CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA - Matemática NÚMERO FRACIONÁRIO: ESTUDO HISTÓRICO, EPISTEMOLÓGICO E DA TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA

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1 CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA - Matemática NÚMERO FRACIONÁRIO: ESTUDO HISTÓRICO, EPISTEMOLÓGICO E DA TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA Autor: REGIANE ARANTES DE CASTRO Instituição: Faculdades Integradas de Jacareí (FIJ) Orientador: Nanci de Oliveira Resumo O conceito de número fracionário é bastante complexo do ponto de vista matemático e gera, por isso, uma série de dificuldades no processo de ensino e aprendizagem. Sendo assim, através desta pesquisa, fundamentada em teorias da Educação Matemática, pretendia-se compreender melhor o conceito de números fracionários. Realizou-se um estudo histórico e epistemológico das frações para levantar a gênese e a evolução deste conceito. Procedeu-se a análise de alguns livros didáticos e aplicou-se um questionário a professores voluntários para verificar como é feita a transposição didática e quais são as concepções dos professores. Introdução A escolha dos números fracionários como tema desta pesquisa surgiu através da observação das dificuldades dos alunos e da necessidade de compreender melhor este assunto. No mundo real, freqüentemente nos deparamos com situações que exigem o conhecimento de números racionais, seja na forma de frações, razões, decimais ou porcentagem. (ONUCHIC; BOTTA, 1997). De acordo com Behr (1983) os números racionais proporcionam um rico campo dentro do qual as crianças podem desenvolver e expandir as estruturas mentais necessárias para um desenvolvimento intelectual contínuo. Ainda segundo o autor, o conceito de número racional é uma das mais complexas e importantes idéias matemáticas que as crianças encontram a partir das perspectivas prática, psicológica e matemática. Além disso, estudos em vários países têm mostrado o mau desempenho dos alunos ao trabalhar com frações, em todos os níveis de ensino. Os números fracionários costumam trazer grandes dificuldades aos alunos, até para aqueles das séries finais do Ensino Fundamental e mesmo para os do Ensino Médio. (TOLEDO; TOLEDO, 1997). Quem está ou já esteve trabalhando com números racionais nota grandes dificuldades no ensino-aprendizagem desse tópico. Na literatura existente sobre o esse tema, todos os educadores matemáticos são concordes em dizer que há muita dificuldade aí, tanto para os alunos como para os professores. (ONUCHIC; BOTTA, 1997, p.5). De acordo com Silva et al. (2000), o conceito de número fracionário é bastante complexo do ponto de vista matemático. Por isso, gera uma série de dificuldades no processo de ensino e aprendizagem. A superação dessas dificuldades tem motivado a realização de muitas pesquisas sobre o assunto e de acordo com os objetivos de Matemática do Ensino Fundamental, estabelecidos nos PCN - Parâmetros

2 Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1997), devemos levar o aluno a construir o significado do número racional e de suas representações (fracionária e decimal), a partir de seus diferentes usos no contexto social. "Os números racionais proporcionam um rico campo dentro do qual as crianças podem desenvolver e expandir as estruturas mentais necessárias para um desenvolvimento intelectual contínuo" (BEHR, 1983). Silva et al. (2000) salienta que a maior dificuldade do aluno é entender o seu significado, transferindo ao seu cotidiano. Estudos em vários países têm mostrado, o mau desempenho dos alunos ao trabalhar com frações, em todos os níveis de ensino. De acordo com os estudos de Hiebert e Beher, citados em Tinoco e Lopes (1994), crianças não percebem um número racional, ou fração, como um simples número. A idéia que elas têm de fração é a de um par de números naturais. Para Groff, citado em Onuchic e Botta (1997), existem muitas dificuldades na aprendizagem das frações e muitas falhas no seu trabalho, e garante que as operações com números fracionários são difíceis para estudantes do mundo inteiro. Como afirmam Onuchic e Botta (1997), é preciso que professores e educadores, reconheçam as dificuldades de seus alunos. Daí a necessidade de se aprofundar os estudos sobre esse assunto. Objetivos Tendo em vista a problemática no ensino e aprendizagem dos números fracionários, ou seja, das frações, pretende-se compreender, tanto em termos de sua gênese como em termos de como está sendo feita a transposição didática deste conceito, pois só assim pode se propor um ensino com significado para o aluno e que possa tornar a aprendizagem mais fácil. Portanto, o objetivo geral desta pesquisa é compreender melhor o conceito de números fracionários para que haja um ensino mais significativo, fazendo aplicações deste conhecimento, na vida e na escola. Além disso, os objetivos específicos desta pesquisa são: - Compreender o conceito de número fracionário, fazendo um levantamento histórico e epistemológico do assunto. -Verificar como é feita a transposição didática do conceito de número fracionário, através da análise de livros didáticos. - Verificar as concepções dos professores sobre os números fracionários. Metodologia Este projeto de pesquisa está fundamentado em teorias da Educação Matemática. Educação Matemática é uma grande área de pesquisa educacional, cujo objetivo de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem da matemática, nos diversos níveis da escolaridade, quer seja em sua dimensão teórica ou prática. Além dessa definição ampla, a expressão educação matemática pode ser ainda entendida no plano da prática pedagógica, conduzida pelos desafios do cotidiano escolar. Sua consolidação como área de pesquisa é relativamente recente,... (PAIS, 2002, p.10).

