APOSTILA DO LABORATÓRIO FÍSICA 1

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1 APOSTILA DO LABORATÓRIO FÍSICA 1 014

2 Índice Introdução... 3 Teoria de Erros ª Experiência : Medidas Físicas... 3 a Experiência: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ª Experiência: Mesa de Força ª Experiência: Molas ª Experiência: Força de Atrito ª Experiência: Equilíbrio Estático do Corpo Rígido-Escada ª Experiência: Equilíbrio Estático do Corpo Rígido-Barra...64 FATEC - SP Página

3 Introdução Esta apostila contém os roteiros das seis experiências que serão desenvolvidas no decorrer do semestre. Cada roteiro é formado por uma parte introdutória, que aborda de maneira sucinta as leis físicas e os conceitos que serão usados no experimento, procedimento experimental e folhas de respostas. Nestas folhas de respostas serão colocados os cálculos e resultados obtidos relativos a quatro experiências que constituirão os exercícios de laboratório. Para as duas experiências restantes, o aluno não fará uso da folha de respostas, pois serão efetuados relatórios que deverão conter: objetivo, material utilizado, introdução teórica, procedimento experimental, cálculos, gráficos, resultados obtidos, conclusão e bibliografia. Recomenda-se que o aluno leia cada roteiro antes das aulas de laboratório e que não se esqueça de trazer a apostila, sem a qual não conseguirá realizar a experiência. Cada turma de laboratório será dividida em dois grupos que terão aulas quinzenalmente, alternadamente. No final do semestre, haverá uma prova de laboratório sobre os experimentos realizados ao longo do semestre. Ficará a critério do professor, decidir se a prova será prática ou teórica. Cálculo da média da disciplina de Física 1 ML = nota de laboratório M1 = nota de Física sem exame P = nota da prova de laboratório R = média dos relatórios E L = média dos 4 exercícios de laboratório (L1, L, L3, L4) T = nota de teoria M = nota de Física com exame E X = nota do exame ML = 0, 4E L + 0, 3R + 0, 3P FATEC - SP Página 3

4 Critérios de Avaliação Se ML < 6,0 Automaticamente reprovado M1 = 0, 7T + 0, 3ML Se M1 6,0 Se M1 < 6,0 Aprovado Reprovado Corpo Docente Cezar Soares Martins (Coordenador do Laboratório de Física) Douglas Casagrande Edson Moriyoshi Ozono Eduardo Acedo Barbosa Eraldo do Cordeiro Barros Francisco Tadeu Degasperi João Carlos Botelho Carrero João Mongelli Netto José Augusto Martins Garcia Luciana Kazumi Hanamoto Luciana Reyes Pires Kassab (Diretora) Marcia Tiemi Saito Norberto Helil Pasqua (Responsável pela Disciplina de Física) Osvaldo Dias Venezuela Regina Maria Ricotta Renato Marcon Pugliese Roberto Verzini Valdemar Bellintani Jr. Auxiliares Docentes Domenico Paulo Bruno Cainelli Tiago Henrique Silva Estagiários Diego Rocha Ferreira Julio Cesar Justo Rafael Fernando Cardoso Vitor Minet Araújo William Yuiti Watanabe FATEC - SP Página 4

5 Teoria de Erros Introdução As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas ou combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda dos métodos de medidas, das características dos aparelhos usados na sua determinação e mesmo do operador. A experiência mostra que, quando uma medida é repetida várias vezes, com as mesmas precauções, pelo mesmo observador ou por vários observadores, os resultados achados não são em geral idênticos. Ao fazermos a medida de uma grandeza física, achamos um número que a caracteriza, cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja, toda medida física deve ser acompanhada de uma incerteza que deve ser expressa através de uma linguagem universal. Além disto, para combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam o resultado, não podemos usar quaisquer métodos. É a Teoria de Erros que fornece tratamento adequado para os dados experimentais. Algarismo Significativo Chamamos de algarismos significativos de uma medida aqueles que são corretos e o primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de uma incerteza que depende dos fatores acima mencionados. Quanto maior for a precisão do instrumento, maior será o número de algarismos significativos que podem e devem ser usados. Exemplo: Sejam as medidas do comprimento de uma peça efetuadas com uma mesma régua por três observadores diferentes. Os valores obtidos são: CORRETO 1,3 cm 1,4 cm 1,6 cm DUVIDOSO Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da vírgula diferem, pois suas avaliações dependem da perícia de cada observador. Portanto, não podemos saber qual é o resultado correto. Notamos, ainda, que todos os observadores não têm dúvida quanto aos FATEC - SP Página 5

