TRABALHO Nº 3 INTERFERÓMETRO DE MICHELSON

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1 TRABALHO Nº 3 INTERFERÓMETRO DE MICHELSON Neste trabalho pretende-se ilustrar o uso de um interferómetro de Michelson que constitui o interferómetro de divisão de amplitude mais importante do ponto de vista histórico. Pretende-se mostrar a dependência do raio dos anéis da diferença de distâncias ópticas nos dois braços do interferómetro e verificar a interconversão de franjas de igual inclinação em igual espessura. Pretende-se ainda verificar experimentalmente que só se observa formação de franjas de interferência com luz branca se a diferença de percursos ópticos for praticamente nula. Finalmente, utiliza-se o interferómetro para determinar a espessura de uma lâmina de acetato de índice de refracção conhecido e um índice de refracção de um vidro de espessura conhecida. 1. Introdução: Apresenta-se na Figura 1 um diagrama do interferómetro de Michelson existente no laboratório de óptica. Este permite a observação a olho nu (sem alvo ou luneta) de franjas de interferência formadas pela sobreposição de dois feixes luminosos provenientes de uma única fonte e obtidos pela divisão do feixe original em dois - interferómetro de divisão de amplitude. 39

2 1.1. Interferómetro de Michelson: Figura 1: Interferómetro de Michelson. (A) Formação de franjas circulares. (B) Vista de cima dos elementos ópticos. Uma fonte extensa de luz (por ex., um vidro fosco iluminado por uma lâmpada) emite uma onda. Parte dessa onda é emitida para a direita (ver Figura 1) e é dividida em amplitude pelo divisor de feixe O através de uma película fina semitransparente metálica ou de um filme dieléctrico depositados num dos lados do vidro uma parte continua o seu percurso em direcção ao espelho M 1 enquanto a outra parte é reflectida em direcção a M. Após a reflexão nos espelhos as duas ondas encaminham-se de novo em direcção ao divisor de feixe. Ai, parte da onda proveniente de M atravessa o divisor de feixe deslocando-se em direcção ao detector e parte da onda reflectida em M 1 é de novo reflectida em direcção ao detector. A sobreposição espacial destas duas ondas pode então dar origem a um padrão de interferência estável e observável. Um observador colocado na posição do detector vê simultaneamente uma imagem da fonte S reflectida em ambos os espelhos (uma imagem de M através do divisor de feixe e uma imagem de M 1 reflectida no divisor de feixe). Assim sendo o comportamento do interferómetro pode ser descrito por um sistema óptico equivalente ao sistema 4

3 físico em que todos os elementos ópticos se dispõem ao longo de uma única direcção e onde as superfícies matemáticas Σ 1 e Σ são as imagem da fonte Σ nos espelhos M 1 e M, respectivamente Figura. Figura : Esquema óptico equivalente ao interferómetro de Michelson. Um raio proveniente da fonte S, depois de reflectido nos espelhos, parecerá a um observador vir de duas fontes S 1 e S as quais se comportam como duas fontes coerentes caracterizadas por uma diferença de percursos ópticos de cerca de d cos onde mede a inclinação dos raios em relação ao eixo óptico. A diferença de fase correspondente a esta diferença de percurso óptico é: π δ = ( d cos ) (1) λ e a este termo há que adicionar uma contribuição adicional de π 1 devida à diferença de fase relativa entre os dois feixes que interferem por causa das diferentes características da reflexão dos dois feixes no divisor de feixe a radiação que percorre o braço OM sofre reflexão interna no divisor de feixe enquanto que 1 Válido para revestimentos dieléctricos numa das superfícies do divisor de feixe de índice de refracção inferior ao do vidro. 41

