Comparação de Dois Métodos de Análise Química Considerando a Modelagem Matemática da Precisão

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1 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Comparação de Dos Métodos de Análse Químca Consderando a Modelagem Matemátca da Precsão Márco Veloso de Castlho

2 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca AGRADECIMENTOS O projeto para este trabalho fo uma déa surgda lentamente, e jamas tera sdo possível levá-lo a cabo sem a ajuda, o apoo, a compreensão e o estímulo de uma grande quantdade de pessoas. Fo um trabalho realzado smultaneamente a mutas responsabldades nadáves, que competram pelo tempo e pela dedcação necessára à sua conclusão com êto. Entre estas estão as vagens a trabalho, projetos e reunões de servço, as tarefas (e alegras) que envolvem ser Pa enquanto se estuda, as questões doméstcas do da-a-da. Sera muto dfícl ctar aqu todos que, de alguma forma, contrbuíram ou apoaram neste trabalho. Portanto, agradeço de antemão a todos que porventura não sejam ctados e tenham sdo mportantes nesta realzação. Agradeço em prmero lugar a Deus, pelo dom da Vda, pela condução nvsível, pela nspração, por todas as forças que me ajudam, mesmo aquelas de que não me de conta anda. A Elzabeth, pela compreensão, pelo apoo sempre, pelo companhersmo. A Arel, pelo eterno carnho, e pela nspração para as smulações do capítulo 4, que ocorreu nas madrugadas do ano 000, enquanto eu andava pela sala com ela no colo, tentando acalmála nos momentos de cólca ntestnal, quando eu não poda nem mesmo me sentar no sofá sem atrar uma crse de choro. A meus pas, que sempre me mostraram o prazer e as vantagens do estudo. Pelo eemplo no estudo e nteresse nas cêncas matemátcas. Pelo despertar do nteresse em aprender o Reto Pensar. Aos professores Cbele Comn Cezar, Enrco Antôno Colósmo, Heleno Bolfarne, Máro de Castro. Graças a eles, este trabalho pôde ser levado a cabo com sucesso, o teto fnal melhorou em qualdade e objetvdade de manera a se tornar mas fácl de ler. Aos ensnamentos que esclareceram város dos pontos mportantes, e me levaram a uma compreensão mas profunda da estatístca como cênca de nvestgação. Aos amgos e mestres na normalzação nternaconal. Em especal ao Sr. Jacques Marcel Franços Glls, nosso guru; à Thása Mederos de Fretas, que prmero me mostrou o nteressante trabalho da químca conjugada com a estatístca nos testes nterlaboratoras; Ao Carlos Augusto Coutnho, pelo estímulo ao estudo da químca analítca, e ao uso de

3 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca técncas estatístcas assocadas a ela. E pelos momentos dvertdos em sua companha, em dversos contnentes, em tempos varados. Este trabalho jamas podera ter sdo realzado com sucesso, não fosse o apoo contínuo de dversos profssonas da Companha Vale do Ro Doce. Em partcular, agradeço ao Luz Paulo de Carvalho Serrano, meu prmero amgo na empresa, e o que me apresentou os prmeros desafos profssonas. Ao Engenhero Francsco Valadares Povoa, que sempre me apoou e estmulou a desenvolver trabalhos relevantes, e cujo apoo fo fundamental quando nce a trlhar o camnho da normalzação nternaconal, que troue grande crescmento pessoal e profssonal. Ao Arthur Napoleão de Souza Neto, que sempre me apresentou problemas nteressantes para uso de técncas estatístcas na ndústra da mneração, além de ter sdo um mportante professor na técnca de redgr relatóros e tetos especalzados. Pelos ensnamentos sobre a Vda, da qual a profssão é apenas uma parte. Ao Tarcíso José da Slva, que apoou o mestrado desde o níco, mesmo nos momentos em que tve de me ausentar do trabalho para cumprr as egêncas da escola. Ao Arnaldo Morera Borges, um amgo nesperado, e que me fez voltar à unversdade para termnar o trabalho, já quase completo. Ao Lucano Manetta Martns Belém, que me aulou a colocar a apresentação na forma fnal, à altura dos mestres de todos os tempos, trazendo o equlíbro fnal da étca e da estétca. Aos colegas e amgos que apoaram e ajudaram ao longo desta camnhada. Em especal, agradeço aos colegas que compareceram à apresentação fnal do trabalho perante a Unversdade, para aprovação fnal. Este gesto de carnho não será esquecdo. Muto obrgado.

4 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca y LISTA DE FÓRMULAS E SÍMBOLOS resultados de análses químcas obtdos pelo método de referênca resultados de análses químcas obtdos pelo método de teste µ verdaderos valores de teor relaconados ao método de referênca µ y verdaderos valores de teor relaconados ao método de teste ε δ erros aleatóros assocados às meddas, com varânca erros aleatóros assocados às meddas y, com varânca σ ε = σ σ δ = σ y α, β parâmetros da reta de regressão de Y contra X, estmados por a e b ˆ µ, ˆ estmatvas das verdaderas concentrações, obtdas pela reta de regressão µ y s, estmatvas dos erros padrão de regressão para as estmatvas a e b λ S s w a s b razão entre as varâncas σ y e σ soma de quadrados que é mnmzada para se obter estmatvas dos parâmetros de regressão. É defndo especfcamente para cada modelo e técnca de regressão erro padrão de regressão pesos de regressão utlzados nos modelos com ponderação de erros, y médas ponderadas obtdas para os dados w w e y, aplcando-se os pesos w CV R coefcente de varação de reprodutbldade C concentração epressa na forma de fração de massa (um número entre 0 e 1) η erro aleatóro normal com varânca σ η F estatístca de Fsher r resíduo de regressão ( r = y a b ) * * r resíduo padronzado para regressão ponderada, r = ( y a b ) w σ 0,κ parâmetros das funções de precsão (desvo padrão de análse vs. teor) s 0, k estmatvas para σ 0 e κ referentes ao método de referênca ( ) X, Y varáves aleatóras, cujos valores observados são os valores e y. S área da regão de confança elpsóde para os parâmetros da reta. e

5 3 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca LISTA DE TERMOS TÉCNICOS E ABREVIAÇÕES IUPAC: Internatonal Unon of Pure and Appled Chemstry. É uma organzação nternaconal que defne métodos de análse químca e protocolos para comparação de resultados com especfcações. Isto é feto através de normas técncas. ISO: Internatonal Organzaton for Standardzaton. Entdade nternaconal responsável pela elaboração de normas técncas utlzadas em dversos segmentos da atvdade econômca, com mportânca no mercado nternaconal. Produz normas de análse químca, assm como normas de aplcações estatístcas e outras. Assumu uma mportânca muto grande com a assnatura do Códgo de Normas do GATT, ao fnal da rodada de Tóquo, em GATT: General Agreement on Tarffs and Trade. Grupo de negocações dplomátcas composto de város países, e que trabalha em rodadas de negocação, onde se decdem acordos dversos de nteresse no relaconamento entre os países partcpantes. Códgo de Normas do GATT: Documento assnado pelos partcpantes do GATT em fns de 1979, que estabelece, dentre outras cosas, que o comérco nternaconal deverá utlzar de normas técncas nternaconas para drmr possíves confltos entre parceros comercas. Ele estabelece formas de se evtar as barreras técncas ao comérco. AOAC Internatonal: Assocaton of Offcal Analytcal Chemsts Internatonal. Organzação nternaconal que promove a elaboração de normas técncas de análse químca aplcadas a dversos setores, como a ndústra de almentos, análses usadas em dagnóstcos médcos, fabrcação de materas de referênca certfcados para váras aplcações, promove testes de profcênca de laboratóros em níves naconas e nternaconas. CRM : Certfed Reference Materals. Os materas de referênca certfcados são substâncas produzdas por entdades de reconhecmento nternaconal, que possuem valores de certas característcas meddas nformadas em certfcado, onde também constam as ncertezas de medção assocadas a cada característca. São utlzados para se detectar se um método de análse quanttatva é eato, ou para estmar seu víco. Também são utlzados para calbração. O comtê da ISO responsável pela normalzação dos assuntos referentes a CRMs é o ISO/REMCO ( Reference Materals Commttee ). Padrão Prmáro : padrão (materal) desgnado ou amplamente aceto como possundo as mas altas qualdades metrológcas e cujo valor (de uma determnada característca) é aceto sem referênca a outros padrões da mesma quantdade, dentro de um conteto específco. Tradução do Gua ISO 30, equvalente à defnção do VIM (Vocabuláro Internaconal de Metrologa).

