MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE DE UM SISTEMA BARRA E BOLA AUXILIADO POR COMPUTADOR: CAD E CAE

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1 MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE DE UM SISTEMA BARRA E BOLA AUXILIADO POR COMPUTADOR: CAD E CAE Alyson F. Schvarcz, Ivando S. Diniz Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Campus de Sorocaba s: alysonfs@gmail.com, ivando@sorocaba.unesp.br Abstract The rise of technology has radically changed the way designers evaluate the performances of their products. The use of CAD, CAE, and CAM tools has almost eliminated the necessity of building prototypes that consume time and money. With computer aided systems, different types of analysis may be performed and, through these analyses, results are achieved in less time. In this context the present work aims to integrate a CAD and a CAE software simulating and performing the control of a classical mechanical system, the ball and beam system. It will be addressed a comparison between the computational and mathematical models and the validation of the obtained controller applying it to a physical model. Keywords Computer aided systems; Modeling; Control; Ball and Beam. Resumo O aumento da tecnologia mudou radicalmente a forma como os projetistas avaliam o comportamento de seus produtos. A utilização de ferramentas CAD, CAE e CAM praticamente eliminou a necessidade da construção de protótipos, que consomem tempo e dinheiro. Com softwares de auxílio computacional, diferentes tipos de análises podem ser realizadas e, através destas análises, uma grande quantidade de cálculos é alcançada em tempo reduzido. Neste contexto o presente trabalho tem o propósito de integrar um software CAD e um CAE realizando a simulação e controle de um clássico sistema mecânico, o sistema barra e bola. Serão feitas comparações entre os modelos computacional e matemático além da validação do controlador obtido aplicando-o a um modelo físico. Palavras-chave sistemas auxiliados por computador, modelagem, controle, barra e bola. I. INTRODUÇÃO Tem sido cada vez maior a utilização de computadores nas diversas atividades da engenharia. A melhoria contínua das características de hardware está trazendo como resultado uma grande expansão da disponibilidade dos sistemas computadorizados na manufatura. A Engenharia Assistida por Computador (CAE) tem otimizado processos de engenharia com o auxílio de modelos computacionais interativos. Um típico software CAE tem como objetivo auxiliar o projetista no desenvolvimento de um modelo geométrico apropriado do sistema em questão e apresentá-lo ao usuário através de uma interface gráfica específica. Além disso, os erros de projeto podem ser facilmente detectados sem a necessidade de protótipos. Dessa forma, a utilização desse tipo de ferramenta vem aumentando o desempenho e a eficiência de produtos e processos referentes à engenharia (Motta, 1997) 1. Ainda nesse contexto, como os avanços no controle automático, na teoria e na prática, também vêm produzindo meios para otimizar o desempenho dos sistemas dinâmicos, melhorar a produtividade, diminuir o trabalho árduo de várias rotinas de operações manuais repetitivas, entre outros, a maioria dos engenheiros e dos cientistas devem ter agora bons conhecimentos nessa área (Ogata, 2003) 2. Sendo assim, o presente trabalho procura desenvolver um sistema de controle, auxiliado por computador (CAD e CAE), para o clássico sistema Barra e Bola. II. OBJETIVO e CAE) através da modelagem e controle de um sistema barra e bola. Será feito o controle do sistema utilizando um modelo matemático e um modelo criado a partir das ferramentas CAD e CAE a fim de realizar comparações de resultados, mostrando como o computador pode auxiliar o engenheiro no desenvolvimento de um produto. Por fim, para efeito de validação dos modelos, o controlador projetado será aplicado a um modelo físico do sistema, criado pelo autor. III. FERRAMENTAS DE AUXÍLIO COMPUTACIONAL O tempo utilizado para o desenvolvimento de produtos diminuiu bastante nos últimos anos devido ao uso de ferramentas computacionais. Para cada etapa do projeto, existem diferentes ferramentas disponíveis, destacando-se as utilizadas para o desenho, análise e manufatura. Esses sistemas, denominados CAx (Computer Aided x ), devem estar integrados entre si. Um determinado procedimento adotado em uma fase pode aumentar o tempo requerido em outra. Portanto, saber realizar todas as etapas de criação de um produto de forma que o processo como um todo seja beneficiado é fundamental para a redução do tempo de desenvolvimento de um produto (Foggiatto, et al., 2007) 3. Este trabalho tem como objetivo realizar a integração de softwares de auxilio computacional (CAD

