em qualquer instante. A equação 8.1 é conhecida como a Lei de Ohm, e o gráfico correspondente (V versus I), pode ser visto na figura 8.1.

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1 44 APÍTULO 8 8. Resistência Elétrica 8.. Resistores Uma resistência elétrica pode ser definida como a propriedade que determina, para uma dada corrente, a fração de energia que se converte em energia térmica. Seu valor é tal que o produto da resistência pelo quadrado da corrente equivale à potência elétrica convertida em calor. Um resistor é um elemento físico (dispositivo) cuja finalidade principal é a introdução de uma resistência elétrica no circuito. Aplicando-se uma tensão V a uma resistência de valor R a corrente resultante é proporcional à tensão, ou seja, V RI 8. em qualquer instante. A equação 8. é conhecida como a Lei de Ohm, e o gráfico correspondente (V versus I), pode ser visto na figura V (V) I (ma) Figura 8.: Gráfico típico da lei de Ohm. A inclinação da reta (coeficiente angular) da figura 8., corresponde ao valor da resistência. A reta em vermelho é o ajuste feito após a coleta de dados experimentais de voltagem e corrente. Portanto, o resistor é o elemento físico representado a grosso modo pela sua resistência, no qual o fenômeno físico principal que nele ocorre é o da condução elétrica; conseqüentemente, resistores apresentam efeito Joule e se aquecem ao conduzir corrente elétrica. Um tipo especial de resistor cuja resistência pode ser variada por meios mecânicos, sem interromper o circuito, é

2 45 denominado reostato. Um resistor variável muitas vezes utilizado como um divisor de tensão, é o potenciômetro. Os símbolos do resistor comum (resistência), reostato e potenciômetro são indicados abaixo: Resistor ou resistência Potenciômetro Reostato Vários são os tipos de resistores empregados na prática, conforme mostra a figura 8.. As suas características são: a tolerância, a resistência elétrica (valor em Ohm), a potência dissipada (corrente máxima), desde que P RI 8. que também pode ser escrita como (usando a equação 8.): P VI 8.3 Figura 8.: Resistores industrializados. As faixas coloridas gravadas sobre alguns deles são códigos que indicam o valor de sua resistência.

3 46 Notamos então que na escolha de um resistor devemos nos preocupar não somente com seu valor em ohms, mas também com sua máxima potência de dissipação, para estarmos certos de que ele não se danificará pelo aquecimento durante a utilização. Quanto maior a área exposta, maior a sua capacidade de dissipação de calor, ou seja, quanto maior a superfície lateral do dispositivo, maior a potência que ele suporta. Em circuitos elétricos normalmente se empregam resistores de fio metálico (liga de Ni-r, em geral) enrolado sobre isolante, de filme de óxido metálico, de filme metálico, de carvão, de carvão moldado com aglutinante, etc. Os mais utilizados são os de carvão depositado e são fabricados em tamanhos permitindo dissipações máximas de /8 W, /4 W, / W, W e W de potência. Para que não haja risco de danificar o componente, damos em geral uma margem de segurança de 00%; por exemplo, um resistor de W é usado para dissipar somente até 0,5 W. Estes resistores são fabricados com tolerâncias de 5, 0 e 0%. Os valores vêm indicados sobre o resistor segundo o código de cores, pois este fornece toda a informação necessária para se identificar um resistor. Podem vir pintados, conforme ilustrado abaixo: anel anel 3 anel 4º anel ódigo de ores or º Anel º Anel 3º Anel 4º Anel º algarismo º algarismo Multiplicador Tolerância Preto Marrom 0 - Vermelho 0 - Laranja Amarelo Verde Azul Violeta inza Branco Ouro % Prata % Incolor % Para se determinar o valor da resistência, considerar: º anel: º algarismo significativo º anel: algarismo significativo 3º anel: multiplicador decimal 4º anel: tolerância

4 47 Exemplo 8-: onsidere o resistor dado acima, onde: º anel: marrom º anel: vermelho 3º anel: preto 0 0 4º anel: ouro 5% R ( x 0 0 ) Ω ± 5% ( x ) Ω ± 5% (,0 ± 0,6) Ω R (,0 ± 0,6) Ω 8. Força Eletromotriz Uma fonte de força eletromotriz (fem) é um dispositivo qualquer (uma bateria ou um gerador) que aumenta a energia potencial das cargas que circulam num circuito. Pode-se pensar numa fonte de fem como uma "bomba de cargas" que força os elétrons a se moverem numa direção oposta à da força eletrostática que atua sobre essas cargas negativas, no interior da fonte. A fem, ε, de uma fonte é medida pelo trabalho feito sobre urna carga unitária, e por isso a unidade no SI (sistema internacional de medidas) de fem é o volt. onsideremos o circuito que aparece na Figura 8.3, constituído por uma bateria ligada a um resistor. Figura 8.3: ircuito constituído por um resistor ligado aos terminais de uma bateria. Vamos admitir que os fios de ligação não tenham resistência. O terminal positivo da bateria está num potencial mais elevado que o terminal negativo. Se desprezássemos a resistência interna da própria bateria, a diferença de potencial na bateria (a voltagem entre os terminais) seria igual à fem da bateria. No entanto, em virtude de uma bateria real ter sempre uma certa resistência interna r, a voltagem entre os terminais não é igual à fem da bateria. O circuito da figura 8.3 pode ser esquematizado pelo diagrama da figura 8.4. A bateria, simbolizada pelo retângulo mais escuro, é representada por uma fonte de fem, ε, em série com uma resistência interna, r. Imaginemos, então, única carga positiva deslocando-se entre os pontos a e b da figura 8.4. Quando essa carga passa do terminal negativo para o terminal positivo da bateria, o seu potencial aumenta de ε. No entanto, ao se deslocar através da resistência r, o seu potencial diminui de Ir, onde I é a corrente no circuito.