6 algarismos que antecedem à vírgula (1 e ). Desta forma, 1 e são algarismos corretos e 3, 4 e 6 são os duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos. A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita uma transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3 algarismos significativos, dos quais o dígito 8 é duvidoso: AB = 1,8 cm = 0,18 m = 18 mm. Regras de aproximação Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando, deliberadamente, dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as seguintes regras: I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não muda. II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o anterior é acrescido de uma unidade. Exemplo: a) 1,034 arredondado 1,03 b) 1,035 arredondado 1,04 c) 1,036 arredondado 1,04 Incerteza Absoluta A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida consiste em exprimila com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao comprimento de uma peça: L = (13,4 0,1 ) cm onde é o valor medido e é a incerteza da medida. Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, sobre o qual reside a incerteza da medida. Sendo assim, 0,1 cm é a amplitude da incerteza denominada incerteza absoluta. Portanto, não há um único valor associado a medida, mas valores compreendidos entre 13,3 cm e 13,5 cm, onde 13,4 cm é o mais provável. O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma única leitura no instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de uma grandeza, ela deve ser expressa através de seu valor médio, cuja incerteza é obtida através de método estatístico, conforme será visto. FATEC - SP Página 6

7 Incerteza Relativa A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da grandeza, isto é: Incerteza Percentual A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada incerteza percentual e é dada por: 100 Classificação dos Erros Quando medimos uma grandeza física, temos como objetivo alcançar o seu verdadeiro valor ou valor real. Atingir este objetivo é praticamente impossível. Podemos obter, entretanto, após uma série de medidas, um valor que mais se aproxima do real. O erro absoluto de uma medida é definido como sendo a diferença entre o valor medido e o aceito como verdadeiro. O erro relativo é dado pela razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro, em módulo, isto é: E r valor verdadeiro valor valor verdadeiro medido por: O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro percentual e é dado E% 100 E r Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas que dependem do método de medida, do operador e do instrumento de medida. São estas incertezas que limitam a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas podem ser de origem sistemática e acidental e originam os erros sistemáticos e acidentais, abordados a seguir. Erro Sistemático São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas. São provenientes de falhas do método empregado, do operador ou do equipamento utilizado. Os erros FATEC - SP Página 7

8 sistemáticos, como o próprio nome sugere, são de amplitudes regulares e influenciam a medida sempre da mesma forma, ou para mais ou para menos. Erros Acidentais São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de forma variável. Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são: Imperícia do operador. Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de uma mesma grandeza por vários observadores. Erros de paralaxe. Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um cronômetro). Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala, aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em diferentes posições). Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de conseguir um valor mais representativo. Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador. Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de uma grandeza, devemos dar um tratamento estatístico para analisar os resultados experimentais. Passaremos a discuti-lo a seguir. Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser limitadas a um certo grupo ou conjunto de objetos, denominado população. Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de uma certa cidade ou a uma série de medidas experimentais. A amostra é uma parte da população, selecionada aleatoriamente e usada para fazer estimativas e tirar conclusões com relação a uma população. Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos observar várias características importantes, como por exemplo, a freqüência com que um dado se repete. A distribuição de freqüências tem três características importantes: indica os valores mais FATEC - SP Página 8

9 prováveis e menos prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a tendência que certos valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor, chamado valor médio da grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza, ou seja, a sua dispersão. Média Aritmética Há várias formas para se mensurar o valor médio de uma grandeza ou o mais provável. Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que melhor representa a grandeza observada, embora isto não se aplique em todos os casos. A média aritmética de um conjunto de medidas é dada por : x medida. n i1 xi n, onde n é o nº total de medidas e x i é o valor de cada Cabe ressaltar que o valor médio de uma grandeza pode ser medido por outros parâmetros tais como mediana, moda, média geométrica e média harmônica. Nesta apostila, tais parâmetros não serão estudados. Desta forma, quando for mencionado valor médio, estaremos nos referindo à média aritmética. Desvio Não podemos afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza. Desta forma, a diferença xi x não é definida como erro. Quando se conhece o valor mais provável falamos em desvio: x x x. Desvio é a diferença entre o valor medido e a média aritmética. i i Dispersão A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma série de medidas. Precisamos saber de quanto as medidas individuais se afastam, em média, do valor médio. Em outras palavras, de que maneira as medidas x i se distribuem em torno do valor médio, isto é, qual é a dispersão das medidas. Para medir a dispersão utilizamos os parâmetros: desvio médio, variância e desvio padrão. Desvio Médio FATEC - SP Página 9