4 a que atravessa o braço OM 1 sofre reflexão externa. Isto faz com que as franjas correspondentes a interferência construtiva e destrutiva surjam em posições tais que: d d cos cos = 1 ( m + ) λ = m λ interferência interferência construtiva destrutiva () Mantendo d constante e variando o ângulo podem observar-se franjas de igual inclinação enquanto que se se forçar a ser constante e se se variar d podem observar-se franjas de igual espessura. O interferómetro de Michelson dispõe normalmente de dois comandos que permitem deslocar um dos espelhos em relação ao outro (ajuste de distâncias com um parafuso micrométrico) ou alterar a inclinação de um dos espelhos (ajuste do ângulo relativo entre espelhos) e são estes os comandos que permitem efectuar a interconversão entre as duas situações limite de franjas de igual inclinação (Haidinger) ou de igual espessura (Fizeau). A posição dos elementos ópticos no diagrama da Figura depende apenas das distâncias relativas entre os dois espelhos e o divisor de feixe o que faz com que o comportamento observado apenas dependa da diferença e não dos valores absolutos das distância de M 1 e M a O. As equações () permitem ver que, se a diferença de distâncias d diminuir, cada franja de interferência correspondente à mesma ordem m desloca-se de modo a manter o produto seja, há medida que d diminui 4 d cos constante. Ou cos m aumenta o que faz com que m diminua; há medida que a distância d diminui os anéis deslocam-se em direcção ao centro (o anel central desaparecendo sempre que d se alterar de λ /). Se p for a ordem cada anel escuro numa situação em que o anel central corresponda a interferência destrutiva (p = ), pode m

5 provar-se que a posição de cada anel escuro é dada na parte central do padrão de franjas de igual inclinação por: p λ p (3) d Quer isto então dizer que as franjas estão mais separadas quando as diferenças de percursos ópticos dos dois espelhos são menores. Isto pode observar-se na Figura 3 onde se representa a posição angular de várias franjas para uma separação entre espelhos de.1 e.5 mm. Figura 3: Franjas de igual inclinação para um interferómetro de Michelson para a risca verde do mercúrio. (A) Separação entre espelhos de.1 mm. (B) Separação entre espelhos de.5 mm. 43

6 1.. Lâmina compensadora: Se não se incluísse uma lâmina compensadora num dos braços do interferómetro, um dos feixes atravessaria o divisor de feixe três vezes enquanto o outro apenas uma. A iguais distâncias físicas entre o divisor de feixe e os dois espelhos não corresponderiam iguais percursos ópticos dos dois feixes que interferem. A inclusão de uma placa de vidro compensadora (cuja única diferença em relação ao divisor de feixe é a ausência de filme semireflector) paralela a O faz com que cada feixe percorra iguais distâncias dentro do vidro. Por sua vez isto faz com que as diferenças de distâncias físicas sejam iguais às diferenças de percurso óptico e, mais importante que isso, permite compensar o efeito da dispersão da radiação de diferentes comprimentos de onda dentro do vidro. Este efeito é importante para radiação policromática pois o percurso óptico depende do comprimento de onda considerado e assim, a lâmina compensadora permite a visualização de franjas mesmo para fontes com largura de banda elevada Variações de percurso óptico: O interferómetro de Michelson pode ser utilizado na determinação precisa de pequenas alterações de percursos ópticos sejam elas provocadas pela inclusão de filmes finos ou por alteração da distância percorrida num meio de índice de refracção diferente do do ar num dos braços do interferómetro. A Figura permite ver que, se se deslocar um dos espelhos de λ / a alteração total do percurso óptico é de um comprimento de onda o que quer dizer que cada franja de interferência passa a ocupar a posição da franja clara ou escura imediatamente adjacente. Assim, se tomarmos como referência um ponto qualquer do campo de visão, podemos avaliar a distância real de que se desloca um dos espelhos simplesmente contando o número de franjas que atravessam esse ponto de referência. Se N for o número de franjas a passar pelo ponto de referência, o deslocamento real do espelho terá sido: 44