5 48 Figura 8.4: Diagrama de um circuito com uma fonte de fem ε, cuja resistência interna é r, ligada a uma resistor externo R. Então, a voltagem entre os terminais da bateria, V V b V a é dada por V ε Ir 8.4 Por esta expressão, observa-se que ε é a voltagem em circuito aberto, isto é, a voltagem entre os terminais quando a corrente é nula. Pela inspeção da Fig. 8.3, vemos que a voltagem entre os terminais V também é igual à diferença de potencial na resistência externa R, que é muitas vezes denominada a resistência de carga. Isto é, V IR. ombinando essa equação com a equação 8.4, vemos que ε IR + Ir 8.5 Isolando a corrente, temos I ε R + r 8.6 Este resultado mostra que a corrente neste circuito simples depende da resistência externa à bateria e da resistência interna. Exemplo 8-: Uma bateria tem uma fem de V e uma resistência interna de 0,05Ω. Os seus terminais estão ligados a uma resistência de carga de 3Ω. (a) Achar a corrente no circuito e a voltagem entre os terminais da bateria. (b) alcular a potência dissipada na resistência de carga, a potência dissipada na resistência interna da bateria e a potência total dissipada pela bateria. Resolução: (a) A corrente no circuito: I ε V 3,93A R + r 3,05Ω A voltagem entre os terminais da bateria: V ε Ir V 3,93A 0,05Ω,8 (b) A potência dissipada na resistência de carga é ( )( ) V

6 49 ( 3,93A) ( 3Ω) 46,3W PR I R A potência dissipada na resistência interna da bateria é ( 3,93A) ( 0,05Ω) 0,77W Pr I r A potência total dissipada pela bateria é a soma das duas potências anteriores: P PR + Pr 46,3W + 0,77W 47,W 8.3 Associação de Resistores em Série Quando dois ou mais resistores estiverem ligados, de modo que só tenham em comum um único ponto por par, a ligação entre os resistores é em série. A figura 8.5 mostra dois resistores R e R ligados em série a uma bateria ideal de diferença de potencial (ddp) V. Observe que I I I 8.7 a corrente é a mesma através de cada resistor, pois qualquer carga que passa por R deve ser igual à carga que passa por R. Figura 8.5: Ligação em série de dois resistores R e R. As correntes em cada resistor são iguais. Por outro lado, pela lei de Ohm sabemos que a ddp nos terminais de cada resistor é dada por V I R I R V I R I R dessa forma, a voltagem total num circuito com dois resistores associados em série é dada por V V + V V I R V I ( R + R ) + I R Podemos, então, substituir os dois resistores em série por uma única resistência equivalente R eq. Podemos associar a resistência equivalente à resistência total que o circuito oferece à passagem de corrente, cujo valor é a soma das resistências individuais:

7 50 R R + R 8.8 ser eq A resistência equivalente de n resistores ligados em série é, simplesmente, R R + R + R + + R 8.9 ser eq 3 n Portanto, a resistência equivalente de resistores ligados em série é sempre maior que qualquer uma das resistências individuais. 8.4 Associação de Resistores em Paralelo onsideremos agora dois resistores ligados em paralelo, como mostra a figura 8.6. Figura 8.6: Ligação de dois resistores, R e R, em paralelo. A diferença de potencial em cada resistor é a mesma. Nesse caso, a diferença de potencial é a mesma em cada resistor. V V V 8.0 A corrente, porém, não é, em geral, a mesma nos resistores. Quando uma corrente I atinge um ponto como a (um nó), divide-se em duas partes, I, que vai pelo ramo R, e I que vai pelo ramo R. Se R for maior que R, então I, será menor que I. Isto é, a carga tende a seguir a via de menor resistência. omo é claro, uma vez que a carga deve ser conservada, a corrente I que entra no nó a deve ser igual à corrente que sai deste nó: I I + I 8. dá Uma vez que a diferença de potencial (ddp) em cada resistor é constante, a lei de Ohm nos

8 5 V V V V R I I V R V R I Pela equação 8. e as obtidas logo acima, temos I V R V V V I I + I + V par R R + R R 8. R eq om esse resultado, vemos que a resistência equivalente de dois resistores em paralelo é dada por par R R + R par eq 8.3 R R R R + R eq Para n resistores ligados em paralelo, entretanto, devemos considerar a resistência equivalente sendo par R R R R R eq Pode-se ver, com esta expressão, que a resistência equivalente de dois ou mais resistores ligados em paralelo é sempre menor que a resistência presente no grupo de resistores. Nos circuitos domésticos, as lâmpadas (e outros equipamentos domésticos) são ligados em paralelo. Dessa maneira, cada dispositivo opera independentemente um do outro, de modo que, se um deles for desligado, os outros permanecem ligados. Igualmente importante é o fato de todos os equipamentos operarem na mesma voltagem. Exemplo 8-3: Quatro resistores estão ligados como mostra a figura a) abaixo. (a) Achar a resistência equivalente entre a e c. (b) Qual a corrente, em cada resistor, se a diferença de potencial (ddp) entre a e c for constante e igual a 4 V? 3 n

9 5 A resistência dos quatro resistores que aparecem em a) pode ser reduzida, em etapas, à resistência de um único resistor de 4Ω. Solução: a) O circuito pode ser reduzido, em etapas, como ilustra a figura acima. Os resistores de 8 Ω e 4 Ω estão em série, e então, a resistência equivalente entre a e b, dada pela equação 8.3., é R ser eq 8Ω + 4 Ω Ω Os resistores de 6 Ω e 3 Ω estão em paralelo, e então, pela equação achamos a resistência equivalente entre b e c par 6 Ω 3Ω 8Ω R eq Ω 6 Ω + 3Ω 9Ω Os resistores de Ω e de Ω estão em série. Então, a resistência equivalente de a para c, pela equação 8.3., é Ω + Ω 4Ω R eq (b) A corrente I nos resistores de 8 Ω e de 4 Ω é a mesma, pois os dois estão em série, sendo a corrente total do circuito. om a lei de Ohm e o resultado obtido em (a), temos Vac 4 V I 3A R 4 Ω eq Quando esta corrente entra no nó em b, divide-se, e uma parte passa pelo resistor de 6 Ω (I ) e outra parte pelo resistor de 3 Ω (I ). Uma vez que a diferença de potencial nesses resistores é a mesma (estão em paralelo), podemos chamá-la de V bc. Assim, a voltagem total no circuito é dada por: V V + V ac ab bc

10 53 A voltagem entre os pontos a e b, é a soma da voltagem nos resistores de 8 Ω e 4Ω, já que esses resistores se encontram ligados em série. Então, temos I 8Ω + I 4 Ω 3A 8Ω + 3A 4 Ω V ab V ab 4V + V V ab 36V Dessa forma, fica fácil encontrar a voltagem que percorre os dois resistores que estão ligados em paralelo. V V + V 4V 36V + V ac ab bc V bc 4V 36V 6V bc Ohm. Finalmente, é possível calcular a corrente em cada resistor em paralelo, através da lei de I Vbc 6Ω 6V 6Ω A I Vbc 3Ω 6V 3Ω A Já que a corrente I se divide em duas partes no nó em b, é de se esperar que a soma de I e I deva ser igual a I, o que se verifica na prática. Exemplo 8-4: Três resistores estão ligados em paralelo, como mostra a figura abaixo. Uma diferença de potencial de 8 V se mantém entre os pontos a e b. (a) Achar a corrente em cada resistor. (b) alcular a potência dissipada em cada resistor e a potência total dissipada nos três resistores. (c) alcular a resistência equivalente dos três resistores e, a partir do resultado, achar a potência total dissipada. Solução: (a) Os resistores estão em paralelo, e a diferença de potencial em cada um deles é 8 V. Aplicando a lei de Ohm a cada resistor temos

