Estatística Descritiva 1. Renato Vicente EACH-USP/2008

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1 Estatística Descritiva 1 Renato Vicente EACH-USP/2008

2 Resumo 1. O que é Estatística 2. Tipos de Dados 3. Processamento Descritivo 4. Tabelas de Frequência 5. Medidas Resumo

3 Origens William Petty (Reino Unido) Political Arithmetik John Graunt (Reino Unido) Observation on the Bills of Mortality Hermann Conring (Alemanha) Statistik = Staten+Arithmetik

4 Método Estatístico Amostra Inferência Estatística População Teoria de Probabilidades Estatística Descritiva

5 Questões sobre os dados 1. QUEM? Que indivíduos os dados descrevem? Quantos são? 2. O QUE? Quantas variáveis os dados contêm? Quais são as definições exatas dessas variáveis? Quais são as unidades de medida destas variáveis? 3. PARA QUE? Para que propósito servirão os dados? Há questões específicas que desejamos responder? Queremos concluir algo sobre indivíduos diferentes dos presentes nos dados? As variáveis medidas são apropriadas para nossos objetivos?

6 Tipos de Variáveis 1. Quantitativas: toma valores numéricos para os quais faz sentido fazer operações aritméticas; 2. Qualitativas ou Categóricas: Coloca cada indivíduo em diferentes grupos ou categorias.

7 Estudo Médico Um estudo médico levantou as seguintes variáveis: Sexo (M ou F) Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) Fumante (S ou N) Pressão arterial (mm de Hg) Nível de Cálcio no sangue (microgramas por mililitro)

8 Tipos de Variáveis II 1. Quantitativas: (a) Discretas: valores inteiros resultado de contagens; (b) Contínuas: valores reais resultado de mensuração. 2. Qualitativas ou Categóricas: (a) Nominais: sem ordem natural; (b) Ordinais: têm ordenação indicando intensidades crescentes.

9 Processamento Estatístico Descritivo Rol = dados adequadamente organizados Resumo de informação através de tabelas e gráficos Medidas resumo

10 Tabela de freqüência frequências absolutas frequências relativas SEXO ni F M T N= 1

11 Exercício1: Questionário em clínica ortopédica Pacientes Fisioterapia (meses) Seqüelas S S N N N S S N N S S N S N N Cirurgia A M A M M B A M B M B B M M A (complexidade) 1. Quais são os tipos de variáveis? 2. Construa uma tabela de freqüência para cada variável.

12 Exercício2: Questionário no Departamento de Contabilidade Funcionário Escolaridade Idade Salário (R$) Anos de Empresa 1 superior , superior , médio , médio , médio , médio , médio , médio , fundamental , fundamental ,00 3

13 Distribuições Estatísticas: Histograma Histograma Freqüência Mais Livros por ano

14 Medidas Resumo DISPERSÃO: Desvio Padrão, Largura à Meia Altura e Distância Interquartis POSIÇÃO: Média, Moda e Mediana

15 Quanto ganha quem tem curso superior? Entrevistamos 15 pessoas que responderam (em milhares de R$/mês): 11 2, ,5 3 3,5 3 0,4 3, ,2 7,4 6 Salário de Indivíduos com Curso Superior 8 Freqüência Mais Salário Como resumir esta informação?

16 Média Para achar a média aritmética, ou simplesmente média, você deve somar cada um dos valores e dividir pelo número de observações. A média é comumente denotada por uma barra sobre a variável, assim para nosso exemplo: 11+2, ,5+3+3,5+3+0,4+3, ,2+7, ,7 x = = = , 45 A forma geral para a média é: x = x + x + + x 1 2 n 1 = x n k = 1 k n n

17 O que a média representa? Uma analogia física para a média. 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Mais Freqüência Salários

18 O que a média representa? Representa quanto cada um receberia se o total de salários fosse dividido identicamente. 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Mais Freqüência outlier Salários E se removermos o outlier da amostra? O que acontece com a média?

19 Eliminando o outlier Calculando a média novamente: 2, ,5+3+3,5+3+0,4+3, ,2+7,4+6 x = = 14 3, 98 Freqüência 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Mais Salários E se entrevistássemos um felizardo que ganhe R$200 mil/mês? O que ocorre com a média?