7 λ d = N (4) Como as variações de percursos ópticos medidas num interferómetro são da ordem de grandeza do comprimento de onda da radiação, os deslocamentos dos espelhos são tão pequenos que impossibilitam o uso directo de um parafuso micrométrico para medir esses deslocamentos. Torna-se então necessário incluir um sistema mecânico de desmultiplicação de distâncias que faça com que o deslocamento real do espelho seja muito menor que o deslocamento do parafuso micrométrico correspondente. Assim sendo, torna-se necessário calibrar o deslocamento real do espelho em relação ao deslocamento do parafuso micrométrico e isso é feito através da equação (4) contando o número de franjas que passam um ponto de referência para uma radiação de comprimento de onda λ conhecido Franjas da luz branca: Para que se observe um padrão de interferência estável a radiação que interfere deve ser coerente, ou seja, manter uma diferença de fase constante no tempo. Se no interferómetro de Michelson as distâncias dos espelhos ao divisor de feixe não forem iguais uma das ondas é atrasada em relação à outra e isso pode ter implicações em relação à visibilidade do padrão de interferência. Se a diferença de distâncias a percorrer pela radiação assim introduzida for maior que o comprimento de coerência (associado a uma coerência temporal) deixa de ser possível a observação das franjas. A largura espectral da radiação é inversamente proporcional à coerência temporal o que faz com que os comprimentos de coerência sejam tanto maiores quanto mais monocromática for a radiação ver tabela 1. 45

8 Radiação Largura de banda Comprimento de coerência Risca Hg nm.5 nm 1. cm Luz branca 3 nm 1 nm = 1-6 m Tabela 1. Coerência temporal ou longitudinal de algumas fontes. Da observação da tabela 1 pode então concluir-se que embora se possa observar um padrão de interferência estável para a radiação correspondente à risca verde do mercúrio com uma separação entre fontes até 1. cm, para que se observe o mesmo para uma fonte de luz branca a separação deverá ser no máximo 1-6 m (ou seja, separação máxima de m entre o comprimento dos braços do interferómetro). De um ponto de vista prático, a observação de franjas devidas à luz branca serve então para assinalar a situação em que a separação entre espelhos é nula (d ).. Procedimento experimental:.1. Material: Interferómetro de Michelson equipado com lâmina compensadora Lâmpada de mercúrio e de luz branca Folha de acetato de índice de refracção conhecido Placa de vidro de espessura conhecida.. Descrição do procedimento experimental: Durante a realização do trabalho experimental deve ter em conta as seguintes observações gerais: Deverá procurar ver qual a distância dos olhos ao interferómetro que lhe permita um maior contraste possível das franjas de interferência. Além disso, deverá procurar não mexer os olhos durante a contagem do número de franjas. 46

9 Deverá ter bastante cuidado na operação e na leitura do parafuso micrométrico porque este é muito sensível; qualquer pressão provocará um deslocamento das franjas mesmo que não haja uma variação no valor lido na escala do parafuso. Para observar a formação de franjas de interferência com a luz branca é necessário que o movimento do parafuso micrométrico seja bastante lento. Caso contrário pode ultrapassar-se a condição de iguais percursos sem que se detecte as franjas da luz branca. Sempre que trabalhar com a lâmpada de mercúrio deverá colocar um filtro verde para isolar apenas a radiação correspondente à risca verde. Quando trabalhar com a lâmpada branca deverá utilizar um vidro fosco...1. Dependência das franjas do alinhamento e distâncias entre espelhos: Deverá fazer a seguinte sequência de observações qualitativas para verificar a interconversão entre as duas situações limite de franjas de igual inclinação e de igual espessura. Deverá começar por trabalhar com a lâmpada de mercúrio e colocar o parafuso micrométrico em 5.. De seguida deverá alinhar os espelhos até observar a formação de anéis de igual inclinação e verificar a transformação em franjas de igual espessura mudando o alinhamento dos espelhos. Relacione a mudança do alinhamento do espelho na horizontal e/ou vertical com o sentido das franjas. Mantendo o alinhamento dos espelhos de maneira a observar anéis deve aumentar a numeração do parafuso micrométrico (até cerca de 15 a ) de maneira a diminuir a diferença de percursos ópticos nos dois braços do interferómetro (se necessário realinhe os espelhos durante o processo). Verifique que os anéis aumentam de raio e que vão morrendo no centro. 47