11 54 I I I V R 8V 3Ω I 6A V R 8V 6 Ω I 3A V R 8V 9 Ω (b) A potência em cada resistor é dada por: P I R 6A 3Ω 3 I A 3 3Ω: ( ) ( ) P 08 W P 54 W 6Ω: P I R ( 3A) ( 6Ω) P 3 36 W 9Ω: P I R ( A) ( 9Ω) Observe que para achar a potência dissipada em cada resistor também se pode usar P I V. A soma dos três valores dá a potência total : P P + P + P3 T eq 98W (c) Podemos usar a equação da resistência equivalente para resistores associados em paralelo, assim teremos + + R R R R R eq R eq R eq 8 Ω A potência total dissipada é: P I R 8 ( A) Ω 98W T eq

12 apacitores Pode-se armazenar energia, na forma de energia potencial, esticando a corda de um arco, distendendo uma mola, comprimindo um gás ou levantando um livro. Pode-se também fazê-lo num campo elétrico; e um capacitor é um dispositivo apropriado para tal fim. Durante o processo de carga, o capacitor de uma bateria portátil numa máquina fotográfica, por exemplo, acumula carga com lentidão, criando assim um campo elétrico nesse período de tempo. A manutenção do campo e de sua energia ocorre até o momento em que acontece a rápida liberação da energia durante a curta duração do flash. Os capacitores, nesta época da eletrônica e da microeletrônica, têm muitas aplicações, além de servirem como armazenadores de energia potencial. Por exemplo, eles constituem elementos vitais nos circuitos com os quais sintonizamos os transmissores e os receptores de rádio e televisão. Outro exemplo, os capacitores microscópicos formam os bancos de memória dos computadores. Os campos elétricos nestes minúsculos dispositivos são significativos não só pela energia armazenada, mas também pela informação LIGA-DESLIGA que a presença ou a ausência deles proporciona apacitância Os capacitores se apresentam numa grande variedade de tamanhos e formas, conforme podemos observar na figura 8.7. Figura 8.7: apacitores fabricados em diversas formas. Entretanto, como mostra a figura 8.8, os elementos básicos de qualquer capacitor são dois condutores isolados de formato arbitrário. hamamos tais condutores de placas, qualquer que seja sua geometria.

13 56 Figura 8.8: Dois condutores, isolados um do outro e de suas vizinhanças, formam um capacitor. Quando o capacitor é carregado, os condutores, ou placas como eles são chamados, ficam com cargas de mesmo módulo q e sinais contrários. A figura 8.9a mostra um arranjo menos geral, porém mais convencional, chamado de capacitor de placas paralelas, que consiste em duas placas condutores paralelas de área A, separadas por uma distância d. O símbolo que usamos para representar um capacitor ( ) é baseado na estrutura de um capacitor de placas paralelas; entretanto, é usado para capacitores de todas as geometrias. Supomos, por enquanto, que nenhum meio material, como vidro ou plástico, esteja presente na região entre as placas. Quando um capacitor é carregado, suas placas adquirem cargas iguais, mas de sinais opostos, +q e -q. Entretanto, referimo-nos à carga de um capacitor como sendo q, o valor absoluto dessas cargas sobre as placas. (Note que q não é a carga líquida do capacitor, que é zero.) Uma vez que as placas são condutores, elas constituem superfícies equipotenciais: todos os pontos sobre uma placa têm o mesmo potencial elétrico. Além disso, existe uma diferença de potencial V entre as duas placas. Figura 8.9: (a) Um capacitor de placas paralelas, feito de duas placas de área A separadas por uma distância d. As placas têm cargas iguais e opostas de módulo q sobre as superfícies que se defrontam. (b) omo mostram as linhas de campo, o campo elétrico é uniforme na região central entre as placas. As linhas de campo se deformam nas bordas das placas, evidenciando que naquela região o campo não é uniforme.

14 57 é, A carga q e a diferença de potencial V para um capacitor são proporcionais uma à outra. Isto q V 8.5 A constante de proporcionalidade, cujo valor depende da geometria das placas, é chamada de capacitância do capacitor. A unidade SI de capacitância que segue da equação 0. é o coulomb por volt. Esta unidade é o farad (F): farad F coulomb/volt F /V Na prática as unidades mais usadas são os submúltiplos do farad, tais como o microfarad (µf 0-6 F) e o picofarad ( pf 0 - F). 8.6 álculo da apacitância O nosso objetivo é calcular a capacitância de um capacitor, desde que se conheça a sua geometria. A seguir, mostraremos a expressão apropriada para o cálculo da capacitância de acordo com a geometria do capacitor apacitor de Placas Paralelas onsideremos o capacitor da figura 8.0. Vamos supor que as placas desse capacitor sejam tão grandes e estejam tão próximas uma da outra, que podemos ignorar a distorção do campo elétrico nas suas bordas. Figura 8.0: Um capacitor de placas paralelas carregado. Entre as placas vemos a trajetória do campo elétrico. A capacitância para esta geometria é dada por: onde: ε 0 8,85 x 0 - F/m (constante de permissividade) A é a área das placas, em m d é a distância entre as placas, em metros. A ε0 8.6 d

15 apacitor cilíndrico A figura 8. mostra, lateralmente (a) e em secção transversal (b), um capacitor cilíndrico de comprimento L, formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b. Supomos que L >> b, de modo que podemos desprezar a distorção do campo elétrico que ocorre nas extremidades dos cilindros. A placa interna contém carga +q e a placa externa contém carga q. Figura 8.: (a) apacitor cilíndrico constituído por um condutor cilíndrico de raio a e comprimento L, envolto por uma casca cilíndrica, que é coaxial, de raio b. (b) Vista em corte de um capacitor cilíndrico. onde: A capacitância é dada por L π ε 8.7 ln 0 π 3,45... (constante pi); ε 0 8,85 x 0 - F/m (constante de permissividade); L é o comprimento do cilindro coaxial (em metros); a é o raio do cilindro interno (em metros); b é o raio do cilindro externo (em metros); ln é o logaritmo neperiano (ln log e, onde e,79...). ( b / a) Vemos que a capacitância de um capacitor cilíndrico, assim como a de um capacitor de placas paralelas, depende somente de fatores geométricos, neste caso, L, b e a.