6 4 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Incerteza de medção: estmatva assocada a um valor de medção, que caracterza a faa de valores dentro da qual o verdadero valor é assegurado estar, com um nível de confança especfcado. Precsão: promdade de concordânca entre resultados de teste mutuamente ndependentes obtdos sob condções prescrtas. É medda pela mprecsão. Por eemplo, pelo desvo padrão de repetbldade ou pelo desvo padrão de reprodutbldade, conforme o caso. Repetbldade: promdade de concordânca entre resultados de sucessvas medções da mesma característca, sujetas às condções: mesmo procedmento de medção, mesmo observador (ou analsta), mesmo nstrumento de medção, usado nas mesmas condções, mesmo lugar, e em curto ntervalo de tempo. Reprodutbldade: promdade de concordânca entre resultados de medção da mesma característca, onde as medções foram realzadas em condções dferentes, como: prncípo ou método de medção, observador (ou analsta), nstrumento de medção, lugar, condções de uso, e tempo. Rastreabldade: propredade do resultado de uma medda ou valor de um padrão que estabelece, dentro de uma ncerteza especfcada, que o valor pode ser relaconado a referêncas declaradas, usualmente padrões naconas ou nternaconas, através de uma cadea nnterrupta de comparações (chamada cadea de rastreabldade). Acuráca: promdade de concordânca entre o resultado de teste e o valor de referênca aceto. Este termo, quando aplcado a um grupo de observações, descreve uma combnação de componentes aleatóros e um erro sstemátco comum ou componente de víco. Eatdão: promdade de concordânca entre o valor médo obtdo de uma sére de mutos resultados de teste e um valor de referênca aceto. A medda de eatdão usualmente é epressa em termos de víco. Valor de referênca aceto: um valor que serve como uma referênca de comum acordo para comparações, e que é obtdo como: - um valor teórco ou estabelecdo, baseado em prncípos centífcos; - um valor atrbuído, baseado em trabalho epermental de alguma organzação naconal ou nternaconal; - um valor de consenso, baseado em trabalho epermental colaboratvo sob os auspícos de um grupo de centstas ou engenheros. Dferença sstemátca fa: dferença entre dos métodos de análse, que é ndependente da concentração da substânca analsada. Quando a dferença é tomada em relação a um

7 5 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca padrão prmáro ou valor de referênca aceto, a dferença sstemátca fa é chamada de víco fo. Dferença sstemátca proporconal: dferença entre dos métodos de análse, que muda com a mudança da concentração da substânca analsada. Quando a comparação é realzada com um padrão prmáro ou valor de referênca aceto, esta medda é chamada de víco proporconal. Lmte de Detecção: é a menor quantdade de uma substânca, que um determnado método de medção é capaz de dstngur do ruído epermental, com um nível especfcado de confança. Esta característca não está relaconada à precsão de medda, portanto é comum métodos que possuem baos lmtes de detecção apresentarem alta varabldade prómo a este valor. A quantdade que especfca o menor valor que se detecta com uma determnada precsão é o Lmte de Quantfcação. Teste de Profcênca: o Gua ISO 43-1 defne teste de profcênca como sendo a determnação do desempenho de um laboratóro de teste por meo de comparações nterlaboratoras. Também pode prover nformações a respeto de dentfcação de problemas e tomada de ações corretvas, pode ser uma fonte de garanta de qualdade analítca do laboratóro perante seus clentes, pode ser usado para se determnar valores de referênca acetos em materas de referênca, além de outras. As defnções e termos aqu apresentados são baseadas em consenso nternaconal dentro das entdades ctadas (IUPAC, ISO, AOAC). Para um maor aprofundamento nestas defnções e concetos, é recomendada a letura dos Guas ISO 5, 30, 31, 3, 33, 34, 35, 36, 43-1 e 43-, assm como as normas ISO 575-1, ISO e o VIM ( Internatonal vocabulary of basc and general terms n metrology ). Estas publcações são apresentadas nas referêncas, ao fnal deste teto.

8 6 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO E OBJETIVOS Introdução 8 1. Objetvos 1. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 14.1 Comparação entre resultados de dos métodos 14. Modelagem matemátca da precsão 6 3. MÉTODOS ESTATÍSTICOS Comparação de Resultados Métodos de mínmos quadrados Mínmos quadrados ordnáros Mínmos quadrados ponderados Mínmos quadrados ponderados smples Modfcação de Wllamson (1968) para o método de York (1966) Mínmos quadrados bvarados de Ru e Rus (1996) Métodos baseados em máma verossmlhança Método da razão de varâncas constante e conhecda Método ponderado para coefcente de varação constante Relação funconal de máma verossmlhança para varâncas não homogêneas Métodos robustos Mínmos quadrados aparados de Rousseeuw e Leroy (1987) Regressão estrutural absoluta, de Feldmann (199) Método de Wald (1940) APLICAÇÕES Smulações Avalação de dversos fatores sobre o estmador de regressão. Estudo baseado na análse de cobre em mnéros Estudo das dstâncas eucldanas entre as estmatvas e os valores reas dos parâmetros Estudo das áreas das elpses de confança para as estmatvas dos parâmetros Alguns eemplos de efeto das varáves de tratamento na regressão _ Consderações sobre o tamanho de amostra e magntude dos erros no nível de sgnfcânca do teste, para város estmadores 8 4. Eemplos da lteratura Dados de Pearson (1901) utlzando os pesos de York (1966) Eemplos de Rpley e Thompson (1987) Eemplos do autor 93

9 7 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Análse de ouro utlzando abertura da amostra com água réga, etração por solvente e letura por duas técncas, absorção atômca em forno de grafte e emssão ótca em plasma de acoplamento ndutvo Análse de cloro em mnéros de cobre utlzando espectrometra de fluorescênca de raos X dspersvos em comprmento de onda. Dados de dos dferentes laboratóros Comparação de dos métodos de análse de manganês em mnéros de ferro por absorção atômca em chama CONCLUSÕES ANEXO Códgos-fonte dos programas de computador REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 16

10 8 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Capítulo 1 Introdução e Objetvos 1.1 INTRODUÇÃO Os estudos de comparação de métodos em químca analítca representam um assunto abrangente e amplamente dscutdo na lteratura. Isto se deve ao fato de que decsões de grande responsabldade são comumente tomadas com base em resultados de análse químca. Alguns eemplos podem esclarecer bem a mportânca desta questão. Dagnóstcos de doenças e conseqüente prescrção de remédos e tratamentos médcos são mutas vezes baseados em análses laboratoras. Evdêncas de crmes podem advr de provas de laboratóro, em que alguma tecnologa sofstcada é utlzada para desvendar a dentdade do crmnoso. Ensaos de laboratóro, tanto químcos quanto físcos, são utlzados para determnação de consttuntes dos materas de construção em edfcações e estradas. A avalação econômca de negócos, na ndústra, freqüentemente depende de ensaos nos produtos, em escala de laboratóro ou em ensaos ploto. No caso especal da ndústra mneral, a análse químca é utlzada para o cálculo do potencal passível de eploração de um bem mneral, o que nflu nos cálculos de nvestmentos necessáros em equpamentos e nfra-estrutura, assm como na prevsão de lucro futuro do negóco. O ntercâmbo de bens de consumo e commodtes no mercado nternaconal envolve uma parcela consderável de captal, em transações multlateras regulamentadas por acordos, e que por sua vez mutas vezes envolvem o uso de métodos analítcos para garanta da qualdade. Um eemplo de acordo deste tpo é o Códgo de Normas do GATT ( General Agreement on Tarffs and Trade ), que favorece o uso de normas nternaconas na avalação de produtos de eportação. Alguns países, como os Estados Undos da Amérca, possuem entdades governamentas para controlar a qualdade de almentos e medcamentos (no eemplo, o FDA Food and Drugs Admnstraton ) produzdos nternamente ou mportados. Nestas stuações é comum o uso de métodos de análse químca regulamentados ou normalzados. Estes métodos são chamados em váras stuações de métodos de referênca, métodos ofcas, métodos de arbtragem, além de outras denomnações. Em qualquer das stuações ctadas como eemplo pode surgr a necessdade de comparar métodos. De um lado, quem toma a decsão a partr dos resultados de ensaos pode ter dúvdas quanto aos valores apresentados nos certfcados ou laudos de análse. De outro, pode-se desejar publcar o método como um método ofcal ou de referênca, e para tanto é

