TÍTULO DO PROJETO: O Problema de Cauchy e Propriedades da Equação Super Korteweg-de Vries.

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1 TÍTULO DO PROJETO: O Problema de Cauchy e Propriedades da Equação Super Korteweg-de Vries. Coordenador : Amauri da Silva Barros Titulação : Doutor em Matemática Instituição : Universidade Federal de Alagoas/Dept. de Matemática Vinculação : Professor Adjunto I com dedicação exclusiva Colaborador: Nome : Adán José Corcho Fernández Titulação : Doutor em Matemática Instituição : Universidade Federal de Alagoas/Dept. de Matemática Participação no projeto: Colaborador

2 1. Resumo do projeto (máximo 1 página). Vários fenômenos físicos são estudados fazendo-se uso de modelos matemáticos não-lineares. Um modelo de grande interesse é a equação super Korteweg-de Vries (super-kdv), que é uma extensão da Equação de Korteweg-de Vries (KdV). u t +u xxx +uu x +(vv x ) x =0 u t +u xxx +uu x +(vv x ) x =0 Esta equação aparece na literatura como um caso particular de uma família mais geral, ver [KS]. Tal família modela problemas de ondas de água, média elástica e contém toda a hierarquia da equação KdV. Uma variante desta equação também aparece em [K], onde o interesse é discutir as relações entre sistemas integráveis (assegurando uma estrutura Hamiltoniana e leis de conservação para a super-kdv) e super-simetria. Assim, tanto do ponto de vista matemático (soluções vistas como ondas) como do ponto de vista físico (soluções vistas como partículas) a equação super-kdv é de grande interesse de pesquisa. Um dos principais objetivos deste projeto, e de grande interesse matemático, é estudar a existência de soluções locais e globais para esta equação, nos espaços de Sobolev com baixa regularidade. Além disso, pretendemos estudar as propriedades de continuação única, analiticidade espacial e blow-up dispersivo para a equação super-kdv.

3 2. Justificativa de Execução do Projeto (máximo de 1 página) Em nosso trabalho de tese, iniciamos o estudo do problema de Cauchy (ou problema de valor inicial) associado a equação super Korteweg de Vries, ver [B]. Neste trabalho mostramos boa colocação local nos espaços de Sobolev com peso, X s,3 :=H s (R) Ι H 3 (x 2 dx) para s 5, quando o dado inicial é pequeno. Retirando esta restrição sobre o dado inicial, também mostramos boa colocação local nestes espaços (pagando agora um preço alto), praticamente triplicando os índices de Sobolev. Encerramos o estudo do problema de Cauchy associado a super-kdv, identificando os espaços de Sobolev clássicos onde este problema não é bem colocado, se exigirmos que a aplicação dado inicial-fluxo seja de classe C 2. A saber; os espaços de Sobolev com índices inferiores a -3/4. Motivados por estes resultados pretendemos agora utilizar a teoria de Bourgain (ver [B1], [KPV3] e [T]) para mostrar boa colocação local e global em espaços de Sobolev com baixa regularidade, pois temos um gap considerável. Tal pretensão é razoável pois apesar de termos, na super-kdv, uma nãolinearidade de segunda ordem ainda recaímos numa estimativa bilinear, ver [KPV3]. O que indica boas chances de obtermos êxito nesta iniciativa.

4 3. Objetivos e Metas (máximo de 1/2 página) Os principais objetivos deste trabalho são: consolidar as atividades de pesquisa na área de Análise do programa de pós-graduação, do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Alagoas (UFAL), e reforçar a formação básica de alunos de graduação e pós-graduação em Matemática. Objetivando um melhor desempenho acadêmico destes e conseqüentemente tentar reduzir o tempo de graduação e/ou mestrado. Temos, portanto, as seguintes metas: Estudar o problema de Cauchy associado a equação super Korteweg-de Vries, utilizando teoria de Bourgain (ver [B1] e [KPV3]). Além disso, investigar as propriedades de continuação única (ver [B2], [KPV4], [SS] e [Z]), analiticidade espacial (ver [KM]) e blow-up dispersivo (ver [ABS]), objetivando publicar os resultados em revistas indexadas de circulação internacional.

5 4. Metodologia e Estratégia de Ação (máximo de 1 página) A metodologia aplicada, para trabalhar os problemas de pesquisa propostos será dividida em duas etapas: a primeira, baseada em consulta bibliográfica atualizada sobre os temas de pesquisa que queremos tratar, complementada por simulações e análise de modelos semelhantes, e a segunda, de concretização e dedução dos resultados finais que são apresentados em forma de Teoremas. Este projeto está inserido no Programa de Pós-Graduação e será executado no Departamento de Matemática da Universidade Federal de Alagoas onde o coordenador e o colaborador desenvolvem suas atividades.

6 5. Resultados e Impactos Esperados (máximo de 1/2 página) Em geral, não é possível estimar com antecedência os impactos e a repercussão sócio-econômica de um trabalho de pesquisa em Matemática. Porém, podemos citar alguns indicadores que mostram a perspectiva de resultados concretos que podem ser obtidos mediante a realização do projeto: 1. Publicação de artigos científicos na área de Análise, 2. Apresentação de trabalho em congressos. Conforme já mencionamos, este projeto visa fortalecer as atividades de pesquisa na área de Análise do programa de pós-graduação em Matemática da UFAL.

7 6. Riscos e Dificuldades (máximo de 1/2 página) As maiores dificuldades para desenvolver um projeto de pesquisa em Matemática são os contatos pessoais e a bibliografia. Com relação ao problema de intercâmbio com pesquisadores de outras instituições do país e do exterior, uma parte substancial do financiamento solicitado será usada neste sentido. No tocante a bibliografia, o risco é bastante reduzido pois o projeto será desenvolvido no Departamento de Matemática da Universidade Federal de Alagoas (UFAL). Este por sua vez mantém um estreito relacionamento com a Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA-OS) e o Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC) da Universidade Estadual de Campinas(UNICAMP).

8 7. Outros Projetos e Financiamentos (máximo de 1 página) Nenhuma proposta idêntica ou equivalente está sendo financiada ou submetida a outra agência financiadora.

9 8. Referências Bibliográficas (máximo de 1 página) [ABS] J. P. Albert, J. L. Bona and L. C. Saut, Model equations for waves in stratified fluids, Proc. R. Soc. Lond. A, vol. 453, (1967), pp [B] A. S. Barros, O problema de Cauchy para a equação super Korteweg-de Vries. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC) da UNICAMP. Tese de Doutorado (2004). [Bo1] J. Bourgain, Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and application to nonlinear evolution equations II. The KdV equation, Geom. Funct. Anal., vol. 3, (1993), pp [Bo2] J. Bourgain, On the compactness of the support of solutions of dispersive equations, IMRN International Mathematics Research Notices, vol. 9, (1997), pp [CRG] A. S. Carstea, A. Ramani and B. Grammaticos, Constructing the soliton solutions for the N. 1 supersymmetric KdV hierarchy, Nonlinearity, vol. 14, (2001), pp [HS] R. Hirota and J. Satsuma, Soliton solutions of coupled Korteweg-de Vries equation, Physics Letters, vol. 85A, N 0s 8, 9, (1981), pp [KM] T. Kato and Y. Masuda, Nonlinear evolution equations and analyticity I, Ann. Inst. Henri Poincaré, vol. 3, N. 6, (1986), pp [K] B. A. Kupershmidt, A Super Korteweg-de Vries equation: An integrable system, Physics Letters, vol. 102A, N 0s 5, 6, (1984), pp [KPV1] C. E. Kenig, G. Ponce e L. Vega, Well-Posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vries equation via Contraction Principle, Comm. Pure Appl. Math., vol. 46, (1993), pp [KPV2] C. E. Kenig, G. Ponce e L. Vega, Higher order non-linear dispersive equations, Proc. Amer. Math. Soc. vol.122, (1994), pp [KPV3] C. E. Kenig, Ponce G. and Vega L., A bilinear estimate with applications to the KdV equations, J. Amer. Math. Soc., vol. 9, (1996), pp [KPV4] C. E. Kenig, G. Ponce and L. Vega, On the support of solutions to the generalized KdV equation, Ann. I. H. Poincare, vol. 19, N. 2, (2002), pp [KS] C. E. Kenig and G. Staffilani, local well-posedeness for higher order nonlinear dispersive systems, The Journal of Fourier Analysis and Applications, vol. 3, N. 4 (1997). [P] R. K. Pathria, Statistical Mechanics, Pergamom Press (1977). [SS] J. C. Saut and B. Scheurer, Unique continuation for some evolutions, J. Differential Equations, vol. 66, (1987), pp [T] N. Tzvetkov, Remark on the local ill-posedness for KdV equation, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., vol.329, (1999), pp [Z] B. Y. Zhang, Unique continuation for the Korteweg-de Vries equation, Siam J. Math Anal, vol. 23, (1992), pp

10 9. Plano de Atividades (máximo 1 página) 1. Nome da Atividade: Boa Colocação Local e Global para a equação super- KdV em espaços de Sobolev com baixa regularidade. Responsável: Amauri da Silva Barros Mês Inicial: 09 Duração: 12 meses Descrição: Obter soluções locais e globais para a equação super-kdv nos espaços de Sobolev X s :=H s (R) x H s (R) com s<5, como uma continuação do trabalho feito na tese de doutorado [B]. Indicador: Publicação de trabalho científico 2. Nome da Atividade: Propriedades de continuação única, analiticidade espacial e blow-up dispersivo para a equação super-kdv. Responsável: Amauri da Silva Barros Mês Inicial: 09 Duração: 12 meses Descrição: Obter as propriedades de continuação única (se a solução é suportada compactamente, então tal solução é identicamente nula), analiticidade espacial (extensão analítica numa faixa contendo o eixo-ox) e blow-up dispersivo (existe um ponto do plano onde a k-ésima derivada da solução explode) para a equação super-kdv.

11 10. Orçamento e Cronograma de Desembolso (máximo 1 página) A) Despesas de Custeio: R$ 900,00 Data da implantação: 01/10/2004 Período: 01/10/2004 á 01/09/2005 B) Despesas de Capital: R$ 7.100,00 Data da implantação: 01/10/2004 Período: 01/10/2004 à 01/09/2005. Total: R$ 8.000,00

12 11. Plano de Aplicação Detalhado com Justificativa (máximo de 2 páginas) I. Material Permanente 1. Descrição e Justificativa: Um computador para possibilitar que participantes do projeto realizem intercâmbio com outros centros de pesquisa no Brasil e no exterior. E, tenham acesso a informação científica atualizada e possam digitar e simular os trabalhos de pesquisa. Quantidade: 01 Valor unitário: R$ 3000,00 2. Descrição e Justificativa: Um nobreak (1300VA) para acoplar ao computador e assim garantir estabilidade na rede elétrica. Valor unitário: R$ 400,00 3. Descrição e Justificativa: Uma impressora laser para permitir que os participantes do projeto possam imprimir os textos científicos e os resultados relativos ao trabalho de pesquisa. Quantidade: 01 Valor unitário: R$ 700,00 4. Descrição e Justificativa: Livros de matemática atualizados referentes a temática do projeto e relacionados com tópicos no contexto de Análise que é uma das áreas de concentração do Programa de pós-graduação em Matemática da UFAL. Valor total: R$ 3.000,00 II. Despesas de Custeio III. Material de Consumo 1. Descrição e Justificativa: Cartuchos para impressora laser. Valor unitário: R$ 900,00 TOTAL R$ 8.000,00

13 12. Outras Informações Relevantes Relacionadas à Solicitação (máximo 1 página)