16 apacitor Esférico A figura 8. mostra um exemplo de um capacitor esférico, sendo constituído por uma casca esférica, de raio b e carga q, concêntrica a uma esfera condutora menor, de raio a e carga +q. Figura 8.: Um capacitor esférico consiste em uma esfera interna, de raio a, dentro de uma casca esférica concêntrica, de raio b. O campo elétrico entre as esferas é radial, para fora, se a esfera interna for positiva. onde: A capacitância é dada por ab 4 π ε 8.8 b a 0 π 3,45... (constante pi); ε 0 8,85 x 0 - F/m (constante de permissividade); a é o raio da esfera interna (em mm, cm ou metros); b é o raio da casca esférica externa (em mm, cm ou metros); Exemplo 8-5: As placas de um capacitor de placas paralelas estão separadas por uma distância d,0 mm. Qual deve ser a área da placa para que a capacitância seja de,0f? Solução: Da equação 8.6 temos d ε 3 (,0F) (,0 0 m) A 0 8,85 0 F / m A, 0 8 m Esta é a área de um quadrado cujo lado mede mais de 0 Km. O farad é de fato uma unidade grande. ontudo, a tecnologia moderna tem permitido a construção de capacitores de F de tamanhos muitos modestos. Estes supercapacitores são utilizados como fontes de voltagem

17 60 secundárias para computadores; eles podem manter a memória do computador por mais de 30 dias no caso de queda de potência. Exemplo 8-6: Os condutores interno e externo de um longo cabo coaxial, usado para transmitir sinais de TV, tem diâmetros a 0,5 mm e b, mm. Qual é a capacitância por unidade de comprimento deste cabo? Solução: Da equação 8.7, temos L ln π ε 0 ( b / a) ( π) ( 8,85 0 F / m),mm ln 0,5mm 0 L F / m Exemplo 8-7: Um capacitor sobre um chip RAM (com acesso aleatório de memória) tem uma capacitância de 55 x 0-5 F. Estando ele carregado a 5,3 V, quantos elétrons em excesso existem sobre sua placa negativa? Solução: O número n de elétrons em excesso é dado por q/ε, onde ε é a carga fundamental do elétron (ε,8 x 0-9 ). Então, usando a equação 0., temos q e V e 5 ( 55 0 F) ( 5,3V) n 9,60 0 n,8 0 6 elétrons 8.7 apacitores em Paralelo A figura 8.3a mostra três capacitores ligados em paralelo a uma bateria B. Os terminais da bateria estão ligados por fios condutores diretamente às placas dos três capacitores. omo a bateria mantém uma diferença de potencial V em seus terminais, ela aplica a mesma diferença de potencial V através de cada um deles. Dizemos que capacitores associados estão ligados em paralelo quando uma diferença de potencial V aplicada através da associação resulta na mesma diferença de potencial através de cada capacitor, e a carga total acumulada, é a soma das cargas individuais acumuladas em cada capacitor. Procuramos a capacitância única eq, que seja equivalente à associação em paralelo e, assim, possa substituí-ia (como na Fig. 8.3b) sem variação da carga total q armazenada na combinação ou da diferença de potencial V aplicada através da associação.

18 6 De acordo com a equação 8.5, podemos escrever para cada capacitor q V, q V, e q3 3 V Figura 8.3: (a) Três capacitores ligados em paralelo com a bateria B. A bateria mantém uma diferença de potencial V entre seus terminais e, assim através de cada um dos capacitores da associação em paralelo. (b) A capacitância equivalente eq substitui a associação em paralelo. A carga sobre eq é igual à soma das cargas q, q e q 3, sobre os capacitores de (a). A carga total da associação em paralelo vale ( + + ) V q q + q + q3 3 A capacitância equivalente, com a mesma carga total q e a diferença de potencial V aplicada à associação é, então, q eq V um resultado que pode ser estendido para qualquer número n de capacitores, como eq 3 n A capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo, é simplesmente a soma das capacitâncias individuais.

19 6 8.8 apacitores em série A figura 8.4a mostra três capacitores ligados em série a uma bateria B, que mantém uma diferença de potencial V através dos terminais esquerdo e direito da associação em série. O que produz diferenças de potencial V, V e V 3 através dos capacitores, e 3, respectivamente, tais que V + V + V 3 V. Dizemos que capacitores associados estão ligados em série, quando uma diferença de potencial aplicada através da associação é a soma das diferenças de potencial resultantes através de cada capacitor, e a carga total acumulada é a mesma carga acumulada em cada capacitor da associação. Procuramos a capacitância única eq que seja equivalente à associação em série e, assim, possa substituí-ia (como na Fig. 8.4b) sem variação da carga total q armazenada na associação ou da diferença de potencial V aplicada através da associação. Quando a bateria está ligada, cada capacitor na figura 8.4a tem a mesma carga q. Isso é válido, mesmo que os três capacitores sejam de tipos diferentes e possam ter capacitâncias diferentes. Para compreender, notemos que o elemento do circuito englobado pelas linhas tracejadas na figura 8.4a está eletricamente isolado do resto do circuito. Inicialmente, não há carga líquida neste elemento e - exceto a ruptura elétrica dos capacitores - não existe modo algum de haver movimento de carga para dentro dele. A ligação da bateria produz simplesmente uma separação de carga nesse elemento, com uma carga +q se movendo para a placa esquerda e uma carga - q se movendo para a placa direita; a carga líquida dentro da linha tracejada na Fig. 8.4a permanece zero. A aplicação da equação 8.5 a cada capacitor nos dá q q V, V, e V3 q 3 A diferença de potencial para a associação em série é, então, V V + + V V3 q q V + + q 3 V q A capacitância equivalente vale eq + + 3

20 63 Figura 8.4: (a) Três capacitores ligados em série com a bateria B. A bateria mantém uma diferença de potencial V entre os lados esquerdo e direito da associação em série. (b) A capacitância equivalente eq substitui a associação em série. A diferença de potencial V através de eq é igual à soma das diferenças de potencial V, V e V 3, através dos capacitores de (a). Para n capacitores em série, temos eq n Da equação 8.0, podemos concluir que a capacitância equivalente da ligação em série é sempre inferior à menor das capacitâncias na série de capacitores. Exemplo 8-8: onsidere o circuito abaixo:

21 64 (a) Determine a capacitância equivalente da associação mostrada na figura acima. Suponha que,0 µ F, 5,3 µ F e 3 4,5 µ F (b) Uma diferença de potencial V,5 V é aplicada aos terminais de entrada da figura acima. Qual é a carga sobre? Solução: (a) Os capacitores e estão em paralelo. Da equação 0.5, a capacitância equivalente desta associação é +,0 µ F + 5,3 µ F 7,3 µ F omo mostra a figura abaixo, a associação e 3 está em série. Da equação 8.0, a capacitância equivalente final, é eq + 3 7,3µ F + 4,5µ F,8µ F + 7,3µ F 4,5µ F 77,85µ F 77,85µ F Invertendo as frações dos dois lados da igualdade, vem 77,85µ F eq 3,57 µ F,8

22 65 (b) omo os capacitores e 3 estão associados em série, sabemos que a carga acumulada em ambos é a mesma, e corresponde à carga total. Dessa forma, temos (c) ( 3,57 µ F) (,5 µ F) 44,6. qt eq V µ Esta mesma carga existe sobre cada capacitor na associação em série. Representaremos q ( q T ) a carga sobre. A diferença de potencial através de é, então V q 44,6 µ 7,3 µ F,58 V Esta mesma diferença de potencial aparece através de, já que e estão assoicados em paralelo. Representaremos por V (V ) a diferença de potencial através de. Temos, então 8.9 ampos Magnéticos q V (,0 µ F) (,58 V) q 3,0 µ. Experiências realizadas ao longo dos últimos séculos nos mostraram que todo ímã, independente da sua forma, tem dois pólos, o pólo norte e o pólo sul, que exercem forças, um sobre o outro, de maneira análoga à carga elétrica. Isto é, pólos iguais se repelem e pólos opostos se atraem. Mas, embora a força entre dois pólos magnéticos seja semelhante à força entre duas cargas elétricas, há uma importante diferença. As cargas elétricas podem ser isoladas (por exemplo, um elétron ou um próton), enquanto os pólos magnéticos não podem ser isolados. Ou seja, os pólos magnéticos sempre se encontram aos pares. Todas as tentativas que se fizeram até hoje para detectar um monopólo magnético isolado não tiveram êxito. Qualquer que seja o número de vezes em que se divide um ímã permanente, sempre se tem em cada pedaço um pólo norte e um pólo sul. Hoje sabemos que cargas elétricas em movimento geram um campo magnético, e cargas elétricas em movimento ficam submetidas a forças devidas a um campo magnético. Mas o que tem a ver ímãs e cargas elétricas em movimento? Até a descoberta de que as correntes elétricas produziam efeitos magnéticos, Ampère sugeria que o campo magnético gerado por um ímã teria origem numa multidão de minúsculas correntes elétricas existentes em seu interior. Na época de Ampère, isso era apenas uma hipótese, mas hoje sabemos que a matéria é constantemente percorrida por cargas em movimento. Dentro das moléculas, os elétrons estão em contínua e rápida rotação. A idéia sugerida por Ampère se revelou correta. De fato, graças ao movimento dos elétrons, em alguns casos um átomo pode ser descrito como um circuito microscópico percorrido por corrente, podendo gerar no espaço circundante um fraquíssimo campo magnético. omo os átomos de um pedaço de ferro não-magnetizado estão orientados de todos os modos possíveis, os pequenos campos magnéticos por eles gerados dão uma resultante vetorial nula (figura 8.5a). Quando, porém, se magnetiza esse pedaço de ferro, a maior parte de seus átomos se orienta numa direção bem determinada (figura 8.5b).

23 66 (a) (b) Figura 8.5: (a) Num pedaço de ferro, as rotações dos elétrons no interior dos átomos geram correntes microscópicas, que produzem pequeníssimos campos magnéticos. Entretanto, como os elétrons giram em todos os planos possíveis, a soma de seus campos magnéticos dá uma resultante nula. O campo magnético total do pedaço de ferro é, portanto, igual a zero. (b) A presença de um campo magnético B externo ao pedaço de ferro (gerado, por exemplo, por um ímã) faz com que os elétrons passem a girar em planos paralelos. Os campos magnéticos por eles gerados tendem, assim, a se dispor na mesma direção do campo externo, e sua resultante é diferente de zero. Nessas condições, o ferro se torna um ímã. Na verdade, qualquer ponto interno do ímã está situado entre correntes atômicas com sentidos contrários, cujos efeitos se anulam. Já na superfície externa, as correntes giram todas no mesmo sentido. Assim, no interior do ímã, tudo se passa como se não houvesse corrente. Sobre a superfície externa, entretanto, circula uma corrente superficial semelhante à que percorre os fios de uma bobina. Do ponto de vista magnético, o ímã cilíndrico e a bobina se equivalem, gerando, portanto, o mesmo campo magnético externo. Podemos dizer que, em última análise, um campo magnético é sempre gerado por cargas elétricas em movimento e exerce forças sobre qualquer carga em movimento. As forças magnéticas são, portanto, forças que duas cargas exercem entre si quando ambas se acham em movimento com relação ao observador Definição e Propriedades do ampo Magnético O campo elétrico E num ponto do espaço foi definido corno a força elétrica, por carga unitária, que atua sobre uma carga de prova colocada nesse ponto. Analogamente, o campo gravitacional g num ponto do espaço é a força gravitacional, por unidade de massa, que atua sobre uma massa de prova no ponto.

24 67 Vamos agora definir o vetor do campo magnético B (chamado também de vetor indução magnética ou vetor densidade de fluxo magnético) num certo ponto do espaço em termos de uma força magnética que seria exercida sobre um corpo de prova apropriado. O nosso corpo de prova é uma partícula carregada que se desloca com a velocidade v. Vamos admitir, no momento, que não existam campos elétricos ou campos gravitacionais na região onde está essa partícula. As experiências com o movimento de diversas partículas carregadas, em movimento num campo magnético, levam aos seguintes resultados:. A força magnética é proporcional à carga q e ao modulo da velocidade v da partícula.. O módulo e a direção da força magnética dependem da velocidade da partícula e do modulo e da direção do campo magnético. 3. Quando uma partícula carregada se move numa direção paralela ao vetor campo magnético, a força magnética F sobre a partícula é nula. 4. Quando o vetor velocidade fizer um ângulo θ com o campo magnético, a força magnética atua numa direção perpendicular a v e a B; isto é, F é perpendicular ao plano definido por v e por B (Fig. 8.6a). 5. A força magnética sobre uma carga positiva está na direção oposta à direção da força sobre uma carga negativa que se mova com o mesmo vetor velocidade (Fig. 8.6b). 6. Se o vetor velocidade fizer um ângulo θ com o vetor campo magnético, o modulo da força magnética é proporcional a sen θ. Estas observações podem ser resumidas, escrevendo-se a força magnética na forma F qv B 8. onde a direção da força magnética é a direção de v x B, que, pela definição do produto vetorial, é perpendicular a v e a B.