2 CAD Os sistemas CAD (Computer Aided Design) 2D foram desenvolvidos para substituir o desenho manual que era demorado e de difícil reaproveitamento. No início, foi considerado um substancial avanço, que permitiu a digitalização de grande parte dos projetos e forçou os desenhistas e projetistas a se adequarem a esta nova tecnologia. No entanto, este sistema continuava não sendo produtivo devido à grande similaridade com os procedimentos do processo manual. Com a chegada dos primeiros sistemas que permitiam a modelagem tridimensional de forma paramétrica e baseada em features, a forma de conceber um projeto mudou substancialmente. Mais uma vez, as empresas tiveram que investir recursos em treinamentos e vencer a natural resistência às modificações do modus operantis dos profissionais da área de projetos. A grande versatilidade dos modelos tridimensionais justifica toda a energia gasta na transição entre os dois sistemas (Foggiatto, et al., 2007) 3. O sistema CAD utilizado nesse trabalho é o Solid Edge do fabricante Siemens Automation & Drives antigo UGS. O Solid Edge é um sistema desenvolvido especialmente para a engenharia mecânica. Com este software é possível criar montagens com grande número de componentes, elementos normalizados baseados em cálculo de engenharia, e ainda simular movimentos de mecanismos verificando colisões e interferências (Santos, 2003) 4. CAE CAE (Computer Aided Engineering), ou Engenharia Auxiliada por Computador, é a aplicação de software na engenharia para analisar a robustez e o desempenho de componentes e conjuntos. Isto engloba a simulação, validação e otimização de produtos e ferramentas industriais. Em outras palavras, um sistema CAE tem a capacidade de simular um projeto sob uma variedade de condições, para verificar se, depois de pronto, ele efetivamente funcionará. A tecnologia CAE mudou radicalmente a forma como os projetistas avaliam o comportamento de seus produtos, uma vez que praticamente eliminou a necessidade da construção de protótipos, que consomem tempo e dinheiro. Com um software CAE, diferentes tipos de análises podem ser realizados, como estruturais, térmicas, dinâmicas e de fluidos. Através destas análises, uma grande quantidade de cálculos é alcançada em tempo reduzido, obtendo-se dados de tensão, deformação, velocidade, força, entre outros. O sistema CAE utilizado nesse trabalho é o ADAMS da MSC. O pacote MSC.ADAMS permite aos usuários produzirem protótipos virtuais, simulando o comportamento dos movimentos de sistemas mecânicos complexos e analisando variações de projeto até que o sistema ideal seja alcançado. INTEGRAÇÃO DOS SISTEMAS Para exportar o modelo geométrico criado nesse trabalho do Solid Edge para o ADAMS utilizou-se o formato Parasolid (formato de arquivo específico para tratar sólidos 3D e superfícies). O ADAMS trata o modelo importado do Solid Edge como um conjunto de várias partes ou estruturas geometricas possibilitando alterar cada parte individualmente e permitindo definir características diferentes para cada uma delas. Paro projeto do controlador do sistema utiliza-se o software MATLAB visto que o ADAMS apresenta limitações para a concepção de controladores mais robustos. O MATLAB é um software que apresenta muitas ferramentas para aplicação das mais variadas técnicas de controle e análise de sistemas lineares e não-lineares. A Figura 1 apresenta um diagrama de blocos do processo de integração entre o ADAMS e o MATLAB. Figura 1 Processo de integração entre ADAMS e MATLAB. O primeiro passo consiste na criação do modelo do sistema. Posteriormente definem-se as variáveis de entrada e saída da planta para que ela possa ser exportada para o MATLAB onde é criado o diagrama de blocos do sistema de controle. A última etapa é a simulação combinada do modelo de forma que o MATLAB seja o responsável por resolver as