5 = 25 Problemas envolvendo MMC e MDC: Existem duas ideias principais por volta dos problemas envolvendo MMC e MDC. Ideia 1 - Quando temos uma situação envolvendo períodos diferentes que se encontram em um momento futuro comum estamos trabalhando com a ideia de MMC Ideia 2 Quando tratamos de objetos que devem ser divididos em uma mesma quantidade, com o maior tamanho possível, estamos trabalhando com a ideia e MDC. A seguir seguem exemplos de problemas que trabalham as duas ideias. Exemplo 1: Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? Devemos encontrar o MDC entre 156 e 254, esse valor corresponderá à medida do comprimento desejado.

11 Decomposição em fatores primos 234 = 2 * 3 * 3 * = 2 * 2 * 3 * 13 MDC (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78 Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento. Exemplo 2: Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30. Decomposição em fatores primos 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 36 = 2 * 2 * 3 * 3 30 = 2 * 3 * 5 MDC (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6 Determinando o número total de equipes: = : 6 = 19 equipes O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.

12 Exemplo 3 (PUC SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6. MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12 Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro. Exemplo 4 Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos? Calcular o MMC dos números 2, 3 e 6. MMC(2, 3, 6) = 2 * 3 = 6 O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6. De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas.

13 Números mistos: Para trabalharmos com números mistos, primeiro devemos definir o conceito de fração imprópria. A ideia de fração como parte de um todo é muito forte em nossa intuição. Por isso quando falamos da fração 1, por exemplo, associamos o número representado a 6 uma figura repartida em 6 na qual tomamos 1 parte. Quando o numerador de uma fração é maior do que o denominador, essa ideia de parte de um todo fica comprometida. Para representar a fração 11 6 excede o denominador. precisaremos de duas figuras, pois o numerador A fração que possui o numerador maior que o denominador é chamada fração imprópria. Podemos expressar a fração imprópria de outra forma. Explicitando a quantidade de figuras inteiras que tomamos e a fração da figura que não foi tomada de forma completa. No caso da fração 11 6 e 5 6 da outra. podemos perceber pela figura que tomamos uma figura inteira

14 Representamos essa fração pelo número misto 1 5, onde 1 representa a parte inteira 6 e 5 6 a parte fracionária. Segue abaixo duas regras práticas. A primeira para transformar frações impróprias em números mistos e a segunda para transformar números mistos em frações impróprias. A ideia dessas regras é deixar a solução independente da construção das figuras. Regra 1 Frações impróprias para números mistos. Faremos a transformação da fração imprópria 13 5 para número misto. - Primeiro veremos quantas vezes o 5 cabe no 13, para determinarmos a quantidade de grupinhos de 5 que podemos tomar. - Como sobrou 3 após efetuarmos a divisão, comporemos a parte fracionária do número misto. Portanto 13 5 =

15 Regra 2 Números mistos para frações impróprias. Faremos a transformação da fração 3 3 para fração imprópria. 4 - Primeiro temos que ter em mente que estamos falando de divisões em quaro partes (por causa do denominador) - Em seguida veremos quantos pedaços tomamos para formar três inteiros para formar o numerador. 3x4 = 12 - Agora acrescentamos quantos pedaços ficaram fora da parte inteira e terminamos de compor o numerador = 15. Em resumo segue a regra para formarmos o numerador. Portanto = Fração de um número: Para descobrirmos qual valor uma fração representa de um dado número, utilizaremos a ideia de parte de um todo, na qual o denominador representa a quantidade de partes em que dividimos o total e o numerador a quantidade de partes que tomaremos dessa divisão. Faremos um exemplo a seguir calculando 2 de Primeiro dividiremos 230 em 5 partes iguais

16 - Tomaremos duas das partes. Logo temos 2 x 46 = 92. Portanto 2 de 230 = 92. 5

17 II) GEOMETRIA: Ponto, reta e plano: Definições: Ponto: o ponto pode ser algo localizado no espaço, como um furo, uma estrela no céu, o centro do campo de futebol, etc. Reta: podemos dizer que a reta é formada por infinitos pontos, não tem começo, nem fim. Semirreta: possui origem em um ponto, tornando-se infinita no sentido contrário. Segmento de reta: possui origem e fim. Plano: A expansão de todos os lados da superfície da parede, do chão, do quadro, etc.