25 68 Figura 8.6: A direção da força magnética sobre uma partícula carregada que se move com uma velocidade v na presença de um campo magnético B. (a) Quando v faz um ângulo θ com B, a força magnética é perpendicular a v e a B. (b) Na presença de um campo magnético, as partículas carregadas em movimento se desviam conforme as curvas tracejadas. A Fig. 8.7 encerra uma rápida revisão da regra da mão direita para a determinação da direção do produto vetorial v x B. Os quatro dedos da mão direita são apontados na direção de v e depois curvados para a direção de B. O polegar, então, aponta na direção de v x B. Uma vez que F qv x B, F está na direção de v x B, se q for positiva (Fig. 8.7a), e na direção oposta à de v x B, se q for negativa (fig. 8.7b). Figura 8.7: A regra da mão direita para determinar a direção da força magnética F que atua sobre uma carga q em movimento com uma velocidade v, num campo magnético B. Se q for positiva, F está dirigida para cima, na direção do polegar. Se q for negativa, F está para baixo.

26 69 O valor da força magnética é dado por F q v B sen θ 8. onde θ é o ângulo entre v e B. Por essa expressão, vemos que F é nula quando v for paralela a B (θ O ou 80 ). Além disto, a força tem o seu valor máximo, F qvb, quando v for perpendicular a B (θ 90 ). Podemos encarar a equação 8. como uma definição operacional do campo magnético num ponto do espaço. Isto é, o campo magnético se define em termos de uma força lateral que atua sobre uma partícula carregada. Há diversas diferenças importantes entre as forças elétricas e as magnéticas:. A força elétrica está sempre na direção do campo elétrico, enquanto a força magnética é perpendicular à direção do campo magnético.. A força elétrica atua sobre urna partícula carregada, independentemente da velocidade da partícula, enquanto a força magnética atua sobre uma partícula carregada somente quando a partícula estiver em movimento. 3. A força elétrica efetua trabalho ao deslocar urna partícula carregada, enquanto a força magnética, associada a um campo magnético permanente, não efetua trabalho quando a partícula for deslocada. Em outras palavras, quando uma carga se move com a velocidade v, um campo magnético aplicado pode alterar a direção do vetor velocidade, mas não pode alterar o módulo da velocidade de uma partícula. A unidade no Sistema Internacional de Medidas (SI) de campo magnético é o weber por metro quadrado (Wb/m ), chamado tesla (T). Essa unidade pode ser relacionada às unidades fundamentais mediante a equação 8. [ ] Wb N N T 8.3 m m / s A m B Exemplo 8-9: Um próton se move com uma velocidade de 8 x 0 6 m/s, sobre o eixo dos x. Entra então numa região onde há um campo magnético de,5 T, com a direção fazendo um ângulo de 60 com o eixo dos x e no plano xy (figura 8.8). alcular a força magnética inicial sobre o próton e a aceleração inicial do próton.

27 70 Figura 8.8: A força magnética F sobre um próton está na direção dos z positivos quando v e B estão no plano xy. Solução: Pela equação 8. temos que, F F q v B sen θ 9 6 (,67 0 )( 8 0 m / s)(,5t) ( sen 60 ) F,77 0 Uma vez que v x B está na direção dos z positivos e que a carga é positiva, a força F está na direção dos z positivos. Sendo,67 x 0-7 kg a massa do próton, a aceleração inicial é na direção dos z positivos. F,77 0 N F m a a 7 m,67 0 kg a, N m / s

28 7 8.0 álculo do ampo Magnético A questão central desta seção é: De que modo podemos calcular o campo magnético que uma dada distribuição de correntes cria no espaço à sua volta? A resposta à essa pergunta não é dada de forma única, mas pressupondo que o cálculo do campo magnético depende da geometria do problema apresentado. Dessa forma, descrevemos abaixo, algumas das mais freqüentes geometrias encontradas em problemas de magnetismo ampo Magnético Devido a um Fio Retilíneo Longo Um fio retilíneo, comprido, de raio R, tem uma corrente constante I 0 i uniformemente distribuída pela seção reta do fio ( figura 8.9). Figura 8.9: Um fio condutor, retilíneo, de raio R, tem uma corrente I 0 i uniformemente distribuída sobre a sua seção reta. O campo magnético, em qualquer ponto pode ser calculado usando-se uma circunferência, de círculo, de raio r, centrada no eixo do fio. Na região, onde r >> R (fora do fio), vamos escolher uma circunferência de raio r, com centro no eixo do fio. Uma vez que a corrente que atravessa a superfície limitada pela curva é i, a lei de Ampère nos dá µ i (fora do fio) 8.4 π r B 0 onsideremos agora o interior do fio, isto é, a região limitada pelo círculo, onde r < R. Nesse caso, o campo magnético, dentro do fio, é dado por ( µ i) B (dentro do fio) ( π R ) r

29 7 onde µ 0 é uma constante, denominada constante de permeabilidade, cujo valor exato, por definição, é µ 0 4π 0 7 T m A 8.6 i é a corrente que percorre o fio, R é o raio do fio e r é o ponto onde se calcula o campo magnético. Exemplo 8-0: Um fio retilíneo longo de raio R,5 mm transporta uma corrente constante i de 3 A. (a) Qual é o módulo do campo magnético na superfície do fio? (b) Qual é o módulo do campo magnético no interior do fio? Solução: (a) Neste caso podemos aplicar a equação 8.4, já que o campo é calculado na superfície (fora) do fio. Na superfície do fio, r,5 mm 0,005 m, temos então B B µ 0 i π r 7 ( 4π 0 T m / A)( 3A) ( π)( 0,005m) B 4,7 0 (b) omo estamos considerando um ponto no interior do fio, devemos aplicar a equação 8.5. Obtemos 3 T B µ 0 i r π R B 7 ( 4π 0 T m / A)( 3A)( 0,00m) ( π)( 0,005m) B 3,4 0 3 T