equações referentes ao processo de controle e o ADAMS as equações referentes aos movimentos do sistema mecânico. IV. MODELAGEM Modelagem, de forma geral, é a elaboração de um modelo, onde modelo é a representação de um sistema real ou imaginário usando uma linguagem, um meio, e segundo um ponto de vista. O aspecto mais importante de um modelo é a relação simplicidade versus fidelidade. Um modelo é a representação do conhecimento e a principal ferramenta para o estudo do comportamento de sistemas complexos. Modelar é o primeiro passo para a análise de um sistema de qualquer natureza e sob qualquer aspecto (Trivelato, 2003) 5. A modelagem é um processo complexo e, em vários campos, envolve a capacidade de dedução e inferência. Esse processo torna-se mais simples se forem conhecidas as leis que regem o sistema em questão, se for de fácil obtenção uma representação gráfica ou simbólica e se as incertezas entre as entradas, parâmetros e saídas puderem ser quantificadas. Portanto é possível definir modelo como: Uma representação física, matemática, lógica ou computa

3 cional qualquer de um sistema, processo, fenômeno ou entidade (Trivelato, 2003) 5. O Sistema Barra e Bola O famoso sistema barra e bola pode ser encontrado na maioria dos laboratórios de controle de universidades da área. Esse problema é geralmente comparado a problemas reais de controle como, por exemplo, a estabilidade horizontal de um avião durante a aterrissagem ou durante turbulências (Wang, 2007) 6. Existem dois graus de liberdade neste sistema. Um é a bola rolando para direita e para a esquerda sobre a barra e o outro é a barra rodando, geralmente em torno do seu eixo central. A Figura 2 apresenta um esquema simplificado do sistema em questão. Antes de iniciar a modelagem, algumas suposições são feitas: O eixo do motor e a barra estão rigidamente acoplados; Todos os corpos do sistema são rígidos; A esfera não desliza sobre a barra; Não há folga no motor ou na redução; Não há atrito estático tanto na esfera quanto no motor; A Figura 3 apresenta um esquema do sistema a ser modelado. Figura 2 Sistema barra e bola simplificado. Modelagem Matemática O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representa com precisão ou, pelo menos, razoavelmente bem a dinâmica do sistema. Um modelo matemático não é único para determinado sistema. Este pode ser representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter vários modelos matemáticos, dependendo da perspectiva a ser considerada (Ogata, 2003) 2. Deve-se ter em mente que construir modelos matemáticos adequados e fiéis é a parte mais importante da análise de sistemas de controle como um todo (Ogata, 2003) 2. A seguir será apresentada a modelagem matemática do sistema barra e bola realizada através do método de Lagrange, que consiste em uma forma compacta de se escrever as equações de movimento para um vasto range de sistemas mecânicos. Figura 3 Sistema barra e bola. Através do método Lagrangeano obtêm-se as duas equações diferenciais fundamentais do sistema barra e bola apresentado (1) As equações (1) e (2) podem ser resolvidas em termos da aceleração da bola e da aceleração angular da barra, dessa forma, determinam-se as equações (3) e (4). 5 cos5 sin 2 cos sin 5 sin2 sin5 cos5 sin 5 sin (3) (2) sin5 cos 2 sin sin2 cos (4)

4 Linearizando o sistema em torno do ponto de equilíbrio obtêm-se as seguintes equações no espaço de estados: Onde Para gerar a planta (modelada matematicamente) do sistema barra e bola no MATLAB/Simulink utiliza-se o método de simulação de sistemas não lineares, apresentado em diagrama de blocos na Figura 4, que consiste em escrever a dinâmica não linear do sistema através de uma function do MATLAB. (5) (6) Para realizar a modelagem do sistema barra e bola inicia-se com a criação do modelo em CAD (Solid Edge) apresentado na Figura 5. Figura 5 Modelo geométrico. Através da extensão Parasolid o modelo geométrico é exportado para o ADAMS onde são definidos os materiais de cada parte, as relações entre elas e as forças atuantes no sistema. São definidas também as variáveis de entrada e de saída do modelo. Para o sistema modelado neste trabalho definem-se como variáveis de entrada o torque aplicado ao eixo da barra e a força de distúrbio aplicada na bola e como variáveis de saída a distância, paralela