18 Posições de retas no plano: Paralelas: retas que não possuem nenhum ponto em comum. Concorrentes oblíquas: retas que possuem um ponto em comum e formam dois ângulos agudos e dois obtusos. Concorrentes perpendiculares: retas que possuem um ponto em comum e formam ângulos retos. Ângulos: Definição: vértice. As semirretas OA e OB são os lados deste ângulo, enquanto ponto O é seu

19 Giros e ângulos: Para cada giro que fizermos com o carrinho, existirá um ângulo correspondente: Ângulo de um quarto de volta: É chamado de ângulo reto. Este ângulo é representado da seguinte maneira: Ângulo agudo: São os ângulos menores que o ângulo reto. Ângulo obtuso: São os ângulos maiores que o ângulo reto.

20 Polígonos: Definição: Toda linha fechada, formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam, é chamada de POLÍGONO. Os polígonos são classificados pela sua quantidade de lados: 3 lados: triângulo 4 lados: quadrilátero 5 lados: pentágono 6 lados: hexágono 7 lados: heptágono 8 lados: octógono 9 lados: eneágono 10 lados: decágono 12 lados: dodecágono 20 lados: icoságono

21 Triângulos: Os triângulos podem ser classificados quanto aos seus ângulos ou quanto aos seus lados. Classificação quanto aos ângulos: Classificação quanto aos lados:

22 Quadriláteros: Os quadriláteros que possuem dois lados paralelos são chamados de trapézio. Os quadriláteros que possuem dois pares de lados paralelos são chamados de paralelogramo. Existem quadriláteros que não são nem trapézios nem paralelogramos. Vejamos três casos especiais de paralelogramos:

23 Polígonos regulares: Um polígono regular possui todos seus lados com a mesma medida e todos seus ângulos com a mesma abertura. Exercícios do 2º bimestre Exercício 1: Encontre os múltiplos dos números abaixo: a) 13 b) 2 c) 76 d) 1 e) 102 Exercício 2: Encontre os divisores dos números abaixo: a) 17 b) 21 c) 72 d) 18 e) 102

24 Exercício 3: encontre o MMC entre os números abaixo. a) 12 e 30 b) 7 e 21 c) 15 e 24 Exercício 4: encontre o MDC entre os números abaixo. a) 24 e 72 b) 16 e 36 c) 15 e 34 Exercício 5: Decomponha os números a seguir em fatores primos, utilizando o método que preferir (Adiantamos que o segundo método será importante para as próximas etapas). a) 50 b) 12 c) 102 d) 72 Exercício 6 Dois cometas visitam a Terra em períodos diferentes. O cometa A visita a Terra de 14 em 14 anos. E o cometa B visita a Terra de 20 em 20 anos. Responda: a) Se em 2010 os cometas visitaram a terra, em que ano ambos os planetas farão outra visita conjunta? b) Quantas vezes o cometa A terá visitado a terra até esse encontro ocorrer novamente? E o cometa B? Exercício 7 Um jogo de cartas possuía 80 cartas azuis e 72 cartas vermelhas. Sabendo que repartiremos essa quantidade de cartas pelo mesmo número de pessoas, sem sobras, responda: a) Qual é o número máximo de pessoas que podem jogar? b) 9 pessoas podem jogar? c) Com quantas cartas cada um ficará supondo que jogue o número máximo? Exercício 8 Marcela tem 96 m de fita vermelha e 72 m de fita azul para decorar pacotes de presente. Ela quer cortar essas fitas de modo que os pedaços tenham o mesmo tamanho, que sejam o MAIOR possível e que não haja sobras de fita.