11 9 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca egdo que este passe em uma sére de avalações, nclundo a comparação com os métodos consderados clásscos ou de referênca estentes, nos quas a comundade centífca confa. Surgem então dos concetos muto mportantes dentro deste tpo de estudos: o da confabldade do método, que pressupõe a estênca de meos para a sua valdação. Entende-se por confabldade do método analítco a sua capacdade em atender a uma sére de egêncas que garantam sua adequação ao uso em crcunstâncas específcas. Dentre estas egêncas estão aquelas usualmente demandadas em sstemas de garanta de qualdade, como a rastreabldade a padrões prmáros, lmte de detecção, lmte de quantfcação, regstros adequados, precsão, eatdão, seletvdade, robustez (no sentdo da palavra nglesa ruggedness ), lneardade, e outras. Em geral, para se estabelecer a confabldade de um método, é necessáro se realzar sua valdação. Valdação é um termo que se refere ao estabelecmento das característcas de qualdade do método, especfcando bem o domíno em que ele é váldo. Nestes estudos usualmente se estabelece os lmtes de aplcação (em termos de teores da substânca a analsar), as equações de precsão necessáras ao seu uso, como por eemplo a repetbldade e a reprodutbldade. Também se estabelece em que faa de concentrações o método pode ser consderado eato, além de se buscar também num estudo de valdação especfcar em que matrzes ele pode ser aplcado. Por eemplo, um método desenvolvdo para determnação de íons de sódo em plasma sangüíneo não obrgatoramente será útl para determnação dos mesmos íons em água. Danzer et al.. (1995) apresentam um modelo matemátco trdmensonal para o estudo de métodos de análse, envolvendo, em suas projeções bdmensonas, três varações comuns em químca analítca: calbração, medção (que os autores chamam de avalação analítca), e recuperação. Como casos especas deste últmo, ctam os estudos de análses de amostras de controle (materas de referênca certfcados) e de comparação com outro método de análse, consderado confável e não vcado. O presente trabalho se concentra na comparação de métodos, e a comparação com resultados de CRMs, que são os dos últmos casos ctados. Mutos dos resultados encontrados podem também ser aplcados nas outras varações apresentadas por estes autores. Onde pertnente, são fetas algumas consderações sobre estas outras aplcações. Estem mutos métodos para o tratamento do problema de comparação de métodos. Altman e Bland (1997) propõem o uso de gráfcos de dferença, com conseqüente tratamento dos resultados por um teste t de Student. Bolfarne, Rodrgues e Cordan (199) apresentam abordagens bayesanas para utlzação em problemas de regressão com erros nas varáves. Técncas desenvolvdas para o tratamento de modelos de regressão com erros nas varáves poderam ser adaptados a estes estudos. Estem mutos trabalhos que poderam ser assm consderados. Schafer (1987) dscute uma aplcação do algortmo E-M

12 10 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca para erros nas varáves em modelos lneares generalzados. Zeger e Karm (1991) apresentam uma solução de análse de modelos lneares generalzados por meo do amostrador de Gbbs. Whttemore e Keller (1988) utlzam estmatvas de máma verossmlhança e quase-verossmlhança, comparando com outros métodos, também no caso de regressão. Embora as três últmas ctações fetas não sejam de propostas para estudos de comparação de métodos em químca analítca, elas poderam nsprar métodos alternatvos de nferênca para este caso. O estudo completo do problema de comparação de métodos envolve a comparação dos resultados obtdos por dos métodos (e nesse caso se busca saber se há concordânca, em méda, entre os resultados obtdos por ambos), e a comparação entre as precsões de ambos. Embora não se encontre na lteratura específca de químca analítca propostas para o tratamento dos dos problemas em conjunto, é possível modelá-los desta manera, utlzando o método de máma verossmlhança, ou alternatvamente, utlzando métodos bayesanos. A prmera destas fornece um sstema de equações não lneares em que os parâmetros a estmar não são eplctáves (o que dfculta, portanto, a solução do sstema utlzando métodos teratvos), e não se consegue epressões fechadas para os estmadores. Sera necessáro utlzar métodos numércos de mamzação para se encontrar as estmatvas. A segunda opção, de se usar um método bayesano, anda é pouco conhecda dentro do meo analítco, e ambas as alternatvas vão além do que se propõe no presente trabalho. A comparação de métodos, na forma como é encontrada hoje, mesmo em comtês de normalzação analítca nternaconas, é dvdda em duas etapas. Prmeramente se encontra as precsões dos dos métodos e se procede à sua avalação. Só então se realzam comparações dos resultados encontrados pelos dos. Mutas vezes, mesmo a avalação das precsões é colocada em segundo plano ou mesmo desconsderada. Por sto, no presente trabalho se nclu esta etapa, já que tem mportânca fundamental na segunda nstânca, em que os resultados são testados em sua gualdade. Obvamente, esta gualdade se dá dentro de certa precsão, apesar de alguns autores não se preocuparem com sto. Para o caso específco da lteratura de químca analítca e aplcações relaconadas, váras abordagens são dscutdas no presente trabalho. Lnnet (1990) cta uma revsão feta nas edções dos três prmeros meses de 1988 do peródco Clncal Chemstry, em que ele conta 50 artgos de comparação de métodos. Destes, 46 utlzam regressão lnear smples por mínmos quadrados ordnáros. Nos demas, é aplcado o método de Demng (1943). Técncas de regressão são mas freqüentemente utlzadas neste tpo de estudos porque permtem a estmatva dos dos tpos de erros sstemátcos: fo e proporconal. Entretanto, o uso de mínmos quadrados ordnáros não é recomendado por causa de três aspectos que são característcas comuns dos métodos de análse químca:

13 11 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Presença de erros nos dos métodos comparados; Estes erros não são constantes ao longo da faa de concentrações analsadas (heteroscedastcdade); Presença de pontos dscrepantes ou dados contamnados, comuns em stuações prátcas. Desconsderar estes aspectos, que são da natureza fundamental dos métodos de químca analítca, leva a se obter estmatvas vcadas dos parâmetros da reta, e as conclusões obtdas mutas vezes chegam a ser tradas com erros superores aos supostos. Para tratar o prmero aspecto enumerado (presença de erros nos dos métodos), grande quantdade de publcações é dsponível, propondo métodos de regressão com erros nas varáves. Ru e Rus (1995) apresentam uma etensa revsão destas propostas. Os métodos encontrados podem se subdvdr em duas classes: os que consderam erros nas varáves, porém constantes ou homogêneos em ambas (Altman e Bland, 1997; Holls, 1996; Cornbleet e Gochman, 1979; Danzer et al., 1995; Hartmann et al., 1997; Petersen et al., 1997; Zwanzger e Sârbu, 1998 e outros); e os que consderam algum tpo de ponderação na regressão. Neste últmo caso se classfcam os métodos propostos por Lsy et al. (1990), Ru e Rus (1996), Kalantar et al. (1995), Lnnet (1990), Cecch (1991), Ner et al. (1989), Rpley e Thompson (1987). Apenas os autores ctados nesta segunda classe de propostas consderam a heteroscedastcdade, ctado como segundo aspecto mportante em comparação de métodos. Em nenhuma destas publcações, entretanto, é utlzada alguma forma de modelagem matemátca da precsão com a concentração. Rpley e Thompson (1987) e Lnnet (1990) ctam a modelagem funconal para a varânca da análse químca, mas no caso dos prmeros ela não é utlzada na abordagem sugerda. Eles partem do pressuposto de que as varâncas em cada ponto são conhecdas, e portanto não precsam possur estrutura defnda. Em Lnnet (1990) esta modelagem é restrção do método proposto. Ambos comentam o modelo de relação lnear entre o desvo padrão da análse e a concentração, que entretanto não eplca esta característca adequadamente em todas as stuações prátcas. Modelagens mas elaboradas do erro aleatóro são vstas em outros autores, porém não para comparação de métodos, mas para calbração e para estudos de normalzação e publcação de métodos. Contrbuções mportantes neste sentdo são as de Horwtz (198), Rocke e Lorenzato (1995) e Thompson e Lowthan (1997). Sendo assm, a precsão é consderada apenas para se defnr fatores ponderadores de regressão. Trabalhos de comparação de métodos usualmente abordam a comparação dos resultados dos dos métodos, e não da precsão com que estes resultados são produzdos. Para sto sera necessáro se dspor de modelos matemátcos que representem de forma apromada a varação da precsão com a concentração, como encontrado na prátca, e de