a barra, entre a bola e o centro da barra e o ângulo da barra com relação á horizontal. Ao final do procedimento o ADAMS cria um arquivo compatível com o MATLAB. A partir desse arquivo pode-se gerar um bloco no Simulink correspondente a planta do sistema com as entradas e saídas definidas no ADAMS. V. CONTROLE Figura 4 Diagrama de blocos da planta do sistema. Modelagem Computacional Modelo Computacional é a tradução dos modelos matemáticos ou lógicos em/para a linguagem computacional (Trivelato, 2003) 5. As linguagens e tecnologias (software) disponíveis nos dias de hoje permitem uma tradução automática e praticamente transparente aos olhos dos usuários. Entretanto, em alguns casos, por exemplo, quando se utiliza integradores numéricos, há diferenças entre o modelo matemático ou lógico e o modelo computacional, e estas diferenças podem tornar-se inaceitáveis. Servossistema é um sistema de controle que realiza correções baseado em sinais de realimentação. Um sistema que consiste de vários dispositivos que continuamente monitora as informações atuais através de sensores e compara com a saída desejada, fazendo as correções necessárias para minimizar a diferença entre os valores. Neste trabalho é desenvolvido um servossistema multivariável utilizando o método da alocação de pólos, que consiste em alocar todos os pólos de malha fechada do sistema nas posições desejadas através de uma realimentação de estados (Ogata, 2003) 2. Se as variáveis de estado não estão disponíveis para a realimentação, pode-se projetar um observador de estados que possibilita estimar os estados a partir da saída do sistema (Ogata, 2003) 2. A Figura 6 apresenta um esquema do servossistema em questão

5 O programa de controle é feito em linguagem C através do software mikroc do fabricante Mikroeletrônika. A Figura 8 apresenta um diagrama de blocos simplificado do programa criado. Figura 6 - Servossistema. Para determinação dos ganhos de realimentação de estados e dos ganhos do observador de estados utiliza-se a função place do MATLAB. Faz-se necessário a introdução de um integrador em série ao sistema de forma a anular o erro estacionário. Além disso, é importante ressaltar que o controlador é projetado para um modelo linearizado da planta, entretanto, ele é aplicado à planta nãolinear. A Figura 7 apresenta o diagrama de blocos criado no MATLAB/Simulink. Figura 7 Diagrama de blocos criado no MATLAB/Simulink. VI. SISTEMA FÍSICO Figura 8 Diagrama de blocos do programa criado em linguagem C. Mecânica O modelo físico criado do sistema barra e bola é o mais fiel possível dos modelos matemático e computacional vistos anteriormente. Ele possui um motor de corrente contínua responsável por fornecer o torque ao sistema, dois sensores ultra sônicos um em cada extremidade da barra que monitoram a posição da bola e um encoder incremental, acoplado ao eixo do motor, que fornece o ângulo da barra com relação à horizontal. A maior parte da estrutura é feita de madeira, com exceção do eixo da barra, algumas chapas de alumínio para fixação dos sensores e um tubo de PVC usinado para manter o curso da bola sempre paralelo a barra. Foi utilizada uma bola de bilhar por ser uma esfera praticamente perfeita. Eletrônica Para realizar a aquisição dos sinais dos sensores, controlar o atuador e aplicar o compensador projetado é criada uma placa de circuito impresso com drivers, filtros, conversores e um microcontrolador tipo dspic da família 30F da microchip. Este dispositivo apresenta alta capacidade e velocidade de processamento além de rotinas específicas para tratamento de sinais. VII. RESULTADOS E DISCUSSÕES O sistema é simulado para um sinal de referência degrau com amplitude variável. A esfera utilizada tem massa de 100g e o comprimento da barra utilizado é de 0.8m, portanto, o sinal de referência escolhido está contido entre -0.4m e +0.4m. Os pólos de malha fechada são escolhidos de tal forma que o sistema apresente uma resposta superamortecida a entrada degrau, ou seja, sem sobressinal, caso contrário a esfera pode extrapolar os limites da barra para referências muito próximas a eles, o que é totalmente indesejado. Como já mencionado foi necessário a introdução de um integrador em série ao sistema de forma a anular o erro estacionário. As Figura 9 e Figura 10 apresentam gráficos do comportamento do modelo matemático (curva vermelha) e do modelo computacional (curva verde) para o controle sem e com integrador em série com o sistema, respectivamente