30 ampo Magnético Devido a um Solenóide Um solenóide é constituído por um fio condutor comprido enrolado ao modo de uma hélice. om esta configuração, é possível ter um campo magnético razoavelmente uniforme, num pequeno volume no interior do solenóide, caso as espiras estejam suficientemente juntas. Quando as espiras forem muito espaçadas, cada qual pode ser encarada como uma espira circular, e o campo magnético resultante é igual à soma vetorial dos campos pertinentes a cada uma das espiras. A figura 8.0 mostra as linhas do campo magnético de um solenóide com as espiras separadas. Observe que as linhas do campo, no interior da bobina, são quase paralelas, estão distribuídas quase uniformemente e são muito aproximadas umas das outras. Isso indica que o campo no interior do solenóide é uniforme. As linhas do campo, entre as espiras, tendem a se cancelar mutuamente. O campo fora do solenóide não é uniforme e é fraco. Nos pontos exteriores, como P, o campo é fraco, pois o campo devido aos elementos de corrente na parte de cima do solenóide tende a ser cancelado pelos elementos de corrente na parte de baixo. Figura 8.0: As linhas do campo magnético de um solenóide com espiras espaçadas. Se as espiras forem muito cerradas, e se o solenóide for de comprimento finito, as linhas do campo são as da figura 8.. Neste caso, as linhas do campo divergem numa extremidade e convergem na outra. A análise desta distribuição do campo no exterior de um solenóide evidencia a semelhança entre esse campo e o de uma barra imantada. Então, uma ponta do solenóide se comporta como um pólo norte de um ímã, e a ponta oposta como um pólo sul. À medida que o comprimento do solenóide aumenta, o campo no seu interior fica cada vez mais uniforme. O solenóide aproxima-se, então, de um solenóide ideal, que tem as espiras muito juntas e o comprimento é grande em comparação com o raio das espiras. Neste caso, o campo no exterior do solenóide é fraco comparado ao campo no interior do solenóide, e, nesse interior, o campo é uniforme numa região de grande volume.

31 74 Figura 8.: Linhas do campo magnético de um solenóide com espiras muito cerradas, de comprimento finito, com uma corrente constante. O campo no interior do solenóide é quase uniforme e é forte. Observe que as linhas se parecem com as de uma barra imantada, de modo que o solenóide tem, efetivamente, um pólo norte e um pólo sul. A expressão do campo magnético no interior de um solenóide ideal, é dada por B µ 0 i n 8.7 onde n N/L é o número de espiras por unidade de comprimento ( não confundir com N que é apenas o número de espiras) e i é a corrente que percorre o solenóide. Exemplo 8-: Um solenóide tem comprimento L,3 m e diâmetro interno d 3,55 cm. Ele possui cinco camadas de enrolamentos de 850 espiras cada e transporta uma corrente i 5,57 A. Qual é o valor de B em seu centro? B µ 0 i n ( 4 π 0 T m / A)( 5,57A),3m B,4 0 T

32 ampo Magnético Devido a um Toróide A figura 8. mostra um toróide, que podemos descrever como um solenóide encurvado na forma de um pneu. Que campo magnético é criado em seus pontos interiores? Figura 8.: Bobina toroidal constituída por muitas espiras de fio condutor enroladas em um toro. Se as espiras forem bem cerradas, o campo no interior do toróide é tangente ao círculo tracejado. O campo externo é nulo. O módulo do campo magnético no interior do toróide é dado por: µ i N 8.8 π r B 0 Exemplo 8-: Um toróide tem raio interno de 0,7 m e externo de,3 m. Se o toróide tiver 900 espiras de fio, cada qual conduzindo uma corrente de 4000 A, achar a intensidade do campo magnético. (a) Sobre o raio interno do toróide. (b) Sobre o raio externo do toróide. Solução: (a) Da equação 8.8 temos, µ 0 i N B π r 7 ( 4 π 0 T m / A) ( 4000A) ( 900) ( π)( 0,7m) B 3,6T

33 76 (b) Da equação 8.8 temos, µ 0 i N B π r 7 ( 4 π 0 T m / A) ( 4000A) ( 900) ( π)(,3m ) B,94T

34 77 8ª LISTA DE EXERÍIOS. Uma bateria, com fem de V e resistência interna de 0,9 Ω, está ligada a um resistor de carga R. Se a corrente no circuito for,4 A, qual o valor de R? R: 7,67 Ω. (a) Qual a corrente num resistor de 5,6 Ω, ligado a uma bateria que tem a resistência interna de 0, Ω, se a voltagem entre os terminais da bateria for de 0 V? (b) Qual a fem da bateria? R: (a),79 A (b) 0,4 V 3. Uma corrente, na malha de um circuito que tem a resistência R, é A. A corrente se reduz para,6 A quando se coloca um resistor R 3 Ω em série com R. Qual o valor de R? R:,0 Ω 4. Uma bateria tem uma fem de 5 V. A voltagem terminal da bateria é de,6 V quando a bateria está debitando 0 W de potência a um resistor e carga externo R. (a) Qual o valor de R. (b) Qual a resistência interna da bateria? R: (a) 6,73 Ω (b),98 Ω 5. Duas pilhas de,5 V com os terminais positivos na mesma direção são instalados numa lanterna de mão. Uma das pilhas tem a resistência interna 0,55 Ω e a outra a resistência interna 0,53 Ω. Quando a chave da lanterna é fechada, a lâmpada é percorrida por uma corrente de 0,6 A. (a) Qual a resistência da lâmpada? (b) Qual a fração da potência que se dissipa nas pilhas? R: (a) 4,59 Ω (b) 8,6 % 6. Aos extremos de um condutor é aplicada uma ddp de 8 V. alcule sua resistência, sabendo que ele é atravessado por uma corrente de 6 ma de intensidade. R: 3000 Ω 7. Num circuito a cujos extremos é aplicada uma ddp de 00 V, passa uma corrente de intensidade I 5 A. alcule a resistência desse circuito. R: 40 Ω 8. Que ddp é preciso aplicar aos extremos de um condutor metálico de resistência R Ω para que ele seja percorrido por uma corrente de intensidade I 0 A? R: 40 V 9. Esta é a curva característica tensão-corrente de um resistor. Qual o valor de sua resistência? R: 00 Ω,6,4,,0 V (V) 0,8 0,6 0,4 0, 0, i (ma)

