Métodos Numéricos Interpolação Polinomial. Filomena Teodoro Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

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1 Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Filomena Teodoro Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 2003/2004

2 1 Introdução Seja f(x) uma função real de variável real apenas conhecida em n +1 pontos (x i,f(x i )),i=0, 1,,n O problema genérico da interpolação de consiste em aproximar a função f(x) através de uma outra função g(x) =a 0 b 0 (x)+ + a n b n (x), em que b 0 (x),b 1 (x),,b n (x) são funções pré-definidas e a 0,a 1,,a n são constantes, de forma que g(x) e f(x) coincidam nos pontos (x i,f(x i )),i= 0, 1,,n Nada nos garante que este problema tenha solução evidente Por exemplo, fazendo b 0 (x) =1e b 1 (x) =x 2 não existe nenhuma função g(x) =a 0 b 0 (x)+a 1 b 1 (x) =a 0 + a 1 x 2 que passe em (1, 1) e ( 1, 0) Note-se que sendo b 0 (x) e b 1 (x) funções pares, g(x) também é uma função par e g( 1) = g(1) A função g(x) designa-se habitualmente por função interpoladora de f(x) e o conjunto de pontos {(x i,f(x i )), 0 i n} designa-se suporte de interpolação As abcissas x 0,x 1,,x n dizem-se os nós de interpolação e as ordenadas y 0 = f(x 0 ),y 1 = f(x 1 ),,y n = f(x n ) são os valores nodais O tipo de interpolação depende da estrutura da família de funções b 0 (x),b 1 (x),, b n (x) Quando g(x) =a 0 + a 1 e ix + a 2 e 2ix + + a n e nix, a interpolação denomina-se trigonométrica, se g(x) =a 0 + a 1 e x + a 2 e 2x + + a n e nx a interpolação denomina-se de exponencial Se g(x) for um polinómio, isto é, se g(x) =a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n estaremos no caso da interpolação polinomial A necessidade de fazer interpolação surge, por exemplo, quando a função f(x) se encontra tabelada para um certo conjunto de valores x 0,x 1,,x n, x x 0 x 1 x 2 x n f (x) f (x 0 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f(x n ), e se pretende determinar um valor não tabelado f(x), comx x i,i= 0,,n O erro na determinação do valor não tabelado através da função interpoladora deve-se ao facto de se estimar f(x) àcustadeg(x) (excepto no caso da função tabelada ser a função interpoladora), aos erros de arredondamento e à propagação dos erros iniciais 1

3 2 Definição de polinómio interpolador Existência e Unicidade Polinómio interpolador de Lagrange Passaremos a designar por p n (x) afunçãointerpoladorag(x), umavezque limitaremos o nosso estudo ao caso particular da interpolação polinomial A interpolação polinomial é de grande interesse do ponto de teórico e prático em áreas como teoria da aproximação, equações não lineares, integração e derivação numéricas e solução numérica de equações diferenciais e integrais Dada uma função f(x) conhecida em n+1 pontos (x i,f(x i )),i=0, 1,,n, o objectivo da interpolação polinomial consiste em determinar o polinómio de grau n, p n (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, que coincide com f(x) naqueles pontos, isto é, p n (x i )=f (x i )=f i, i =0,,n Exemplo 1 Determine o polinómio interpolador que aproxima a função f(x) dada natabela seguinte x f (x) Neste caso tem-se que o suporte de interpolação é o conjunto {( 1, 2), (0, 3), (1, 2)} Procuramos o polinómio p 2 (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 quesatisfazas igualdades p 2 (x i )=f(x i ),i=0, 1, 2 Ora, ou seja, p 2 (x 0 )=f(x 0 ) p 2 (x 1 )=f(x 1 ) p 2 (x 2 )=f(x 2 ) a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 2 0 = f(x 0 ) a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 1 = f(x 1 ) a 0 + a 1 x 2 + a 2 x 2 2 = f(x 2 ) a 0 a 1 + a 2 =2 a 0 =3 a 0 + a 1 + a 2 =2 a 2 = 1 a 0 =3 a 1 =0 Consequentemente, o polinómio interpolador é p 2 (x) =3 x 2 Quando se consideram apenas 2, 3 e 4 pontos a interpolação polinomial denomina-se, respectivamente, interpolação linear, quadrática (ou parabólica) ecúbica O seguinte teorema mostra-nos que o polinómio interpolador existe e é único Além disto, fornece uma forma explícita para o cálculo de p n (x) 2,

4 Teorema 1 Seja P n o conjunto dos polinómios de grau menor ou igual n Dada uma função f(x) e n +1 pontos distintos (x i,f i ),i=1,,n,tem-se: (i) Existe um e um só polinómio p n (x) P n,talque p n (x i )=f i, i =0, 1,,n (ii) p n (x) pode ser dado explicitamente por em que p n (x) = L i (x) = n L i (x) f i (1) i=0 n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) Quando escrito na forma (1), p n (x) denomina-se por polinómio interpolador de Lagrange As funções L i (x), i =0, 1,,n, designam-se por polinómios de Lagrange Dem (i)as condições p n (x i )=a 0 + a 1 x i + a 2 x 2 i + + a n x n i = f i, i =1,,n, conduzem ao seguinte sistema de equações linear nas incógnitas a 0,a 1,,a n, a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x n 0 = f 0 a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + + a n x n n = f n cuja forma matricial é em que 1 x 0 x 2 0 x n 0 1 x 1 x 2 1 x n 1 V = 1 x n x 2 n x n n VA= F, A = a 0 a 1 a n e F = f 0 f 1 f n A matriz de coeficientes V designa-se por matriz de Vandermonde O sistemaépossíveledeterminado(istoé,admiteumaeumasósolução),see só se det V 0 3