10 O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com relação ao valor médio. Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a média aritmética dos desvios: x n x n x i i1 i1 Se os valores medidos estiverem bem próximos da média aritmética, menor será a dispersão e portanto o desvio médio. n x n i Desvio Padrão Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, com relação ao valor médio, isto é: n ( xi x ) i1 n 1 n = número total de x i na população. O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância: n i1 x i x n 1 Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma gaussiana, conforme mostra a figura abaixo, temos: 68,3% dos pontos estão no intervalo x desvio padrão 95,45% dos pontos estão no intervalo x desvio padrão 99,73% dos pontos estão no intervalo x 3 desvio padrão FATEC - SP Página 10

11 freqüência Desvio Padrão da Média É o valor n vezes menor que o desvio padrão do conjunto de medições. Essa grandeza representa a incerteza final nas medições quando desconsideramos erros sistemáticos, sua expressão é: σ m = σ n Propagação de Incertezas Muitas grandezas físicas são obtidas de maneira indireta, quando seus valores finais dependem de uma expressão matemática para calculá-las. As grandezas que compõem a expressão são afetadas de incertezas que se combinam e afetam o resultado final. Em outras palavras, temos uma Propagação de Incertezas. Considerando uma grandeza G como uma função de outras grandezas A, B, C,, ou seja: G = G A, B, C, Considerando que as incertezas sejam σ A, σ B, σ C,, caso os erros entre as grandezas sejam independentes 1, a incerteza padrão de G será: σ G = G A σ A + G B σ B + Em que os termos G, G,, correspondem às derivadas parciais da função G, isto é, A B as derivadas com respeito à variável A, B,..., tomadas de forma independente. 1 A fim de simplificar, o caso mais geral, em que as incertezas são dependentes, não será tratado. FATEC - SP Página 11

12 Para uma função de uma variável temos: σ G = G A σ A A tabela abaixo resume algumas das principais expressões para a propagação de incertezas de diferentes tipos de funções: Tabela : Incertezas para algumas formas de funções G = f A, B, C, G = A ± B ± σ G σ G ² = σ A + σ B + G = k A α B β C γ σg G = σ k k + α σ A A + β σ B B + γ σ C C + G = k A G = A m σ G = k σ A σ G = ma m 1 σ A G = sena σ G = cosa σ A (σ A em radianos) G = cosa σ G = sena σ A (σ A em radianos) definição Os valores α, β, γ, k e m na tabela acima são constantes. Na equação da tabela, os termos σ k, σ A, são as incertezas relativas, conforme a k A Exemplos de Aplicação Exemplo 1 Calcule o volume de uma esfera cujo raio é dado por 3,0 ± 0,1 mm. V esfera = 4 3 π r3 = 4 3 π 3, mm 3 Utilizando a expressão da tabela : G = k A α B β, comparando temos que k = 4 3, A= π, α = 1, B = r, β = 3 Assim temos: FATEC - SP Página 1

13 σ V V = σ K K + α σ A A + β σ B B Substituindo os valores: σ V V = σ σ π π + 3 σ r r, como σ = 0, e σ π π = 0 Então: σ V = V 3 σ r r = mm 3 3 0,1 3,0 σ V = ,3mm 3 = 0, mm 3 V = 53,1 ± 0, mm 3 Exemplo : Em uma experiência, foram encontrados para a posição o valor de S = 10,0 ± 0,5 cm e para a aceleração o valor de a = 1,68 ± 0,08 cm/s. Através da equação abaixo, encontre o valor do tempo t e sua respectiva incerteza. Resolução: S = at t = S a = 10,0 = 3,4503s 1,68 t = S a 1/ = S 1/ a 1/ = S 1/ a 1/ σ t t = σ ( ) σ S S + 1 σ a a = 1 4 σ S S + σ a a Portanto: σ t = t σ S S + σ a a Substituindo os valores: σ t = 3,45 0,5 10,0 + 0,08 1,68 0,1s FATEC - SP Página 13