3 A metodologia desta pesquisa consiste no estudo histórico, epistemológico e da transposição didática do conceito de número fracionário. O estudo histórico e epistemológico das frações foi feito para levantar a gênese e a evolução desse conceito. Além disso, de acordo com os PCN (1998), a história pode ser uma fonte de interesse para os jovens na medida em que permite fazer reflexões sobre a construção do conhecimento acumulado pela humanidade. A pesquisa também se baseia na noção de transposição didática. Yves Chevallard chama de transposição didática o conjunto das adaptações e transformações que o saber sábio sofre para ser ensinado. Da escolha do saber a ser ensinado à sua adaptação ao ensino existe todo um processo gerador de deformações, de criações de objetos de ensino, que termina no que chamamos de saber escolar, ou seja, o saber enunciado nos programas e, particularmente, observados nos livros didáticos. As condições de transmissão deste saber escolar também determinam o que, e de que maneira será adquirido pelos alunos. (OLIVEIRA, 1997,p.5) Daí a importância de se fazer nesta pesquisa uma análise de livros didáticos com relação às frações. Além disso, é importante investigar a maneira que o professor procede no ensino e aprendizagem do conceito de frações, pois é ele quem adapta o saber escolar ao saber ensinado. Para verificar as concepções dos professores sobre os números fracionários, foi aplicado um questionário. A escolha dos professores foi aleatória e as respostas foram obtidas de forma escrita e a análise foi qualitativa. Portanto, conforme a metodologia descrita, o desenvolvimento deste trabalho foi realizado na seguinte ordem: 1º) Levantamento histórico do conceito de número fracionário 2º) Análise de livros didáticos com relação ao conceito de número fracionário 3º) Concepções dos professores sobre o conceito de número fracionário Desenvolvimento Levantamento histórico do conceito de número fracionário Os homens da Idade da pedra não usavam frações, mas com o advento de culturas mais avançadas, durante a Idade de Bronze parece ter surgido a necessidade do conceito e notação de fração. (BOYER, 1993, p.9) Os números fracionários surgiram no Antigo Egito, às margens do Rio Nilo, por volta de 3000 a.c. na dinastia do Faraó Sesóstris. O Egito estava passando por um momento de transição, sua agricultura estava crescendo e o Faraó decidiu dividir as terras às margens do Rio Nilo em lotes iguais entre os agricultores. Para fazer as demarcações dos lotes foram chamados os geômetras do faraó, conhecidos como estiradores de cordas. As divisões eram feitas todo ano, pois como as inundações ocorriam no período de junho a setembro, as demarcações feitas desapareciam. Assim, os estiradores voltaram a demarcar os lotes. A marcação era feita da seguinte forma: esticavam-se as cordas e observavam quantas vezes essa unidade de medida estava contida no lote. Como a medida muitas vezes não resultava em um número inteiro, houve a necessidade da criação de um novo conceito de números, denominado números fracionários. Os egípcios dessa época usavam a escrita numeral repetitiva para indicar quantidades. Cada unidade era representada por uma barrinha.