5 Prova-se facilmente que se os nós de interpolação x 0,x 1,,x n são distintos, então det V 0 Com efeito, para i =1, 2,,n 1, subtraindo à coluna i +1acolunai multiplicada por x 0,obtém-se 1 x 0 x 2 0 x n 0 1 x 1 x 2 1 x n 1 det V = D n+1 = 1 x n x 2 n x n n x 1 x 0 x 1 (x 1 x 0 ) x1 n 1 (x 1 x 0 ) = 1 x n x 0 x n (x n x 0 ) x n 1 n (x n x 0 ) Pelo teorema de Laplace, desenvolvendo a primeira linha, vem x 1 x 0 x 1 (x 1 x 0 ) x n 1 1 (x 1 x 0 ) det V = D n+1 =( 1) n+1 x n x 0 x n (x n x 0 ) xn n 1 (x n x 0 ) Cada elemento da linha i (i =1,,n) contém o factor (x i x 0 ),peloque em que det V = D n+1 =(x 1 x 0 )(x 2 x 0 ) (x n x 0 ) D n, D n = 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n x n x 2 n xn n 1 é o determinante de Vandermonde de ordem n Repetindo o raciocínio o número suficiente de vezes obtém-se a relação geral [ n ] D n k+1 = (x j x k ) D n k, 0 k n 1 j=k+1 Como os nós são distintos, x j x i, (j k) então (x j x k ) 0, 0 k n 1, k +1 j n com D 1 =1 0 4

6 Assim, os determinantes de Vandermonde são não nulos Logo, o sistema VA= F admite solução única, o que equivale a dizer que o polinómio interpolador p n (x) existe e é único A unicidade pode ser verificada de uma maneira alternativa, significativamente menos trabalhosa Basta supor que existe um outro polinómio interpolador q n (x) P n, que verifica q n (x i )=p n (x i )=f i, 0 i n Então, q n (x) p n (x) P n eanula-senosn +1 pontos x i Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinómio de grau n não tem mais de n raízes Como q n (x) p n (x) tem n +1 raízes, q n (x) p n (x) =0, isto é, q n (x) = p n (x) (ii) Consideremos os n +1polinómios de Lagrange de grau n, L i (x) = n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) = (x x 0) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) (x i x 0 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ) Ora, pelo que é tal que L i (x) =δ ij = p n (x) = p n (x i )=f i, { 1, j = i 0, j i n L i (x) f i i=0 i =0, 1,,n Exemplo 2 Dadaatabeladafunçãof(x) = x, x f (x) , obtenha o polinómio interpolador de Lagrange e o seu valor em x =3 Procuramos p 2 (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 tal que p 2 (x) = 2 L i (x) f i i=0 5

7 com os polinómios de Lagrange dados por L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) = (x 2) (x 4) (1 2) (1 4) = 1 3 (x 2) (x 4) = 8 3 2x x2, L 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) = (x 1) (x 4) (2 1) (2 4) = 1 2 (x 1) (x 4) = x 1 2 x2 e L 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = (x 1) (x 2) (4 1) (4 2) = 1 6 (x 1) (x 2) = x x2 Então, p 2 (x) =L 0 (x) f 0 + L 1 (x) f 1 + L 2 (x) f 2 = 1 3 (x 2) (x 4) 1 1 (x 1) (x 4) (x 1) (x 2) 2 6 = x x2 O valor do polinómio em x =3é p 2 (3) = =17433 O erro cometido quando se considera p 2 (3) como valor aproximado de f(3) = 3 é dado por f(3) p 2 (3) = = O erro é menor que 12 milésimas De notar, no entanto, que os valores tabelados estão arredondados às centésimas Pode ser útil recorrer à forma matricial para obtenção dos polinómios de Lagrange e do polinómio interpolador Basta lembrar que procuramos p n (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n 6

8 tal que p n (x i )=a 0 + a 1 x i + a 2 x 2 i + + a n x n i = f (x i )=f i, 0 i n Como vimos acima, estas condições podem representar-se matricialmente por VA= F Como a matriz de Vandermonde V é invertível, o vector das incógnitas A vem dado por A = V 1 F Sendo tem-se p n (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n =[1 x x n ] }{{} Por outro lado, p n (x) = p n (x) =XA = XV 1 F n L i (x) f i =[L 0 (x) L 1 (x) L n (x)] }{{} i=0 L X f 0 f 1 f n a 0 a 1 a n, }{{} A }{{} F = LF, pelo que L = XV 1 Sistematizando, o processo matricial para a determinação do polinómio interpolador de Lagrange pode ser resumido em três etapas: 1 Cálculo de V e V 1, 2 Cálculo de L = XV 1, 3 Cálculo do polinómio interpolador p n (x) =LF Exemplo 3 Considerando novamente a tabela da função f(x) = x, x f (x) determinemos, recorrendo ao processo matricial, o polinómio interpolador de Lagrange 7