14 1 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca técncas estatístcas para comparar estes modelos, através de nferênca sobre seus parâmetros. Para contornar o problema de dados contamnados, são propostos modelos de regressão robustos. Em aplcações de químca analítca, os métodos mas ctados são o da mínma medana dos quadrados, de Rousseeuw e Leroy (1987), o da mínma medana dos quadrados ortogonal, apresentada em Saraba et al. (1997) e Hartmann et al. (1997), o método de Passng-Bablok (1983) e a regressão estrutural da mínma medana e a regressão estrutural absoluta, as duas últmas propostas por Feldmann (199). Na revsão bblográfca (capítulo ) é apresentada uma breve dscussão dos três tpos de métodos ctados. Também são mostrados os modelos matemátcos usualmente utlzados para eplcar a varação do desvo padrão do erro aleatóro com a concentração. No capítulo de métodos (capítulo 3), alguns dos procedmentos estatístcos ctados na revsão são apresentados com maor detalhamento. Os procedmentos consderados para este trabalho são os de regressão. Estes métodos são posterormente utlzados nos estudos de smulação, no capítulo de aplcações (capítulo 4). O propósto das smulações é o de comparar os dferentes estmadores de regressão propostos na lteratura entre s, mesmo sabendo-se que alguns não são adequados para este tpo de comparações. No capítulo de aplcações (capítulo 4) também são apresentados eemplos reas, alguns trados da lteratura, e outros referentes ao trabalho do autor como responsável pelo desenvolvmento e avalação de métodos de análse químca aplcados à ndústra da mneração. No capítulo 5 são apresentadas as conclusões do trabalho. No Aneo (capítulo 6), são apresentados os códgos-fonte dos programas de computador desenvolvdos para aplcação dos métodos descrtos no capítulo 3 e os utlzados para as smulações e aplcações prátcas do capítulo OBJETIVOS O objetvo geral deste trabalho é o de fornecer uma sstemátca que permta a comparação de dos métodos de análse químca, em termos de concordânca dos valores médos obtdos por ambos, assm como em termos de gualdade da precsão analítca nos dos. Os passos tomados para se atngr este objetvo são: a) apresentar uma revsão dos métodos de regressão com erros nas varáves, aplcados à comparação de métodos de análse químca;

15 13 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca b) apresentar uma revsão dos modelos que representam a varação do desvo padrão do erro aleatóro (que mede a precsão analítca) com a concentração da substânca analsada; c) comparar os métodos de regressão utlzados e propostos na lteratura, através de smulações computaconas; d) fnalzando, propor um método de regressão, que consdere a modelagem do erro aleatóro, baseado nos resultados da smulação e fundamentados teorcamente, apresentando eemplos prátcos de aplcação.

16 14 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Capítulo Revsão Bblográfca Estudos de comparação de métodos em análse químca têm por base duas seqüêncas de dados. Dspõe-se de um número n de amostras (por eemplo, provenentes de coleta de solos em regões dferentes, de mnéros provenentes de uma mesma ocorrênca geológca, água, sangue, ou de almentos de um mesmo tpo). Cada uma destas amostras é dvdda em duas partes, que são submetdas a análse por dos dferentes procedmentos químcos, ou dferentes nstrumentos, ou dferentes laboratóros. Os resultados assm obtdos são representados por dos vetores, por eemplo, X e Y..1 COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS DE DOIS MÉTODOS Na área de químca clínca os estudos de comparação de métodos ganharam ao longo do tempo grande mportânca, que pode ser evdencada pela profusão de publcações a respeto. Roy Barnett (1965) publcou um dos prmeros guas para orentar neste tpo de estudos. Este trabalho contou com a assstênca do Dr. W. J. Youden, estatístco do antgo Natonal Bureau of Standards. Nesta prmera proposta, e na que a sucede (Barnett e Youden, 1970), são consderados apenas três níves de concentração em cada método, e a técnca de teste utlzada é um teste t de Student para dados emparelhados. Apesar de sugerrem a apresentação dos dados em gráfcos onde se podera evdencar uma relação lnear entre os dos vetores comparados, não fazem referênca a nenhum teste de hpótese para se confrmar os valores dos parâmetros. Na verdade, não propõem que se estme estes parâmetros. O gráfco sera apenas para vsualzação dos dados. No artgo de 1970 os autores sugerem que uma regressão utlzando o método de mínmos quadrados (ordnáros) pode ser utlzada, mas apenas para se vsualzar no gráfco se a reta obtda parece dferr da reta Y=X. Altman e Bland (1983) propõem uma metodologa parecda, porém com destaque para a representação gráfca, utlzando uma fgura onde se cruzam valores das dferenças entre métodos (respetando os snas) com as médas. Eles chamam a esta técnca Gráfcos de Dferença. Holls (1996) apresenta detalhadamente os cálculos necessáros para se utlzar a proposta de Altman e Bland (1983), que na verdade é um teste t de Student para dados emparelhados. Esta últma autora não recomenda o uso de análse de regressão, supostamente devdo às lmtações da técnca, porém tas lmtações se referem ao método de mínmos quadrados ordnáros. Parece que ela, assm como outros autores, confunde regressão com método de mínmos quadrados ordnáros. Stöckl (1996) salenta que o mportante do método Gráfco de Dferenças não é a representação gráfca, mas os métodos de nferênca utlzados, o mesmo valendo para

17 15 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca análse de regressão. O que este e outros autores não ctam, é que este tpo de métodos somente é váldo se a varânca é apromadamente constante ao longo da faa de concentrações estudada. Infelzmente, o teste t de Student, técnca advogada por Altman e Bland (1983), Holls (1996), Stöckl (1966), e reforçada por Petersen et al. (1997) não permte testar a estênca de erros sstemátcos proporconas, além de não tratar adequadamente a heteroscedastcdade presente em resultados de análse químca. Westgard e Hunt (1973) fazem uma avalação por smulação para apontar as vantagens e desvantagens dos métodos até então comumente utlzados na área clínca. Em resumo, mostram a nadequação dos métodos de teste utlzando as estatístcas t de Student, F de Fsher para a razão de varâncas, o coefcente de correlação de Pearson, e o método de mínmos quadrados ordnáros. As smulações por eles realzadas não utlzam números aleatóros, mas partem de uma sére de dados onde são sstematcamente ntroduzdos erros, conforme as stuações que se deseja avalar. Estes autores, após este estudo, recomendam o uso da análse de regressão. Neste trabalho, eles utlzaram o estmador de mínmos quadrados ordnáros. Entretanto, para a utlzação da análse de regressão, é necessáro se conhecer que tpo de dados estão dsponíves, pos estem númeras alternatvas para se encontrar uma reta que passa pelos pontos epermentas. Mutas das abordagens encontradas na lteratura técnca do assunto são baseadas em regressão. Neste caso, a equvalênca entre métodos é usualmente aceta se, após traçar-se uma reta de regressão que passe pelos pontos (X,Y), obtém-se um coefcente angular prómo de um e uma ntercessão próma de zero. Váras abordagens são sugerdas para se obter as estmatvas dos parâmetros desta reta, e o assunto é fonte de pesqusa há muto tempo. Referêncas de abordagem deste problema são Demng (1943), Youden (1955), Mandel (1964), Caulcutt e Boddy (1983), e Massart et al. (1988). Rpley e Thompson (1987) ctam uma proposta de Adcock, encontrada em uma edção de 1878 da revsta The Analyst, publcada pela Royal Socety of Chemstry. Nesta proposta, é sugerda uma técnca de regressão ortogonal, onde se mnmza a soma dos quadrados das dstâncas ortogonas dos pontos observados à reta de regressão, em contraposção ao método de mínmos quadrados ordnáros, que mnmza a soma de quadrados das dstâncas vertcas. A abordagem por regressão é geralmente favorecda entre dversos autores, como por eemplo Pennnck (1994), que sugere a utlzação do estmador de mínmos quadrados ordnáros, devdo à possbldade de se conhecer os dos componentes de erro sstemátco, ou de víco, se for o caso: fo e proporconal. Na verdade estes componentes podem ser estmados utlzando-se qualquer procedmento de regressão. O erro fo é estmado pela