14 Portanto, o valor do tempo é t = 3,45 ± 0,1 s. Exemplo 3: Para uma barra cujo momento de Inércia seja dado por: I = ml Utilizando a segunda expressão da tabela : G = k A α B β, por comparação, temos que: k = 1, A = m, α = 1, B = L e β =. Assim, a expressão para o quadrado do desvio 3 relativo fica: 3 σ I I = σ σ m m + σ L L Como δ = 0, então: σ I = I σ m m + σ L L O período de oscilação de um pêndulo-barra é: T = π I forma: T = πi 1/ m 1/ g 1/ R 1/ Utilizando o mesmo procedimento adotado anteriormente, temos: mgr, podemos reescrevê-la da σ T T = 1 σ I I + 1 σ m m + 1 σ g g + 1 σ R R e portanto: σ T = T σ I I + σ m m + σ g g + σ R R Instrumentos de Medida O resultado da leitura deve incluir todos os dígitos que o instrumento de medida permite ler diretamente e o dígito que deve ser estimado pelo observador. Por exemplo, na leitura de uma régua graduada em milímetros, o resultado deve incluir a fração de milímetro que é estimada pelo observador. FATEC - SP Página 14

15 O erro limite de um instrumento de medida deve ser indicado pelo fabricante do instrumento, que é o responsável por sua construção e sua calibração. É importante observar que, mesmo que um dado instrumento seja perfeitamente calibrado na sua construção, esta calibração pode sofrer variação com o tempo devido a fatores diversos. Para instrumentos mais sofisticados, o erro limite geralmente é indicado em manuais fornecidos pelo fabricante. Entretanto, no caso de instrumentos analógicos mais simples, isto não ocorre e o erro limite pode ser estimado a partir da seguinte regra geral: o erro limite do instrumento de medida pode ser admitido como a metade da menor divisão indicada pelo instrumento de medida. Para instrumentos digitais, o erro é dado pela menor leitura do instrumento. Paquímetro Utilizamos o paquímetro para medir pequenos comprimentos, diâmetros internos, externos e profundidades. O instrumento é formado uma escala fixa principal, e uma escala móvel auxiliar, o nônio, que permite medir a fração da escala principal. Ele é construído de maneira que suas n divisões correspondam a menor divisão da escala principal. O paquímetro abaixo apresenta 1 mm como menor divisão. O nônio, por sua vez, tem 50 divisões, isto é, cada divisão do nônio corresponde a 0,0 mm, o que fornece a precisão do equipamento. FATEC - SP Página 15

16 Quando o paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero da escala principal. As medidas com o paquímetro são efetuadas da seguinte forma: A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as esperas. Tais esperas devem ficar completamente encostadas na peças. O comprimento da peça é dado pelo n o na escala principal correspondente à posição imediatamente inferior ao zero do nônio. Somamos a este número um décimo do valor lido no nônio que melhor coincide com algum número da escala principal. A figura que segue ilustra o que foi explicado. Micrômetro Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos comprimentos. Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas óticas. Descreveremos, entretanto, o micrômetro analógico constituído por parafuso micrométrico, que será usado no laboratório. O instrumento é formado por esperas, uma fixa e outra móvel, entre as quais é colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas, sendo uma horizontal e a outra vertical, conforme figura que segue. FATEC - SP Página 16

17 Suponhamos que a escala vertical (nônio) tenha n = 50 divisões. Na escala horizontal, a menor divisão equivale a 0,5 mm. Assim, a precisão será dada por P n ou seja, cada divisão do nônio corresponde a 0,01 mm. 0, 5 mm 0, 01mm, 50 A seguir apresentamos exemplos de leituras efetuadas com micrômetro. - escala horizontal = 13 mm - escala vertical = 5 0,01 = 0,5 mm - leitura = 13,5 mm - escala horizontal = ,5 = 17,50 mm - escala vertical = 0,01 = 0, mm - leitura = 17,7 mm Gráficos e Análises Gráficas FATEC - SP Página 17