9 Com efeito, para determinar os polinómios de Lagrange, basta identificar amatrizdevandermonde V = = , obter a sua inversa V 1 = ecalcular = L = XV 1 = [ 1 x x 2] 5 2 = 8 3 2x x2 }{{} L 0 (x) x 1 2 x2 }{{} L 1 (x) x x2 }{{} L 2 (x) O polinómio interpolador de Lagrange vem então dado por p 2 (x) =LF [ 8 = 3 2x x x x x + 1 ] 6 x = x x2 3 Erro de Interpolação Para estimar a diferença f(x) p n (x), isto é, o erro com que o polinómio interpolador p n (x) aproxima f(x) em x I x, com I x o menor intervalo que contém x, x 0,x 1,,x n, não é suficiente conhecer o domínio de f(x) e os nós de interpolação x 0,x 1,,x n Basta lembrar que a qualquer função que assuma os mesmos valores tabelados está associado o mesmo polinómio interpolador, podendo a diferença f(x) p n (x) tornar-se arbitrariamente diferente em qualquer x I x Todavia o conhecimento da derivada de ordem n +1 de f(x) pode levar-nos a uma estimativa do erro No seguinte teorema é apresentada uma fórmula explícita para o cálculo do erro de interpolação 8

10 Teorema 2 Seja p n (x) o polinómio de grau n interpolador da função f (x) nos nós de interpolação distintos x 0,x 1,,x n [a, b] Se f(x) tiver derivadas contínuas até à ordem n +1 em [a, b] então, para cada x [a, b] existe ξ I x (com I x o menor intervalo que contém x, x 0,x 1,,x n ), tal que f (x) p n (x) = n j=0 (x x j ) f (n+1) (ξ) (n +1)! Dem O resultado é imediato se x = x i,i=0,,n, e nesse caso o erro é obviamente nulo Seja então x x i,i=0,,n Considerando n θ(t) = (t x j ) j=0 defina-se a função auxiliar F (t) =f(t) p n (t) cθ(t), (2) onde c = f (x) p n (x) (3) θ(x) A função F (t) está definida em I x eétalque F (x) =0 e F (x i )=0, i =0, 1,,n, isto é, F (t) tem pelo menos n +2zeros em I x Pelo teorema de Rolle, F (t) tem pelo menos n +1 zeros em I x,f (t) tem pelo menos n zeros em I x, etc, F (n+1) (t) tem pelo menos 1 zero em I x Sendo ξ esse zero de F (n+1) (t), derivando (2) n +1vezes obtém-se F (n+1) (ξ) =f (n+1) (ξ) p (n+1) n (ξ) cθ (n+1) (ξ) =0 Mas p (n+1) n (ξ) =0, pois o polinómio p n (t) édegrau menorouigualan Comoocoeficientedotermodemaiorgraudoprodutoθ(t) é igual a 1 tem-se θ (n+1) (ξ) =(n +1)! Então c = f (n+1) (ξ) θ (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) (n +1)! e, atendendo a (3), vem f (x) p n (x) =θ(x) f (n+1) (ξ) n = (x x j ) f (n+1) (ξ) (n +1)! (n +1)!, como se queria Note-se que: 9 j=0

11 Com um só ponto de interpolação (x 0,f(x 0 )) o polinómio interpolador édegrauzeroep n (x) =f(x 0 ) O erro vem f (x) p n (x) =f (x) f (x 0 )=f (ξ), com ξ I x Comdoispontosdeinterpolação(x 0,f(x 0 ),x 1,f(x 1 )) o polinómio interpolador é de grau 1 (interpolação linear) O erro vem f (x) p n (x) = f (ξ) (x x 0 )(x x 1 ), com ξ I x Exemplo 4 Suponhamos que a função f(x) =log 10 x = ln x ln 10 se encontra tabelada e se efectua ainterpolaçãolinearnospontosx 0,x 1 tais que x 1 x 0 =001 e x 0 1 Para tal, utiliza-se o polinómio interpolador p 1 (x) =L 0 (x) f 0 + L 1 (x) f 1 = x x 1 log x 0 x 10 x 0 + x x 0 log 1 x 1 x 10 x 1 0 O erro da interpolação, para cada x>0, édadopor f (x) p 1 (x) = f (ξ) (x x 0 )(x x 1 ), com ξ I x, sendo I x o menor intervalo que contém x, x 0 e x 1 Atendendo a que f (x) = 1 e f (x) = 1 x ln 10 x 2 ln , x 2 tem-se f (x) p 1 (x) = 0434 ξ (x x 0)(x x 2 1 ), com ξ I x Admitindo que x [x 0,x 1 ] vem f (x) p 1 (x) max 0434 x 0 x x 1 ξ (x x 0)(x x 2 1 ) = (x 1 x 0 ) 2 (x 0 x 1 ) = (x 1 x 0 ) x = Assim, quando x [x 0,x 1 ], o erro de interpolação é da ordem de Note-se que não se consideraram os erros de arredondamento dos valores tabelados f(x 0 ) e f(x 1 ) 10 x 2 0

