Resolução do 2 o EQ UERJ 2016/17

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1 Resolução do 2 o EQ UERJ 2016/17 Seja A a matriz dada no problema. Logo, deseja-se det A = 0. Então, (3 + t) (t 4) ( 4) 3 = 0 t 2 t = 0 t(t 1) = 0 t = 0 t = 1 Logo, o maior valor real de t para que o determinante dessa matriz seja igual a zero é 1. Portanto, a resposta é a letra A.

2 Seja x a quantidade, em gramas, de ouro puro a ser acrescentado ao anel. Logo, o anel passará a ter (10 + x) gramas de ouro puro e 5 gramas de liga metálica. Como a proporção do ouro 18 quilates é 3:1, temos que: 10 + x = x = 15 x = 5 Logo, a quantidade, em gramas, de ouro puro a ser acrescentado ao anel é igual a 5. Portanto, a resposta é a letra B.

3 No tetraedro regular, todas as faces são triângulos equiláteros congruentes. Como M é ponto médio do lado BC dos triângulos ABC e BCD, temos que os segmentos AM e DM são alturas respectivas ao lado BC. Como as arestas deste tetraedro medem 6 cm, podemos afirmar que: DM = AM = = 3 3 cm Seja θ a medida do ângulo A ˆMD. Então, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo AMD, temos que: (AD) 2 = (AM) 2 + (DM) 2 2 AM DM cos θ 6 2 = (3 3) 2 + (3 3) cos θ 36 = cos θ 54 cos θ = cos θ = cos θ = 1 3 Portanto, a resposta é a letra B.

4 A matriz foi construída colocando-se em ordem crescente os números naturais não nulos. Analisando a matriz, podemos observar que: em cada linha, há nove elementos; todos os elementos da coluna 1 deixam resto 1 quando divididos por 9; todos os elementos da coluna 2 deixam resto 2 quando divididos por 9; todos os elementos da coluna 3 deixam resto 3 quando divididos por 9, e assim por diante; todos os elementos da coluna 9 deixam resto 0 quando divididos por 9; Por exemplo, 32 = e 32 = a 4,5, 25 = e 25 = a 3,7, 18 = e 18 = a 2,9. Ou seja, Se o elemento n = 9 q + 0, então n pertence à linha q e coluna 9. Se o elemento n = 9 q + r, r 0, então n pertence à linha (q + 1) e coluna r. Temos que: = Logo, pertence a 2013 a linha e 1 a coluna. Uma vez que pertence à última linha, conclui-se que a matriz possui 2013 linhas. Portanto, a resposta é a letra C.

5 Observando o sólido ABCDEF, podemos afirmar que ele é um prisma triangular de bases CDE e ABF, onde AB = CD = 2 cm, a altura respectivas a estes lados é igual a 4 cm e a altura deste prisma é igual a 2 cm. Logo, seu volume é igual a = 8 cm3 Portanto, a resposta é a letra C.

6 O ponto B pertence ao eixo das ordenadas, então sua abscissa é igual a 0. Mas, B também pertence ao gráfico da função quadrática. Então, sua ordenada é igual a = 2. Logo, como A(0, 0) e B(0, 2), temos que AB = 2 D(2, 0) S(ABCD) = 2 2 = 4. Os pontos P e D são colineares. Então, a abscissa do ponto P é igual a 2. Logo, sua ordenada é igual a = 6. Sendo assim, temos que DP = 6 S(DP NM) = 6 2 = 36. Com isso, S(ABCP NM) = S(ABCD) + S(DP NM) = = 40. Portanto, a resposta é a letra D.

7 Consideremos que seja x o algarismo escolhido para ser multiplicado por 5. Então, seguindo a sequência de operações dada no problema, temos que: (5 x + 3) 2 + (y + 1) = 73 10x y = 72 10x + y = 66 10x + y = x + y = Logo, o número no cartão selecionado pelo aluno é igual a 66. Caso considerássemos y o algarismo escolhido para ser multiplicado por 5, encontraríamos o mesmo resultado devido à simetria do problema. Então, a soma dos algarismos deste número é igual a = 12. Portanto, a resposta é a letra D.

8 O espaço amostral possui x = x + 5 elementos. Seja B 1 a bola retirada no primeiro momento e B 2 a bola retirada no segundo. Seja A o evento em que as duas bolas retiradas são da mesma cor. Então, P(A) = P(B 1 = branca B 2 = branca) + P(B 1 = preta B 2 = preta) + P(B 1 = vermelha B 2 = vermelha) 1 2 = 1 x x x x x x + 5 x x x2 = 2 (x + 5) 2 x x + 25 = x 2 x 2 10x + 9 = 0 x = 1 x = 9 Portanto, a resposta é a letra A.