18 y 16 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca ntercessão da reta de regressão e o proporconal pela nclnação. Os casos que se encontram podem ser resumdos na Fgura.1. Resultados do Método Testado Resultados do Método Testado Resultados do Método Testado y y (a) Resultados do Método de Referênca (b) Resultados do Método de Referênca (c) Resultados do Método de Referênca Fgura.1: Eemplos de stuações com presença de dferentes tpos de erros sstemátcos. (a) erro sstemátco fo entre os dos métodos; (b) erro sstemátco proporconal entre os dos métodos; (c) presença de erros sstemátcos, tanto fos quanto proporconas entre métodos. A lnha contínua de referênca representa a gualdade entre os dos métodos. Representa a reta Y=X. Este autor alerta para o fato de que quando os erros de medda dos dos métodos forem da mesma ordem de grandeza, algum método de regressão que consdere erros nos dos eos deve ser utlzado. Quando se sabe que a varânca não muda ao longo da faa de concentrações do método de análses, são sugerdas váras alternatvas para comparar dos métodos. Esta suposção, embora não seja em geral verdadera, pode ser aceta em algumas stuações. Normalmente, quando a faa analítca (ntervalo de concentrações onde os métodos são váldos) é pequena, esta suposção é apromadamente verdadera. Lnnet (1993) cta um eemplo dsto. Segundo este autor, a concentração de eletróltos em soro sangüíneo é regulada rgdamente em organsmos sados, e desvos assocados com doenças são pequenos a moderados. Para o teor de sódo, por eemplo, fo encontrado por Cornbleet e Gochman (1979) uma razão de 1,15 entre o maor valor comparado e o menor, usando o método de referênca. Para faas assm estretas, a varânca é apromadamente constante em ambos os métodos comparados, e pode-se utlzar desta suposção no método estatístco. Um dos estmadores mas comuns, utlzado nestas stuações, é o de mínmos quadrados ordnáros. Esta técnca, embora não consdere o erro nas meddas do método de referênca, é consderada no presente estudo, devdo à sua populardade. O método de mínmos quadrados ordnáros é apresentado com detalhes em Seber (1977), Draper e Smth (1981), e Montgomery e Peck (199). No Capítulo 3 são apresentados os resultados mas mportantes desta técnca para o estudo aqu proposto.

19 17 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Zwanzger e Sârbu (1998) propõem um método de regressão que consdera que a varânca é constante ao longo da faa de concentrações estudada, sem gnorar o fato de haver erro nas duas varáves, e testam a razão entre os valores absolutos dos coefcentes A e B da reta A + By + C = 0 através de uma técnca que estes autores chamam de análse de varânca nformaconal. A hpótese básca neste problema é a de que a razão A/B = 1. No eemplo lustratvo não fca clara qual a vantagem deste método em relação a outros, ctados pelos autores, e usados como comparação. Os autores apenas ctam que a análse de varânca nformaconal utlza de suposções mínmas a respeto da dstrbução dos dados, e ndepende da faa de varação dos mesmos. Danzer et al. (1995) apresentam uma sére de alternatvas para se encontrar os parâmetros da reta de regressão, todas ncluídas na descrção genérca de regressão ortogonal. O prncípo básco dos métodos ortogonas é que a dstânca a ser mnmzada (na verdade a soma dos quadrados desta dstânca é mnmzada) é a dstânca ortogonal dos pontos à reta. Os autores contrapõem o método de mínmos quadrados ordnáros (por eles denomnado mínmos quadrados gaussanos) com propostas de Wald (1940), Mandel (1984), um método descrto pelos mesmos autores desgnado método da Méda Geométrca, e também usam a técnca de Componentes Prncpas. O método de Wald se assemelha ao método de três grupos de Bartlett (1949). Ambos partconam os dados a partr dos resultados ordenados da varável. Bartlett propõe a partção em três grupos onde pelo menos o prmero e tercero devem possur o mesmo tamanho. Wald dvde os dados também ordenados, mas em dos grupos. O coefcente angular em ambos os casos é calculado pela razão das dferenças entre as médas de y (maor méda menos a menor méda) e de. Ru e Rus (1995) afrmam que o método de Bartlett tem mportânca apenas hstórca, e que leva a grandes erros de estmatva em certos grupos de dados. O método descrto como sendo o método de Mandel é uma varação do que Mandel descreve em seu lvro (Mandel, 1964) como sendo o método de Demng. No caso, a varação ctada é o fato de se consderar a razão de varâncas gual a um. Este método é apresentado em detalhe no capítulo de métodos, no presente estudo. O método da méda geométrca se resume em obter as nclnações por mínmos quadrados ordnáros consderando y como função de, e depos de como função de y. Estas nclnações, representadas como b e b y, são utlzadas para cálculo da méda geométrca destes coefcentes. O método de componentes prncpas produz dos componentes, o prmero fornece uma apromação para a lnha de regressão buscada, e o segundo representa o espalhamento ortogonal dos dados ao redor da lnha reta.

20 18 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Em todos os casos ctados acma a ntercessão da reta é encontrada ao se utlzar do fato de que a reta passa pelo ponto representado pela méda em y e em, o ponto (, y). Danzer et al. (1995) apresentam um estudo de smulação utlzando o estmador de Wald, o de Mandel, o da Méda Geométrca, o que utlza Componentes Prncpas e o método de Mínmos Quadrados Ordnáros. As smulações se baseam em epermentos de calbração analítca, utlzando cnco pontos, com três réplcas de cada. Os erros aleatóros são prmeramente assumdos como apresentando varânca constante e gual para X e Y. Numa segunda nstânca, faz-se varar a relação entre as varâncas, para se testar qual estmador apresentara melhor desempenho. Para todas as smulações fo utlzada nclnação untára para a reta teórca, o que sgnfca consderar que não há desvos sstemátcos entre os métodos de análse químca. Os melhores resultados foram obtdos com o estmador proposto por Wald. O método mas ctado na lteratura de químca analítca para a comparação de métodos, quando se deseja utlzar regressão com erros nas varáves, portanto evtando o uso de mínmos quadrados ordnáros, é o chamado método de Demng. Em todas as publcações onde é ctado, a referênca dada é Demng (1943). Pava Lma (1996) trabalha com este método sem fazer referênca a Demng, e dá a ele a denomnação de método clássco de modelo funconal de máma verossmlhança com razão de varâncas conhecda. Pava Lma (1996) deduz este estmador através do método de máma verossmlhança, quando se consdera as varâncas nos dos eos constante. Reescrevendo a epressão da verossmlhança, esta autora mostra que não é necessáro conhecer as duas varâncas separadamente, basta conhecer a razão entre elas, e torna-se possível a estmação dos parâmetros. No capítulo de métodos são apresentadas as epressões para se obter este estmador. As referêncas mas comuns na lteratura de químca analítca para este método são Mandel (1964) e Cornbleet e Gochman (1979). Danzer et al. (1995), como ctado anterormente, e Hartmann et al. (1997) o chamam de método de Mandel, devdo a uma publcação deste (Mandel, 1984), onde é apresentada uma manera dferente de se obter as estmatvas dos parâmetros e respectvos erros padrão, por meo de uma transformação de varáves. Mandel faz uma rotação e translação de eos nas varáves orgnas, para obter um novo sstema coordenado onde os pressupostos do método de mínmos quadrados ordnáros são apromadamente váldos. Mutos autores ctam o método de Mandel como sendo um caso especal do método de Demng, quando se consdera a razão de varâncas constante e gual a um. Entretanto, Mandel (1984) derva equações genércas que podem ser utlzadas quando as varâncas forem constantes e dferentes. As fórmulas apresentadas por Pava Lma (1996), Mandel (1964) e Cornbleet e Gochman (1979), para estmar os parâmetros da reta, são equvalentes.

21 19 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Embora se saba que em mutas stuações os métodos de regressão que consderam varânca constante são teorcamente njustfcados, Cornbleet e Gochman (1979) mostram que o método de Demng pode ser aplcado, se o coefcente de varação nos dos métodos for nferor a 0%, o que é freqüente em químca analítca. Em suas smulações, estes autores eploram stuações com dados segundo dstrbuções normas e log-normas, varâncas constantes e coefcentes de varação constantes. Em todos os casos, o erro sstemátco entre os métodos comparados é epresso pela equação y = , 90, ou seja, método y com dferença fa de 10 undades acma do método, e erro proporconal de 10% para bao do mesmo. São comparados os métodos de mínmos quadrados ordnáros, o de Demng, o de Mandel (consderando razão de varâncas untára) e o de Bartlett. Ao fnal, os autores recomendam o uso do método de Demng. O caso mas genérco, quando se consdera a comparação de métodos em químca analítca, é aquele em que são consderados erros nos dos métodos, e a varânca destes erros depende do valor de concentração da substânca analsada. Mutos autores consderam, apesar dsto, como satsfatóra a utlzação do método de mínmos quadrados ponderados. Chrstensen (1996), por eemplo, advoga o uso desta técnca para comparar resultados de um novo método com resultados de CRMs. O problema real nesta alternatva é que despreza os erros em, ntroduzndo, portanto, víco nas estmatvas. Estem stuações, entretanto, em que o estmador de mínmos quadrados ponderados é teorcamente correto, quando se sabe que os erros de medda no método são bem menores que os do método y. Isto acontece em algumas stuações de calbração, embora não se possa dzer que é uma suposção sempre válda mesmo então. Trabalhos propondo esta técnca para calbração podem ser vstos em Agterdenbos (1979), Schwartz (1979), Garden et al. (1980), e Watters, Carroll e Spegelman (1987). Quando a suposção de que os erros em são muto menores que os erros em y não puder ser aceta como verdadera (que é o mas comum no caso de comparação de métodos), torna-se necessáro utlzar métodos de regressão ponderada com erros nas varáves. Uma ntrodução a estes métodos, aplcados a análses químcas, com uma etensa pesqusa bblográfca, é apresentada em Ru e Rus (1995). Os métodos melhor avalados por estes autores partem de uma etensão do crtéro de mínmos quadrados ponderados, ao se consderar também os erros em, sendo os ponderadores funções das duas varáves. As estmatvas são produzdas então pela mnmzação deste crtéro em relação aos parâmetros. Lnnet (1990) propõe uma varação do método de Demng para stuações onde o erro pode ser epresso como função lnear da concentração (com ntercessão nula). Isto eqüvale a dzer que o coefcente de varação é constante, e que o lmte de detecção é zero. O método parte da mnmzação de uma epressão smlar à do método de Demng, substtundo a