12 4 Diferenças Divididas Polinómio interpolador de Newton No cálculo do polinómio interpolador de Lagrange, a adição de mais um ponto (x n+1,y n+1 ) ao suporte de interpolação obriga a que se refaçam todos os cálculos dos novos polinómios L i (x), i =0,,n+1 É muito frequente que se testem diferentes suportes de interpolação, variando o número de pontos considerado,deformaaobedeceracondiçõesdelimitedoerrodeinterpolação, f (x) p n (x) M, comm constante positiva O polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas permite contornar esse problema Este polinómio interpolador surge de uma construção recursiva, extremamente simples, a partir da definição de diferença dividida Definição 1 Chama-se diferença dividida de primeira ordem de f(x), relativamente aos argumentos x i,x i+1, à seguinte quantidade f [x i,x i+1 ]= f i+1 f i x i+1 x i De um modo geral, a diferença dividida de ordem k (k 2) de f(x), relativamente aos argumentos x i,x i+1,,x i+k, é a quantidade f [x i,x i+1,x i+2 ]= f [x i+1,x i+2 ] f [x i,x i+1 ] (2 a ordem) x i+2 x i f [x i,,x i+k ]= f [x i+1,,x i+k ] f [x i,,x i+k 1 ] (ordem k) x i+k x i As diferenças divididas localizam-se natabeladaseguinteforma: x f(x) f [x i,x i+1 ] f [x i,x i+1,x i+2 ] f [x i,x i+1,x i+2,x i+3 ] x 0 f 0 f [x 0,x 1 ] x 1 f 1 f [x 0,x 1,x 2 ] f [x 1,x 2 ] f [x 0,x 1,x 2,x 3 ] x 2 f 2 f [x 1,x 2,x 3 ] f [x 2,x 3 ] x 3 f 3 Indicamos seguidamente algumas propriedades das diferenças divididas: 11

13 1 As diferenças divididas f [x 0,x 1,x 2,,x n ] são invariantes para qualquer variação dos índices de suporte, isto é, são funções simétricas nos seus argumentos: qualquer que seja a ordem dos x i o valor de f [x 0,x 1,x 2,,x n ] mantém-se 2 Tem-se f [x 0,x 1,x 2,,x n ]= n i=0 n j=0,j i f i (x i x j ) 3 Dado um polinómio de grau n, p n (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, vem que p n [x 0,x]=p n 1 (x), p n [x 0,x 1,x 2,,x n ]=a n, p n [x 0,x 1,x 2,,x n,x n+1 ]=0 4 Sendo f(x) uma função n vezes diferenciável num intervalo [a, b] que contém n +1pontos distintos x 0,x 1,x 2,,x n, então f [x 0,x 1,x 2,,x n ]= f (n) (ξ),paraalgumξ ]a, b[ n! Vejamos como se obtém o polinómio interpolador de Newton Das diferenças divididas sai que e f [x, x 0 ]= f(x) f(x 0) x x 0 e f [x, x 0,x 1 ]= f [x, x 0] f [x 0,x 1 ] x x 1 f(x) =f(x 0 )+(x x 0 ) f [x 0,x] (4) f [x, x 0 ]=f [x 0,x 1 ]+(x x 1 ) f [x, x 0,x 1 ], (5) respectivamente Então, substituindo (5) em (4), vem f(x) =f(x 0 )+(x x 0 ) f [x 0,x] = f(x 0 )+(x x 0 )(f [x 0,x 1 ]+(x x 1 ) f [x, x 0,x 1 ]) = f(x 0 )+(x x 0 ) f [x 0,x 1 ]+(x x 0 )(x x 1 ) f [x, x 0,x 1 ] 12

14 Procedendo sucessivamente deste modo, utilizando o facto que da diferença de ordem k +1, f [x, x 0,,x k ]= f [x, x 0,,x k 1 ] f [x 0,x 1,,x k ], x x k se conclui que f [x, x 0,,x k 1 ]=f [x 0,x 1,,x k ]+(x x k ) f [x, x 0,,x k ], facilmente se obtém Isto é, onde f(x) =f(x 0 )+(x x 0 ) f [x 0,x 1 ]+(x x 0 )(x x 1 ) f [x 0,x 1,x 2 ] + +(x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) f [x 0,,x n ] +(x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) f [x, x 0,,x n ] f(x) =p n (x)+r n (x) (6) n 1 p n (x) =f(x 0 )+ (x x 0 ) (x x i ) f [x 0,,x i+1 ] i=0 éopolinómio interpolador de Newton com diferenças divididas e De notar que ou seja, R n (x) =(x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) f [x, x 0,,x n ] n 2 p n (x) =f(x 0 )+ (x x 0 ) (x x i ) f [x 0,,x i+1 ] i=0 +(x x 0 ) (x x n 1 ) f [x 0,,x n ], p n (x) =p n 1 (x)+(x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) f [x 0,,x n ] O interesse prático desta fórmula resulta de possibilitar a construção recursiva do polinómio interpolador De facto, quando se acrescenta um ponto ao suporte de interpolação, há somente que adicionar uma parcela ao polinómio obtido anteriormente O erro de interpolação obtém-se da igualdade (6): f(x) p n (x) =R n (x) =(x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) f [x, x 0,x 1,x 2,,x n ] 13

