Sobre a noção de número real

Transcrição

1 Sobre a noção de número real Um devaneio (meta)matemático Sílvia Cavadas Orientado por Eduardo Rêgo Seminário Diagonal 30/05/13

2 Uma pergunta (quase) inevitável... f ( x) N Qual o significado do que andamos aqui a fazer? Q.E.D. π R

3 A matemática axiomas, conceitos primitivos, regras de inferência... lógica 2ª ordem + ZFC (?)

4 Os números reais N segmentos incomensuráveis! Z Q R (?)

5 Os números reais Os números reais completam os buracos deixados pelos racionais. Trabalhou-se com eles (desenvolveu-se o cálculo!) muito antes de se definir rigorosamente o que eles são. Comprimentos de segmentos de reta... Expansões decimais... Limites...

6 Os números reais Séc. XIX Definição axiomática R é 'o' corpo ordenado e completo existe um único a menos de isomorfismo* axioma do supremo * Em lógica de 2ª ordem. De facto, é possível formalizar esta axiomática em lógica de 1ª ordem, mas com uma interpretação semântica diferente do habitual existe então um modelo numerável para! (o qual contém a sua própria cópia interna de N R, sendo não numerável em relação a ela).

7 Os números reais Séc. XIX Definição construtiva (standard) N Z, Q R,{ },{,{ }},... relações de equivalência cortes de Dedekind, sucessões de Cauchy... Rconjunto de conjuntos de racionais, que são conjuntos de pares ordenados de inteiros, que são conjuntos de pares ordenados de naturais, cada um dos quais é o conjunto dos naturais anteriores a ele.

8 Uma questão de fundamentos... Existe um conjunto de números reais não numerável que não contém um conjunto perfeito? ZF + axioma da escolha: Sim ZF + axioma da determinação: Não ZF: (?)

9 Assim de repente...?! Ou existe ou não existe!!

10 Uma (tentativa de) explicação Infelizmente, ZF não contém todas as respostas. (nem pode haver um sistema de axiomas que as contenha...) Os seus axiomas garantem a existência, ou não-existência, de certos conjuntos, mas outros estão condenados a ficar no limbo da existência até ao acrescento de novos axiomas. Face a uma questão ainda não definida, escolher sim ou não corresponde a um desdobramento em duas alternativas paralelas mas igualmente consistentes. Talvez elas correspondam a duas realidades diferentes, ambas de seu direito... (pensar em geometria euclidiana/hiperbólica.)

11 Uma (tentativa de) explicação Mas qual a diferença precisa entre um R e outro? O axioma da escolha funciona como uma ferramenta que permite agarrar conjuntos de que outra forma não estariam acessíveis e trazê-los à existência de facto. No sentido contrário, o axioma da determinação serve para limitar o tipo de conjuntos que podem existir. R com um ou outro... tem mais ou menos subconjuntos...?

12 O que quer isto dizer sobre a natureza dos objetos matemáticos? Visão platónica: existe de facto uma verdade matemática ; cada afirmação é verdadeira ou falsa, sendo a função do matemático determinar quais os axiomas verdadeiros. "The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?" Jerry Bona Visão formalista: a matemática não é mais que um jogo formal em que se podem fazer escolhas arbitrárias (desde que consistentes) sem relação com a realidade.

13 Um caminho do meio... objeto mental que se pretende modelar, o qual presumivelmente capta uma estrutura fundamental do mundo abstração das suas características essenciais (axiomatização) concretização da sua existência através da construção de um objeto matemático que satisfaz a axiomatização

14 Conhecer um número real? = = 1100 (2) π = = área do círculo unitário 5 e = = lim n (1+1/n) n Ter uma definição ou representação que aponta para aquele e só aquele número real (?) Ser trabalhável, ter muitas propriedades conhecidas, aparecer em contextos naturais (?)

15 Conhecer um número real? Podermos calcular a sua expansão decimal (?) Considere-se x=0. a 1 a 2 a 3 a 4... onde a n é definido por (i) 0 se não tem 100 dígitos seguidos iguais na sua expansão decimal d n d (ii) se é o primeiro dígito que aparece 100 vezes seguidas na expansão decimal de n

16 Expansões decimais e funções reais Uma função real que envia qualquer intervalo em R Dado x=0. a 1 a 2 a 3 a 4..., definimos (i) se 0.a 1 a 3 a 5... é irracional, f (x)=0 (ii) se 0.a 1 a 3 a 5... é racional, ie, a sequência é periódica a partir de algum a 2k 1, f (x)=0.a 2k a 2k+2 a 2k +4...