20 Efeito do outlier Calculando a média novamente: 200+2, ,5+3+3,5+3+0,4+3, ,2+7,4+6 x = = 15 17, 0 Freqüência Salários CUIDADO: A média é uma medida sensível a valores grandes.

21 Mediana Para achar a mediana ordenamos os dados e encontramos o valor que divide as observações ao meio: Dados fora de ordem: 11 2, ,5 3 3,5 3 0,4 3, ,2 7,4 6 Dados ordenados: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7,4 11 A mediana M será: M=3,5 E se eliminarmos o outlier?

22 Eliminando o outlier Dados ordenados sem o outlier: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7,4 A mediana M será: M=(3,2+3,5)/2 = 3,35 A mediana é bem menos sensível a valores grandes do que a média. Mas, e se agora introduzirmos nosso felizardo assalariado que recebe R$200 mil/mês?

23 Efeito do outlier Dados ordenados sem o outlier: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7,4 200 A mediana M será: M=3,5 Um único valor muito grande não altera a mediana. A mediana é dita uma medida de posição resistente devido a essa característica.

24 Moda Qual seria o salário (ou salários) mais freqüentes? x Para achar a moda montamos uma tabela de freqüências e procuramos pelo salário ou faixa com maior freqüência: É mais fácil começar com dados ordenados: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7,4 11 Montamos a tabela de freqüências: [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10) [10,11) n A moda está no intervalo [3,4), escolhemos o meio do intervalo como indicador: MODA=3,5.

25 Pense a respeito 1 1. Como deve ser a distribuição para que a média e a mediana sejam idênticas? Desenhe o histograma. 2. Como deve ser o histograma para que a mediana seja igual a moda mas a média seja maior que a mediana? 3. Como deve ser o histograma para que a moda seja maior que a mediana e a mediana seja maior que a média?

26 Pense a respeito MODA=MEDIANA=MEDIA

27 Pense a respeito x 10-5 MODA 3 MEDIANA MEDIA x 10 4

28 Pense a respeito MODA MODA MEDIA MEDIA MEDIANA 0.05 MEDIANA

29 Pense a respeito 2 Você está procurando emprego para o próximo ano. As empresas A e B são totalmente equivalentes a menos de suas políticas de remuneração. As características de remuneração de cada uma das empresas são resumidas na tabela a seguir: Empresa A B Média Mediana Moda Qual das duas empresas você escolheria? Justifique

30 Pense a respeito 3 Quais medidas de posição são mais adequadas nos seguintes casos? Justifique. Estão disponíveis dados mensais sobre a incidência de envenenamento por picada de cobra. Deseja-se planejar a compra mensal de antídoto. O número diário de usuários, entre 17 e 19 horas, de determinada linha de ônibus foi anotado. Pretende-se utilizar essa informação para dimensionar a frota em circulação. Um fabricante de baterias deseja divulgar a durabilidade do seu produto e coleta a informação sobre a duração de 100 de suas baterias.

31 Exercício 3 Vinte e cinco residência de um bairro foram sorteadas e visitadas por um entrevistador que, entre outras questões, perguntou sobre o número de televisores. Os dados foram os seguintes: 2,2,2,3,1,2,1,1,1,1,0,1,2,2,2,2,3,1,1,3,1,2,1,0,2 Organize os dados em uma tabela de freqüência e determine as diversas medidas de posição.

32 Exercício 4 Num experimento, 15 coelhos foram alimentados com uma nova ração e seu peso avaliado ao fim de um mês. Os dados referentes ao ganho de peso (em kg) foram os seguintes: 1,5; 1,6; 2,3; 1,7; 1,5; 2,0; 1,5; 1,8; 2,1; 2,1; 1,9; 1,8; 1,7; 2,5; 2,2 a. Utilizando os dados brutos acima, determine média, moda e mediana. b. Organize uma tabela de freqüência com faixas de amplitude 0,2 a partir de 1,5. c. Calcule a partir da tabela de freqüência e com o ponto médio representando cada faixa, a média, a moda e a mediana. Comente as diferenças em relação ao item a. d. Se ao invés de 15, fossem 500 coelhos, qual seria o procedimento mais conveniente (a) ou (c)?