18 As leis físicas são expressas por equações matemáticas, que contém variáveis dependentes entre si. Seja a equação abaixo, onde a velocidade depende da variável independente t: v( t ) x a. t 0 Esta equação nos mostra que a dependência entre v e t é linear. Esta linearidade é melhor observada por um gráfico v(t) e é traduzida por uma reta. Por convenção, a variável dependente é colocada ao longo do eixo y (vertical) e é denominada ordenada; a variável independente é colocada no eixo x ( horizontal) e chama-se abcissa. As incertezas devem ser também incluídas nos gráficos. A figura que segue apresenta um gráfico para a função v(t) = 6t. Neste gráfico foi traçada uma reta média, a partir de cinco pontos e suas respectivas barras de erro, associadas à incerteza da velocidade. Cabe ressaltar que os pontos que muito se afastam da reta média podem se desprezados ou medidos novamente. Exemplo: v(t) = 6. t }v t ts vm s FATEC - SP Página 18

19 Caso os valores colocados nos gráficos sejam muito grandes ou pequenos, devemos escolher um fator que permita o uso de no máximo dois dígitos para os eixos. Este fator deve ser colocado entre parênteses, juntamente com a unidade associada ao eixo em questão. Para o gráfico da função v(t) 6t podemos calcular o coeficiente angular (b) que é numericamente igual à aceleração, ou seja, v v( 3) v( 0) b t , Desta forma a aceleração é dada por: a = 6,67 m/s. Conforme mostra a figura da página 18, a aceleração pode também ser calculada através do seguinte procedimento: Trace duas retas paralelas (r 1 e r ) à reta média, pelas extremidades das barras de erros associadas aos pontos mais distantes da reta média. Feche o quadrilátero, com retas perpendiculares à reta média de tal forma que todos os pontos experimentais fiquem dentro do mesmo. Trace as diagonais do quadrilátero (d 1 e d ). Calcule o coeficiente angular das diagonais. O novo valor da aceleração será numericamente igual a: b b 1 A incerteza da aceleração será dada por: onde b 1 e b são os coeficientes angulares das diagonais d 1 e d respectivamente (onde b 1 > b ). b b 1 FATEC - SP Página 19

20 v (m/s) 5 d 1 RM 0 r d 15 r t (s) LEGENDA RM = reta média r 1 e r = retas paralelas à reta média, que envolvem todos os pontos experimentais, formando um quadrilátero d 1 e d = diagonais do quadrilátero, cujos coeficientes angulares, fornecerão os valores de 1 e. Exercícios 1. Um técnico de laboratório, com um cronômetro, obteve os dados abaixo, referentes ao período de um pêndulo de torção, em segundos. n T 6,315 6,30 6,35 6,38 6,338 6,314 6,330 6,340 6,337 6,3 Escreva o valor mais provável do período com o respectivo desvio; procure a equação do período do pêndulo de torção em livros.. A constante elástica da associação em série de duas molas, de constantes k 1 e k é dada por: k s k1. k k k 1 Considerando que k 1 = (,8 0,) gf/mm e k = (1,7 0,3)gf/mm. Determine a constante elástica da associação e sua incerteza relativa. FATEC - SP Página 0

21 Frequência Frequência 3. Controle Estatístico de Processo, CEP Ao realizarmos uma série de medidas de uma grandeza podemos observar com que freqüência ocorre cada valor ou um grupo de valores da grandeza. A distribuição das freqüências tem três características principais: Indica os valores mais prováveis e menos prováveis (Probabilidade de Ocorrência) Indica a tendência de certos valores se concentrarem em torno de um determinado valor (Valor médio) Indica o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza (Dispersão) Quando temos uma série de medições de uma mesma grandeza podemos fazer um Histograma, que é um gráfico, que pode representar no eixo das abcissas as próprias Medidas e no eixo das ordenadas as Freqüências relativas. Podemos fazer um Histograma representando as Freqüências relativas (ordenadas) em função do Desvio (abscissas) de cada medida. Ver figuras 1 abaixo ,7 4,8 4,9 5 5,1 Diâmetro (mm) Desvio (mm) Figura 1 A Figura 1 B Meça os diâmetros (D) de 50 bolinhas de chumbo, com um micrômetro analógico, preencha a Tabela 1 e calcule o desvio padrão das medidas; n i1 D Di n 1 Faça os Histogramas da freqüência em função do diâmetro e do desvio. FATEC - SP Página 1

22 Tabela 1: Medida dos diâmetros de 50 bolinhas de chumbo e seus respectivos desvios D (mm) D D i D D i D (mm) D D i D D i D mm que você pode concluir a respeito do processo de produção das bolinhas e o sistema de controle de qualidade do fabricante? FATEC - SP Página