4 No início, os egípcios utilizavam frações unitárias, ou seja, frações com numerador um, como 1/3, ¼, 1/22... Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal alongado sobre o denominador. Por exemplo: O Papiro Rhind, também conhecido como Papiro Ahmes, é um documento de cerca de 1650 a.c. onde estão resolvidos oitenta e cinco problemas egípcios. Nele encontra-se a fração 1/8 representada por e 1/20 representado por. Tais frações eram manipuladas livremente no tempo de Ahmes, mas a fração geral parece ter sido um enigma para os egípcios. Eles se sentiam à vontade com a fração 2/3, para a qual tinham um sinal hierático. (BOYER, 1993, p.9-10) Os egípcios esforçaram-se para evitar algumas das dificuldades computacionais encontradas com frações representando-se, com exceção de 2/3, como soma das frações chamadas unitárias, ou seja, aquelas de numerador igual a 1 (EVES, 1997, p. 73). Os mesopotâmios e os chineses também utilizavam as frações em seu cotidiano. O segredo da clara superioridade da matemática babilônica sobre a dos egípcios indubitavelmente está em que os que viviam entre os dois rios deram o passo muito feliz de estender o princípio da posição às frações. (BOYER, 1993, p. 20). Os chineses conheciam as operações sobre frações comuns, para as quais achavam o mínimo denominador comum. Como em outros contextos viam analogias com as diferenças entre sexos, referindo-se ao numerador como filho e ao denominador como mãe. A ênfase sobre yin e yang (opostos, especialmente em sexo) tornava mais fácil seguir as regras para manipular frações. (BOYER, 1993, p ). Análise de livros didáticos com relação ao conceito de número fracionário Para compreender como é feita a transposição didática do conceito de números fracionários, foi feita a análise de 14 livros didáticos, sendo três da 3ª, três da 4ª e oito da 5ª série do Ensino Fundamental, conforme o gráfico abaixo. 3ª série 21% Porcentagem de livros didáticos analisados, de acordo com a série 4ª série 21% Gráfico 1 Livros didáticos analisados 5ª série 58% Foram escolhidos livros de mais de uma série porque o ensino de frações, no Brasil, é apresentado a partir da segunda ou terceira série do Ensino Fundamental e, a cada ano, é teoricamente aprofundado.

5 Dos 14 livros didáticos analisados, dois trazem referências históricas sobre o assunto, mas apenas um sugere ao professor explorar a história da matemática ao explicar o assunto para que o aluno compreenda melhor o conceito de números fracionários. Os livros didáticos analisados apresentam o conteúdo utilizando muitas ilustrações, figuras geométricas coloridas, receitas culinárias, alimentos como frutas, chocolates, bolos, pizzas e líquidos. Isso pode ser bastante interessante, pois o aluno visualiza onde aparecem os números fracionários em sua vida, contribuindo assim para uma melhor compreensão desse conceito. Chamou atenção o fato de alguns autores tratarem o conceito com uma linguagem que muitas vezes faz com que o aluno perca o interesse de aprender, outros porém o fazem de outras maneiras, utilizando experiências para que o aluno exercite mais e tenha curiosidade de aprender. Concepções dos professores sobre o conceito de número fracionário Com o objetivo de compreender as concepções dos professores sobre os números fracionários, foi aplicado um questionário com 6 perguntas. Dez professores de escolas da rede pública e privada de Jacareí responderam o questionário voluntariamente, por escrito. O gráfico abaixo mostra a formação dos professores respondentes. Formação Pedagógica dos Professores Física 30% Pedagogia 20% Matemática 50% Gráfico 2 - Formação dos professores que participaram da pesquisa Quanto ao tipo de instituição em que trabalham, 4 professores são da rede pública e 6 da rede privada de Ensino, como pode ser visto no gráfico que segue. Tipo de Instituição onde os professores respondentes lecionam Pública 40% Particular 60% Gráfico 3 - Tipo de Instituição de origem dos professores De acordo com a análise das respostas dadas pelos professores podemos concluir que eles preferem trabalhar com os números fracionários utilizando materiais concretos para que os alunos possam visualizar as partes com o todo. Além disso, acham importante trabalhar com a história deste conceito. Ainda segundo eles, a