33 Quartis Os quartis são outra forma de caracterizar quantitativamente a distribuição de uma variável. A idéia geral consiste em ordenar os dados brutos e registrar o valor abaixo do qual está 25% dos dados (Primeiro Quartil), 50% dos dados (Mediana) e 75% dos dados (Terceiro Quartil). Por exemplo, retornando aos dados salariais temos: Dados fora de ordem: , ,5 3 3,5 3 0,4 3, ,2 7,4 6 Dados ordenados: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7, % dos dados está abaixo de 3, assim, o Primeiro Quartil é Q1=3; 50% dos dados está abaixo de 4,25, assim, o Segundo Quartil, que também é a Mediana é Q2=M=4,25; 75% dos dados está abaixo de 5,75, assim, o Teceiro Quartil é Q3=5,75

34 Sumário de 5 números Podemos descrever uma distribuição de forma resumida fornecendo 5 números apenas: mínimo, Q1, M, Q3, máximo. No exemplo: Dados ordenados: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7, MIN = 0,4 Q1 = 3,0 M = 4,25 Q3 = 5,75 MAX = 200

35 Questionário respondido em sala de aula: Variável Peso para ambos os sexos Freqüência Peso kg MIN=40 Q1=58 M=64 Q2=72 MAX=105

36 Box Plot MAX = 200 O Boxplot tambem é conhecido como diagrama de traço-caixa. Nele obtemos um sumário completo dos dados de forma simples. Modemos ver a mediana, a dispersão, a assimetria e potenciais outliers. Q1 = 4,25 Q3 = 5,75 MIN = 0,4 Q1 = 3,0

37 Questionário respondido em sala de aula: Variável Altura versus Sexo SEXO F M Q1 1,6 1,715 Q3-Q1 0,1 0,1075 Q3 1,7 1,8225 MIN 1,52 1,62 MAX 1,79 1,9 MEDIANA 1,655 1,75 MED-MIN 0,135 0,13 MAX-MED 0,135 0,15 2 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 F M

38 Box Plot no Excel Curiosamente, não há uma forma de fazer um boxplot que seja automatizada no Excel. Para construí-lo é necessário seguir os seguintes passos: 1. Monte uma tabela com o sumário de 5 números na seqüência indicada abaixo: SEXO F M Q1 1,6 1,72 MIN 1,52 1,62 MEDIANA 1,66 1,75 MAX 1,79 1,9 Q3 1,7 1,82

39 Box Plot no Excel 2. Marque a tabela inteira, inclusive os títulos e selecione Inserir Gráfico. Escolha um gráfico de linhas e selecione Seqüências em Linhas ( o padrão é Seqüências em Colunas ). Conclua a operação, ajuste a escala e apague as legendas automáticas. Ao final deste passo você terá obtido: 2 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 F M

40 Box Plot no Excel 3. Selecione as linhas uma a uma. Selecione Linha > Nenhuma > Selecione como marcador -, aumente o tamanho do marcador e mude a cor para preto. 2 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 F M

41 Box Plot no Excel 3. Selecione qualquer uma das séries, vá a Formatar seqüências de dados> Opções, escolha Linhas de máximo e mínimo e Barras superiores/inferiores. 2 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 F M

42 Questionário respondido em sala de aula: Variável Peso para ambos os sexos Freqüência Peso kg MIN=40 Q1=58 M=64 Q2=72 MAX=105

43 Quantis: Generalizando a idéia de Quartis Ao invés de fixarmos os percentuais de interesse em 25%, 50% e 75% dos dados podemos trabalhar com um percentual qualquer, ou quantil. Observando novamente os dados brutos de peso colhidos em classe podemos montar uma tabela de freqüências: Bloco Freqüência Freq. Cum Freq Cum Norm % % % % % % % % % % % % % % % Mais %

44 Quantis: Generalizando a idéia de Quartis Utilizando a coluna de freqüências cumulativas normalizadas podemos montar a distribuição de probabilidade da variável peso, que registra todos os quantis. Probabilidade Cumulativa 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Q2 Q1 Mediana Peso (kg) Alternativamente e possível construir esta curva ordenando os dados e contanto as observações, assim, por exemplo o quantil de 10% estaria relacionado com a média entre a as observações 11 e 12 na ordem.

