Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas 1. Rectas Paralelas Se as rectas são paralelas os vectores directores são colineares ou seja:

Transcrição

1 Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas 1. Rectas Paralelas ( ( o λ( ( ( ( r x, y, z = x, y, z +,,, λ R s x, y, z = x, y, z + k u, u, u, k R r (,, s u u u u (,, Se as rectas são paralelas os ectores directores são colineares = ku ou seja: 1 2 = = u u u 3 1 ( ( ( ( ( ( r x, y, z = 1,,2 + λ 3,2, 1, λ R s x, y, z = 1,, + k 6, 4,2, k R São paralelas porque os ectores ( 3, 2, 1 e u( 6, 4, 2 são colineares u = 2 = =

2 2 ( ( ( r x, y, z = 1,,2 + λ 3,2, 1, λ R x 3 y+ 2 z 3 s = = São paralelas porque os ectores ( 3, 2, 1 e u( 6, 4, 2 são colineares u = 2 = = Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas 2. Rectas Perpendiculares ( ( o λ( (,, (,, (,,, r x, y, z = x, y, z +,,, λ R s x y z = x y z + k u u u k R r (,, u u u u (,, s Se as rectas são perpendiculares os ectores directores são perpendiculares u = ou seja: u 1 1+ u 2 2+ u 3 3= 2

3 1 ( ( ( (,, ( 1,, ( 1,,3, r x, y, z = 1,,2 + λ 3,2, 1, λ R s x y z = + k k R São perpendiculares porque os ectores ( 3, 2, 1 e u( 1,,3 são perpendiculares u = = ( 2 ( ( ( r x, y, z = 1,,2 + λ 3,2, 1, λ R x 3 z 3 = s 2 6 y = 3 São perpendiculares porque os ectores ( 3, 2, 1 e u( 2,, 6 são perpendiculares u = = ( 3

4 Paralelismo e Perpendicularidade de Planos 1. Planos Paralelos ax + by + cz + d = a x + b y + c z + d = ( ab,, c u ( a Se os planos são paralelos os ectores perpendiculares aos planos são colineares = ou seja: ku a b c = = a b c x 3y+ 2z 7= 2x+ 6y 4z+ 5= São paralelos porque os ectores ( 1, 3, 2 e u( 2, 6, 4 são colineares u = 2 = =

5 Paralelismo e Perpendicularidade de Planos 2. Planos Perpendiculares ax + by + cz + d = a x + b y + c z + d = u ( a ( ab,, c Se os planos são perpendiculares os ectores perpendiculares aos planos são perpendiculares entre si u=. ou seja: aa + bb + cc = x 3y+ 2z 7= 2x 2y z+ 5= Os planos são perpendiculares porque os ectores ( 1, 3, 2 e u( 2, 2, 1 são perpendiculares u = 2 ( 2 + ( 3 ( ( 1 = u = = 5

6 Perpendicularidade de Rectas e Planos r ax + by + cz + d = x x y y z z = = (,, u (,, abc Se a recta é perpendicular ao plano, é paralela ao ector perpendicular ao plano // u ou = ku ou seja: r = = a b c x 3y+ 2z 7= ( ( ( r x, y, z = 1,,2 + λ 2, 6,4, λ R A recta é perpendicular ao plano porque os ectores ( 1, 3, 2 e u( 2, 6, 4 são colineares (ou paralelos u = 2 = =

7 Paralelismo de Rectas e Planos ax + by + cz + d = x x1 y y1 z z1 r = = (,, u (,, abc Se a recta é paralela ao plano, é perpendicular ao ector perpendicular ao plano u ou u = ou seja: aa + bb + cc = Escola Jorge Secundária Freitas Alberto Sampaio Jorge Manuel Carneiro de Freitas Março 26 x 3y+ 2z 7= A recta é paralela ao plano porque os ectores ( ( ( r x, y, z = 1,,2 + λ 2,2,2, λ R ( 1, 3, 2 e u( 2, 2, 2 são perpendiculares u = 1 2+ ( = u = = 7

8 Intersecção de planos Posição relatia de 3 planos ax + by + cz + d = ax + by + cz + d = ax + by + cz + d = w ( a ( ab,, c u (,, abc 8

9 A intersecção de três planos obtém-se resolendo o sistema: ax + by + cz + d = a x + b y + c z + d = a x + b y + c z + d = Sistema possíel e determinado. w ( a A, u e w não são colineares A solução é (x,y,y,z (coordenadas do ponto A u ( a ( a, b, c 9

10 Os 3 planos intersectam-se num ponto. O sistema é possíel e determinado. w ( a A solução é (x,y,y,z (coordenadas do ponto A A ( ab,, c u ( a, b, c, u e w não são colineares x+ 2y z+ 6= 3x+ y+ z = 4 x 3y 2z = 1 Os três planos intersectam-se num ponto. O sistema tem solução x = 1 y = 2 z = 3 Resoler o sistema: na calculadora método da substituição método da redução 1

11 Os três planos intersectam-se segundo uma recta. O sistema é possíel e indeterminado. As soluções são todos os pontos da recta r, u ( a ( a, b, c w ( a u e r w não são colineares x+ 2y 3z = 6 2x y z = 3 x + y 2z = 3 Os três planos intersectam-se numa recta. O sistema é indeterminado z = x 3 3 x y + x y z z = + = = = z = y

12 Dois dos planos são coincidentes. O sistema é possíel e indeterminado. As soluções são as coordenadas de cada um dos pontos da recta r w ( a ( a, b, c u ( a u // w r x+ 2y 3z = 6 2x+ 4y 6z = 12 x + y 2z = 3 Dois dos planos são coincidentes Os três planos intersectam-se numa recta. O sistema é indeterminado z = x 3 3 x y + x y z z = + = = = z = y

13 Os 3 planos são coincidentes O sistema é indeterminado Qualquer ponto destes planos é solução do sistema. ( ab,, c u ( a w ( a // u// w x+ 2y 3z = 6 2x+ 4y 6z = 12 x 2y + 3z = 6 Os três planos são coincidentes Qualquer ponto de um dos planos pertence também aos outros planos O sistema é indeterminado 13

14 // u// w Os 3 planos são estritamente paralelos Os planos não se intersectam O sistema é impossíel ( ab,, c w ( a u ( a x+ 2y 3z = 6 x + 2y 3z = x + 2y 3z = 5 Os três planos estritamente paralelos Os três planos nunca se interceptam O sistema é impossíel 14

15 Dois dos planos são estritamente paralelos Os 3 planos não se intersectam w ( a ( a, b, c // u u ( a O sistema é impossíel x+ 2y 3z = 6 x 2y + 3z = 2x + y 3z = 2 Dois dos planos são estritamente paralelos O terceiro plano intersecta-os segundo rectas paralelas entre si x+ y = 8 y = x 8 x y = 2 y = x 2 O sistema é impossíel 15

16 Os 3 planos intersectam-se 2 a 2 segundo rectas estritamente paralelas O sistema é impossíel w ( a, u e w não são colineares u ( a ( ab,, c x+ y+ z = 6 2x y = 1 3x+ z = 2 Os três planos não são paralelos Os planos interceptam-se dois a dois segundo rectas paralelas 3y+ 2z = 11 3y+ 2z = 16 3y+ 2z = 7 O sistema é impossíel 16

17 F i m 17