22 0 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca razão de varâncas por uma constante que eqüvale a uma razão entre coefcentes de varação elevados ao quadrado. Desta forma, as fórmulas de cálculos obtdas são equvalentes às do método de razão de varâncas constante. O método, como apresentado por Lnnet, é especfcado para o caso em que as comparações são fetas com dados em duplcata de cada método para cada amostra. Torna-se necessáro adaptá-lo para um caso mas geral, por eemplo quando se deseja utlzar estmatvas funconas para os desvos padrão de medda em cada método, ou para estmatvas obtdas com mas que duas réplcas por amostra. Para estmar a razão entre os coefcentes de varação elevados ao quadrado, o autor propõe um método teratvo, que é testado por meo de smulações. Estes testes mostram que a estmação dos pesos de regressão (que dependem dos valores verdaderos de teor encontrados pelos dos métodos) afeta a razão de coefcentes de varação, que por sua vez afeta a estmatva da nclnação da reta, ntroduzndo víco nesta últma. Ao realzar estas estmatvas, e utlzar a reta encontrada para atualzar os valores de concentração e assm estmar novamente os pesos, após algumas terações são produzdas estmatvas não vcadas dos parâmetros. Em outro artgo (Lnnet, 1993), ele utlza smulações para comparar os dos estmadores de Demng com os métodos de mínmos quadrados ordnáros, mínmos quadrados ponderados, e um método não paramétrco, proposto por Passng e Bablok (1983). São fetas três smulações, baseadas em problemas reas de químca clínca. Na prmera os erros possuem varânca constante, e a faa de varação das concentrações é pequena. Os métodos comparados são o de mínmos quadrados ordnáros, o método de Demng e o método não paramétrco de Passng e Bablok (1983) neste eemplo. Os resultados mostram que apenas o método de Demng fornece estmatvas não vcadas para os parâmetros da reta e para o erro quadrátco médo. O número de rejeções neste método está prómo de 5%, conforme especfcado para o teste de hpóteses. Os outros dos métodos apresentam um grau de rejeção de apromadamente 0%, mesmo usando um nível de sgnfcânca de 5% para os testes. Na segunda smulação os erros possuem desvo padrão proporconal à concentração, e os resultados mostram que as cnco técncas de regressão apresentam estmatvas dos parâmetros com víco muto pequeno. Entretanto, os testes de hpótese para a gualdade entre os métodos de análse químca apresentam rejeção de 5% apenas para o método ponderado de Demng. Para os demas, a rejeção é de no mínmo 7%, podendo chegar a % no caso de se utlzar mínmos quadrados ordnáros. Na tercera smulação os dados são análogos aos do segundo caso, porém com nclusão de dados contamnados. Para esta stuação, o autor propõe um método de detecção e elmnação de dados dscrepantes para se proceder aos cálculos de estmação de parâmetros. Realzando esta elmnação de dados outlers, o método ponderado de Demng produz os menores erros quadrátcos médos, sendo que os vícos de estmatva não são problema nos métodos usados (não paramétrco e ponderado de Demng).

23 1 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Em outro artgo (Lnnet, 1998) ele volta a usar de smulações, desta vez para comparar os dos métodos de Demng por ele advogados e o método de mínmos quadrados ordnáros. Nestas smulações o autor se preocupa com a especfcação da razão de varâncas, que é supostamente conhecda para aplcação do método de regressão. O autor comenta que embora o método seja dervado consderando esta suposção, mutas vezes os pesqusadores utlzam razão untára, por não dsporem de tal nformação. Nestas stuações, ele mostra que podem surgr vícos grandes nas estmatvas, prncpalmente quando a faa de concentrações avaladas for pequena. Thompson (198), propõe um método por ele nttulado de regressão de máma verossmlhança. Entretanto, o estmador de Thompson não é realmente o de máma verossmlhança. Este autor propõe, posterormente, juntamente com o Professor Bran Rpley, da Unversdade de Strathclyde, Glasgow, um método de máma verossmlhança. Este é encontrado em Rpley e Thompson (1987). No artgo de 198, Thompson realza váras smulações de Monte Carlo para testar o estmador por ele apresentado, comparando-o com os de mínmos quadrados ordnáros e mínmos quadrados ponderados. Os dados smulam dferentes faas de concentração, com os valores dstrbuídos unformemente, nclundo dferentes graus de víco fo e proporconal no segundo método. Os erros aleatóros são modelados de forma lnear com a concentração. Para atrbur estes erros aleatóros nas duas varáves comparadas, são fetas combnações para se obter desde erros compatíves nos dos, até erros bem dferentes. O autor também testa desvos da lneardade, ntroduzndo curvaturas varáves nos dados, além de avalar a nfluênca do número de pontos da regressão nas estmatvas de erros dos coefcentes da reta estmada. As comparações são favoráves ao estmador proposto por ele, já que os outros dos estmadores usados apresentam restrções teórcas conhecdas. Rpley e Thompson (1987) escrevem a função de verossmlhança para os dados de um estudo de comparação de métodos, consderando que as varâncas em cada ponto são conhecdas. Apresentam o algortmo de cálculo e deduções no artgo. Também são apresentados eemplos de aplcação, onde se constata que as estmatvas obtdas pelo método proposto são dferentes das obtdas por mínmos quadrados ordnáros, mínmos quadrados ponderados e mínmos quadrados teratvamente reponderados. Este últmo método é uma adaptação do método de mínmos quadrados ponderados, utlzando como ponderador uma epressão que é função dos erros nos dos eos. Eles não testam o estmador em epermentos de smulação. No capítulo 3 do presente trabalho é mostrado como se obter o estmador proposto por estes autores. Outra proposta, ctada por Ru e Rus (1995) e Cecch (1991) é a de Ner et al. (1989), que propõem a mnmzação da soma dos quadrados das menores dstâncas de cada ponto epermental à reta teórca,.e., das dstâncas perpendculares à reta.

24 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Através da aplcação da le de propagação dos erros sem apromações, Ru e Rus (1995) afrmam que a epressão tratada por Ner et al. (1989), se torna gual à utlzada por outros métodos apresentados por eles. Anda relatam que, segundo Ner et al. (1989), a dreção de mnmzação não é a característca mas mportante do método de estmação, porém sm a escolha do fator ponderador na regressão. Kalantar et al. (1995) apontam como um método partcularmente convenente de estmação, a modfcação de Wllamson sobre o método de York. Este método se resume a um algortmo teratvo de solução do problema de mnmzação da soma dos quadrados dos resíduos ponderados, usando os fatores ponderadores propostos por Nér et al. (1989). A solução proposta por Wllamson corrge um problema nerente ao algortmo de York em seu trabalho orgnal. York, segundo MacTaggart e Farwell (199), parte da mnmzação da mesma epressão utlzada por Kalantar et al. (1995), e obtém uma equação polnomal do tercero grau em b (coefcente angular da reta). Os coefcentes do polnômo obtdo dependem dos pesos de regressão, que por sua vez dependem de b, o que faz com que na verdade a equação não seja cúbca em b, como ele afrma. Tratando a epressão por ele dervada como um polnômo de tercero grau, York apresenta uma solução genérca teratva que fornece as três raízes para o mesmo. Ele afrma que a tercera solução obtda pelo método proposto por ele é sempre a buscada. O método de resolução das raízes do polnômo proposto por York converge muto lentamente, mas para certos dados ou certas estmatvas ncas para b, ele não converge de forma alguma. O uso de outras alternatvas para a resolução do polnômo, como o método de Newton-Raphson, dependem da regão ncal de busca, e não há como se garantr que a raz encontrada é a desejada. Assm, o método de York apresenta séros problemas para aplcação prátca. MacTaggart e Farwell (199) comparam o método proposto por York com a modfcação proposta por Wllamson. Segundo estes, Wllamson parte das mesmas epressões que York, porém reescreve a epressão em b como um polnômo do prmero grau, ao nvés de um do tercero. O racocíno dele sera que como o peso w nclu b no denomnador, a epressão resultante podera ser construída como um polnômo de qualquer grau. Sendo assm, escolheu o prmero grau, o que faz com que se necesste de menos terações para se establzar o resultado, e a convergênca seja garantda. O método de Wllamson apresenta uma característca adconal que ele apresenta como vantagem. Além das estmatvas dos parâmetros não dependerem da escolha de métodos para e y, também suas epressões para as varâncas das estmatvas não dependem da atrbução de métodos aos eos. O método de York, apesar de satsfazer a prmera condção, não o faz para a segunda.

25 3 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Lsy et al. (1990) propõem outra solução para a o problema de mnmzação da soma dos quadrados dos resíduos ponderados, que é melhor descrta em Ru e Rus (1996). Utlzando um fator ponderador dferente do usado por todos os outros autores menconados, estes autores chegam a uma equação matrcal não lnear, a partr da dervação das equações normas de regressão. Este procedmento é também detalhado na seção de métodos deste trabalho (capítulo 3). O fator ponderador proposto por estes autores dfere pela nclusão de um termo que consdera a covarânca entre métodos, ponto a ponto. Na defnção destes autores o fator ponderador é apresentado como denomnador na epressão da soma de quadrados a ser mnmzada, representando a varânca no ponto e não o seu nverso como é comum. Uma observação mportante a respeto de alguns métodos aqu ctados, é que, como partem das mesmas equações orgnas, representam não dferentes estmadores, mas dferentes procedmentos numércos para se encontrar os estmadores desejados. Entende-se como enquadrados nesta stuação os procedmentos propostos por Ner et al. (1989), York (1966), Wllamson, descrto em MacTaggart e Farwell (199) e em Kalantar et al. (1995), Lsy et al., descrto por Ru e Rus (1996). Todas estas abordagens não passam de dferentes algortmos de cálculo desenvolvdos para se encontrar as estmatvas a partr da mesma equação orgnal. A raconaldade da epressão é adaptar o método de mínmos quadrados ponderados a uma stuação onde a varável ndependente possu erro (e a rgor ela não tem por que ser chamada ndependente), e o peso dado ao -ésmo resíduo é redefndo de acordo. Na abordagem de Lsy et al. e Ru e Rus (1996) o peso também é dferente, mas o algortmo proposto podera ser também utlzado com outras defnções de ponderadores. Outras propostas aparecem na lteratura, porém os resultados de Ru e Rus (1995) desencorajam a sua utlzação. Alguns métodos que aparecem na lteratura não levam em consderação a varação do desvo padrão do erro aleatóro com a concentração, porém apresentam grande resstênca à presença de dados contamnados ou dscrepantes. Estes pertencem à classe de métodos chamados robustos. Um dos mas ctados trabalhos a respeto é o de Rousseeuw e Leroy (1987). Estes autores propõem a mnmzação da medana dos quadrados dos resíduos de regressão. Massart et al. (1986) mostram que este estmador é uma alternatva adequada para se detectar a presença de dados dscrepantes, erros de ajuste de modelo em calbração, assm como para estudos de comparação de métodos. Rutan e Carr (1988) apresentam um estudo de smulação onde se comparam o estmador de Rousseeuw (LMS = least medan of squares ) com o de mínmos quadrados ordnáros, o de mínmos valores absolutos dos desvos, e dos algortmos utlzando fltros de Kalman.

26 4 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca O estmador da mínma medana dos quadrados dos resíduos de Rousseeuw (LMS) se mostra como sendo o mas efcente para a detecção de pontos dscrepantes em epermentos de calbração com poucas observações (4 a 10 pontos). Passng e Bablok (1983) propõem um método que consdera todas as retas possíves obtdas através de dos pontos epermentas para obter seu estmador. Esta técnca é ctada com freqüênca na lteratura de químca analítca quando se trata de métodos robustos. Alguns eemplos dsto são Payne (1997), Zwanzger e Sârbu (1998), Feldmann (199), dentre outros. Feldmann (199) apresenta duas alternatvas para o caso bvarado, que ele denomna regressão estrutural da mínma medana, e regressão estrutural da medana absoluta. O prmero destes estmadores é, segundo o autor, uma versão bvarada do estmador da mínma medana dos quadrados, de Rousseeuw (1984). Feldmann afrma que o estmador proposto por ele é mas dfícl de mplementar computaconalmente do que o LMS, pos além de produzr a estmatva de um coefcente angular robusto b, produz também a estmatva de um ponto focal robusto ( ˆ µ, ˆ µ y ). Para obter estas estmatvas, ele utlza um algortmo de otmzação pelo método Smple. O método da regressão estrutural da medana absoluta é apresentado por Feldmann para contornar as dfculdades em se otmzar a epressão proposta para seu outro estmador. A adaptação por ele proposta para o estmador não necessta de resolução por nenhum método numérco teratvo e nem de algortmos de otmzação. Feldmann apresenta em seu artgo a forma de se realzar a análse dos resíduos de regressão para detecção de pontos dscrepantes, assm como eemplos de aplcação onde conclu que a facldade do segundo estmador proposto justfca sua utlzação em relação ao prmero. Saraba et al. (1997) apresentam também sua versão bvarada do estmador por LMS de Rousseeuw. Estes autores apresentam este estmador como sendo o da mínma medana dos quadrados ortogonas (forma reduzda para mínma medana dos quadrados dos resíduos ortogonas ). Estes autores não apresentam o algortmo de cálculo para se encontrar a solução da epressão que eles propõem, porém ela pode ser obtda a partr de uma sugestão de Rousseeuw (1984), também dscutda em Rousseeuw e Leroy (1987). Para avalar o desempenho do estmador, Saraba et al. (1997) realzam smulações de Monte Carlo. Comparam seu estmador com o de mínmos quadrados ordnáros, com o método de Demng, o LMS de Rousseeuw e Leroy (1987). A ênfase das smulações é a presença de contamnação nos dados. Os casos estudados para a smulação representam um epermento fatoral em que se varam: erros aleatóros em X e em Y, com desvo padrão constante com a razão de varâncas assumndo dferentes valores, sendo os dados dstrbuídos normalmente e unformemente; número de pontos dscrepantes e tamanho das dscrepâncas. A smulação, feta com o programa MATLAB 4.0, leva os autores a conclur

27 5 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca que o método de LMS ortogonal, proposto por eles é o melhor a se utlzar quando se suspeta de contamnação nos dados. Hartmann, Vankeerberghen, Smeyers-Verbeke e Massart (1997) também utlzam este estmador, mas apresentam em detalhes o algortmo de cálculo, nclusve mostrando propostas de melhora no algortmo orgnal proposto por Rousseeuw e Leroy (1987). Estes autores também apresentam uma varação ponderada para este estmador, que consdera assm, além dos erros nos dos eos, a varação destes erros com a concentração. Embora sejam muto conhecdos outros estmadores robustos para regressão, como a regressão L 1, proposta por Edgeworth (1887), os M-estmadores de Huber (1973), os M- estmadores generalzados de Mallows (1975) e Schweppe (1977), a medana repetda de Segel (198), estes não são utlzados na lteratura de químca analítca. Além dsto, com o trabalho de Rousseeuw e Leroy (1987), estes estmadores fcam em aparente desvantagem, por eemplo quando se consdera o ponto de quebra, defndo por Hampel (1971). O ponto de quebra é a percentagem de pontos dscrepantes necessára para mudar sgnfcatvamente a estmatva. Para o método de mínmos quadrados, é mostrado que o ponto de quebra é zero, ou seja, se um dado estver dscrepante dos demas, sto já é o sufcente para mudar as estmatvas da reta. Para o LMS ele é de ~50%, que é o mámo que um estmador pode apresentar em termos de ponto de quebra. Um estmador mportante a ser consderado é o de mínmos quadrados aparados (LTS = least trmmed of squares ), também proposto por Rousseeuw e Leroy (1987), que segundo estes autores supera o de LMS em efcênca.

28 6 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca. MODELAGEM MATEMÁTICA DA PRECISÃO Quando se ctou anterormente que abordagens de regressão ponderada se apromam melhor do problema de comparação de métodos de análse químca, também fo dto que esta ponderação do erro nos eos pode ser obtda pelo conhecmento de como este erro vara com a concentração. As técncas recomendadas na lteratura para a utlzação de estmatvas de precsão nos fatores ponderadores de regressão não mpõem uma forma funconal para as mesmas. Rpley e Thompson (1987) admtem que este tal função matemátca, ctando o modelo lnear, mas não o utlzam para dervar seu método. Lnnet (1990) utlza o modelo de coefcente de varação constante quando as varâncas não são constantes ao longo da faa de concentrações avalada. Este modelo é equvalente ao modelo lnear para o desvo padrão (com ntercessão nula), que apesar de muto utlzado não se ajusta a todas as stuações. Fenberg (1995) apresenta a abordagem da norma ISO 575- (1994) para se estmar esta relação. Pode-se ver nesta norma, no tem 16., que a relação entre precsão e concentração pode ocorrer de três formas: a) σ = κµ (uma reta passando pela orgem), (1) b) σ = σ 0 + κµ (uma reta com ntercepto postvo), () κ c) σ = σ µ com κ 1 (uma relação de potênca). (3) 0 O valor σ acma representa o desvo padrão de análse, seja para repetbldade ou reprodutbldade, ou desvo padrão entre laboratóros. µ representa a concentração da substânca analsada na amostra. A nterpretação dos parâmetros nestes modelos é dreta. O valor σ 0 representa o desvo padrão para a concentração zero, no segundo modelo, e pode ser utlzado para estmar o lmte de detecção do método de análse. O prmero modelo é um caso partcular do segundo, e pode ser reescrto como um modelo para coefcente de varação constante. O coefcente de varação então é representado pelo parâmetro κ. No tercero modelo, o pressuposto básco é o de que os erros de análse são log-normas, e o parâmetro σ 0 representa o desvo padrão para uma concentração untára. Como usualmente os valores de desvo padrão são estmados através de dados epermentas, os modelos são reescrtos como: ) = σ 0 + κ + ξ (4) s

29 7 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca e ) log( = σ 0 ) + ζ. (5) s ) log( ) + κ log( Os termos ξ e ζ representam erros ndependentes normas, com médas nulas e varâncas σ ξ eσ ζ, respectvamente. As estmatvas para σ 0 e κ são obtdas por mínmos quadrados. No prmero modelo (4) é necessáro utlzar-se de ponderação na regressão, já que a estmatva do desvo padrão possu varânca proporconal ao valor do desvo padrão. A norma ISO 575- recomenda um procedmento teratvo onde os pesos de regressão são obtdos a partr das estmatvas ŝ produzdas pela reta de regressão. No modelo eponencal em (5), toma-se os logartmos dos dados antes de se proceder à regressão. Com esta transformação, a varânca é establzada, e é possível se utlzar o método de mínmos quadrados ordnáros. As estmatvas de desvo padrão necessáras para se proceder ao estudo de regressão que modela o desvo padrão do erro em função da concentração através das opções acma, são obtdas por análse de varânca de efeto aleatóro, com um fator de classfcação. O epermento proposto pela norma ISO 575- para se produzr estas estmatvas consste em se escolher um número q de amostras a serem testadas pelo método de análse químca em consderação. De cada uma destas amostras são retradas p alíquotas, cada uma sendo envada a um laboratóro dferente. Cada laboratóro deve realzar n análses repetdas na mesma alíquota. A análse de varânca utlzada para tratamento dos dados orundos deste epermento consderam o fator Laboratóro como sendo um fator de efeto aleatóro, e a varabldade obtda pela combnação dos desvos padrão das réplcas de cada partcpante é usada como estmatva da repetbldade do método de análse. O desvo padrão entre as médas de cada laboratóro é utlzado para se produzr uma estmatva da reprodutbldade. Após se dspor de estmatvas destas duas meddas de precsão em cada amostra, estes valores são utlzados em uma análse de regressão, onde são estudadas contra a concentração méda obtda por todos os laboratóros em cada amostra. Estem crítcas a esta abordagem proposta pela ISO, como Fenberg (1995) cta. Também é dscutdo o planejamento de epermentos proposto nesta norma por Zaalberg (1989), que propõe a utlzação do esquema descrto na norma holandesa NEN Este esquema é um planejamento do tpo splt level, em que duas amostras são seleconadas em cada nível de teste, com concentrações muto prómas. Como as dentfcações destas duas amostras são dferentes, os laboratóros partcpantes não sabem a pror que estão testando amostras para o mesmo nível do epermento. Também são ncluídas repetções das mesmas amostras sem que os laboratóros partcpantes tomem conhecmento dsto. Assm, obtém-se geralmente estmatvas de varâncas superores às obtdas com o epermento proposto na ISO 575, o que, para Zaalberg sgnfca ser mas realsta. Ele afrma que o epermento do tpo splt-level é melhor porque as realzações repetdas de uma mesma amostra ou de um mesmo nível são gnorados pelos analstas, evtando assm possíves

30 8 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca vícos laboratoras. Apesar das crítcas, o modelo ISO contnua sendo o mas amplamente utlzado para estmação dos erros aleatóros de métodos sendo publcados, e consequentemente, das curvas de precsão. Um eemplo de nfluênca do modelo ISO pode ser vsto no protocolo IUPAC (1988) para a condução de testes nterlaboratoras. Mesmo sendo um modelo anda muto utlzado, a ISO ncorporou a sugestão da norma holandesa em sua últma revsão da ISO 575, e esta consta na Parte 5 da atual norma. Uma das vantagens da abordagem ISO é que ela apresenta a alternatva de se ajustar um modelo, para a precsão, do tpo proposto por Horwtz (198), que é amplamente aceto. Horwtz et al. (1980), através da avalação de mas de 50 testes nterlaboratoras conduzdos pela AOAC, verfcaram que a precsão de análses químcas vara com a concentração segundo uma relação de potênca como a descrta em (3). Estes autores preferram trabalhar com o coefcente de varação de reprodutbldade, que segue uma relação como em (10), porém com κ < 0. A epressão por eles encontrada é a segunte: CV R (%) 1 0,5 log ) ( 10 C =, (6) onde o índce R smbolza reprodutbldade, como defndo na norma ISO (1994). A concentração C aqu é epressa em fração de massa, ou seja, C=1 para uma substânca pura, e C=10-6 representa uma parte por mlhão (1 ppm = 1 µ g / g ). Esta epressão mostra de forma smples, que a mprecsão (em termos do erro relatvo CV R ) duplca a cada redução de duas ordens de grandeza na concentração. Hall e Selnger (1989) apeldaram esta relação de Trompa de Horwtz, devdo à forma como é apresentada, o que pode ser vsto na Fgura.. Estes autores descrevem esta descoberta de Horwtz como sendo uma das mas ntrgantes relações empírcas da químca analítca moderna, e tentam eplcá-la através de um modelo que aproma a concentração ao resultado de um epermento bnomal. Usando a le de Zpf (1965), chamada Prncípo do menor esforço, Hall e Selnger encontram uma epressão que se ajusta bem à curva de Horwtz, e sendo assm, na opnão deles, apoam a déa de que o esforço colocado em detectar menores concentrações aumenta de tal forma que a precsão muda como se o tamanho da amostra aumentasse nversamente com a concentração 1. Horwtz e Albert (1997) retornam ao assunto, como que respondendo a Hall e Selnger (1989), e propõem uma dervação heurístca para a relação. 1 Tradução do orgnal

31 9 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Eatas Departamento de Estatístca Fgura.: Trompa de Horwtz. As concentrações no eo das abcssas são apresentadas em escala logarítmca (base 10) e crescem da dreta para a esquerda. Nas ordenadas, o coefcente de varação de reprodutbldade epresso em percentagem é apresentado em escala logarítmca (base ). FONTE: Horwtz, W. (198) - Evaluaton of analytcal methods used for regulaton of foods and drugs. Analytcal Chemstry, Vol. 54, No.1, 67A-76A. De forma smples, propõem que uma varação nfntesmal na concentração, em relação ao valor da concentração, é acompanhada proporconalmente por uma varação nfntesmal da precsão analítca em relação à própra precsão. Epressando sto de forma matemátca, d σ dc = α, (7) σ C que por ntegração fornece a relação log σ = α logc + β. (8) Utlzando dados epermentas, as constantes α e β são estmadas, e após transformações apropradas, os autores chegam à epressão em (6). Pode-se perceber que esta epressão em (8) é equvalente à tercera alternatva da norma ISO 575- (1994). Isto sgnfca que é admtdo que, embora o trabalho de Horwtz tenha produzdo uma relação que representa o erro aleatóro de métodos de análse químca quando avalados conjuntamente, msturando técncas analítcas, dferentes matrzes e dferentes componentes analsados (analtos), esta