10 ... Determinação da espessura de uma folha de acetato: Depois das observações do ponto anterior deverá colocar o parafuso micrométrico em 1. e mudar para a luz branca. Rode ligeiramente o parafuso até observar a formação de franjas devidas à luz branca. Procure a posição que provoca um maior contraste nas franjas de interferência e altere o alinhamento do espelho de modo a observar franjas horizontais. Tome nota da numeração do parafuso micrométrico (l ). Note que a numeração do parafuso é tal que a 5 menores divisões corresponde meio milímetro; assim sendo, cada menor divisão corresponde a.1 mm. Esta posição assinala a situação em que a diferença de percursos ópticos é nula. Coloque a folha de acetato de modo a abranger metade do campo de visão. Desaparecem as franjas na zona correspondente à passagem da luz dentro do acetato. Diminua a numeração do parafuso micrométrico até reaparecerem franjas nessa zona e tome nota da posição do parafuso (l f ). Deverá mudar para a lâmpada de mercúrio. Nestas condições observam-se franjas em todo o campo de visão. Deverá calibrar o deslocamento real do espelho em relação ao deslocamento do parafuso micrométrico contando o número de franjas que passam por um determinado ponto de referência no campo de visão quando se desloca lentamente o parafuso micrométrico. Anote a leitura no parafuso para 1 franjas (l 1 )...3. Determinação do índice de refracção de uma lâmina de vidro: Inicie a série de medições com a lâmina de vidro realinhando os espelhos de modo a obter franjas de interferência verticais. Comece por colocar a lâmina num dos braços do interferómetro perpendicular à direcção do feixe. Para tal repare que se variar a inclinação da lâmina altera-se o percurso percorrido no interior do vidro e que a situação de percurso mínimo corresponde exactamente à situação em que a lâmina se encontra perpendicular em relação à radiação. Assim sendo, isto corresponde ao inverter 48

11 do sentido do deslocamento das franjas quando se altera a inclinação da lâmina sempre no mesmo sentido. Vai iniciar as medidas a partir da situação em que a lâmina de vidro se encontra perpendicular em relação à radiação. Tome nota do valor do ângulo inicial. Rode a lâmina sempre no mesmo sentido de maneira a observar que 5 franjas passam por um ponto de referência marcado sobre o vidro e só depois registe o ângulo respectivo. Repita o procedimento até que 1 franjas tenham passado pelo ponto de referência. O ângulo de incidência no vidro em cada situação é a diferença entre o ângulo medido e a situação inicial. 3. Resultados e cálculos: 3.1. Determinação da espessura de uma folha de acetato: A diferença entre as leituras l e l f no parafuso micrométrico dá o deslocamento do parafuso correspondente à variação de percurso óptico causada pela folha de acetato. A variação de percurso óptico provocada pelo acetato de espessura d é d ( 1) n acet, onde se admitiu o índice de refracção do ar como 1. Se o deslocamento do parafuso micrométrico fosse igual ao deslocamento real do espelho poderíamos igualar esta expressão a l l f e, sabendo o índice de refracção do acetato ( n acet ), calcular a espessura do acetato. No entanto, tal como explicado no ponto 1.3., o deslocamento real do espelho é muito inferior ao deslocamento do parafuso micrométrico e as medições obtidas com a lâmpada de mercúrio têm como objectivo o calibrar do deslocamento real do espelho. A equação (4) permitenos escrever para a risca verde do mercúrio: d d espelho parafuso = λ N l l f 1 (5) e para o deslocamento medido com a luz branca: 49