6 maior dificuldade dos alunos sobre as frações é fazer a relação do conceito com as operações matemáticas. Foi possível constatar que os professores utilizam livro didático para trabalhar o conteúdo das frações, utilizando definições, exemplos e exercícios. O mais interessante é que os professores, ao contrário do que mostram as pesquisas, acham que os números fracionários são fáceis de ensinar. Resultados A revisão bibliográfica mostrou que o conceito de número fracionário é bastante complexo do ponto de vista matemático e que existem muitas dificuldades no processo de ensino e aprendizagem das frações. Sendo assim, através desta pesquisa, pretendia-se compreender melhor o conceito de números fracionários, tanto em termos de sua gênese como em termos de como é feita a transposição didática, o que foi atingido de forma bastante satisfatória. Fazendo um levantamento histórico do assunto, foi possível compreender como e em quais circunstâncias o conceito de número fracionário surgiu. Pode-se compreender que foi através de uma necessidade dos egípcios, na medição de terras às margens do rio Nilo, e que essas medidas geralmente não eram inteiras. Daí o surgimento deste novo número. Esse conhecimento é de grande importância ao professor, pois através dele, pode-se explicar que as frações surgiram pela necessidade do homem, ou seja, surgiram através de um problema prático de medida, e que elas não caíram do céu, nem foi uma invenção de algum matemático que não tinha o que fazer. Além disso, problemas de medida semelhantes ao do Antigo Egito ainda ocorrem nos dias de hoje, demonstrando a necessidade de se estudar os números fracionários. Foi verificado como é feita a transposição didática do conceito de número fracionário, através da análise de alguns livros didáticos. De acordo com essa análise, os livros, em sua maioria, não fazem referências ao surgimento das frações. Além disso, exploram muitas situações com receitas, divisão de pizza e chocolate, bem como figuras geométricas, o que pode ser bastante interessante por fazer ligações com o cotidiano do aluno. Foram analisadas as concepções de alguns professores sobre os números fracionários. Constatou-se que os livros didáticos e os materiais concretos são muito utilizados, e que os professores entrevistados acham importante trabalhar com a história. Segundo eles, o ensino e aprendizagem das frações não é difícil, o que foi uma surpresa, pois isso contradiz os estudos realizados por pesquisadores. Para esses professores, a maior dificuldade dos alunos sobre as frações é fazer a relação do conceito com as operações matemáticas. Com os resultados desta pesquisa é possível conhecer as origens dos números fracionários, verificar como alguns livros promovem a transposição didática e compreender que nem sempre as concepções dos professores condiz com as pesquisas científicas. Com esses conhecimentos, pode-se promover um ensino mais significativo do conceito de número fracionário, pois oferece a oportunidade de professores e alunos compreenderem melhor esse conceito, através do conhecimento histórico e das dificuldades apontadas, fazendo aplicações, na escola e na vida.

7 Considerações Finais De acordo com os estudos realizados, os números fracionários são um assunto interessante de ser trabalhado. Foi possível constatar a dificuldade de ensinar esse conceito e que é um assunto complexo para os alunos, apesar dos livros didáticos tratarem o assunto de maneira simples e os professores utilizarem materiais de apoio para a sua compreensão. Caso a pesquisa continue, pretende-se fazer uma análise das dificuldades dos alunos, aplicando-se testes para os mesmos e observar se as explicações dos professores seguem as orientações dos PCN Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. Fontes Consultadas BEHR, M, et al. Rational number concepts, em aquisition of Mathematical concepts and processes. Chapter 4. R. New York: Academic Press, BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 10ª reimpressão. São Paulo: Edgard Blücher, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 2 ed. Campinas: Editora da Universidade Estadual de Campinas UNICAMP, OLIVEIRA, Nanci de. Conceito de função: uma abordagem do processo ensinoaprendizagem. Dissertação de Mestrado em Ensino de Matemática. São Paulo: PUC, ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; BOTTA, Luciene Souto. Uma nova visão sobre o ensino e a aprendizagem dos números racionais. Revista de Educação Matemática, São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, n. 3,Ano 5, p. 5-11, PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 2 ed. Belo Horizonte: Autêntica, (Coleção Tendências em Educação Matemática 3). SILVA, Vilma et al. Uma experiência de ensino de fração articulada ao decimal e à porcentagem. Educação Matemática em Revista, São Paulo: Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, Ano 7, n. 8. p.16-23, Junho TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois. A construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.