AULA 01: LÓGICA DE PROPOSIÇÕES

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2 AULA 01: LÓGICA DE PROPOSIÇÕES SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria Resolução de questões Lista das questões apresentadas na aula Gabarito 106 Olá! Hoje começamos o estudo do seguinte assunto: Proposições simples e compostas; Álgebra proposicional; Implicação lógica; Equivalência lógica; Propriedades Comutativa, Distributiva e Leis de De Morgan; Tautologia, contradição e contingência; Sentenças abertas; Proposições categóricas; Costumo chamar estes temas simplesmente de lógica proposicional, ou lógica de proposições. Dedicaremos a próxima aula para reforçar o seu entendimento sobre os assuntos que iniciaremos hoje. Lembre-se de seguir meu Instagram, onde posto dicas diárias para complementar sua preparação: (@ProfArthurLima) Prof. Arthur Lima 1

3 1. Teoria 1.1 Introdução Para começar este assunto, você precisa saber que uma proposição é uma oração declarativa que admita um valor lógico (V verdadeiro ou F falso). Ex.: A bola é azul. Veja que não existe meio termo: ou a bola é realmente de cor azul, tornando a proposição verdadeira, ou a bola é de outra cor, sendo a proposição falsa. Observe que nem toda frase pode ser considerada uma proposição. Por exemplo, a exclamação Bom dia! não pode ser classificada como verdadeira ou falsa. O mesmo ocorre com as frases Qual o seu nome? ou Vá dormir, que também não têm um valor lógico (V ou F). No estudo de lógica de argumentação, usamos letras (principalmente p, q e r) para simbolizar uma proposição. É importante também conhecer alguns princípios relativos às proposições. O princípio da não-contradição diz que uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, Verdadeira e Falsa. Ou uma coisa ou outra. Já o princípio da exclusão do terceiro termo diz que não há um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. Portanto, se temos uma proposição p (exemplo: 2 mais 2 não é igual a 7 ), sabemos que: - se essa frase é verdadeira, então ela não pode ser falsa, e vice-versa (não-contradição), e - não é possível que essa frase seja meio verdadeira ou meio falsa, ela deve ser somente Verdadeira ou somente Falsa (exclusão do terceiro termo). Uma observação importante: não se preocupe tanto com o conteúdo da proposição. Quem nos dirá se a proposição é verdadeira ou falsa é o enunciado do exercício. Ao resolver exercícios você verá que, a princípio, consideramos todas as proposições fornecidas como sendo verdadeiras, a menos que o exercício diga o contrário. Se um exercício disser que a proposição = 7 é Verdadeira, você deve aceitar isso, ainda que saiba que o conteúdo dela não é realmente correto. Isto porque estamos trabalhando com Lógica formal. Vejamos duas proposições exemplificativas: Prof. Arthur Lima 2

4 p: Chove amanhã. q: Eu vou à escola. Note que, de fato, p e q são duas proposições, pois cada uma delas pode ser Verdadeira ou Falsa. Duas ou mais proposições podem ser combinadas, criando proposições compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. Vamos conhecê-los estudando as principais formas de proposições compostas. Para isso, usaremos como exemplo as duas proposições que já vimos acima. Vejamos como podemos combiná-las: a) Conjunção ( e ): trata-se de uma combinação de proposições usando o operador lógico e, ou seja, do tipo p e q. Por exemplo: Chove amanhã e eu vou à escola. Utilizamos o símbolo ^ para representar este operador. Ou seja, ao invés de escrever p e q, podemos escrever pq. Veja que, ao dizer que Chove amanhã e eu vou à escola, estou afirmando que as duas coisas acontecem (chover e ir à escola). Em outras palavras, esta proposição composta só pode ser Verdadeira se as duas proposições simples que a compõem forem verdadeiras, isto é, acontecerem. Se chover e, mesmo assim, eu não for à escola, significa que a conjunção acima é Falsa. Da mesma forma, se não chover e mesmo assim eu for à escola, a expressão acima também é Falsa. Portanto, para analisar se a proposição composta é Verdadeira ou Falsa, devemos olhar cada uma das proposições que a compõem. Já vimos que se p acontece (p é Verdadeira) e q acontece (q é Verdadeira), a expressão p e q é Verdadeira. Esta é a primeira linha da tabela abaixo. Já se p acontece (V), isto é, se chove, e q não acontece (F), ou seja, eu não vou à escola, a expressão inteira torna-se falsa. Isto também ocorre se p não acontece (F) e q acontece (V). Estas são as duas linhas seguintes da tabela abaixo. Finalmente, se nem p nem q acontecem (ambas são Falsas), a expressão inteira também será falsa. Veja esta tabela: Prof. Arthur Lima 3

5 Valor lógico de p ( Chove amanhã ) Valor lógico de q ( Eu vou à escola ) Valor lógico de p e q (p q) V V V V F F F V F F F F A tabela acima é chamada de tabela-verdade da proposição combinada p e q. Nesta tabela podemos visualizar que a única forma de tornar a proposição verdadeira ocorre quando tanto p quanto q são verdadeiras. E que, para desmenti-la (tornar toda a proposição falsa), basta provar que pelo menos uma das proposições que a compõem é falsa. b) Disjunção ( ou ): esta é uma combinação usando o operador ou, isto é, p ou q (também podemos escrever pq ). Ex.: Chove amanhã ou eu vou à escola. Veja que, ao dizer esta frase, estou afirmando que pelo menos uma das coisas vai acontecer: chover amanhã ou eu ir à escola. Se uma delas ocorrer, já estou dizendo a verdade, independentemente da outra ocorrer ou não. Agora, se nenhuma delas acontecer (não chover e, além disso, eu não for à escola), a minha frase estará falsa. A tabela abaixo resume estas possibilidades: Valor lógico de p ( Chove amanhã ) Valor lógico de q ( Eu vou à escola ) Valor lógico de p ou q (p q) V V V V F V F V V F F F Prof. Arthur Lima 4

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7 d) Condicional (implicação): uma condicional é uma combinação do tipo se p, então q (simbolizada por p q ). Usando o nosso exemplo, podemos montar a proposição composta Se chove amanhã, eu vou à escola. Esta é a proposição composta mais comum em provas de concurso. Chamamos este caso de Condicional porque temos uma condição ( se chove amanhã ) que, caso venha a ocorrer, faz com que automaticamente a sua consequência ( eu vou à escola ) tenha que acontecer. Isto é, se p for Verdadeira, isto obriga q a ser também Verdadeira. Se a condição p ( se chove amanhã ) não ocorre (é Falsa), q pode ocorrer (V) ou não (F), e ainda assim a frase é Verdadeira. Porém, se a condição ocorre (p é V) e o resultado não ocorre (q é F), estamos diante de uma proposição composta que é Falsa como um todo. Tudo o que dissemos acima leva a esta tabela: Valor lógico de p ( Chove amanhã ) Valor lógico de q ( Eu vou à escola ) Valor lógico de Se p, então q (p q) V V V V F F F V V F F V e) Bicondicional ( se e somente se ): uma bicondicional é uma combinação do tipo p se e somente se q (simbolizada por p q). Ex.: Chove amanhã se e somente se eu vou à escola. Quando alguém nos diz a frase acima, ela quer dizer que, necessariamente, as duas coisas acontecem juntas (ou então nenhuma delas acontece). Assim, sabendo que amanhã chove, já sabemos que a pessoa vai à escola. Da mesma forma, sabendo que a pessoa foi à escola, então sabemos que choveu. Por outro lado, sabendo que não choveu, sabemos automaticamente que a pessoa não foi à escola. Prof. Arthur Lima 6

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9 Temos no enunciado uma condicional p q onde: p = todos os processos forem analisados até às 11 horas q = o plantão será finalizado nesse horário Ocorre que o plantão só foi finalizado às 18 horas, ou seja, q é F. Para manter a condicional p q verdadeira, é preciso que p seja F também. Afinal, olhando a tabela-verdade da condicional, quando q é F não podemos deixar que p seja V, pois neste caso a condicional seria falsa: P Q p q V V V V F F F V V F F V Assim, como p é F, então pelo menos um processo não foi analisado até as 11 horas. Resposta: E IMPORTANTE: Saiba que e, ou, ou,... ou..., se..., então..., se e somente se são as formas básicas dos conectivos conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. Entretanto, várias questões exploram formas alternativas de se expressar cada uma dessas proposições compostas. Ao longo das questões que resolvermos nessa e na próxima aula, você aprenderá a lidar com estas alternativas. Veja os casos que considero mais importantes: - Conectivo mas com ideia de conjunção ( e ). Ex.: Chove, mas vou à escola. Observe que quem diz esta frase está afirmando que duas coisas acontecem: 1 = chove, e 2 = vou à escola. No estudo da lógica, isto é o mesmo que dizer Chove e vou à escola. Portanto, o mas está sendo usado para formar uma conjunção. Prof. Arthur Lima 8

10 - Conectivo ou precedido por vírgula, com ideia de ou exclusivo. Ex.: Chove, ou vou à escola. Aqui a pausa criada pela vírgula nos permite depreender que apenas uma coisa ocorre: ou chove, ou vou à escola. Assim, temos uma forma alternativa de representar o ou..., ou... que estudamos na disjunção exclusiva. - Condicional utilizando Quando... ou Toda vez que.... Exemplos: 1) Quando chove, vou à escola. 2) Toda vez que chove vou à escola. Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de apresentar uma condição ( chove ) que leva a uma consequência ( vou à escola ). Portanto, estas são formas alternativas ao clássico se..., então... da condicional. - Uso do...ou..., mas não ambos com ideia de disjunção exclusiva. Ex.: Jogo bola ou corro, mas não ambos. Repare que a primeira parte dessa frase é uma disjunção comum (inclusiva), mas a expressão mas não ambos exclui o caso onde jogo bola é V e corro também é V. Isto é, passamos a ter uma disjunção exclusiva. Alguns autores entendem que só temos disjunção exclusiva se a expressão mas não ambos estiver presente (ainda que tenhamos ou..., ou... ), mas isso não pode ser considerado uma verdade absoluta. Trabalharemos esse problema ao longo das questões. Sobre proposições compostas, veja uma questão introdutória: 2. FCC ICMS/SP 2006) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é: a) condicional b) bicondicional c) disjunção inclusiva d) conjunção Prof. Arthur Lima 9

11 e) disjunção exclusiva Vimos logo acima que o mas pode ser utilizado para representar o conectivo conjunção ( e ). Do ponto de vista lógico, a frase Paula estuda e não passa no concurso tem o mesmo valor da frase do enunciado. Isto porque o autor da frase quer dizer, basicamente, que duas coisas são verdadeiras: - Paula estuda - Paula não passa no concurso Portanto, temos uma conjunção (letra D). Ao estudar Português, você verá que o mas tem função adversativa. Isto é, o autor da frase não quer dizer apenas que as duas coisas são verdadeiras. Ele usa o mas para ressaltar o fato de que essas coisas são, em tese, opostas entre si (espera-se que quem estuda seja aprovado). Por mais importante que seja este detalhe semântico naquela disciplina, aqui na Lógica Proposicional devemos tratar estas proposições como sendo equivalentes. Resposta: D 1.2 Negação de proposições simples Representamos a negação de uma proposição simples p pelo p símbolo ~p (leia não-p).também podemos usar a notação, que é menos usual. Sabemos que o valor lógico de p e ~p são opostos, isto é, se p é uma proposição verdadeira, ~p será falsa, e vice-versa. Quando temos uma proposição simples (por ex.: Chove agora, Todos os nordestinos são fortes, Algum brasileiro é mineiro ), podemos negar essa proposição simplesmente inserindo Não é verdade que... em seu início. Veja: - Não é verdade que chove agora - Não é verdade que todos os nordestinos são fortes - Não é verdade que algum brasileiro é mineiro Prof. Arthur Lima 10

12 Entretanto, na maioria dos exercícios serão solicitadas outras formas de negar uma proposição. Para descobrir a negação, basta você se perguntar: o que é o MÍNIMO que eu precisaria fazer para provar que esta frase é mentira? Se você for capaz de desmenti-la, você será capaz de negá-la. Se João nos disse que Chove agora, bastaria confirmar que não está chovendo agora para desmenti-lo. Portanto, a negação seria simplesmente Não chove agora. Entretanto, caso João nos diga que Todos os nordestinos são fortes, bastaria encontrarmos um único nordestino que não fosse forte para desmenti-lo. Portanto, a negação desta afirmação pode ser, entre outras possibilidades: - Pelo menos um nordestino não é forte - Algum nordestino não é forte - Existe nordestino que não é forte Já se João nos dissesse que Algum nordestino é forte, basta que um único nordestino seja realmente forte para que a frase dele seja verdadeira. Portanto, aqui é mais difícil desmenti-lo, pois precisaríamos analisar todos os nordestinos e mostrar que nenhum deles é forte. Assim, a negação seria, entre outras possibilidades: - Nenhum nordestino é forte - Não existe nordestino forte A tabela a seguir resume as principais formas de negação de proposições simples. Veja que, assim como você pode usar as da coluna da direita para negar frases com as expressões da coluna da esquerda, você também pode fazer o contrário. Prof. Arthur Lima 11

13 Proposição p Meu gato é preto Todos gatos são pretos Nenhum gato é preto Proposição ~p Meu gato não é preto Algum/pelo menos um/existe gato (que) não é preto Algum/pelo menos um/existe gato (que) é preto Note ainda que ~(~p) = p, isto é, a negação da negação de p é a própria proposição p. Isto é, negar duas vezes é igual a falar a verdade. Ex.: Não é verdade que meu gato não é preto esta frase é equivalente a Meu gato é preto. Veja abaixo uma questão inicial sobre negação de proposições simples. 3. FCC Banco do Brasil 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete: Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo Olhando a manchete publicada pelo jornal, bastaria que um leitor constatasse que em pelo menos uma agência do BB não há déficit e ele já teria argumento suficiente para desmentir o jornal, afinal o jornal tinha dito que todas as agências possuem déficit. Uma forma desse leitor expressar-se seria dizendo: Prof. Arthur Lima 12

14 Pelo menos uma agência do BB não tem déficit de funcionários. Uma outra forma de dizer esta mesma frase seria: Alguma agência do BB não tem déficit de funcionários. Portanto, essa foi a frase que o jornal precisou usar para a retratação (negação) da anterior. Resposta: C 1.3 Negação de proposições compostas e Leis de De Morgan Quando temos alguma das proposições compostas (conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional ou bicondicional), podemos utilizar o mesmo truque para obter a sua negação: buscar uma forma de desmentir quem estivesse falando aquela frase. Vejamos alguns exemplos: a) Conjunção: Chove hoje e vou à praia. Se João nos diz essa frase, ele está afirmando que as duas coisas devem ocorrer (se tiver dúvida, retorne à tabela-verdade da conjunção). Isto é, para desmenti-lo, bastaria provar que pelo menos uma delas não ocorre. Isto é, a primeira coisa não ocorre ou a segunda coisa não ocorre (ou mesmo as duas não ocorrem). Veja que para isso podemos usar uma disjunção, negando as duas proposições simples como aprendemos no item anterior: Não chove hoje ou não vou à praia. Da mesma forma, se João tivesse dito Todo nordestino é forte e nenhum gato é preto, poderíamos negar utilizando uma disjunção, negando as duas proposições simples: Algum nordestino não é forte ou algum gato é preto. Aqui aparece a primeira lei de De Morgan: a negação de uma conjunção entre duas proposições é igual à disjunção da negação de cada proposição. Ou seja, a negação de p ^ q é dada por ~p v ~q, ou ainda: ~(p ^ q) ~p v ~q Prof. Arthur Lima 13

15 Obs.: nesse caso, não confunda o símbolo RACIOCÍNIO LÓGICO, ANALÍTICO E QUANTITATIVO P/ IGP-RS com o da bicondicional. Aqui, o símbolo significa apenas que o que vem antes dele pode ser substituído pelo que vem do outro lado. b) Disjunção: Chove hoje ou vou à praia. Essa afirmação é verdadeira se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira. Portanto, para desmentir quem a disse, precisamos provar que as duas coisas não acontecem, isto é, as duas proposições são falsas. Assim, a negação seria uma conjunção: Não chove hoje e não vou à praia. Já a negação de Todo nordestino é forte ou nenhum gato é preto seria Algum nordestino não é forte e algum gato é preto. Aqui aparece a segunda lei de De Morgan: a negação de uma disjunção entre duas proposições é igual à conjunção da negação de cada proposição. Ou seja, a negação de p v q é dada por ~p ^ ~q, ou ainda: ~(p v q) ~p ^ ~q c) Disjunção exclusiva: Ou chove hoje ou vou à praia. Recorrendo à tabela-verdade, você verá que a disjunção exclusiva só é verdadeira se uma, e apenas uma das proposições é verdadeira, sendo a outra falsa. Assim, se mostrássemos que ambas são verdadeiras, ou que ambas são falsas, estaríamos desmentindo o autor da frase. Para isso, podemos usar uma bicondicional: Chove hoje se e somente se eu vou à praia. Veja que esta frase indica que ou acontecem as duas coisas (chover e ir à praia) ou não acontece nenhuma delas. d) Condicional: Se chove hoje, então vou à praia. Lembra-se que a condicional só é falsa caso a condição (p) seja verdadeira e o resultado (q) seja falso? Portanto, é justamente isso que deveríamos provar se quiséssemos desmentir o autor da frase. A seguinte conjunção nos permite negar a condicional: Chove hoje e não vou à praia. Prof. Arthur Lima 14

16 e) Bicondicional: Chove hoje se e somente se vou à praia. O autor da frase está afirmando que as duas coisas (chover e ir à praia) devem ocorrer juntas, ou então nenhuma delas pode ocorrer. Podemos desmenti-lo provando que uma das coisas ocorre (é verdadeira) enquanto a outra não (é falsa). A disjunção exclusiva nos permite fazer isso: Ou chove hoje, ou vou à praia. Veja na tabela abaixo as principais formas de negação de proposições compostas: Proposição composta Conjunção (p q) Ex.: Chove hoje e vou à praia Disjunção (p q) Ex.: Chove hoje ou vou à praia Disjunção exclusiva ( p q) Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia Condicional (p q) Ex.: Se chove hoje, então vou à praia Bicondicional (p q) Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia. Negação Disjunção (~ p ~ q) Ex.: Não chove hoje ou não vou à praia Conjunção (~ p ~ q) Ex.: Não chove hoje e não vou à praia Bicondicional (p q) Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia Conjunção ( p ~ q) Ex.: Chove hoje e não vou à praia Disjunção exclusiva (p q) Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia Outra forma de negar a bicondicional é escrevendo outra bicondicional, porém negando uma das proposições simples. Por exemplo, p ~ q é uma forma alternativa de negar p q. Esta negação pode ser escrita como Chove se e somente se NÃO vou à praia). Comece a exercitar a negação de proposições compostas a partir da questão abaixo: 4. FCC TRT/19ª 2014) Considere a seguinte afirmação: Prof. Arthur Lima 15

17 Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito. Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é (A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito. (B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. (C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência. Para negar a condicional p q, podemos escrever a conjunção p e ~q. No caso, como a condicional é Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito, temos que: p = José estuda com persistência q = ele faz uma boa prova e fica satisfeito negação é: Repare que q é uma proposição composta, do tipo conjunção, cuja ~q = ele NÃO faz uma boa prova OU NÃO fica satisfeito Assim, a negação de p q é p e ~q, que pode ser escrita assim: José estuda com persistência E NÃO faz uma boa prova OU NÃO fica Resposta: D satisfeito 1.4 Construção da tabela-verdade de proposições compostas Prof. Arthur Lima 16

18 Alguns exercícios podem exigir que você saiba construir a tabelaverdade de proposições compostas. Para exemplificar, veja a proposição A [(~ B) C]. A primeira coisa que você precisa saber é que a tabelaverdade desta proposição terá sempre 2 n linhas, onde n é o número de proposições simples envolvidas. Como só temos 3 proposições simples (A, B e C), esta tabela terá 2 3, ou seja, 8 linhas. Para montar a tabela verdade de uma expressão como A [(~ B) C], devemos começar criando uma coluna para cada proposição e, a seguir, colocar todas as possibilidades de combinações de valores lógicos (V ou F) entre elas: Valor lógico de A Valor lógico de B Valor lógico de C V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Agora, note que em A [(~ B) C] temos o termo ~B entre parênteses. Devemos, portanto, criar uma nova coluna na nossa tabela, inserindo os valores de ~B. Lembre-se que os valores de não-b são opostos aos valores de B (compare as colunas em amarelo): Valor lógico Valor Valor lógico Valor lógico de A lógico de B de C de ~B V V V F V V F F V F V V Prof. Arthur Lima 17

19 V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V Agora que já temos os valores lógicos de ~B, e também temos os de C, podemos criar os valores lógicos da expressão entre colchetes: [(~ B) C]. Observe que se trata de uma conjunção ( e ), que só tem valor lógico V quando ambos os membros (no caso, ~B e C) são V: Valor Valor Valor lógico Valor lógico Valor lógico lógico de A lógico de B de C de ~B de [(~ B) C] V V V F F V V F F F V F V V V V F F V F F V V F F F V F F F F F V V V F F F V F Agora que já temos os valores lógicos de A e também os valores lógicos de [(~ B) C], podemos analisar os valores lógicos da disjunção A [(~ B) C]. Lembre-se que uma disjunção só é F quando ambos os seus membros são F (marquei esses casos em amarelo): Valor Valor Valor Valor Valor Valor lógico lógico de lógico de lógico de lógico de lógico de de A B C ~B [(~ B) C] A [(~ B) C] V V V F F V V V F F F V Prof. Arthur Lima 18

20 V F V V V V V F F V F V F V V F F F F V F F F F F F V V V V F F F V F F Assim, podemos omitir a 4ª e 5ª coluna, de modo que a tabelaverdade da expressão A [(~ B) C] é: Valor Valor Valor Valor lógico lógico de lógico de lógico de de A B C A [(~ B) C] V V V V V V F V V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F F Veja que essa tabela nos dá os valores lógicos da expressão A [(~ B) C] para todos os possíveis valores das proposições simples que a compõem (A, B e C). 1.5 Tautologia e contradição Ao construir tabelas-verdade para expressões, como fizemos acima, podemos verificar que uma determinada expressão sempre é verdadeira, independente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Trata-se de uma tautologia. Por outro lado, algumas Prof. Arthur Lima 19

21 expressões podem ser sempre falsas, independente dos valores das proposições que a compõem. Neste caso, estaremos diante de uma contradição. Vejamos alguns exemplos: a) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito e não sou bonito). Pela simples análise desse exemplo, já vemos uma contradição (não dá para ser bonito e não ser ao mesmo tempo). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela é falsa para todo valor lógico de p: Valor lógico de p Valor lógico de ~p Valor lógico de p ~ p V F F F V F Obs.: notou que essa tabela-verdade possui apenas duas linhas? Isso porque temos apenas 1 proposição simples (p), e 2 1 = 2. b) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito ou não sou bonito). Pela simples análise desse exemplo, já vemos uma tautologia (essa frase sempre será verdadeira, independente da minha beleza). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela é verdadeira para todo valor lógico de p: Valor lógico de p Valor lógico de ~p Valor lógico de p ~ p V F V F V V Pratique o que discutimos até aqui através da questão a seguir. 5. FCC ICMS/SP 2006) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição (10 10) (8 3 6) é falsa. Prof. Arthur Lima 20

22 III. Se p e q são proposições, então a proposição p q (~ q) é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em: a) I e II b) I e III c) I d) II e) III I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. O número de linhas de uma tabela verdade é 2 n, onde n é o número de proposições simples. Isto é, 2x2x2...x2, n vezes. Este número certamente é divisível por 2, isto é, é par. Item VERDADEIRO. II. A proposição (10 10) (8 3 6) é falsa. Temos uma bicondicional onde a primeira parte é falsa (pois 10 é maior que a raiz quadrada de 10), e a segunda parte também é falsa (pois 8 3 = 5). Na tabela-verdade da bicondicional, veja que esta proposição composta é verdadeira quando temos F F. Item FALSO. III. Se p e q são proposições, então a proposição p q (~ q) é uma tautologia. Para avaliar se temos uma tautologia, vamos construir a tabela verdade desta proposição. Repare que temos 2 proposições simples (p e q), de modo que a tabela-verdade da proposição composta terá 2 2 = 4 linhas. A tabela, construída da esquerda para a direita, fica assim: Valor Valor Valor lógico Valor lógico Valor lógico de lógico de p lógico de q de ~q de p q p q (~ q) V V F V V V F V F V Prof. Arthur Lima 21

23 F V F V V F F V V V De fato, a proposição p q (~ q) possui valor lógico V para qualquer valor das proposições simples p e q. Isto é, temos uma tautologia. Item VERDADEIRO. Resposta: B 1.6 Equivalência de proposições lógicas Dizemos que duas proposições lógicas são equivalentes quando elas possuem a mesma tabela-verdade. Como exemplo, vamos verificar se as proposições p q e ~ q ~ p são equivalentes. Faremos isso calculando a tabela verdade das duas, para poder compará-las. Mas intuitivamente você já poderia ver que elas são equivalentes. Imagine que p q é Se chove, então vou à praia. Sabemos que se a condição (chove) ocorre, necessariamente o resultado (vou à praia) ocorre. Portanto, se soubermos que o resultado não ocorreu (não vou à praia), isso implica que a condição não pode ter ocorrido (não chove). Isto é, podemos dizer que Se não vou à praia, então não chove. Ou seja, ~ q ~ p. A tabela-verdade de p q encontra-se abaixo. Calcule-a sozinho, para exercitar: Valor lógico de p Valor lógico de q Valor lógico de p q V V V V F F F V V F F V Já a tabela-verdade de ~ q ~ p foi obtida abaixo: Prof. Arthur Lima 22

24 Valor Valor Valor Valor Valor lógico lógico de lógico de lógico de lógico de de p q ~q ~p ~ q ~ p V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V Repare na coluna da direita de cada tabela. Percebeu que são iguais? Isso nos permite afirmar que ambas as proposições compostas são equivalentes. Veja ainda a tabela verdade de ~p ou q: Valor Valor Valor Valor lógico de lógico de lógico de lógico de p q ~p ~p ou q V V F V V F F F F V V V F F V V Perceba que a tabela-verdade de ~p ou q é igual às duas anteriores (p q e ~q ~p). Assim, essas 3 proposições são equivalentes. Não usei este exemplo à toa. Ele cai bastante em concursos, portanto é bom você gravar: ( p q), (~ q ~ p) e (~p ou q) são proposições equivalentes!!! Veja a questão abaixo para começar a treinar as equivalências lógicas: 6. FCC SEPLAN/PI 2013) Se Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele é triste. Portanto, se (A) Heráclito é triste, o mundo está em permanente mudança. Prof. Arthur Lima 23

25 (B) Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele é triste. (C) Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele não é triste. (D) Heráclito não é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. (E) Heráclito é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. No enunciado temos a condicional p q: está convicto é triste Sabemos que p q é equivalente a ~q ~p. Essa última pode ser escrita assim: NÃO é triste NÃO está convicto Temos essa frase na alternativa D: se Heráclito não é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. Se não tivéssemos encontrado o gabarito, poderíamos ter tentado encontrar a outra equivalência manjada da condicional p q, que é a disjunção ~p ou q, ou seja: NÃO está convicto OU é triste Ou melhor: Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente mudança OU ele é triste. Resposta: D 1.7 Condição necessária e condição suficiente Quando temos uma condicional p q, sabemos que se a condição p acontecer, com certeza o resultado q deve acontecer (para que p q seja uma proposição verdadeira). Portanto, podemos dizer que p acontecer é suficiente para afirmarmos que q acontece. Em outras palavras, p é uma condição suficiente para q. Prof. Arthur Lima 24

26 Por exemplo, se dissermos Se chove, então o chão fica molhado, é suficiente saber que chove para afirmarmos que o chão fica molhado. Chover é uma condição suficiente para que o chão fique molhado. Por outro lado, podemos dizer que sempre que chove, o chão fica molhado. É necessário que o chão fique molhado para podermos afirmar chove. Portanto, o chão fica molhado é uma condição necessária para podermos dizer que chove (se o chão estivesse seco, teríamos certeza de que não chove). Ou seja, q é uma condição necessária para p. Resumidamente, quando temos uma condicional p q, podemos afirmar que p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p. Por outro lado, quando temos uma bicondicional p q, podemos dizer que p é necessária e suficiente para q, e vice-versa. Para a proposição Chove se e somente se o chão fica molhado ser verdadeira, podemos dizer que é preciso (necessário) que chova para que o chão fique molhado. Não é dada outra possibilidade. E é suficiente saber que chove para poder afirmar que o chão fica molhado. Da mesma forma, é suficiente saber que o chão ficou molhado para afirmar que choveu; e a única possibilidade de ter chovido é se o chão tiver ficado molhado, isto é, o chão ter ficado molhado é necessário para que tenha chovido. Veja esta questão: 7. FCC BACEN 2005) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central q: fazer frente ao fluxo positivo Se p implica em q, então: a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo Prof. Arthur Lima 25

27 d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. Se p q, podemos dizer que é suficiente que p ocorra para que q ocorra (p é condição suficiente de q). Isto é, a atuação compradora é condição suficiente para fazer frente ao fluxo. Também podemos dizer que caso q não tenha ocorrido, não é possível que p tenha ocorrido (~q ~p). Isto é, q é condição necessária de p: fazer frente ao fluxo é condição necessária para a atuação compradora. Resposta: C. 1.8 Sentenças abertas Sentenças abertas são aquelas que possuem uma ou mais variáveis, como o exemplo abaixo (do tipo p q): Se 2X é divisível por 5, então X é divisível por 5 Temos a variável X nessa frase, que pode assumir diferentes valores. Se X for igual a 10, teremos: Se 20 é divisível por 5, então 10 é divisível por 5 Esta frase é verdadeira, pois p é V e q é V. Se X = 11, teremos: Se 22 é divisível por 5, então 11 é divisível por 5 teremos: Esta frase é verdadeira, pois p é F e q também é F. Já se X = 12.5, Se 25 é divisível por 5, então 12.5 é divisível por 5 Agora a frase é falsa, pois p é V e q é F! Prof. Arthur Lima 26

28 Portanto, quando temos uma sentença aberta, não podemos afirmar de antemão que ela é verdadeira ou falsa, pois isso dependerá do valor que as variáveis assumirem. Assim, uma sentença aberta não é uma proposição (só será uma proposição após definirmos o valor da variável). Trabalhe o conceito de sentenças abertas na questão a seguir. 8. FCC BAHIAGÁS 2010) Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6. Um valor de n que mostra ser falsa a frase acima é: a) 30 b) 33 c) 40 d) 42 e) 60 Estamos diante de uma sentença aberta, pois temos uma variável (n) que, dependendo de seu valor, pode tornar a proposição falsa ou verdadeira. Observe que a proposição do enunciado é uma condicional, isto é, uma frase do tipo p q. Sabemos que só há uma forma da condicional ser falsa: se a condição (p) for verdadeira, mas ainda assim o resultado (q) for falso (se ficou em dúvida, volte na tabela-verdade da condicional). Com isso, vamos analisar as alternativas: n = 30: a soma de seus dígitos não é divisível por 6 (3 + 0 = 3), o que torna a condição p Falsa. Como a condição é falsa, o resultado (q) pode ser verdadeiro ou falso que a frase continua verdadeira. A título de curiosidade, note que neste caso q é Verdadeira (pois 30 é divisível por 6). n = 33: a soma dos seus dígitos é divisível por 6 (3+3=6), ou seja, p é Verdadeira. Entretanto, o resultado q é Falso, pois 33 não é divisível por 6. Portanto, n = 33 torna a proposição composta Falsa. Este é o gabarito. Prof. Arthur Lima 27

29 n = 40: neste caso, p é Falsa e q é Falsa. Com isso, a frase é Verdadeira (para espanto daqueles não acostumados com o estudo da Lógica) n = 42: neste caso, p e q são Verdadeiras, tornando p q Verdadeira n = 60: idem ao anterior. Resposta: B Propriedades Comutativa e Distributiva Vamos nos utilizar das proposições simples p, q e r para exemplificar a existência das propriedades comutativa e distributiva para os principais operadores lógicos que vimos nessa aula. Utilizaremos o símbolo, que significa que uma expressão é idêntica a outra. Conjunção: o operador ^ possui as seguintes propriedades: comutativa sim, significa dizer que p ^ q q ^ p distributiva em relação à disjunção lógica podemos dizer que existe a propriedade distributiva, da seguinte forma: p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) Disjunção: o operador v possui as seguintes propriedades: comutativa sim, significa dizer que p v q q v p distributiva não possui Bicondicional: o operador possui as seguintes propriedades: comutativa sim: distributiva não possui Condicional: o operador não possui as propriedades comutativa e distributiva. Prof. Arthur Lima 28

30 2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 9. FUNDATEC SES-RS 2014) Considerando os operadores lógicos usados nas sentenças compostas abaixo, é correto afirmar que a sentença composta que representa um condicional FALSO é: a) Se 2 é ímpar, então 2 é par. b) 2 é par, logo 11 é primo. c) Se 2 é par, então, 6 é primo. d) 5 é ímpar, portanto 4 é par. e) 4 ser ímpar implica que 5 é par. Vejamos os valores lógicos de cada alternativa. Basta lembrar que a única condicional falsa é V F. a) Se 2 é ímpar, então 2 é par. Temos F V, que é uma condicional VERDADEIRA. b) 2 é par, logo 11 é primo. Temos V V, que é uma condicional VERDADEIRA. c) Se 2 é par, então, 6 é primo. Temos V F, que é uma condicional FALSA. d) 5 é ímpar, portanto 4 é par. Temos V V, que é uma condicional VERDADEIRA. Prof. Arthur Lima 29

31 e) 4 ser ímpar implica que 5 é par. Temos F F, que é uma condicional VERDADEIRA. RESPOSTA: C 10. FUNDATEC SES-RS 2014) Qual das alternativas abaixo é uma tautologia? a) ~(A B) (~A ~B) b) (~A B) (B A) c) ((A B) B) ~A d) (A B) (~A ~B) e) ((A B) ~B) A Vejamos cada proposição: a) ~(A B) (~A ~B) Sabemos que ~(AvB) é o mesmo que (~A ~B). Assim, ficamos com: (~A ~B) (~A ~B) É fácil ver que esta proposição não é uma tautologia. Imagine a linha da tabela-verdade onde A é F e B é V. Com isso, ficamos com: (V F) (V F) F V Esta é uma bicondicional falsa. Logo, não temos uma tautologia. b) (~A B) (B A) Sabemos que ~AvB é equivalente a A B. Portanto, ficamos com: (A B) (B A) É fácil ver que esta proposição não é uma tautologia. Basta imaginar a linha da tabela-verdade onde A é V e B é F. Com isso, ficamos com: Prof. Arthur Lima 30

32 F V Esta é uma bicondicional falsa, portanto não temos uma tautologia. c) ((A B) B) ~A Imagine a linha da tabela-verdade onde A é V e B é V. Com isso, A B é V, de modo que ((A B) B) é V também. Como ~A é F, ficamos com V F, que é uma condicional falsa. Portanto, não temos uma tautologia. d) (A B) (~A ~B) Sabemos que A B é equivalente a ~B ~A, e não a ~A ~B. Portanto, é de se imaginar que a expressão desta alternativa não é uma tautologia. Se você quiser testar, imagine que A é V e B é F. Com isso, ficamos com F V, que é uma bicondicional falsa. e) ((A B) ~B) A Vejamos a tabela-verdade desta proposição: A B ~B AvB ((A B) ~B) ((A B) ~B) A V V F V F V V F V V V V F V F V F V F F V F F V Temos de fato uma tautologia. RESPOSTA: E 11. FUNDATEC SES-RS 2014) Dadas as proposições, analise: I. Todos os motoristas são responsáveis. II. Nenhum motorista é responsável. Prof. Arthur Lima 31

33 III. Alguns motoristas não são responsáveis. IV. Existem motoristas responsáveis. V. Não existem motoristas que são responsáveis. RACIOCÍNIO LÓGICO, ANALÍTICO E QUANTITATIVO P/ IGP-RS Dentre as alternativas a seguir, selecione aquela que associa corretamente uma proposição categórica com a sua negação. a) A negação da proposição IV é a proposição III. b) A negação da proposição I é a proposição III. c) A negação da proposição II é a proposição III. d) A negação da proposição I é a proposição II. e) A negação da proposição I é a proposição V. Vejamos a negação de cada proposição: I. Todos os motoristas são responsáveis. Algum motorista NÃO é responsável. II. Nenhum motorista é responsável. Algum motorista é responsável. III. Alguns motoristas não são responsáveis. Todos os motoristas são responsáveis. IV. Existem motoristas responsáveis. Não existem motoristas responsáveis. V. Não existem motoristas que são responsáveis. Existem motoristas responsáveis. Assim, veja que a negação da proposição I é a proposição III (e vice-versa), e a negação da proposição IV é a proposição V (e viceversa). RESPOSTA: B 12. FUNDATEC IRGA 2013) Para responder à questão, considere a tabela a seguir, a qual apresenta valores lógicos de forma binária. Cada coluna representa uma proposição lógica (simples ou composta), 0 representa o valor lógico falso, e 1 representa o valor lógico verdadeiro. Prof. Arthur Lima 32

34 A B ~A ~B C D E F G H I Baseando-se no conceito de operações lógicas e suas respectivas Tabelas- Verdade, que proposições estão representadas nas colunas E e F, respectivamente? a) bicondição e disjunção inclusiva. b) condição e disjunção exclusiva. c) conjunção e disjunção exclusiva. d) disjunção inclusiva e condição. e) disjunção inclusiva e conjunção. Observe que E é só é falsa quando A é verdadeira e B é falsa: A B ~A ~B C D E F G H I Isso nos remete à proposição condicional, que só é falsa quando temos V F. Já F é falsa quando A e B são verdadeiras, bem como quando A e B são falsas, e é verdadeira nos demais casos. Isso nos remete à disjunção exclusiva, que é falsa quando temos ou V ou V ou quando temos ou F ou F. RESPOSTA: B Prof. Arthur Lima 33

35 13. FUNDATEC IRGA 2013) A negação da proposição João é médico ou João é engenheiro. é: a) João não é médico e João não é engenheiro. b) João não é médico ou João não é engenheiro. c) Não é verdade que João não é médico ou João é engenheiro. d) Não é verdade que João não é médico e João é engenheiro. e) Não é verdade que João é médico e João é engenheiro. A negação de uma disjunção p ou q é dada pela conjunção ~p e ~q, ou seja, João NÃO é médico E João é NÃO engenheiro RESPOSTA: A 14. FUNDATEC CREA/PR 2010) Dadas as proposições: p: os gatos são marrons. q: os cães são amarelos. Uma das formas de representação, em linguagem simbólica, da proposição Não é verdade que, se os gatos não são marrons, então os cães são amarelos. é A) ~(p q) B) p ~q C) ~p ~q D) ~(p q) E) ~p q Podemos representar a condicional se os gatos não são marrons, então os cães são amarelos por ~p q. Como temos um não é verdade que no início desta frase, devemos obter a sua negação, isto é: ~(~p q) A negação de A B é dada por A e ~B. Da mesma forma, a negação de ~p q é dada por ~p e ~q, que temos na alternativa C. Prof. Arthur Lima 34

36 RESPOSTA: C 15. CESPE INSS 2016) A sentença "Bruna, acesse a internet e verifique a data de aposentadoria do Sr. Carlos!" é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p^q. Note que temos verbos no imperativo ("acesse", "verifique"). Estamos diante de uma ordem, que NÃO é uma proposição. Se não temos uma proposição, não podemos representar na forma de uma conjunção p^q. A banca tentou fazer você acreditar que estava mesmo diante de uma conjunção, pois temos um e na frase deste item. Mas fique atento para as situações que NÃO são proposições, como vimos anteriormente! Resposta: E 16. CESPE INSS 2016) Dadas as proposições simples p: "Sou aposentado" e q: "Nunca faltei ao trabalho", a proposição composta "Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado" deverá ser escrita na forma (p^q) ~p, usando-se os conectivos lógicos. Veja a frase dada no enunciado: "Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado" Veja que marquei os conectivos lógicos e sublinhei os 3 verbos. Estamos diante de 3 proposições simples ligadas por 2 conectivos: condicional ( se... então ) e conjunção ( e ). Podemos esquematizar a frase assim: (aposentado e não faltei) não aposentado temos: Substituindo o e pelo símbolo ^ que representa a conjunção, (aposentado ^ não faltei) não aposentado Prof. Arthur Lima 35

37 Podemos ainda definir proposições lógicas que nos permitam representar a frase. Por exemplo: p = aposentado (de modo que ~p = não aposentado) q = não faltei Repare que representei não faltei utilizando a letra q, mesmo tendo um não. Não há problema nenhum em fazer isto, ok? Basta você manter a coerência ao longo do restante da resolução. Usando as proposições simples que definimos, temos: (aposentado ^ não faltei) não aposentado p ^ q ~p Portanto, a proposição do enunciado pode mesmo ser representada na forma (p^q) ~p. Item CERTO. Resposta: C 17. CESPE INSS 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue os itens subsequentes. ( ) Na lógica proposicional, a oração Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que é não fumante representa uma proposição composta. O logo nos dá ideia de que a informação que o precede (Antônio fumar 10 cigarros por dia) é uma CONDIÇÃO, cujo cumprimento leva obrigatoriamente a um RESULTADO (a probabilidade de infarto aumenta). Estamos diante de uma proposição condicional, que pode ser esquematizada como p q, onde: p = Antônio fuma 10 cigarros por dia q = A probabilidade de Antônio sofrer um infarto é três vezes maior que a Item CERTO. Resposta: C de Pedro Prof. Arthur Lima 36

38 18. CESPE TRE/MT 2015) A negação da proposição: Se o número inteiro m > 2 é primo, então o número m é ímpar pode ser expressa corretamente por A Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo. B Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar. C O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar. D O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar. E Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar. Temos no enunciado a condicional p q, onde: p = o número inteiro m > 2 é primo q = o número m é ímpar A sua negação é dada por p e ~q, onde: ~q = o número m não é ímpar Escrevendo p e ~q : O número inteiro m>2 é primo E o número m não é ímpar Note que aqui temos uma frase com uma variável (m) mas que, ainda assim, pode ser CLASSIFICADA como VERDADEIRA. Isto porque, de fato, todo número primo maior que 2 é ímpar (basta lembrar da matemática básica). Temos uma variável no texto mas ainda assim esta frase é uma proposição, pois pode ser classificada como V independentemente do valor da variável. Resposta: C 19. CESPE TCE/RN 2015) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um Prof. Arthur Lima 37

39 cartaz com os seguintes dizeres: O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. ( ) A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por Se o comprador escritura o imóvel, então ele o registra. A proposição P é uma condicional que podemos representar como ~p ~q, onde: ~p = não escritura ~q = não registra Já a proposição Se o comprador escritura o imóvel, então ele o registra pode ser representada por p q, usando as mesmas proposições simples definidas acima. Queremos saber se ~p ~q é negação de p q. Podemos fazer isto montando a tabela-verdade das duas proposições. Se essas tabelas forem OPOSTAS entre si, então estamos diante de negações. Veja a tabela abaixo, que tem apenas 4 linhas, afinal temos apenas 2 proposições simples (p e q): p q ~p ~q ~p ~q p q V V F F V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V Note que as colunas marcadas NÃO são exatamente opostas entre si. Existem linhas da tabela onde as duas proposições tem mesmo valor lógico. Isto nos mostra que elas NÃO são negação uma da outra. Item ERRADO. Para você acompanhar melhor a montagem desta tabela, saiba que a ordem de preenchimento foi a seguinte: Prof. Arthur Lima 38

40 - criar uma coluna para cada proposição simples (p e q) - verificar se precisamos criar colunas para as negações (neste caso precisamos para ~p e para ~q) - criar colunas para as proposições que queremos avaliar (~p ~q e p q) - preencher a coluna de p com V-V-F-F - preencher a coluna de q com V-F-V-F - preencher a coluna de ~p com o oposto da coluna p - preencher a coluna de ~q com o oposto da coluna q - preencher a coluna de ~p ~q, colocando F nas linhas onde temos V F nas colunas de ~p e de ~q, e V nas demais (afinal uma condicional só é falsa quando temos V F) - preencher a coluna de p q, colocando F nas linhas onde temos V F nas colunas de p e de q, e V nas demais. Resposta: E 20. CESPE INSS 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue os itens subsequentes. ( ) Considerando-se as proposições simples Cláudio pratica esportes e Cláudio tem uma alimentação balanceada, é correto afirmar que a proposição Cláudio pratica esportes ou ele não pratica esportes e não tem uma alimentação balanceada é uma tautologia. Sendo p = Cláudio pratica esportes, podemos dizer que ele não pratica esportes é ~p. Definindo ainda q = Cláudio tem uma alimentação balanceada, a proposição deste item é: p ou (~p e q) Como o item afirma ser uma tautologia (sempre verdadeira), vamos desafiá-lo, tentando deixar esta proposição falsa. Assumindo que p é F (de modo que ~p é V) e também assumindo que q é F, ficamos com o seguinte: F ou (V e F) Prof. Arthur Lima 39

41 F ou F F Portanto, conseguimos deixar a proposição falsa, o que nos indica NÃO ser uma tautologia. Note que nem foi preciso fazer a tabela-verdade, e já podemos marcar que o item é ERRADO! Vamos resolver também da forma mais tradicional, que consiste em montar a tabela-verdade desta proposição: p q ~p (~p e q) p ou (~p e q) V V F F V V F F F V F V V V V F F V F F Veja que, de fato, NÃO estamos diante de uma tautologia, e sim de uma contingência, pois a proposição do enunciado pode ser V ou F, dependendo do caso. Resposta: E 21. CESPE TCE/RN 2015) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. ( ) A proposição P é logicamente equivalente à proposição O comprador escritura o imóvel, ou não o registra. Vemos que P é não escritura esquematizá-la como ~q ~p, onde: não registra. Podemos Prof. Arthur Lima 40

42 ~q = não escritura ~p = não registra Sabemos que isto é equivalente a p q, onde p seria registra e q seria escritura, de modo que p q seria: registra escritura Esta proposição ~q ~p também é equivalente a ~pvq, que seria: não registra ou escritura Portanto é correto dizer que: O comprador não registra o imóvel ou o escritura dizer que: Como a ordem das proposições não altera a disjunção, podemos O comprador escritura o imóvel ou não o registra Item CERTO. Note que, para resolver esta questão, bastou lembrar que p q, ~q ~p e ~pvq são proposições equivalentes. Resposta: C 22. CESPE TCE/RN 2015) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. ( ) Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o escriturou. Sabemos que a proposição P pode ser esquematizada por: não escritura não registra Prof. Arthur Lima 41

43 Já vimos que ~q ~p é equivalente a p q, que neste caso seria: registra escritura Lembrando que em uma condicional p q podemos afirmar que q é necessário para p, então neste caso podemos dizer que escriturar é necessário para ter registrado. Ou melhor: quem registrou necessariamente escriturou Item CERTO. Resposta: C 23. FCC SEFAZ/PE 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo prefeito de uma grande capital. Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das passagens de ônibus será reajustado. Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é: (A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o preço das passagens de ônibus não será reajustado. (B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das passagens de ônibus não será reajustado. (C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação não terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado. (D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado. (E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado. Temos a proposição condicional que pode ser sintetizada assim: (inflação não cair ou diesel aumentar) passagem reajustada Essa proposição é do tipo (P ou Q) R, onde: P = inflação não cair Q = diesel aumentar Prof. Arthur Lima 42

44 R = passagem reajustada Essa proposição é equivalente a ~R ~(P ou Q), que por sua vez é equivalente a ~R (~P e ~Q), onde: ~P = inflação cair ~Q = diesel NÃO aumentar ~R = passagem NÃO SER reajustada Escrevendo ~R-->(~P e ~Q), temos: passagem não ser reajustada (inflação cai e diesel não aumenta) Temos isso na alternativa E. Resposta: E 24. FCC SEFAZ/PE 2015) Antes da rodada final do campeonato inglês de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das duas únicas equipes com chances de serem campeãs, por meio da seguinte afirmação: Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida e que o Chelsea perca ou empate a sua. Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta informação é: Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele (A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua. (B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate a sua. (C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o Chelsea não vença a sua. (D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua. (E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate a sua. Prof. Arthur Lima 43

45 A proposição do enunciado pode ser resumida assim: Arsenal vença E (Chelsea perca OU Chelsea empate) Sabemos que a proposição composta "p E (q OU r)" é equivalente a "(p E q) OU (p E r)". Escrevendo essa última, teríamos algo como: (Arsenal vença E Chelsea perca) OU (Arsenal vença E Chelsea empate) Temos isso na alternativa A. Resposta: A 25. FCC TRF/3ª 2014) Considere a afirmação: Nem todas as exigências foram cumpridas ou o processo segue adiante. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente à acima é: (A) Se o processo segue adiante, então nem todas as exigências foram cumpridas. (B) O processo não segue adiante e todas as exigências foram cumpridas. (C) Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue adiante. (D) Se nenhuma exigência foi cumprida, então o processo não segue adiante. (E) Nem todas as exigências foram cumpridas e o processo segue adiante. Sabemos que a condicional A B é equivalente à disjunção ~A ou B. A frase do enunciado é uma disjunção ~A ou B, onde: ~A = nem todas as exigências foram cumpridas B = o processo segue adiante Portanto, a proposição A é igual a todas as exigências foram cumpridas, e a condicional A B é: Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue adiante Prof. Arthur Lima 44

46 Resposta: C 26. FCC TRT/2ª 2014) Durante um comício de sua campanha para o Governo do Estado, um candidato fez a seguinte afirmação: Se eu for eleito, vou asfaltar quilômetros de estradas e construir mais de casas populares em nosso Estado. Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados quilômetros de estradas no Estado. (B) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de casas populares no Estado. (C) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados quilômetros de estradas no Estado. (D) o candidato foi eleito e foram construídas mais de casas populares no Estado. (E) não foram asfaltados quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de casas populares no Estado. Temos a condicional do tipo p (q e r): (eu for eleito) (asfaltar 2000km e construir mais de 5000 casas) O único caso onde essa condicional tem valor lógico Falso é quando temos V F, ou seja, quando p é V (o candidato é eleito) e q e r é F. Para que q e r seja F, é preciso que sua negação seja V, ou seja, que ~q ou ~r seja V. Ou seja: não asfaltar 2000km ou não construir mais de 5000 casas Prof. Arthur Lima 45

47 Portanto, para que a frase do candidato, é necessário que: - o candidato tenha sido eleito, e - não tenham sido asfaltados 2000km ou não tenham sido construídas mais de 5000 casas. Portanto, a alternativa E está correta, pois é preciso, necessariamente, que o que ela afirma seja Verdadeiro: (E) não foram asfaltados quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de casas populares no Estado. tipo: Naturalmente, também seria correta uma opção de resposta do O candidato foi eleito E não foram asfaltados 2000 quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de 5000 casas populares no Estado Também seria correta uma afirmação que dissesse que, necessariamente, o candidato foi eleito. Resposta: E 27. FCC TRT/2ª 2014) Um dia antes da reunião anual com os responsáveis por todas as franquias de uma cadeia de lanchonetes, o diretor comercial recebeu um relatório contendo a seguinte informação: Todas as franquias enviaram o balanço anual e nenhuma delas teve prejuízo neste ano. Minutos antes da reunião, porém, ele recebeu uma mensagem em seu celular enviada pelo gerente que elaborou o relatório, relatando que a Prof. Arthur Lima 46

48 informação não estava correta. Dessa forma, o diretor pôde concluir que, necessariamente, (A) nenhuma franquia enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo neste ano. (B) alguma franquia não enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo neste ano. (C) nenhuma franquia enviou o balanço anual ou pelo menos uma delas teve prejuízo neste ano. (D) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas tiveram prejuízo neste ano. (E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma delas teve prejuízo neste ano. Se a conjunção Todas as franquias enviaram o balanço anual E nenhuma delas teve prejuízo neste ano é FALSA, podemos concluir que a sua negação é verdadeira. Esta negação é: Nem todas as franquias enviaram o balanço anual OU alguma delas teve prejuízo neste ano Temos uma variação disto na alternativa E. Resposta: E 28. FCC TJAP 2014) Considere a seguinte declaração, feita por um analista político fictício: se o partido P conseguir eleger Senador no Estado F ou no Estado G, então terá a maioria no Senado. A partir da declaração do analista, é correto concluir que, necessariamente, se o partido P (A) não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido eleger o senador no Estado G. Prof. Arthur Lima 47

49 (B) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no Estado G. (C) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no Estado F. (D) não conseguiu eleger o senador no Estado F, então não terá a maioria no Senado. (E) não conseguiu eleger o senador no Estado G, então não terá a maioria no Senado. Vamos usar as seguintes proposições simples: p = o partido P conseguir eleger Senador no Estado F q = o partido P conseguir eleger Senador no Estado G r = o partido P terá a maioria no Senado Veja que a frase do enunciado é: (p ou q) r Esta proposição é equivalente a: ~r ~(p ou q) Esta proposição é o mesmo que: ~r (~p e ~q) Reescrevendo esta última: se o partido P não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido eleger o senador no Estado F e não terá conseguido eleger senador no Estado G Analisando as alternativas de resposta, veja que a A está correta. Afinal, se o partido P não tiver maioria, é porque ele não elegeu senador no estado G (e também não elegeu senador no estado F). Resposta: A Prof. Arthur Lima 48

50 29. FCC TJAP 2014) No Brasil, o voto é obrigatório apenas para os brasileiros alfabetizados que têm de 18 a 70 anos. De acordo com essa informação, se Luíza é uma brasileira que não é obrigada a votar, então, necessariamente, Luíza (A) é analfabeta e tem menos de 18 anos ou mais de 70. (B) é analfabeta ou tem menos de 18 anos ou mais de 70. (C) não é analfabeta, mas tem menos de 18 anos. (D) é analfabeta, mas pode ter de 18 a 70 anos. (E) tem mais de 70 anos, mas pode não ser analfabeta. O enunciado nos mostra que o único caso onde a pessoa é obrigada a votar é quando ela preenche todas essas condições: - é alfabetizada - tem de 18 a 70 anos Logo, se não for preenchida qualquer dessas condições (ou mesmo as duas), a pessoa não é obrigada a votar. Podemos escrever: se a pessoa for analfabeta OU então estiver fora da faixa anos, ela não é obrigada a votar Para estar fora da faixa de anos, ela deve ter menos de 18 ou mais de 70 anos. Ou seja: se a pessoa for analfabeta OU tiver menos de 18 ou mais de 70 anos, ela não é obrigada a votar. Assim, podemos concluir que Luíza é analfabeta ou tem menos de 18 ou mais de 70 anos. Pode até ser que ela cumpra as duas condições (seja analfabeta e tenha mais de 70 anos, por exemplo), mas isto não é necessário, pois basta ela preencher alguma das condições para não precisar votar. Resposta: B Prof. Arthur Lima 49

51 30. FCC TJAP 2014) Vou à academia todos os dias da semana e corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é (A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana. (B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na semana. (C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a semana. (D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na semana. (E) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana. Temos a conjunção p e q, onde: p = Vou à academia todos os dias da semana q = corro três dias na semana A sua negação é ~p ou ~q, ou seja: Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana Resposta: A 31. FCC SAEB/BA 2014) Renata disse a seguinte frase: Se Lucas venceu o jogo, então Denis não compareceu. Lucas, irado, afirmou que a frase dita por Renata não era verdadeira. Uma frase, que do ponto de vista lógico, é a negação da frase dita por Renata é: (A) Lucas venceu o jogo ou Denis venceu o jogo. (B) Denis não compareceu ao jogo e Lucas não venceu. (C) Lucas venceu o jogo e Denis compareceu. (D) Se Lucas não venceu o jogo, então Denis compareceu. (E) Lucas venceu o jogo ou Denis compareceu. Prof. Arthur Lima 50

52 A frase dita por Renata é uma condicional do tipo p-->q. A sua negação é dada pela frase "p e não-q". Temos: p = Lucas venceu o jogo q = Denis não compareceu Resposta: C Dessa forma a frase "p e não-q" é simplesmente: " Lucas venceu o jogo e Denis compareceu" 32. FCC METRÔ/SP 2014) Todos os mecânicos são inteligentes e resolvem problemas. Uma afirmação que representa a negação lógica da afirmação anterior é: (A) nenhum mecânico é inteligente e resolve problemas. (B) se um mecânico não é inteligente, então ele não resolve qualquer problema. (C) algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas. (D) todos os mecânicos não são inteligentes ou ninguém resolve problemas. (E) se um mecânico resolve problemas, então ele é inteligente. Para negar o que foi afirmado no enunciado, basta encontrarmos um mecânico que não seja inteligente ou que não resolva problemas. Portanto, uma forma de escrever a negação lógica desta frase é: " algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas" Resposta: C 33. FCC TRT/1ª 2013) Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, esse vereador Prof. Arthur Lima 51

53 (A) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (B) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (C) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha empregado um parente em seu gabinete. (D) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um parente em seu gabinete. (E) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete. Temos a condicional p e q que pode ser resumida por compareceu a todas E não empregou. A sua negação é dada por ~p ou ~q, que pode ser resumida como não compareceu a pelo menos uma OU empregou. Temos essa última estrutura na alternativa C. Resposta: C 34. FCC TRT/1ª 2013) Leia os Avisos I e II, colocados em um dos setores de uma fábrica. Aviso I Prezado funcionário, se você não realizou o curso específico, então não pode operar a máquina M. Aviso II Prezado funcionário, se você realizou o curso específico, então pode operar a máquina M. Paulo, funcionário desse setor, realizou o curso específico, mas foi proibido, por seu supervisor, de operar a máquina M. A decisão do supervisor (A) opõe-se apenas ao Aviso I. (B) opõe-se ao Aviso I e pode ou não se opor ao Aviso II. Prof. Arthur Lima 52

54 (C) opõe-se aos dois avisos. (D) não se opõe ao Aviso I nem ao II. (E) opõe-se apenas ao Aviso II. Cada aviso é uma condicional p q, cujo resumo encontra-se abaixo: Aviso I: não realizou não pode Aviso II: realizou pode No caso do funcionário citado, temos que realizou é V (pois ele fez o curso) e que pode é F (pois ele foi proibido de operar a máquina). Esta combinação de valores lógicos torna a condicional do aviso I verdadeira, pois temos F V. Já a condicional do aviso II é falsa, pois temos V F. Assim, o caso do funcionário opõe-se apenas ao aviso II, pois torna esta frase falsa. Resposta: E 35. FCC PGE/BA 2013) Alice irá ao País das Maravilhas quando imaginar ou perder o medo. Se Alice perder o medo, (A) Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar. (B) Alice irá ao País das Maravilhas. (C) Alice vai necessariamente imaginar. (D) Alice não irá, também, imaginar. (E) Alice não vai imaginar. A frase do enunciado é uma condicional usando o quando. Ela pode ser reescrita assim, para facilitar a análise: Se imaginar ou perder o medo, então Alice irá ao país das maravilhas Foi dito que Alice perdeu o medo. Com isso, a disjunção imaginar ou perder o medo é Verdadeira. Uma vez que ocorreu a condição, o resultado deve acontecer. Ou seja, Alice IRÁ ao país das maravilhas. Prof. Arthur Lima 53

55 Resposta: B 36. FCC MPE/AM 2013) O professor de uma disciplina experimental de um curso de Engenharia estabeleceu no início do semestre que, para ser aprovado, um aluno teria de realizar pelo menos 5 das 6 experiências propostas e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0. Como Juca foi reprovado nessa disciplina, pode-se concluir que ele, necessariamente, (A) realizou apenas 4 experiências e teve média de relatórios, no máximo, igual a 5,0. (B) realizou 4 ou menos experiências e teve média de relatórios inferior a 6,0. (C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios inferior a 6,0. (D) não realizou qualquer experiência, tendo média de relatórios igual a 0,0. (E) não realizou qualquer experiência ou teve média de relatórios menor ou igual a 5,0. Veja que o professor estabeleceu duas condições (realizar pelo menos 5 das 6 experiências e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0) que, se respeitadas, levam ao resultado (aprovação). Ou seja, temos a condicional: Se realizar pelo menos 5 das 6 experiências e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0, então o aluno é aprovado Juca foi reprovado, ou seja, o resultado da condicional não ocorreu. Isso obriga a condição (realizar pelo menos 5 das 6 experiências e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0) a NÃO ter ocorrido também. Observe que essa condição é uma conjunção. Para ela não ter ocorrido (não ser V), basta que uma das proposições simples que a compõe seja Falsa. Portanto: Prof. Arthur Lima 54

56 - Juca NÃO realizou pelo menos 5 das 6 experiências OU teve média inferior a 6,0; Outra forma de dizer isso é: - Juca realizou MENOS DE 5 experiências OU teve média inferior a 6,0; Temos isso na alternativa C: (C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios inferior a 6,0. Resposta: C 37. FCC TRT/BA 2013) Analisando a tabela de classificação do campeonato de futebol amador do bairro antes da realização da última rodada, o técnico do União concluiu que, caso seu time vencesse sua última partida ou o time do Camisa não ganhasse seu último jogo, então o União seria campeão. Sabendo que o União não se sagrou campeão, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o Camisa perdeu seu jogo e o União perdeu o seu. (B) o Camisa venceu seu jogo e o União venceu o seu. (C) o Camisa empatou seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu. (D) o Camisa empatou seu jogo e o União venceu o seu. (E) o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu A regra dada pelo enunciado pode ser resumida nessa condicional: Se União vencer ou Camisa não vencer, então União é campeão (p ou q) r, onde: p = União vencer q = Camisa não vencer r = União é campeão Prof. Arthur Lima 55

57 Como o União não se sagrou campeão, vemos que r é F. Isso obriga a condição (p ou q) a ser F também. Assim, a negação de (p ou q) será V. Esta negação é: ~(p ou q) = ~p e ~q Escrevendo (~p e ~q), temos: o União NÃO venceu e o Camisa VENCEU. Temos essa mesma ideia na alternativa E: o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu Resposta: E 38. FCC TRT/11 a 2012) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que (A) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados. (B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado. (C) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram usados. (D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados. (E) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado. Sendo p = todos os novelos são coloridos e q = nenhum novelo foi usado, a afirmação da senhora foi p e q. Se ela se enganou, p e q é Falso, portanto a sua negação é Verdadeira. A negação de p e q é não-p ou não-q. As negações das proposições simples são: Não-p = algum novelo não é colorido Não-q = algum novelo foi usado Portanto, não-p ou não-q seria: Algum novelo não é colorido ou algum novelo foi usado. Prof. Arthur Lima 56

58 Poderíamos utilizar também a expressão pelo menos um no lugar de algum. Com isso, teríamos a resposta da letra B. Resposta: B 39. FCC ALESP 2010) Durante uma sessão no plenário da Assembleia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa: Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação: a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação. Observe que temos uma condicional (p q ), onde: p = As manifestações desrespeitosas não forem interrompidas q = Eu não darei início à votação Esta é uma proposição manjada, pois sabemos que ela é equivalente a ~ q ~ p e também a ~p ou q. Como ~q é eu darei início à votação e ~p é as manifestações desrespeitosas foram interrompidas, temos: Prof. Arthur Lima 57

59 ~ q ~ p: Se eu dei início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. ~p ou q: As manifestações desrespeitosas foram interrompidas ou eu não dei início à votação. Repare que a alternativa A é similar à expressão ~ q ~ p que escrevemos acima, sendo este o gabarito. Resposta: A 40. FCC - DNOCS ) Considere a seguinte proposição: Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional. Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. No enunciado tempos uma proposição do tipo p q, onde p e q são, resumidamente: p = pessoa não faz cursos q = ela não melhora Você já deve ter decorado que a proposição ~q ~p é equivalente a ela. Outra equivalente é q ou ~p. Vejamos as estruturas de cada alternativa: Prof. Arthur Lima 58

60 (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. Aqui temos a estrutura: ~(q ou ~p) (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. ~(p e q) (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. q p (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. ~q ou p (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. q ou ~p Veja que apenas na letra E temos uma proposição no formato q ou ~p, que é equivalente a p q. Este é o gabarito. Veja como é importante gravar a equivalência entre: p q ~q ~p q ou ~p Se você não se lembrasse disso, teria que construir a tabelaverdade de cada proposição! Resposta: E 41. FCC SEFAZ/SP 2010) Considere as seguintes premissas: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. Prof. Arthur Lima 59

61 q: O trabalho enobrece. A afirmação Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente é, com certeza, FALSA quando: a) p é falsa e q é falsa. b) p é verdadeira e q é verdadeira. c) p é falsa e q é verdadeira. d) p é verdadeira e q é falsa. e) p é falsa ou q é falsa. Veja que a afirmação dada pelo enunciado é: Se não-q, então nãop. Só há 1 forma dessa condicional ser FALSA: se a condição (não-q) for Verdadeira, porém o resultado (não-p) for Falso. Para que não-q seja Verdadeira, a sua negação (q) deve ser Falsa. E para que não-p seja Falsa, a sua negação (p) deve ser Verdadeira. Assim, p deve ser Verdadeira e q deve ser Falsa. Resposta: D 42. FCC METRÔ/SP 2010) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ~ q é: a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. Prof. Arthur Lima 60

62 Primeiramente, veja que ~q (negação de q) pode ser escrita como: Maly não gosta de dirigir automóvel. Assim, a proposição p e não-q ( p ~ q) é: Maly é usuária do Metrô e Maly não gosta de dirigir automóvel Quem diz essa frase, está afirmando que as duas informações são verdadeiras, isto é, que Maly é usuária do Metrô e, também, que Maly não gosta de dirigir automóvel. Isto porque esta proposição composta é uma conjunção ( e ), que só é verdadeira quando ambos os lados são verdadeiros. Se quiséssemos desmentir (ou negar) o autor da frase, bastaria mostrar que um dos lados não é verdadeiro. Isto é, bastaria provar que Maly não é usuária do Metrô, ou então provar que Maly gosta de dirigir automóvel. Portanto, a negação da frase acima é: (letra A) Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel De uma maneira mais rápida, bastaria você lembrar que a negação de p ~ q é ~ p ~ (~ q), isto é, ~p q. Resposta: A. 43. FCC SEFAZ/SP 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a seus funcionários: Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a gripe. Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa: a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele tem mais de 45 anos de idade. b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não toma a vacina contra a gripe. Prof. Arthur Lima 61

63 c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50 ou mais anos de idade. d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe. e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade. A condicional do enunciado é: Funcionário tem 45 ou mais faz exame E toma vacina Para essa frase ser verdadeira, todos os funcionários com 45 ou mais anos devem fazer exame e tomar vacina todo ano. Já quanto aos funcionários com menos de 45 anos, nada foi afirmado: eles podem fazer ou não exame, e tomar ou não a vacina. Se uma pessoa não fez exame, ela não pode ter mais de 45 (pois se tivesse, deveria obrigatoriamente ter feito exame). Portanto, você deve concordar que a frase abaixo é correta: "Se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 45 ou mais anos". (da mesma forma, poderíamos dizer que "se um funcionário não tomou vacina, então ele não tem 45 ou mais anos"). Entretanto, essa alternativa não aparece entre as opções de respostas. Mas temos uma parecida na letra C: "se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 50 ou mais anos" Se você concordou com a frase anterior, deve concordar com essa também. Isso porque se alguém não tem 45 ou mais anos, esse mesmo alguém também não tem 50 ou mais anos. Isto é, podemos garantir que uma pessoa que não fez exame TEM MENOS DE 50 ANOS, até porque poderíamos garantir que esta pessoa tem menos de 45 anos. Resposta: C. Prof. Arthur Lima 62

64 44. FCC - TRE-PI ) Um dos novos funcionários de um cartório, responsável por orientar o público, recebeu a seguinte instrução: Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao setor verde. Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, podese concluir que, necessariamente, (A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. (B) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. (C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. (D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. (E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos. Temos no enunciado outra condicional p q. Lembrando que ~q ~p é equivalente a ela, assim como q ou ~p, podemos verificar a estrutura das alternativas do enunciado, usando: p = pessoa precisa autenticar q = encaminhar ao setor verde (A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. ~p ~q (podíamos ler a frase dessa alternativa como: se uma pessoa não precisa autenticar, então ela não é encaminhada ). (B) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. q p (podíamos ler: se a pessoa é encaminhada, então ela precisa autenticar ). Prof. Arthur Lima 63

65 (C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. q p ( as pessoas são encaminhadas se e somente se precisam autenticar ) (D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. Essa frase está relacionada com q p: se uma pessoa é encaminhada para o setor verde, então ela precisa autenticar (pois essa é a única função das pessoas que lá trabalham). (E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos. ~q ~p ( se a pessoa não é encaminhada, então não precisa autenticar ). Veja que este é o gabarito, pois sabemos que ~q equivalente a p q. ~p é Obs.: você poderia simplesmente interpretar a frase do enunciado. Ele diz que as pessoas que precisam autenticar são encaminhadas ao setor verde. Mas não permite concluir o que ocorre com as outras pessoas. Pode ser que parte delas também seja encaminhada ao setor verde. Agora, como todas as pessoas que precisam autenticar vão para o setor verde, se uma pessoa não foi para o setor verde é porque ela não precisa autenticar. Resposta: E. 45. FCC TJ/SE 2009) Considere as seguintes premissas: p : Trabalhar é saudável q : O cigarro mata. Prof. Arthur Lima 64

66 A afirmação Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata é FALSA se a) p é falsa e ~q é falsa. b) p é falsa e q é falsa. c) p e q são verdadeiras. d) p é verdadeira e q é falsa. e) ~p é verdadeira e q é falsa. Veja que Trabalhar não é saudável é a negação da proposição p, isto é, ~p. Já o cigarro mata é a própria proposição q. Portanto, o exercício nos deu uma proposição ~p ou q. Vimos que uma disjunção ( ou ) só é falsa se ambas as proposições que a constituem sejam falsas. Portanto, vemos que a disjunção do enunciado será falsa quando ~p for falsa e q for falsa. Entretanto, para que ~p seja falsa, o seu oposto (isto é, p) deve ser verdadeira. Assim, Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata será falsa quando p for verdadeira e q for falsa. Resposta: D 46. FCC SEFAZ/SP 2009) Considere a afirmação: Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada. Para que essa afirmação seja FALSA: a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada. c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da participação de ministros na reunião. d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada. Prof. Arthur Lima 65

67 Essa afirmação do enunciado é uma disjunção ( ou ). Ela só será falsa se ambas as proposições que a compõem sejam falsas. Vamos, portanto, obter a negação de cada uma delas separadamente: p: Pelo menos um ministro participará da reunião Como negar uma proposição com Pelo menos um? Basta usar Nenhum. Assim, temos: Nenhum ministro participará da reunião. q: nenhuma decisão será tomada. Podemos negar essa proposição dizendo: Pelo menos uma decisão será tomada. Como queremos que ambas as proposições sejam falsas, basta que a conjunção abaixo seja verdadeira: Nenhum ministro participará da reunião e pelo menos uma decisão será tomada. Portanto, se sabemos que nenhum ministro participou da reunião e, mesmo assim, 1 ou mais decisões foram tomadas, isto é suficiente para podermos afirmar que a afirmação é FALSA. A alternativa A cita o caso em que sabemos que nenhum ministro participou e, ainda assim, 2 decisões foram tomadas, o que é suficiente para desmentir a afirmação do enunciado. Resposta: A 47. FCC - TRT/2ª 2008) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas: (1) pq ; (2) ~p q; (3) ~ ( p ~ q) ; (4) ~ ( p q) Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? a) nenhuma Prof. Arthur Lima 66

68 b) apenas uma c) apenas duas d) apenas três e) quatro. Vejamos a solução mais rápida, através da tabela verdade. Do enunciado, sabemos que p é V e q é F. (1) pq é V apenas se p e q são V. Como q é F, então pq é Falsa. (2) ~p q é F apenas se ~ p é V e q é F. Porém, como p é V, então ~ p é F. Com isso, a implicação ~p q é Verdadeira. (3) ~ ( p ~ q). Veja que a negação da disjunção p ~ q é a conjunção ~p q. Essa conjunção só é V se ambos os lados são V. Como q é F, então essa expressão é Falsa. (4) ~ ( p q). A negação da bicondicional p q é o ou exclusivo p q. Esta proposição é V se uma das proposições simples é V e a outra é F. Como p é V e q é F, podemos afirmar que p q é verdadeiro. Resposta: C. 48. FCC - TRT/18ª ) Considere as proposições: p: Sansão é forte e q: Dalila é linda A negação da proposição p e ~ q é: (A) Se Dalila não é linda, então Sansão é forte. (B) Se Sansão não é forte, então Dalila não é linda. (C) Não é verdade que Sansão é forte e Dalila é linda. (D) Sansão não é forte ou Dalila é linda. (E) Sansão não é forte e Dalila é linda. A proposição p e ~q seria: Sansão é forte e Dalila não é linda Trata-se de uma conjunção. Para negá-la, basta mostrar que um dos lados é falso, ou seja: Prof. Arthur Lima 67

69 Sansão não é forte ou Dalila é linda Resposta: D 49. FCC TCE-MG 2007) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números: a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 2, 3 e 4 d) 1, 2 e 3 e) 1, 3 e 4 Consideremos as seguintes proposições simples: p: Jaime trabalha no Tribunal de Contas. q: Jaime é eficiente. Utilizando essas duas proposições simples, podemos reescrever as proposições compostas do enunciado da seguinte forma: (1) p q (2) ~p ~q (3) ~(p e ~q) (4) ~p ou q Duas proposições lógicas são equivalentes se possuem a mesma tabela-verdade, isto é, se assumem o mesmo valor lógico (V ou F) quando p e q assumem os mesmos valores lógicos. Vamos escrever abaixo a tabela-verdade de cada uma das proposições dadas. (1) p q: Prof. Arthur Lima 68

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71 50. FCC ISS/SP 2007) Considere a seguinte proposição: Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira. Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição: (A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele progride na carreira. (C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira. (D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na carreira. Considere as duas proposições simples abaixo: p = Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento q = Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira. Sendo assim, a frase do enunciado é a condicional p q. Esse é o caso mais manjado, e você deve lembrar que as proposições ~ q ~ p e ~p ou q são equivalentes a ela. Vamos escrever, portanto, essas duas últimas. Antes disso, precisamos saber as negações simples ~p e ~q: ~p Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento ~q Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira Desse modo, temos: ~ q ~ p Se um Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira, então ele participa de projetos de aperfeiçoamento. ~p ou q Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento ou não progride na carreira. Analisando as alternativas, veja que a letra D se aproxima da frase que escrevemos acima: Prof. Arthur Lima 70

72 (D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. Aqui você poderia dizer: a letra D tem uma disjunção exclusiva, e não a disjunção inclusiva (~p ou q) que vimos acima. Muito cuidado com a disjunção exclusiva. Analisando as demais alternativas de resposta, você não encontraria nenhuma parecida com ~ q ~ p ou com (~p ou q). Assim, só resta aceitar que a FCC está considerando que a expressão ou..., ou... da letra D refere-se a uma disjunção inclusiva, e não à bicondicional. Resposta: D 51. FCC ICMS/SP 2006) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em II. (x+y)/5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS: a) I é uma sentença aberta b) II é uma sentença aberta c) I e II são sentenças abertas d) I e III são sentenças abertas e) II e III são sentenças abertas Uma sentença aberta é aquela que possui uma variável cujo valor pode tornar a proposição V ou F. O caso clássico é aquele presente na alternativa II. Dependendo dos valores atribuídos às variáveis x e y, a proposição pode ser V ou F. Entretanto, a alternativa I também é uma sentença aberta. Isto porque, dependendo de quem for Ele, a proposição pode ser V ou F. Precisamos saber quem é a pessoa referida pelo autor da frase para atribuir um valor lógico. Resposta: C Prof. Arthur Lima 71

73 52. FCC ICMS/SP 2006) Se p e q são proposições, então a proposição p (~ q) é equivalente a: Observe que p (~ q) é justamente a negação da condicional p q. Isto é, podemos dizer que p (~ q) é equivalente a ~(p q). Assim, já podemos marcar a alternativa D. Que tal praticarmos a resolução mais tradicional? Basta escrever a tabela-verdade das proposições. Teremos apenas 2 2 = 4 linhas, pois só temos 2 proposições simples: P Q ~p ~q p (~ q) ~ ( q ~ p) ~ ( p q) ~ ( p ~ q) ~ ( p q) ~ q ~ V V F F F V F V F V V F F V V F F F V F F V V F F F F F F V F F V V F F V F F V p Repare que apenas a coluna de ~ ( p q) é igual à de p (~ q). Resposta: D 53. FCC ICMS/SP 2006) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. Prof. Arthur Lima 72

74 A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é: Observe que a proposição composta que buscamos só é verdadeira quando p é V e q é F. Lembrando que p q só é falsa neste mesmo caso, fica claro que a proposição que buscamos é a negação de p q, ou seja: ~(p q) Temos isto na alternativa E. Resposta: E 54. FCC ICMS/SP 2006) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p q é: Prof. Arthur Lima 73

75 Questão manjada, na qual você não pode perder tempo, mas também não pode errar. Sabemos que p q é equivalente a ~p ou q e também a ~q ~p. Temos esta última na alternativa C. Resposta: C 55. FCC ICMS/SP 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. a) A proposição Se está quente, ele usa camiseta é logicamente equivalente à proposição Não está quente e ele usa camiseta. b) A proposição Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular é falsa. c) As proposições ~ ( p q) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes d) A negação da proposição Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom, é a proposição Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom. e) A proposição ~ [ p ~ ( p q)] é logicamente falsa. Vamos avaliar cada alternativa: a) A proposição Se está quente, ele usa camiseta é logicamente equivalente à proposição Não está quente e ele usa camiseta. Sendo p = está quente e q = usa camiseta, temos: p q ~p e q Sabemos que p q é equivalente a ~p ou q, mas não a ~p e q. Veja que se tivermos p e q Verdadeiras, teríamos p q com valor lógico V e ~p e q com valor lógico F. Item FALSO. b) A proposição Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular é falsa. Aqui devemos apelar aos nossos conhecimentos para afirmar que Terra é quadrada e Lua é triangular são duas informações incorretas, isto é, Falsas. Mas, em uma condicional, F F tem valor lógico verdadeiro, ao contrário do que afirma este item. Item FALSO. Prof. Arthur Lima 74