15 No caso de f(x) ser n +1 vezes diferenciável no intervalo [a, b], em que [a, b] éomenorintervaloquecontémx, x 0,x 1,x 2,,x n, pode-se aplicar a propriedade 4 acima Para algum ξ tal que a < ξ < bverifica-se que f(x) p n (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x n ) f (n+1) (ξ) (n +1)! (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) max f (n+1) (x) a<x<b (n +1)! }{{} M = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) M Exemplo 5 Consideremos a função f(x) = x nos pontos (1, 1), (3, 1732), (4, 2) e (5, 2236) Construa-se a tabela das diferenças divididas x f(x) f [, ] f [,,] f [,,,] Pretende-se calcular aproximadamente f(2) pela fórmula interpoladora O polinómio interpolador é p 3 (x) =1+(x 1) (x 1) (x 3) ( 00327) +(x 1) (x 3) (x 4) = x 00663x x 3 O valor aproximado de f(2) é f(2) p 3 (2) = =14071 O erro cometido vem f(2) p 3 (2) = =00071 correspondendo a uma percentagem de erro da ordem dos 5% 14

16 5 Diferenças finitas A introdução de operadores de diferenças finitas permite obter resultados vantajosos Conhecida uma função f(x) nos pontos (x i,f(x i )),i=1,,n, definiremos as diferenças descendentes (ou progressivas) e ascendentes (ou regressivas) Suponhamos que os nós de interpolação x 0,x 1,,x n se encontram ordenados na forma x 0 <x 1 < <x n As diferenças descendentes e ascendentes são usadas quando os nós de interpolação são equidistantes, isto é, quando ou, de forma equivalente, x i+1 = x i + h, 0 i n 1 x i+1 = x 0 + ih, 0 i n 1, sendo h o passo (distância entre quaisquer dois nós consecutivos) De notar que as diferenças divididas se usam quer os nós de interpolação sejam ou não equidistantes Definição 2 Designa-se, respectivamente, diferença descendente (ou progressiva) de primeira ordem de f(x), para x = x i, à seguinte quantidade: f(x i )= f i = f(x i+1 ) f(x i ) De um modo geral, a diferença descendente de ordem k (k 2) de f(x), para x = x i, define-se por Por exemplo, 2 f i = 2 f i = f i+1 f i, k f i = ( ) k 1 f i = k 1 f i+1 k 1 f i 2 f i = f i+1 f i = f i+2 f i+1 (f i+1 f i )=f i+2 2f i+1 + f i e 3 f i = 2 f i+1 2 f i = f i+2 f i+1 ( f i+1 f i ) =(f i+3 2f i+2 + f i+1 ) (f i+2 2f i+1 + f i ) = f i+3 3f i+2 +3f i+1 f i 15

17 Prova-se, em geral, que k f i = k 1 f i+1 k 1 f i = k ( ) k ( 1) j f i+k j j j=0 Denominam-se diferenças descendentes pois diferenças do mesmo índice, de ordem superior, encontram-se em posição descendente na tabela x f(x) 2 3 x 0 f(x 0 ) f 0 x 1 f(x 1 ) 2 f 0 x 2 f(x 2 ) f 1 3 f 0 2 f 1 f 2 x 3 f(x 3 ) Definição 3 Designa-se, respectivamente, diferença ascendente (ou regressiva) de primeira ordem de f(x), para x = x i, à seguinte quantidade f(x i )= f i = f(x i ) f(x i 1 ) De um modo geral, a diferença ascendente de ordem k (k 2) de f(x), para x = x i, define-se por Por exemplo, 2 f i = 2 f i = f i f i 1, k f i = ( ) k 1 f i = k 1 f i k 1 f i 1 2 f i = f i f i 1 = f i f i 1 (f i 1 f i 2 )=f i 2f i 1 + f i 2 e 3 f i = 2 f i 2 f i 1 =(f i 2f i 1 + f i 2 ) (f i 1 2f i 21 + f i 3 ) = f i 3f i 1 +3f i 2 f i 3 16

18 Prova-se, em geral, que k f i = k 1 f i+1 k 1 f i = k ( ) k ( 1) j f i j j j=0 Denominam-se diferenças ascendentes ou regressivas pois diferenças do mesmo índice, de ordem superior encontram-se em posição ascendente na tabela: x f(x) 2 3 x 0 f(x 0 ) f 1 x 1 f(x 1 ) 2 f 2 f 2 3 f 3 x 2 f(x 2 ) 2 f 3 f 3 x 3 f(x 3 ) Podem-se estabelecer algumas propriedades das diferenças finitas, relacionálas com as diferenças divididas e realçar algumas das propriedades das diferenças de um polinómio Com efeito, verifica-se: 1 f i = f i+1 2 n f i = n f i+n 3 f n = f 0 + n 1 f i i=0 4 Quando os nós de interpolação são equidistantes de passo h, n f i = n!h n f [x i,x i+1,x i+2,,x i+n ], n f i = n!h n f [x i,x i 1,x i 2,,x i n ], i 0 5 Se f(x) é uma função com derivada de ordem n contínua num intervalo [a, b] que contém n +1nós de interpolação distintos x 0,x 1,x 2,,x n, de passo h, então, para x [a, b], n f(x) = f (n) (ξ),paraalgumξ ]a, b[ n! 17