45 Desvio Padrão da amostra A medida mais comum de dispersão não é o sumário de 5 números. Mas sim o desvio padrão da média definido como a raiz quadrada da variância: s ( x x) + ( x x) + + ( x x) n = n 1 1 s x x n 2 2 = ( ) j n 1 j= 1 O desvio padrão da amostra é: n 1 s = ( x x) n 1 j= 1 j 2

46 Calculando o Desvio Padrão A taxa metabólica de uma pessoa é a taxa na qual o corpo consome energia. A mensuração da taxa metabólica é importante em estudos de ganho de peso, dieta e exercícios. A seguir estão listadas as taxas metabólicas de 7 homens que participaram de um estudo sobre dietas. (As unidades são calorias por 24 horas. Estas são as mesmas caloria utilizadas para descrever o conteúdo energético de alimentos.) Primeiro calculamos a média: x = =

47 Tem que ser 0!!! Calculando o Desvio Padrão Para calcularmos o desvio padrão, primeiro montamos a tabela abaixo:

48 Agora calculamos a variância: Calculando o Desvio Padrão s = = 35811, 77 6 Finalmente, calculamos o desvio padrão: s = 35811, 77 = 189,24

49 O que significa o desvio padrão? Na figura abaixo mostramos a taxa metabólica média, a taxa metabólica de cada um dos indivíduos (pontos azuis) e os desvios de dois deles. O desvio padrão é uma medida dos desvios típicos independente do sinal destes desvios e colocando mais peso em grandes desvios do que em pequenos.

50 Exercício 5: Calculando o desvio padrão a partir de uma tabela de freqüências O salário de professores de ensino fundamental da rede privada está sendo estudado. A tabela abaixo apresenta os valores, em salários mínimos, obtidos em um levantamento numa certa cidade. Desejamos calcular a média e o desvio padrão da amostra. Salário total Frequência MÉDIA = (14 * * * 10) / 70 = 4,97 VAR_AMOSTRAL = [14 * (2-4,97)^ * (4-4,97)^ * (6-4,97)^2 + 9 * (8-4,97)^2 + 4 * (10-4)^2]/ 69 = 5,04 DESVIO PADRÃO = 2,24

51 (a) (b) Exercício 6 Estamos estudando o impacto do estágio na obtenção de bons empregos. Dentre os recém formados e com empregos considerados bons, foi sorteada uma amostra e observado o número de anos de estágio anteriores à formatura. Calcule a media e a variância; Para efeito de análise, decidiu-se desprezar os valores que se distanciassem da média amostral por mais de dois desvios padrão (outliers), isto é, só serão considerados os valores no intervalo MÉDIA 2 DESVIOS PADRÃO até MÉDIA + 2 DESVIOS PADRÃO. Recalcule (a) e comente os resultados. Anos de estágio Total Freqüência

52 Exercício 7 O Centro Acadêmico de uma faculdade pretende iniciar uma campanha junto à direção da escola com vistas a melhoria das salas de informática. Para tal, fez uma enquete com todos os alunos e perguntou sobre o número de computadores que cada um tinha em sua residência. Computadores Total Freqüência (a) (b) Calcule a média e a variância. O centro acadêmico argumenta que o ideal é ter uma média de 1 computador por aluno, juntando os 20 da sala de informática da faculdade com os que os alunos têm em casa. Quantos computadores precisariam ser acrescentados À sala para atender o Centro Acadêmico?

53 Exercício 8 As notas finais de uma prova do curso de TADI foram: 7,5,4,5,6,3,8,4,5,4,6,4,5,6,4,6,6,3,8,4,5,4,5,5, e 6. (a) (b) Organize os dados, calcule a média a mediana e a moda. Separa os dados em dois grupos, os aprovados (>=5) e os reprovados. Compare o desvio padrão dos dois grupos.