76 c) As proposições ~ ( p q) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes Sabemos que a negação da conjunção p q, isto é, ~ ( p q), é justamente a disjunção (~ p ~ q). Portanto, é correto falar que ~ ( p q) é equivalente a (~ p ~ q), ao contrário do que o item afirma. Item FALSO. d) A negação da proposição Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom, é a proposição Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom. Sabemos que a negação de uma bicondicional ( se e somente se ) é feita com um ou exclusivo ( ou..., ou... ). Item FALSO. e) A proposição ~ [ p ~ ( p q)] é logicamente falsa. Vejamos a tabela-verdade desta proposição: p q p q ~ ( p q) p ~ ( p q) ~ [ p ~ ( p q)] V V V F V F V F F V V F F V F V V F F F F V V F De fato temos uma contradição, isto é, uma proposição que somente possui valor lógico F. Item VERDADEIRO. Resposta: E 56. FCC ICMS/SP 2006) Seja a sentença ~ {[( p q) r] [ q (~ p r)]}. Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que: a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F. b) faltou informar o valor lógico de q e de r c) essa sentença é uma tautologia d) o valor lógico dessa sentença é sempre F Prof. Arthur Lima 75

77 e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V. Observe que, se p for F, podemos afirmar que a condicional p q é V. Com isto, a disjunção ( p q) r certamente é V. Por outro lado, ~p será V. Com isso, a disjunção ~ p r certamente é V, de modo que a condicional q (~ p r) também é V. Pelo que vimos acima, a bicondicional [( p q) r] [ q (~ p r)] é V pois ela tem os valores lógicos V isto é, ~ {[( p q) r] [ q (~ p r)]}, é Falsa. V. E a negação desta bicondicional, Isto nos permite afirmar que, quando p é F, a sentença é F. Temos isto na letra A. Resposta: A 57. FCC ICMS/SP 2006) Dada a sentença ~ (~ p q r), complete o espaço com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição. a) Somente uma das três: ~p, q ou r b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r c) Somente q d) Somente p e) Somente uma das duas: q ou r Como se trata de uma condicional, devemos focar a análise no caso onde o resultado ~ (~ p q r) é F, pois se ocorrer de a condição ser V, a condicional será falsa, deixando de ser uma tautologia. Para ~ (~ p q r) ser F, (~ p q r) precisa ser V. E para a conjunção (~ p q r) ser V, é preciso que tanto ~p, q e r sejam V. Prof. Arthur Lima 76

78 Neste caso, p, ~q e ~r seriam todas F. Se qualquer uma dessas três estivesse no lugar de, teríamos uma tautologia, pois F F tem valor lógico Verdadeiro: p ~ (~ p q r) ~ q ~ (~ p q r) ~ r ~ (~ p q r) Resposta: B 58. FCC - ICMS/SP 2006) Seja a sentença aberta A: (~ p p) e a sentença aberta B: Se o espaço for ocupado por uma...(i)..., a sentença A será uma...(ii).... A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por: a) contingência e contradição b) tautologia e contradição c) tautologia e contingência d) contingência e contingência e) contradição e tautologia Inicialmente, observe que (~ p p) é uma tautologia. Para qualquer valor lógico de p (V ou F), esta disjunção é V. Assim, sabemos que na bicondicional (~ p p), o lado esquerdo é sempre V. Se o lado direito também for ocupado por uma sentença que seja sempre V (uma tautologia), a frase inteira será uma tautologia. Já se o lado direito for ocupado por uma sentença que seja sempre F (uma contradição), a frase inteira será uma contradição. Por fim, se o lado direito for ocupado por uma sentença que possa ser V ou F (uma contingência), a frase inteira será uma contingência. Temos apenas este último caso na alternativa D. Resposta: D Prof. Arthur Lima 77

79 59. FCC TRT/6ª 2006) Uma turma de alunos de um curso de Direito reuniu-se em um restaurante para um jantar de confraternização e coube a Francisco receber de cada um a quantia a ser paga pela participação. Desconfiado que Augusto, Berenice e Carlota não tinham pago as suas respectivas partes, Francisco conversou com os três e obteve os seguintes depoimentos: Augusto: Não é verdade que Berenice pagou ou Carlota não pagou. Berenice: Se Carlota pagou, então Augusto também pagou. Carlota: Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros não pagou. Considerando que os três falaram a verdade, é correto afirmar que (A) apenas Berenice não pagou a sua parte. (B) apenas Carlota não pagou a sua parte. (C) Augusto e Carlota não pagaram suas partes. (D) Berenice e Carlota pagaram suas partes. (E) os três pagaram suas partes. Vamos usar as proposições abaixo para resolver a questão: A = Augusto pagou B = Berenice pagou C = Carlota pagou Portanto, as três frases podem ser escritas da seguinte forma: Augusto: ~(B ou ~C) Berenice: C A Carlota: C e (~A ou ~B) Vamos assumir que C é V. Analisando a frase de Berenice, concluímos que A é V também. Na conjunção dita por Carlota, sabemos que C é V. Como A é V, então ~A é F. Isso obriga ~B a ser V, caso contrário a disjunção (~A ou ~B) seria F, e a frase de Carlota seria F. Como ~B é V, então B é F. E como C é V, então ~C é F também. Portanto, (B ou ~C) é F, o que torna a frase de Augusto V. Prof. Arthur Lima 78

80 Assim, assumindo que C é V, foi possível tornar as 3 frases verdadeiras, como manda o enunciado. E, neste caso, B é F e A é V. Ou seja, Carlota e Augusto pagaram, enquanto Berenice não. Isso torna a letra A, e apenas a letra A, correta. Resposta: A 60. FCC SEFAZ-SP 2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo V. Escreva uma poesia A frase que não possui essa característica comum é a: a) IV b) V c) I d) II e) III Note que a frase IV é uma proposição, pois pode assumir os valores lógicos V ou F. Entretanto, é impossível atribuir esses valores lógicos às demais frases, pois temos pergunta (III), ordem ou pedido (V), e expressão de opiniões (I e II). Ou seja, todas elas não são proposições. Portanto, a única frase diferente é a da letra IV, por ser uma proposição, ao contrário das demais. Resposta: A Prof. Arthur Lima 79

81 Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço, Prof. Arthur Lima Prof. Arthur Lima 80

82 1. FCC TRT/BA 2013) Devido à proximidade das eleições, foi decidido que os tribunais eleitorais deveriam funcionar, em regime de plantão, durante um determinado domingo do ano. Em relação a esse plantão, foi divulgada a seguinte orientação: Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário. Considere que a orientação foi cumprida e que o plantão só foi finalizado às 18 horas. Então, pode-se concluir que, necessariamente, (A) nenhum processo foi analisado até às 11 horas. (B) todos os processos foram analisados até às 11 horas. (C) pelo menos um processo terminou de ser analisado às 18 horas. (D) todos os processos foram analisados até às 18 horas. (E) pelo menos um processo não foi analisado até às 11 horas. 2. FCC ICMS/SP 2006) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é: a) condicional b) bicondicional c) disjunção inclusiva d) conjunção e) disjunção exclusiva 3. FCC Banco do Brasil 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete: Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. Prof. Arthur Lima 81

83 Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo 4. FCC TRT/19ª 2014) Considere a seguinte afirmação: Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito. Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é (A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito. (B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. (C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência. 5. FCC ICMS/SP 2006) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição (10 10) (8 3 6) é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição p q (~ q) é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em: Prof. Arthur Lima 82

84 a) I e II b) I e III c) I d) II e) III 6. FCC SEPLAN/PI 2013) Se Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele é triste. Portanto, se (A) Heráclito é triste, o mundo está em permanente mudança. (B) Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele é triste. (C) Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele não é triste. (D) Heráclito não é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. (E) Heráclito é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. 7. FCC BACEN 2005) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central Se p implica em q, então: q: fazer frente ao fluxo positivo a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. Prof. Arthur Lima 83

85 8. FCC BAHIAGÁS 2010) Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6. Um valor de n que mostra ser falsa a frase acima é: a) 30 b) 33 c) 40 d) 42 e) FUNDATEC SES-RS 2014) Considerando os operadores lógicos usados nas sentenças compostas abaixo, é correto afirmar que a sentença composta que representa um condicional FALSO é: a) Se 2 é ímpar, então 2 é par. b) 2 é par, logo 11 é primo. c) Se 2 é par, então, 6 é primo. d) 5 é ímpar, portanto 4 é par. e) 4 ser ímpar implica que 5 é par. 10. FUNDATEC SES-RS 2014) Qual das alternativas abaixo é uma tautologia? a) ~(A B) (~A ~B) b) (~A B) (B A) c) ((A B) B) ~A d) (A B) (~A ~B) e) ((A B) ~B) A 11. FUNDATEC SES-RS 2014) Dadas as proposições, analise: I. Todos os motoristas são responsáveis. II. Nenhum motorista é responsável. III. Alguns motoristas não são responsáveis. IV. Existem motoristas responsáveis. Prof. Arthur Lima 84

86 V. Não existem motoristas que são responsáveis. RACIOCÍNIO LÓGICO, ANALÍTICO E QUANTITATIVO P/ IGP-RS Dentre as alternativas a seguir, selecione aquela que associa corretamente uma proposição categórica com a sua negação. a) A negação da proposição IV é a proposição III. b) A negação da proposição I é a proposição III. c) A negação da proposição II é a proposição III. d) A negação da proposição I é a proposição II. e) A negação da proposição I é a proposição V. 12. FUNDATEC IRGA 2013) Para responder à questão, considere a tabela a seguir, a qual apresenta valores lógicos de forma binária. Cada coluna representa uma proposição lógica (simples ou composta), 0 representa o valor lógico falso, e 1 representa o valor lógico verdadeiro. A B ~A ~B C D E F G H I Baseando-se no conceito de operações lógicas e suas respectivas Tabelas- Verdade, que proposições estão representadas nas colunas E e F, respectivamente? a) bicondição e disjunção inclusiva. b) condição e disjunção exclusiva. c) conjunção e disjunção exclusiva. d) disjunção inclusiva e condição. e) disjunção inclusiva e conjunção. 13. FUNDATEC IRGA 2013) A negação da proposição João é médico ou João é engenheiro. é: a) João não é médico e João não é engenheiro. Prof. Arthur Lima 85

87 b) João não é médico ou João não é engenheiro. RACIOCÍNIO LÓGICO, ANALÍTICO E QUANTITATIVO P/ IGP-RS c) Não é verdade que João não é médico ou João é engenheiro. d) Não é verdade que João não é médico e João é engenheiro. e) Não é verdade que João é médico e João é engenheiro. 14. FUNDATEC CREA/PR 2010) Dadas as proposições: p: os gatos são marrons. q: os cães são amarelos. Uma das formas de representação, em linguagem simbólica, da proposição Não é verdade que, se os gatos não são marrons, então os cães são amarelos. é A) ~(p q) B) p ~q C) ~p ~q D) ~(p q) E) ~p q 15. CESPE INSS 2016) A sentença "Bruna, acesse a internet e verifique a data de aposentadoria do Sr. Carlos!" é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p^q. 16. CESPE INSS 2016) Dadas as proposições simples p: "Sou aposentado" e q: "Nunca faltei ao trabalho", a proposição composta "Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado" deverá ser escrita na forma (p^q) ~p, usando-se os conectivos lógicos. 17. CESPE INSS 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue os itens subsequentes. ( ) Na lógica proposicional, a oração Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que é não fumante representa uma proposição composta. Prof. Arthur Lima 86

88 18. CESPE TRE/MT 2015) A negação da proposição: Se o número inteiro m > 2 é primo, então o número m é ímpar pode ser expressa corretamente por A Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo. B Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar. C O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar. D O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar. E Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar. 19. CESPE TCE/RN 2015) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. ( ) A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por Se o comprador escritura o imóvel, então ele o registra. 20. CESPE INSS 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue os itens subsequentes. ( ) Considerando-se as proposições simples Cláudio pratica esportes e Cláudio tem uma alimentação balanceada, é correto afirmar que a proposição Cláudio pratica esportes ou ele não pratica esportes e não tem uma alimentação balanceada é uma tautologia. 21. CESPE TCE/RN 2015) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel. Prof. Arthur Lima 87

89 A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. ( ) A proposição P é logicamente equivalente à proposição O comprador escritura o imóvel, ou não o registra. 22. CESPE TCE/RN 2015) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. ( ) Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o escriturou. 23. FCC SEFAZ/PE 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo prefeito de uma grande capital. Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das passagens de ônibus será reajustado. Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é: (A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o preço das passagens de ônibus não será reajustado. (B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das passagens de ônibus não será reajustado. (C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação não terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado. (D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado. (E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado. Prof. Arthur Lima 88

90 24. FCC SEFAZ/PE 2015) Antes da rodada final do campeonato inglês de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das duas únicas equipes com chances de serem campeãs, por meio da seguinte afirmação: Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida e que o Chelsea perca ou empate a sua. Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta informação é: Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele (A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua. (B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate a sua. (C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o Chelsea não vença a sua. (D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua. (E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate a sua. 25. FCC TRF/3ª 2014) Considere a afirmação: Nem todas as exigências foram cumpridas ou o processo segue adiante. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente à acima é: (A) Se o processo segue adiante, então nem todas as exigências foram cumpridas. (B) O processo não segue adiante e todas as exigências foram cumpridas. (C) Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue adiante. (D) Se nenhuma exigência foi cumprida, então o processo não segue adiante. (E) Nem todas as exigências foram cumpridas e o processo segue adiante. Prof. Arthur Lima 89

91 26. FCC TRT/2ª 2014) Durante um comício de sua campanha para o Governo do Estado, um candidato fez a seguinte afirmação: Se eu for eleito, vou asfaltar quilômetros de estradas e construir mais de casas populares em nosso Estado. Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados quilômetros de estradas no Estado. (B) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de casas populares no Estado. (C) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados quilômetros de estradas no Estado. (D) o candidato foi eleito e foram construídas mais de casas populares no Estado. (E) não foram asfaltados quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de casas populares no Estado. 27. FCC TRT/2ª 2014) Um dia antes da reunião anual com os responsáveis por todas as franquias de uma cadeia de lanchonetes, o diretor comercial recebeu um relatório contendo a seguinte informação: Todas as franquias enviaram o balanço anual e nenhuma delas teve prejuízo neste ano. Minutos antes da reunião, porém, ele recebeu uma mensagem em seu celular enviada pelo gerente que elaborou o relatório, relatando que a informação não estava correta. Dessa forma, o diretor pôde concluir que, necessariamente, (A) nenhuma franquia enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo neste ano. Prof. Arthur Lima 90

92 (B) alguma franquia não enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo neste ano. (C) nenhuma franquia enviou o balanço anual ou pelo menos uma delas teve prejuízo neste ano. (D) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas tiveram prejuízo neste ano. (E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma delas teve prejuízo neste ano. 28. FCC TJAP 2014) Considere a seguinte declaração, feita por um analista político fictício: se o partido P conseguir eleger Senador no Estado F ou no Estado G, então terá a maioria no Senado. A partir da declaração do analista, é correto concluir que, necessariamente, se o partido P (A) não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido eleger o senador no Estado G. (B) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no Estado G. (C) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no Estado F. (D) não conseguiu eleger o senador no Estado F, então não terá a maioria no Senado. (E) não conseguiu eleger o senador no Estado G, então não terá a maioria no Senado. 29. FCC TJAP 2014) No Brasil, o voto é obrigatório apenas para os brasileiros alfabetizados que têm de 18 a 70 anos. De acordo com essa informação, se Luíza é uma brasileira que não é obrigada a votar, então, necessariamente, Luíza (A) é analfabeta e tem menos de 18 anos ou mais de 70. (B) é analfabeta ou tem menos de 18 anos ou mais de 70. (C) não é analfabeta, mas tem menos de 18 anos. Prof. Arthur Lima 91

93 (D) é analfabeta, mas pode ter de 18 a 70 anos. RACIOCÍNIO LÓGICO, ANALÍTICO E QUANTITATIVO P/ IGP-RS (E) tem mais de 70 anos, mas pode não ser analfabeta. 30. FCC TJAP 2014) Vou à academia todos os dias da semana e corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é (A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana. (B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na semana. (C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a semana. (D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na semana. (E) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana. 31. FCC SAEB/BA 2014) Renata disse a seguinte frase: Se Lucas venceu o jogo, então Denis não compareceu. Lucas, irado, afirmou que a frase dita por Renata não era verdadeira. Uma frase, que do ponto de vista lógico, é a negação da frase dita por Renata é: (A) Lucas venceu o jogo ou Denis venceu o jogo. (B) Denis não compareceu ao jogo e Lucas não venceu. (C) Lucas venceu o jogo e Denis compareceu. (D) Se Lucas não venceu o jogo, então Denis compareceu. (E) Lucas venceu o jogo ou Denis compareceu. 32. FCC METRÔ/SP 2014) Todos os mecânicos são inteligentes e resolvem problemas. Uma afirmação que representa a negação lógica da afirmação anterior é: (A) nenhum mecânico é inteligente e resolve problemas. (B) se um mecânico não é inteligente, então ele não resolve qualquer problema. Prof. Arthur Lima 92

94 (C) algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas. (D) todos os mecânicos não são inteligentes ou ninguém resolve problemas. (E) se um mecânico resolve problemas, então ele é inteligente. 33. FCC TRT/1ª 2013) Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, esse vereador (A) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (B) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (C) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha empregado um parente em seu gabinete. (D) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um parente em seu gabinete. (E) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete. 34. FCC TRT/1ª 2013) Leia os Avisos I e II, colocados em um dos setores de uma fábrica. Aviso I Prezado funcionário, se você não realizou o curso específico, então não pode operar a máquina M. Aviso II Prezado funcionário, se você realizou o curso específico, então pode operar a máquina M. Prof. Arthur Lima 93

95 Paulo, funcionário desse setor, realizou o curso específico, mas foi proibido, por seu supervisor, de operar a máquina M. A decisão do supervisor (A) opõe-se apenas ao Aviso I. (B) opõe-se ao Aviso I e pode ou não se opor ao Aviso II. (C) opõe-se aos dois avisos. (D) não se opõe ao Aviso I nem ao II. (E) opõe-se apenas ao Aviso II. 35. FCC PGE/BA 2013) Alice irá ao País das Maravilhas quando imaginar ou perder o medo. Se Alice perder o medo, (A) Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar. (B) Alice irá ao País das Maravilhas. (C) Alice vai necessariamente imaginar. (D) Alice não irá, também, imaginar. (E) Alice não vai imaginar. 36. FCC MPE/AM 2013) O professor de uma disciplina experimental de um curso de Engenharia estabeleceu no início do semestre que, para ser aprovado, um aluno teria de realizar pelo menos 5 das 6 experiências propostas e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0. Como Juca foi reprovado nessa disciplina, pode-se concluir que ele, necessariamente, (A) realizou apenas 4 experiências e teve média de relatórios, no máximo, igual a 5,0. (B) realizou 4 ou menos experiências e teve média de relatórios inferior a 6,0. (C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios inferior a 6,0. (D) não realizou qualquer experiência, tendo média de relatórios igual a 0,0. Prof. Arthur Lima 94

96 (E) não realizou qualquer experiência ou teve média de relatórios menor ou igual a 5, FCC TRT/BA 2013) Analisando a tabela de classificação do campeonato de futebol amador do bairro antes da realização da última rodada, o técnico do União concluiu que, caso seu time vencesse sua última partida ou o time do Camisa não ganhasse seu último jogo, então o União seria campeão. Sabendo que o União não se sagrou campeão, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o Camisa perdeu seu jogo e o União perdeu o seu. (B) o Camisa venceu seu jogo e o União venceu o seu. (C) o Camisa empatou seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu. (D) o Camisa empatou seu jogo e o União venceu o seu. (E) o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu 38. FCC TRT/11 a 2012) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que (A) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados. (B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado. (C) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram usados. (D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados. (E) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado. 39. FCC ALESP 2010) Durante uma sessão no plenário da Assembleia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa: Prof. Arthur Lima 95

97 Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação: a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação. 40. FCC - DNOCS ) Considere a seguinte proposição: Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional. Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. 41. FCC SEFAZ/SP 2010) Considere as seguintes premissas: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. q: O trabalho enobrece. Prof. Arthur Lima 96

98 A afirmação Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente é, com certeza, FALSA quando: a) p é falsa e q é falsa. b) p é verdadeira e q é verdadeira. c) p é falsa e q é verdadeira. d) p é verdadeira e q é falsa. e) p é falsa ou q é falsa. 42. FCC METRÔ/SP 2010) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ~ q é: a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. 43. FCC SEFAZ/SP 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a seus funcionários: Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a gripe. Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa: a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele tem mais de 45 anos de idade. Prof. Arthur Lima 97

99 b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não toma a vacina contra a gripe. c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50 ou mais anos de idade. d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe. e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade. 44. FCC - TRE-PI ) Um dos novos funcionários de um cartório, responsável por orientar o público, recebeu a seguinte instrução: Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao setor verde. Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, podese concluir que, necessariamente, (A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. (B) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. (C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. (D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. (E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos. 45. FCC TJ/SE 2009) Considere as seguintes premissas: p : Trabalhar é saudável q : O cigarro mata. A afirmação Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata é FALSA se a) p é falsa e ~q é falsa. b) p é falsa e q é falsa. Prof. Arthur Lima 98

100 c) p e q são verdadeiras. d) p é verdadeira e q é falsa. e) ~p é verdadeira e q é falsa. 46. FCC SEFAZ/SP 2009) Considere a afirmação: Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada. Para que essa afirmação seja FALSA: a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada. c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da participação de ministros na reunião. d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada. 47. FCC - TRT/2ª 2008) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas: (1) pq ; (2) ~p q; (3) ~ ( p ~ q) ; (4) ~ ( p q) Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? a) nenhuma b) apenas uma c) apenas duas d) apenas três e) quatro. 48. FCC - TRT/18ª ) Considere as proposições: p: Sansão é forte e q: Dalila é linda Prof. Arthur Lima 99

101 A negação da proposição p e ~ q é: (A) Se Dalila não é linda, então Sansão é forte. (B) Se Sansão não é forte, então Dalila não é linda. (C) Não é verdade que Sansão é forte e Dalila é linda. (D) Sansão não é forte ou Dalila é linda. (E) Sansão não é forte e Dalila é linda. RACIOCÍNIO LÓGICO, ANALÍTICO E QUANTITATIVO P/ IGP-RS 49. FCC TCE-MG 2007) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números: a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 2, 3 e 4 d) 1, 2 e 3 e) 1, 3 e FCC ISS/SP 2007) Considere a seguinte proposição: Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira. Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição: (A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele progride na carreira. (C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira. Prof. Arthur Lima 100

102 (D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na carreira. 51. FCC ICMS/SP 2006) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em II. (x+y)/5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS: a) I é uma sentença aberta b) II é uma sentença aberta c) I e II são sentenças abertas d) I e III são sentenças abertas e) II e III são sentenças abertas 52. FCC ICMS/SP 2006) Se p e q são proposições, então a proposição p (~ q) é equivalente a: 53. FCC ICMS/SP 2006) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. Prof. Arthur Lima 101

103 A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é: 54. FCC ICMS/SP 2006) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p q é: 55. FCC ICMS/SP 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. a) A proposição Se está quente, ele usa camiseta é logicamente equivalente à proposição Não está quente e ele usa camiseta. b) A proposição Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular é falsa. Prof. Arthur Lima 102

104 c) As proposições ~ ( p q) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes d) A negação da proposição Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom, é a proposição Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom. e) A proposição ~ [ p ~ ( p q)] é logicamente falsa. 56. FCC ICMS/SP 2006) Seja a sentença ~ {[( p q) r] [ q (~ p r)]}. Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que: a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F. b) faltou informar o valor lógico de q e de r c) essa sentença é uma tautologia d) o valor lógico dessa sentença é sempre F e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V. 57. FCC ICMS/SP 2006) Dada a sentença ~ (~ p q r), complete o espaço com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição. a) Somente uma das três: ~p, q ou r b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r c) Somente q d) Somente p e) Somente uma das duas: q ou r 58. FCC - ICMS/SP 2006) Seja a sentença aberta A: (~ p p) e a sentença aberta B: Se o espaço for ocupado por uma...(i)..., a sentença A será uma...(ii).... A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por: a) contingência e contradição Prof. Arthur Lima 103

105 b) tautologia e contradição c) tautologia e contingência d) contingência e contingência e) contradição e tautologia 59. FCC TRT/6ª 2006) Uma turma de alunos de um curso de Direito reuniu-se em um restaurante para um jantar de confraternização e coube a Francisco receber de cada um a quantia a ser paga pela participação. Desconfiado que Augusto, Berenice e Carlota não tinham pago as suas respectivas partes, Francisco conversou com os três e obteve os seguintes depoimentos: Augusto: Não é verdade que Berenice pagou ou Carlota não pagou. Berenice: Se Carlota pagou, então Augusto também pagou. Carlota: Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros não pagou. Considerando que os três falaram a verdade, é correto afirmar que (A) apenas Berenice não pagou a sua parte. (B) apenas Carlota não pagou a sua parte. (C) Augusto e Carlota não pagaram suas partes. (D) Berenice e Carlota pagaram suas partes. (E) os três pagaram suas partes. 60. FCC SEFAZ-SP 2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo V. Escreva uma poesia A frase que não possui essa característica comum é a: a) IV Prof. Arthur Lima 104

106 b) V c) I d) II e) III Prof. Arthur Lima 105

107 01 E 02 D 03 C 04 D 05 B 06 D 07 C 08 B 09 C 10 E 11 B 12 B 13 A 14 C 15 E 16 C 17 C 18 C 19 E 20 E 21 C 22 C 23 E 24 A 25 C 26 E 27 E 28 A 29 B 30 A 31 C 32 C 33 C 34 E 35 B 36 C 37 E 38 B 39 A 40 E 41 D 42 A 43 C 44 E 45 D 46 A 47 C 48 D 49 E 50 D 51 C 52 D 53 E 54 C 55 E 56 A 57 B 58 D 59 A 60 A Prof. Arthur Lima 106