25 a) Quantos metros deve ter cada pedaço de fita? b) Quantos pedaços de fita azul serão produzidos? Exercício 9 Em uma competição de corrida de autorama o carrinho de Marcos percorre 13 voltas por minuto, enquanto o carrinho de Juliana percorre 24 voltas por minuto. Sabendo que ambos partiram ao mesmo tempo, depois de quanto tempo ambos se encontrarão novamente? Exercício 10 Transforme as frações impróprias em números mistos. a) 12 7 b) c) d) 45 6 Exercício 11 Transforme os números mistos em frações impróprias. a) b) c) d) Exercício 12 - Encontre os valores pedidos a) 3 4 b) 9 11 de 244 de 1177 c) 12 de Exercício 13 - Sueli resolveu dar de presente aos seus três filhos R$ 2370,00. Como cada um teve um desempenho diferente na escola, Sueli resolveu dar 12 para Marcos, 9 30 para Laura e o restante para Fabiano. Com quanto cada um ficou? 30

26 Exercício 14 - Marcelo possuía 105 moedas virtuais de um jogo de vídeo game. Após vencer um dos estágios mais difíceis Marcelo ganhou 12 do que já possuía. Com quanto 15 Marcelo ficou? Exercício 15 - Desenhe e nomeie cada conceito representado a seguir: a) O ponto F. b) A reta x. c) O plano alfa. d) O segmento de reta SP. e) A semirreta OP. f) O plano beta. Exercício 16 - Identifique a posição relativa das retas, se são concorrentes ou paralelas. a) r e t b) r e s c) x e t d) x e s Exercício 17 - Tijuca é um bairro da Zona Norte do Rio de Janeiro, no Brasil. Copacabana é um bairro nobre situado na Zona Sul da cidade do Rio de Janeiro, no Brasil. É um dos bairros mais famosos. Tem o apelido de Princesinha do Mar. Observe a planta parcial abaixo julgando os itens em V (para as alternativas verdadeiras) ou F(para as alternativas falsas).

27 a( ) Avenida Rio Branco é perpendicular a Rua Senhor dos Passos. b( )Podemos afirmar que as ruas : Alfândega, Senhor dos Passos e Buenos Aires não são paralelas. c( )Rua Alfândega e Rua Miguel Couto são perpendiculares. d( )Avenida Presidente Vargas é perpendicular a Rua Buenos Aires. Exercício 18 Classifique os seguintes ângulos:

28 Exercício 19 - Dada a figura abaixo, responda: a) Quantos são os ângulos retos? b) Quantos são os ângulos agudos? c) Quantos são os ângulos obtusos? Exercício 20 Marque com um (X) as alternativas que caracterizam os polígonos: ( ) Formado por segmentos de reta. ( ) Possui uma região vazada. ( ) Pode possuir lados curvados. ( ) O mínimo de lados que deve possuir são 3. ( ) A figura tem que ser toda fechada. Exercício 21 - Relacione o nome dos polígonos de acordo com o total de lados a) Triângulo ( ) 12 lados b) Quadrilátero ( ) 20 lados c) Pentágono ( )8 lados d) Hexágono ( ) 9 lados e) Heptágono ( ) 3 lados f) Octógono ( ) 7 lados g) Eneágono ( ) 5 lados h) Decágono ( ) 4 lados i) Dodecágono ( ) 6 lados k) Icoságono ( ) 10 lados

29 Exercício 22 - Leopoldo desenhou um triângulo com todos os lados iguais (I); depois diminui um dos lados em 1 cm (II); depois diminuiu um dos outros lados em 3 cm (III). Os triângulos citados nos casos I, II e III, respectivamente são: a) Equilátero; Escaleno; Isósceles b) Escaleno; Equilátero; Isóscele c) Isósceles; Equilátero; Escaleno d) Equilátero; Isósceles; Escaleno Exercício 23 Faça um esquema representando a classificação dos quadriláteros. Exercício 24 Desenho um exemplo de cada quadrilátero abaixo: