L L T. Expansão (dilatação) térmica linear. No SI: [ L] =m; [L 0 ] = m; [ T]= 0 C; [ ]= 0 C -1

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1 Expansão (dilatação) térmica linear L L T OBS: Validade: L<<Lo : coeficiente médio de expansão linear No SI: [L] =m; [L ] = m; [T]= C; []= C -1 Material (1-6 C -1 ) Chumbo 29 Alumínio 24 Latão e bronze 19 Cobre 17 Concreto 12 Aço 11 Vidro (comum) 9 Vidro (Pyrex) 3,2 Invar (liga Ni-Fe),9 Fonte: Serway, Jewett. Princípios de Física, Vol 2, p.562

2 Exemplo Um estudante mede o comprimento de uma haste de bronze com uma trena de aço a 2, C. A leitura é 95, cm. O que a trena iria indicar para o comprimento da haste quando a haste e a trena estivessem a uma temperatura de (a) -15 C, (b) 55 C? Dados: bronze = o C -1 ; aço = o C -1. Resolução: a) 6 6 Lbronze bronzel T ( 15 2) , 63 cm 6 6 Laço açol T ( 15 2) , 36 cm L L, 63 (, 36), 3 cm bronze aço Leitura 95,, 3 94,97 cm b) T (55 2) 35 C Leitura 95,,3 95,3 cm

3 Expansão térmica superficial T L T L.L L 2 L A Q L L A L.L L A L. L ( L L).( L L) 2 L L L 2 L. L L L 2. L. L L L A L 2 L ( L T ) L 2L T A 2A T A A 2A T A A. T; 2

4 Expansão térmica volumétrica De forma análoga, pode-se demonstrar que: V V T; 3 OBS: No caso de líquidos, há que também considerar a dilatação volumétrica do recipiente: Vlíquido Vrecipiente Vaparente Material Acetona Mercúrio Glicerina Gasolina Ar ( o C) (1-4 C -1 ) 1,5 1,82 4,85 9,6 36,7 Fonte: Serway, Jewett. Princípios de Física, Vol 2, p.562

5 Exemplo Um líquido com um coeficiente de expansão volumétrica enche uma casca esférica (bulbo) de volume V à temperatura T. A casca é feita de material que tem coeficiente médio de expansão linear. O líquido está livre para se expandir em um capilar aberto de área A que se projeta do alto da esfera. (a) Mostre que se a temperatura aumentar T o líquido se eleva no capilar a quantidade h dada pela equação: h ( V / A)( 3 ) T (b) Para um sistema típico, tal como um termômetro de mercúrio, porque é uma boa aproximação desprezar a expansão da casca?

6 Exemplo - Resolução Resolução: a) V V T V V 3T A. h V T V 3T h ( V / A)( 3 ) T b) líquido casca V V V aparente líquido casca é da ordem de 1 é da ordem de 1 C -4-1 C -6-1 Logo, V V aparente líquido

7 Comportamento anômalo da água Entre e 4 C a água se contrai conforme se aquece Causa: transição da estrutura amorfa da água líquida pra estrutura cristalina do gelo Efeito: uma das principais consequências é o congelamento da superfície de alguns lagos no inverno, permitindo a continuidade da vida subaquática

8 Qual a razão da expansão térmica? Mas, por que os materiais se expandem quando aquecem?

9 Sólidos como um sistema massa-mola Átomos como massas que interagindo entre si como se estivessem unidas por molas, oscilam em torno de uma posição de equilíbrio. Este modelo é satisfatório para diversos fenômenos, tais como a variação da força de contato entre dois objetos, relação entre tensão e deformação, propagação do som.

10 Sistema massa-mola de duas partículas E total = K + U U = K = E total (posição de equilíbrio) K = U = E total (máxima separação; ponto de retorno)

11 Limitação do modelo E total U K ??? Não é possível aumentar E total indefinidamente, pois K (sempre positivo) jamais poderia ser menor que U. Os átomos não poderiam ser separados

12 Modelo mais realista... e complexo (potencial de Morse) E T = U = K = ( limite molecular ) E total > dissociação dos átomos Quanto muito próximos, a energia potencial atinge valores muito altos

13 Maior a energia, maior a distância entre os dois átomos Quebra da simetria do modelo massa-mola: quanto maior a distância interatômica, menor a velocidade. Quanto maior a energia, maior o valor da distância média entre os dois átomos.

14 Equacionamento Modelo massa-mola MHS E p (x)=ax 2 (parábola) Modelo do potencial de Morse Movimento não harmônico E p (x)=ax 2 -bx 3 ; b/a mede o grau de anarmonicidade.

15 Resolução da equação E = ax 2 = a(x+δx) 2 -b(x+ δx) 3 (desprezando os termos em δx 2 e δx 3 e tendo em conta que ax 2 >>bx 3 ) Sendo a temperatura uma medida do grau de agitação das partículas, pode-se dizer que E = ax 2 é proporcional à temperatura do sistema. K B = constante de Boltzmann

16 Energia de ligação e coeficiente de expansão térmica Materiais fortemente ligados, como a cerâmica, têm baixos valores de coeficientes de expansão térmica, quando comparados aos metais. Já, polímeros, especialmente os termoplásticos ou elastómeros, fracamante ligados, têm altos valores desse coeficiente quando comparadas aos metais.

17 Coeficiente de expansão térmica médio e instantâneo A deformação de um material ( = L/L ) nem sempre varia de forma linear com o aumento da temperatura: inst valor instantâneo ou verdadeiro do coeficiente de expansão térmica para determinada temperatura. sec (ou médio ) valor médio do coeficiente de expansão térmica para determinado intervalor de temperatura.

18 F F Tensão térmica Quando um material é aquecido mas é impedido de se expandir por estar apoiado em estruturas fixas, surge sobre ele uma tensão térmica. L Lexpansão térmica LT T L T Lcompressão (deformação) L

19 Exemplo Uma viga de aço com comprimento 5 m e área de secção transversal 36 mm 2 encontra-se fixada à parede A e apoiada junto à parede B, com uma folga de 1 mm desta, a uma temperatura de 12 ºC. Determinar a tensão atuante na viga quando a temperatura subir para 4 ºC. Dado: Y aço = 21 GPa; aço = 1,2.1-5 ºC -1.

20 Resolução L L L C livre 3 livre o...1, , 7 5 L. 5.1, Então, 12 16, 7 28, 7 f livre contraçãotérmica livre 5 284, ,5 i Y contraçãotérmica , , 7 MPa o C

21 Dilatação linear para um qualquer No 1º slide afirmou-se que a relação abaixo teria validade para os casos em que L<<Lo, o que implica supor um diminuto valor para o coeficiente. L L T L L T 1 Mas e se o valor de não for, assim, tão pequeno? Resposta: nesse caso, teremos que integrar a seguinte relação: dl dt L

22 Dilatação linear para um qualquer dl dl dl L dt dt dt L L L L T T ln L ln L T ln L T L L L T T e L Le n 2 3 x x x x Mas e 1 x... n! 2 6 n T T e T T T T 2 3 L L 1 T

23 Exemplo Dada uma haste de 1, m de comprimento e uma mudança de temperatura de 1, C, determine o erro causado pela comumente utilizada aproximação quando (a) = 2, X 1-5 C -1 (um valor típico para um metal) e quando (b) =,2 ( C) -1 (um valor alto não realístico, apenas para comparação). a) 5 L L 1T 1.( ) 1.(1, 2) 1, 2 m T,2 L Loe 1. e 1, , , 2 1,2 b) 4 % 1,99.1 % 2 L L 1T 1.( ) 1.(1 2) 3 m T 2 L Loe 1. e 7, % 7, ,31% 3