6 Figura 9 - Gráfico da posição da esfera sem integrador em série com o sistema. Figura 10 - Gráfico da posição da esfera com integrador em série com o sistema. Analisando o gráfico da Figura 9, pode-se observar que a falta de um integrador na planta faz com que o sistema, apesar de estabilizado, apresente valores de erro estacionário bastante significativos, ultrapassando 0.3m. Além disso, pode-se observar grande discrepância entre as saídas do modelo computacional e do modelo matemático. Tal comportamento pode ser explicado pelo fato de que o modelo computacional inclui mais variáveis no sistema, como por exemplo, a esfera deslizando sobre a barra. Já o modelo matemático presume que a esfera possui apenas movimento de rotação sobre a barra. Analisando o gráfico da Figura 10, é possível perceber que a inserção do integrador em série com a planta aumentou consideravelmente a eficiência do controle aplicado. O erro estacionário foi quase totalmente anulado, apresentando valores abaixo de 0.02m no modelo computacional e valores praticamente nulos no modelo matemático. Ao mesmo tempo, a discrepância entre as saídas dos modelos foi extremamente reduzida, já que o integrador força a saída do sistema a seguir o valor de referência aplicado, encobrindo assim as diferenças entre os modelos. Também pode ser observado no gráfico da Figura 10 que ambos os modelos apresentaram resposta superamortecida para referências próximas aos extremos da barra (15s e 30s). Dessa forma, a esfera atinge o ponto desejado sem ultrapassá-lo, caso contrário, esta poderia perder o contato com a barra e cair. Em ambos os casos, computacional e matemático, o valor do módulo do ângulo da barra não ultrapassou 6º. Comportamento este esperado uma vez que o controlador foi baseado em um modelo linearizado da planta, o qual, para valores de ângulo entre -5 e 5º, se torna muito próximo ao modelo não-linear (utilizada na simulação). Ou seja, para valores de ângulo superiores o controlador linear projetado não apresentaria a mesma eficácia. Para o modelo físico os resultados foram muito próximos aos descritos anteriormente. O sistema apresentou-se estável e satisfatório à rejeição de leves distúrbios. Na posição de referência a bola teve um comportamento levemente oscilatório devido à precisão dos sensores e atuadores e algumas imperfeições e folgas mecânicas na redução. A Figura 11 e Figura 12 apresentam o modelo físico criado do sistema Barra e Bola. Figura 11 Modelo físico (a)

7 6. Wang, W Control of a Ball and Beam System. The University of Adelaide Figura 12 Modelo físico (b). VIII. CONCLUSÕES Considerando que os resultados obtidos a partir do modelo matemático foram bem próximos aos fornecidos pelo modelo computacional (CAD e CAE) e considerando também que o sistema apresentou-se estável e seguiu a referência para o controle aplicado nos modelos matemático, computacional e físico, pode-se afirmar que o projeto foi bem sucedido. A demonstração da integração dos sistemas CAD e CAE foi apresentada com êxito através do controle do sistema Barra e Bola, mostrando como o engenheiro pode usufruir de ferramentas computacionais para auxiliá-lo no processo de desenvolvimento de um produto ou projeto em geral. Espera-se que esse trabalho venha a dar subsídios a outros projetos similares. Para continuação desse projeto ficam como sugestões três pontos principais: considerar a barra flexível, aplicar métodos de controle não-linear e transformar a barra em um plano de forma que a bola possa se deslocar em todas as direções. IX. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Foggiatto, J. A., Volpato, N. e Bontorin, A. C. B Recomendações para Modelagem em Sistemas CAD-3D. 4º Congresso Brasileiro de Engenharia de Fabricação Motta, G. D A Engenharia Virtual é Realidade Ogata, K Engenharia de Controle Moderno. São Paulo : Prentice Hall, Santos, A. G., Souto, A. R. P Introdução ao Uso do Solid Edge. Escola de Engenharia de São Carlos. São Carlos : s.n., Trivelato, G. C Técnicas de Modelagem e Simulação de Sistemas. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. São José dos Campos : s.n.,