12 d d espelho parafuso d = ( n 1) l acet l f (6) Como a razão entre o deslocamento real de espelho e o deslocamento da parafuso é sempre a mesma pode-se igualar (5) e (6) obtendo-se finalmente: λ l l f 1 d = N (7) l l n 1 f 1 acet equação que permite calcular a espessura da folha de acetato usada. Use a equação anterior para obter uma estimativa do erro associada à medição da espessura como resultado da propagação dos erros das quantidades medidas (número de franjas e deslocamentos do micrómetro para a luz branca e para a lâmpada de mercúrio) admitindo como razoáveis as seguintes estimativas de erros: Parâmetro Estimativa do erro número de franjas 5 em 1 deslocamento do micrómetro.1 mm l l f e l f l1 3.. Determinação do índice de refracção de uma lâmina de vidro: Se se variar a inclinação da lâmina de vidro altera-se a distância percorrida pela radiação no interior do vidro. Isto vai traduzirse numa variação da fase da radiação no braço do interferómetro que é avaliada contando o número de franjas que passam por um determinado ponto de referência em função do ângulo de incidência. Considere-se a Figura 3. A alteração do comprimento do caminho óptico pelo facto de se ter introduzido o vidro é: 5

13 ( PQ PS) Λ = n (8) onde n representa o índice de refracção no vidro e se assumiu como de costume n ar = 1. Figura 4: Percurso óptico da radiação no vidro. A equação anterior pode ser rearranjada aplicando relações trigonométricas para: d Λ = { n cos ( i - t )} (9) cos t sendo d a espessura da lâmina. Se a incidência for normal a variação de percurso óptico fica: ( n 1) Λ = d (1) como seria de esperar. Se se rodar a lâmina de um determinado ângulo i em relação à incidência normal e se verificar que passaram N franjas por um ponto de referência, então a variação do percurso óptico foi de: 51

14 Λ Λ ( - ) n cos = d λ cos t i t 1 ( n ) = N (11) e esta equação pode ser rearranjada para dar o índice de refracção: cos t N λ n = 1 cos t d cos i 1 + cos ( - ) t t (1) Esta equação não tem no entanto resolução analítica pois o ângulo de transmissão t depende por sua vez do índice de refracção através da lei de Snell: t sen i = arcsen (13) n As equações (1) e (13) permitem no entanto um cálculo iterativo do índice de refracção. A partir de uma estimativa inicial razoável de n = 1.5 aplica-se sucessivamente (13) seguida de (1) até que duas estimativas sucessivas de n não difiram, digamos, até à quarta casa decimal. A convergência é normalmente bastante rápida 3 a 4 iterações devem bastar. Finalmente estime o índice de refracção do vidro como o valor médio das várias medidas independentes não se esquecendo de obter uma estimativa razoável do erro associado. Dados: Folha de acetato: - espessura aproximada:.1 mm - n = Lâmina de vidro: espessura (d) = 1. mm Risca verde da lâmpada de mercúrio: λ = nm 5

15 ÓPTICA-FÍSICA TRABALHO Nº 3 INTERFERÓMETRO DE MICHELSON Turno: Grupo: Autores: Data: Objectivos do trabalho: Observações qualitativas: Interconversão entre franjas: Forma das franjas de igual inclinação: Forma das franjas de igual espessura: Dependência do raio dos anéis da diferença de percurso óptico: Se a diferença de percurso óptico diminuir: O raio das anéis.. A separação entre franjas adjacentes.. Relação entre a orientação dos espelhos e a das franjas: Se a partir da situação de espelhos perfeitamente perpendiculares se alterar o alinhamento de um dos espelhos obtêm-se franjas de igual espessura. Se se alterar o alinhamento: Horizontal, as franjas são.. Vertical, as franjas são.. Espessura de uma folha de acetato: Resultado final: Valor esperado: d ± δ d = d teor = Percentagem de erro em relação ao valor esperado: Comentário: Medidas experimentais directas: l (mm) l f (mm) l 1 (mm) 53

16 Cálculo da espessura: l l f l f N d l 1 Parâmetro δ Equações: Cálculo de d: Cálculo de δd: Dados: Índice de refracção do acetato: n acet = Risca verde do mercúrio: λ = Índice de refracção de um vidro: Resultado final: n ± δ n = Comentário: Medidas experimentais directas: N Ângulo 54

17 Cálculo do índice de refracção: N i iteração t n n final n = δ n = Equações: Cálculo de n: Cálculo de δn: Dados: Espessura da lâmina de vidro: d = Risca verde do mercúrio: λ = Comentário final e conclusões: 55