35 78 0. Três resistores estão ligados em série. O primeiro tem resistência R 0 Ω. O segundo, o dobro desse valor. O terceiro, o dobro do segundo. alcule a resistência equivalente do sistema. R: 70 Ω. Usando somente três resistores de Ω, de 3 Ω, e de 4 Ω - achar todas as 7 resistências que podem ser conseguidas mediante as várias combinações de um ou mais desses resistores. Tabular os resultados na ordem das resistências crescentes. R: 0,93 Ω R 9,0 Ω. onsiderando a figura abaixo: (a) Achar a resistência equivalente entre os pontos a e b. (b) Uma ddp de 34 V é aplicada entre os pontos a e b. alcular a corrente em cada resistor. R:,99 A,7 A 0,89 A 3. alcular a resistência equivalente da rede de resistores idênticos, cada qual com resistência R, que aparece na figura abaixo. R: (6/)R

36 79 4. alcular a potência dissipada em cada resistor do circuito da figura abaixo. R: 4,3W; 8,5W;,33W; 4,0W 5. onsidere o circuito que aparece na figura abaixo. Achar: (a) a corrente no resistor de 0 Ω; R: 0,7A (b) a ddp entre os pontos a e b. R: 5,68V 6. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8, cm e separação,3 mm. (a) alcule a capacitância. R: 40 pf (b) Que carga aparecerá sobre as placas se a diferença de potencial aplicada for de 0 V? R: 7 x A placa e o catodo de um diodo tem a forma de dois cilindros concêntricos sendo o catodo o cilindro central. O diâmetro do catodo é de,6 mm e o diâmetro da placa é de 8 mm; os dois elementos tem comprimento de,4 m. alcular a capacitância do diodo. R: 0,55 x 0 - F 8. As placas de um capacitor esférico tem raios de 38,0 mm e 40,0 mm. (a) alcular a capacitânica. R: 84,5 x 0 F (b) Qual deve ser a área de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma separação entre as placas e capacitância idêntica? R: 0,09 m 9. Quantos capacitores de,00 µf devem ser ligados em paralelo para acumularem uma carga de,00 com um potencial de 0 V através dos capacitores? R: 9090 capacitores

37 80 0. Na figura abaixo, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha que 0,0 µf, 5,00 µf e 3 4,00 µf. R: 3,6 µf. Suponha que no circuito do exercício 0, o capacitor 3 teve seu isolamento rompido eletricamente, tornando-o equivalente a um caminho condutor. Que variações ocorrem (a) na carga. R: Nenhuma variação. (b) Na ddp do capacitor. R: A ddp do capacitor aumenta, se igualando à ddp V da bateria.. Na figura abaixo, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha que 0,0 µf, 5,00 µf e 3 4,00 µf. R: 7,33 µf 3. Uma capacitância 6,00 µf é ligada em série com uma capacitância 4,0 µf e uma ddp de 00 V é aplicada através do par. (a) alcule a capacitância equivalente. R:,40 µf (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? R: 0,480 m para ambos (c) Qual é a ddp através de cada capacitor? R: V 80 V; V 0 V 4. Um capacitor de 00 pf é carregado sob uma ddp de 50 V e a bateria que o carrega é retirada. O capacitor é, então, ligado em paralelo com um segundo capacitor, inicialmente descarregado. Sabendo-se que a ddp cai para 35 V, qual é a capacitância deste segundo capacitor? R: 43 pf

38 8 5. Dispomos de vários capacitores de,0 µf, capazes de suportar 00 V sem ruptura. omo poderíamos agrupar esse capacitores, de modo a obter uma combinação de capacitância equivalente de : (a) 0,40 µf. R: inco em série (b),0 µf, cada uma capaz de suportar.000 V. R: Três setas como em (a) em paralelo. 6. Um fio n 0 (,6 mm de diâmetro), de cobre desencapado, pode conduzir uma corrente de 50 A sem se aquecer em demasia. Para esta corrente, qual é o campo magnético na superfície do fio? R: 7,7 mt 7. alcular o módulo do campo magnético a um ponto 00 cm distante de um fio condutor, delgado, comprido, com uma corrente de A. R: 00 nt 8. Um condutor delgado, comprido, retilíneo, tem uma corrente de 0 A. A que distância do condutor o módulo do campo magnético é igual a 0-4 T? R: 6,8 cm 9. Um fio condutor de raio 0,5 cm tem uma corrente de 00 A distribuída uniformemente sobre a área da seção reta. Achar o valor do campo magnético (a) a 0, cm do eixo do fio. R: 8 x 0-4 T (b) na superfície do fio. R: 4 x 0-3 T (c) num ponto fora do fio, a 0, cm da sua superfície. R:,86 x 0-3 T 30. Um solenóide de 95,0 cm de comprimento tem um raio de,0 cm, um enrolamento de 00 espiras e transporta uma corrente de 3,6 A. alcule o módulo do campo magnético no interior do solenóide. R: 5,7 mt 3. Um solenóide de 00 espiras tendo um comprimento de 5 cm e um diâmetro de 0 cm transporta uma corrente de 0,30 A. alcule o módulo do campo magnético B próximo ao centro do solenóide. R: 3,0 x 0-4 T 3. Um solenóide supercondutor é projetado para gerar um campo de 0 T. Se o enrolamento do solenóide tiver 000 espiras/m, que corrente deve ter? R: 3,98kA 33. Um solenóide com as espiras cerradas, comprido, com o comprimento de 30 cm, tem o campo magnético B 5 x 0-4 T no seu centro, quando percorrido pela corrente i A. Quantas espiras tem o solenóide? R: 9 espiras 34. Um toróide, com espiras cerradas, e o raio interno de cm e o externo de cm, tem 000 espiras e uma corrente de,5 A. (a) Qual o campo magnético a, cm do centro do solenóide? R:,73 x 0 - T (b) Qual o campo magnético a,5 cm do centro? R:,00 x 0 - T

39 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA 8 ALONSO, Marcelo. Física. Editora Addison-Wesley. Volume único. 999 BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. São Paulo: Editora Makron Books. 5ª edição revisada, volume único, 998. HALLIDAY, David, et al. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Editora LT. 6ª edição, vol. a 4, 00. NUSSENZVEIG, Hersh Moysés. urso de Física Básica. Editora Edgard Blücher Ltda. Volume, 3ª edição, 996. SERWAY, Raymond A. Física para ientistas e Engenheiros. Rio de Janeiro: Editora LT, 3ª edição, vol. a 3, 996. TIPLER, Paul Allen. Física para ientistas e Engenheiros. Rio de Janeiro: Editora LT, 4ª edição, vol. a 3, 000.