19 6 A diferença de 1 a ordem de um polinómio de grau n é um polinómio de grau n 1 7 A diferença de ordem n de um polinómio de grau n, p n (x) =a 0 +a 1 x+ a 2 x a n x n, éumaconstantedadapor n p n (x) =a n n!h n 8 Se as diferenças de ordem k de uma função f(x) são iguais e não nulas, então existe um e um só polinómio de grau k que toma os mesmos valores tabelados (k n) Exemplo 6 Construa-se a tabela de diferenças divididas de f(x) =log 10 x, para os seguintes valores de argumento 1, 3, 5, 7, 9 x f(x) f [, ] f [,,] f [,,,] f [,,,,] Pela tabela, f [1, 3, 5, 7, 9] = Pela 4 a propriedade anterior tem de se verificar que 4 f 1 =4!h 4 f [x 0,x 1,x 2,x 3,x 4 ]=4!2 4 f [1, 3, 5, 7, 9] Construa-se a tabela das diferenças não divididas x f(x)

20 Como 4 f 1 = = , tem-se 4 f 1 4!h = = = f [1, 3, 5, 7, 9] Devemo-nos lembrar, no entanto, que os valores tabelados não são exactos mas sim arredondados à 5 a casa décimal Exemplo 7 Seja p 3 (x) =x 3 A diferença de primeira ordem do polinómio vem p 3 (x) =p 3 (x + h) p 3 (x) =(x + h) 3 x 3 = x 3 + h 3 +3x 2 h +3xh 2 x 3 = h 3 +3x 2 h +3xh 2 que é um polinómio de grau 2 como seria de esperar pela 4 a propriedade Exemplo 8 Se considerarmos a tabela da função x f(x) as diferenças de 3 a ordem são constantes Então as diferenças de ordem superior são nulas O polinómio p(x) de grau 3 que toma os mesmos valores nos pontos tabelados é tal que o coeficiente do termo de maior grau vem 3 =96=a 3 3! 2 3 = a 3 =2= p(x) =2x Fórmulas interpoladoras de Gregory-Newton Quando os nós de interpolação x 0,x 1,,x n, estão igualmente espaçados, pode-se usar a relação n f i = n!h n f [x i,x i+1,x i+2,,x i+n ] 19

21 de forma a simplificar o polinómio interpolador Substituindo f[x 0,x 1,x 2,, x i ] por i f 0 no polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas obtemos a fórmula interpoladora de Gregory-Newton progressiva: i!h i n p n (x) =f(x 0 )+ (x x 0 ) (x x i 1 ) i f 0 i!h i Fazendo a mudança de variável i=1 x = x 0 + θh θ = x x 0 h e, lembrando que os nós de interpolação estão igualmente espaçados, surge a fórmula interpoladora de Gregory-Newton progressiva na versão mais usual: p n (x) =f 0 + θ f 0 + θ (θ 1) 2 f 0 + θ (θ 1) (θ 2) 3 f 0 + 3! + θ (θ 1) (θ 2) (θ (n 1)) n f 0 n! Pode-se obter um polinómio interpolador semelhante mas usando diferenças ascendentes ou regressivas Para isso basta usar a relação n f i = n!h n f [x i,x i 1,x i 2,,x i n ] de forma a simplificar o polinómio interpolador de Newton às diferenças divididas Substituindo agora f [x 0,x 1,x 2,,x n ] por i f n no polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas obtemos a fórmula interpoladora n!h n de Gregory-Newton regressiva n ) p n (x) =f(x n )+ (x x n ) (x i f n x n (i 1) i!h i Por mudança de variável i=1 x = x n + θh θ = x x n h e, lembrando que os nós de interpolação estão igualmente espaçados, surge a fórmula interpoladora de Gregory-Newton regressiva na forma mais utilizada: p n (x) =f n + θ f n + θ (θ +1) 2 f n + θ (θ +1)(θ +2) 3 f n + 3! + θ (θ +1)(θ +2) (θ +(n 1)) n f n n! 20

22 Exemplo 9 Considerando o suporte de interpolação {( 2, 25), (0, 3), (2, 7), (4, 83), (6, 327)} calcule-se o valor aproximado de f( 1) edef(45) Construa-se a tabela de diferenças não divididas x f(x) \ 2 \ 2 3 \ 3 4 \ Note-se que, para obter o polinómio interpolador, usando Gregory-Newton progressiva, a escolha entre 2 ou 0 para x 0 é indiferente pois as diferenças de 4 a ordem são nulas e o polinómio interpolador é de 3 o grau Seja x 0 = 2 Então e θ = x x 0 h = x +2 2 p 3 (x) = 25 + θ 28 + θ (θ 1) ( 24) + θ (θ 1) (θ 2) 96 3! Para obter os valores aproximados de f( 1) e f(45) basta calcular o valor de θ para cada caso Para x = 1 vem x = 1 θ = x x 0 h = =05 f( 1) p 3 ( 1) = (05 1) (05 1) (05 2) 96 3! = 2 21

23 Para x =45 vem x =45 θ = x x 0 h = =325 f(45) p 3 (45) = (325 1) (325 1) (325 2) 96 3! =1245 Vamos obter exactamente os mesmos resultados ao usarmos a fórmula de Gregory-Newton regressiva Basta lembrar que o polinómio interpolador é único A escolha de 4 ou 6 para x n é indiferente pois as diferenças de 4 a ordem são nulas e o polinómio interpolador é de 3 o grau Seja x n =6 Então e θ = x x n h = x 6 2 p 3 (x) =327+θ θ (θ +1) (168) + θ (θ +1)(θ +2) 96 3! Para obter os valores aproximados de f( 1) e f(45) basta calcular o valor de θ para cada casopara x = 1 vem x = 1 θ = x x n h = = 35 f( 1) p 3 ( 1) = ( 35+1) ( 35+1)( 35+2) 96 3! = 2 Para x =45 vem x =45 θ = x x n h = = 075 f(45) p 3 (45) = ( ) ( ) ( ) 96 3! =1245 Note-se que, à semelhança das fórmulas de Gregory-Newton, também o polinómio interpolador de Lagrange pode ser obtido directamente do polinómio 22

24 interpolador de Newton para diferenças divididas recorrendo à propriedade já indicada atrás, n f i f [x 0,x 1,x 2,,x n ]= n i=0 (x i x j ) j=0,j i Sabendo que existem várias fórmulas para obter o polinómio interpolador, é importante relembrar que o polinómio interpolador é único, independentemente do método escolhido Antes de passarmos à interpolação inversa, urge colocar uma questão Será que, ao aumentar o número de pontos do suporte de interpolação num certo intervalo, o polinómio interpolador obtido melhora as estimativas da função? A resposta à questão é um pouco delicada Para x 0,x 1,x 2,,x n escolhidos criteriosamente e funções f(x) regulares o erro de interpolação decresce à medida que n aumenta Para algumas funções f(x) a sequência dos polinómiosobtidoséconvergente paratodososargumentos x Para outras funções essa convergência é limitada a um intervalo restrito Nesta situação, o erro de interpolação tende para zero na parte central do intervalo considerado e tende a oscilar fortemente nos extremos desse mesmo intervalo Este comportamento é uma severa restrição ao uso de polinómios interpoladores com grau elevado 7 Interpolação inversa Dadosospontos(x i,y i )=(x i,f(x i )), 0 i n, é frequente querermos calcular x dado y = f(x) y i É o que acontece quando, por exemplo, queremos determinar uma raiz de f(x) a partir dos valores tabelados (x i,f(x i )), 0 i n Este problema denomina-se interpolação inversa Como é óbvio,oproblemadainterpolaçãoinversaexigequeafunçãosejaunivocamente determinada para um certo intervalo de valores do argumento A maneira mais usual de resolução do problema da interpolação inversa éporinversão de tabela Para o suporte (y i,x i ) = (y i,f 1 (y i )), 0 i n, comy i y j (i j) existirá um polinómio interpolador p n (y) que interpola a função inversa x = f 1 (y) =g(y), caso ela exista obviamente Para a obtenção do polinómio interpolador pode-se escolher qualquer dos métodos indicados sendo importante verificar se o argumento y 0,y 1,y 2,,y n são equidistantes O mais usual é usar a fórmula interpoladora de Newton com diferenças divididas p n (y) =x 0 +(y y 0 ) g [y 0,y 1 ]+ +(y y 0 ) (y y n 1 ) g [y 0,,y n ] 23

25 Exemplo 10 Considere a tabela função da f(x) =senx cos x eindiqueo valor da sua raiz: x f (x) Estamos perante um problema de interpolação inversa Admita-se que f(x) é contínua Como muda de sinal quando passa de x =06 para x =08 a raiz está em (06, 08) Sendo a função crescente para os valores tabelados, podemos admitir que é injectiva e invertível no intervalo (06, 12) Numa primeira fase trocamos as colunas Depois passamos ao cálculo das diferenças divididas pois y 0,y 1,y 2,y 3 não são equidistantes y x = g(y) g [, ] g [,,] g [,,,] O polinómio interpolador vem p 3 (y) =x 0 +(y y 0 ) g [y 0,y 1 ]+(y y 0 )(y y 1 ) g [y 0,y 1,y 2 ] +(y y 0 )(y y 1 )(y y 2 ) g [y 0,y 1,y 2,y 3 ] =06+[y ( 02607)] [y ( 02607)] (y 00206) [y ( 02607)] (y 00206) (y 03012) = y y y 3 Como se pretende o valor aproximado da raiz então x = p 3 (0) = Sabendo que função tabelada é f(x) =sinx cos x, pode-se obter o valor exacto da raiz, f(x) =0 sin x cos x =0 sin x =cosx x = kπ + π,k inteiro 4 Ora x assume valores no primeiro quadrante x = π 4 =

26 O erro cometido é Exemplo 11 Considere-se a tabela da função distribuição de probabilidade y = f(x) = 2 π x 0 e x2 dx, x f (x) Para que quantil (valor de x), afunçãodistribuiçãoatinge50%? Efectue-se a interpolação quadrática inversa, recorrendo à fórmula interpoladora de Newton y x = g(y) g [, ] g [,,] p 2 (y) =x 0 +(y y 0 ) g [y 0,y 1 ]+(y y 0 )(y y 1 ) g [y 0,y 1,y 2 ] =047 + (y ) (y )(y ) = y y 2 O quantil obtido para a acumulada correspodente ao valor 50% é x = p 2 (05) = = À semelhança da interpolação directa, pode-se obter a expressão para o majorante do erro de interpolação, com ξ pertencente ao menor intervalo que contenha y 0,,y n, f 1 (y) p n (y) =g (y) p n (y) = 25 n j=0 (y y j ) g(n+1) (ξ) (n +1)!

27 É necessário que se conheça g(x) e que as suas derivadas sejam bem comportadas A inversão de tabela não é a única abordagem possível para a interpolação inversa Uma outra alternativa é o método das aproximações sucessivas Consideremos que estamos a resolver a equação f(x) =C (7) em que C é uma constante real e suponhamos que f(x 0 ) C e f(x 1 ) C têm sinais opostos e que f(x) é uma função contínua Suponha-se também os nós de interpolação x 0,x 1,,x n, são equidistantes de passo h Utilizando o polinómio interpolador de Gregory-Newton progressivo, resolver (7) equivale a determinar θ =(x x 0 )/h tal que, p n (x) =f 0 + θ f 0 + θ (θ 1) 2 f 0 Esta igualdade pode ser reescrita na forma + θ (θ 1) (θ 2) 3 f 0 3! + = C ou onde θ f 0 = C f 0 θ (θ 1) 2 f 0 ϕ (θ) = 1 f 0 θ = ϕ (θ) θ (θ 1) (θ 2) 3 f 0 3!, ( ) C f 0 θ (θ 1) 2 f 0 θ (θ 1) (θ 2) 3 f 0 3! A equação θ = ϕ (θ) sugere o processo iterativo θ i+1 = ϕ (θ i ),comθ 0 = C f 0 f 0 Note-se que o valor inicial do processo iterativo corresponde à interpolação linear As iteradas seguintes correspondem ao aparecimento de mais termos na função ϕ, normalmente mais um, calculados com o valor da iterada anterior O processo pára quando algum critério de paragem pré-definido for verificado Exemplo 12 Considere novamente a tabela da função f(x) =sinx cos x x f (x)

28 e obtenha uma aproximação para a raiz de forma que a diferença entre iteradas sucessivas seja inferior a uma milésima Já se discutiu o facto da função ser univoca no intervalo dos argumentos Como os nós de interpolação são equidistantes de passo h =02 pode-se obter o polinómio interpolador de Gregory-Newton Construa-se a tabela de diferenças não divididas x f(x) \ 2 \ 2 3 \ O polinómio interpolador vem p 3 (x) =f 0 + θ f 0 + θ (θ 1) 2 f 0 Como se pretende obter a raiz do polinómio tem-se + θ (θ 1) (θ 2) 3 f 0 3! p 3 (x) =C =0 f 0 + θ f 0 + θ (θ 1) 2 f 0 A iterada inicial corresponde a interpolação linear, ie, + θ (θ 1) (θ 2) 3 f 0 3! f 0 + θ 0 f 0 =0 θ 0 = f 0 = f = A segunda aproximação surge de =0 e f 0 + θ 1 f 0 + θ 0 (θ 0 1) 2 f 0 =0 θ 1 = 1 ( ) f 0 θ 0 (θ 0 1) 2 f 0 f 0 = 1 ( ( ) ) = O critério de paragem está verificado: θ 1 θ 0 = = <

29 O valor aproximado da raiz resulta de x = x 0 + θh, logo x = x 0 + θ 2 h = = Se o critério de paragem não fosse satisfeito, a segunda iterada correspondia a considerarmos mais um termo no polinómio interpolador, correspondente àdiferençade3 a ordem: e f 0 + θ 2 f 0 + θ 1 (θ 1 1) 2 f 0 θ 2 = 1 ( f 0 θ 1 (θ 1 1) 2 f 0 f 0 + θ 1 (θ 1 1) (θ 1 2) 3 f 0 3! =0 ) θ 1 (θ 1 1) (θ 1 2) 3 f 0 3! Consegue-seigualmentededuzirummajorantedoerrodeinterpolação para o método das aproximações sucessivas No entanto, é mais importante realçar que os resultados obtidos pelos dois métodos são, em geral, diferentes É natural que o sejam pois por inversão de tabela usa-se um polinómio em y e por aproximações sucessivas recorre-se a um polinómio em x Os dois métodos são idênticos no caso da interpolação linear Referências [1] Carpentier, M P J, Análise Numérica-Teoria, Sebenta editada pela AEIST em Fev 1993 [2] Rosa,M & Graça, M, Tópicos de Análise Numérica, Universidade de Aveiro, 1992 [3] Dahlquist & Bjork, Numerical Methods, Prentice Hall, 1974 [4] Conte, S D & Boor, C, Elementary Numerical Analysis, McGraw-Hill, 1980 [5] Gerald, C e Wheatley, P, Applied Numerical Analysis, Addison-Wesley, 1997 [6] Lindfield, G e Penny, J, Numerical Methods Using Matlab Ellis Horwood, 1995 [7] Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics (Cap 17 e 18), Willey, 1999 (Livro de texto) [8] Pina, Heitor, Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 1995 [9] Moreira, M, Apontamentos de Métodos Numéricos, EST,