MATEMATICA FINANCEIRA

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1 MATEMATICA FINANCEIRA ADM - FACMIL PROF. ITALO DE PAULA MACHADO

2 2 1. MATEMATICA FINANCEIRA A matemática financeira é a matéria do curso de Administração que lhe fornecerá recursos e métodos para analise do capital no tempo. Estas ferramentas aliadas à contabilidade, ao marketing, estatística e outras mais farão com que você tenha uma visão da empresa como um todo em um dado momento, facilitando assim uma tomada de decisão. Será que posso crescer agora? Ou será que renovo minha frota daqui seis meses? Devo comprar aquela maquina que tanto queria para minha produção ou apenas reforma a velha? A tomada de decisão dentro de uma empresa não pode ser feita baseada na sorte ou apenas na intuição, mas sim fundamentada em dados concretos, principalmente as que envolvam recursos financeiros. Para o estudo da matemática financeira devemos ter alguns conceitos bem definidos: DEFINIÇÕES C apital (PV) Valor com o qual fazemos operações financeiras, em alguns livros mais antigos utilizam esta nomenclatura de capital, porem hoje em dia se usa mais o Valor Presente (VP). O capital pode ser definido também como principal. Valor Presente, em língua inglesa Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV, ou no Excel na função financeira, portanto utilizaremos PV esta definição. Lembrando que valor presente se referiu ao capital inicial, ou seja na data zero, caso se faça um fluxo de caixa veremos o PV deve estar no inicio do mesmo. FV PV Valor Futuro Ë o PV acrescido de juros, ou simplesmente montante, no fluxo de caixa este só pode ser colocado no final. No estudo de descontos, as promissórias, cheques pré-datados, títulos etc, sempre serão tomados como FV. FV PMT i PV Prestação, parcela, anuidade, mensalidade ou ainda termo, é função com a qual calculamos as mesmas. No excel esta função esta definida como pagamento (Pgto). Taxa percentual é razão pela qual o PV ou capital será remunerado ou descontado. Quando se usa uma fórmula para calcular juros ou desconto a taxa deve ser usada na forma unitária. Toda taxa refere-se a uma unidade de tempo. Ex. i = 5% = 0,05 (taxa unitária). Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 2

3 n Significa o tempo que será usado na operação financeira, mês, ano, bimestre, trimestre, etc. Quando resolvemos um problema financeiro devemos observar o tempo a que se refere a taxa e o tempo da operação, os dois devem estar na mesma unidade, caso isto não esteja acontecendo devemos transformar o tempo ou a taxa, ambos para mesma unidade de tempo. 3 Descontos Simples e Desconto Composto. Este conjunto de teclas acima são principais teclas financeiras. CRITERIOS DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação. ANO SALDO NO INICO DE CADA ANO JUROS APURADOS PARA CADA ANO SALDO AO FINAL DE ANO CRESCIMENTO ANUAL DO SALDO ,00 100, O regime de capitalização composta comporta-se como uma (PG), crescendo os juros de forma exponencial ao longo do tempo. Neste critério os juros se incorporam ao capital (Valor Presente) ao final de cada período de capitalização, assim sendo em todo inicio de cada período você sempre terá um novo capital. ANO SALDO NO INICO DE CADA ANO SALDO AO FINAL DE ANO JUROS APURADOS A CADA ANO , ,00 100, , ,00 110, , ,00 121, , ,10 133, , ,51 146,41 Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 3

4 4 TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS DIA DO MES JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 4

5 5 EQUIVALENCIA DE TEMPO Para efeito de cálculos o mês comercial tem 30 dias e o ano 360 dias, porém devemos saber fazer as conversões usuais: 1 mês = 30 dias 1 bimestre = 2 meses = 60 dias 1 trimestre = 3 meses = 90 dias 1 quadrimestre = 4 meses = 120 dias 1 semestre = 6 meses = 180 dias 1 ano = 12 meses = 360 dias 1 semestre = 2 trimestres = 3 bimestres, dentre outras possíveis. USO BÁSICO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C A calculadora HP-12C é possivelmente a máquina financeira mais popular no; mundo das finanças. Ela possui até três funções por tecla: brancas, laranjas e azuis. As funções brancas automáticas, ou seja apertando-se a tecla esta função será ativada e as amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas para ativa-las é necessário que se pressione antes a tecla (f) para ativar as funções laranjas e (g) para as funções azuis. Algumas operações básicas na HP-12C: Ligar e desligar a calculadora: on Apagar o que tem no visor: Clx Apagar o conteúdo de todos os registros: (f) REG Apagar o conteúdo das memórias financeiras: (f) FIN Introduzir um número: número + ENTER Operações básicas: (número) ENTER (número) operação ex: 12 ENTER 43 + = 55 Potenciação: (número) ENTER (potência) (y x ) ex: 5 elevado a 3, 5 ENTER 3 y x 125 Raiz, qualquer raiz pode se transformada em uma potência de índice fracionário: (número) ENTER (número) (1/x) (y x ) ex: raiz sétima de > 2187 ENTER 7 (1/X) (Y X ) 3. Armazenar um número na memória: (número) ENTER (número da memória onde quer armazenar de 0 a 9 ou ainda de.0 a.9). Buscar um número na memória: (RCL) (número da memória onde foi armazenado). Fixar quantidade de casas decimais: (f) (número de casas decimais desejados). Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 5

6 6 Entrada da taxa Valor Presente, capital inicial Esta tecla é usada para calcular ou informar o valor de prestações, parcelas, etc. Valor Futuro ou montante Esta tecla é usada para se inverter o valor de um número. Entrada do tempo Com esta tecla se calcula o percentual de um determinado valor. A tecla f aciona as funções em laranja e a tecla g as funções em azul. Limpa o visor, quando acionado após a tecla f, apaga toda a memória da calculadora Tecla usada para entrada de dados Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 6

7 7 2. TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razões centesimais: ,9,, e O símbolo % significa que o valor está dividido por 100. Assim, existem duas formas básicas de notação de valores: Taxa percentual: exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação algébrica imediata. Por exemplo: = 30%; = 4%; = 135% e ,9 = 27,9% 100 As expressões 30%, 4%, 135% e 27,9% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Taxa unitária: exibe o número puro, permitindo operações algébricas. Por exemplo: = 0,3; = 0,04; = 1,35 e ,9 = 0, Porcentagem: é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos 1. Converta para a forma percentual: a) 0,57 = 57% b) 2,08 = 208% c) 0,02 = 2% 2. Converta para a forma unitária: a) 163% = 1,63 b) 2.107% = 21,07% c) 12% = 0,12 3. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por: % Um CD é vendido por R$ 25,00. Se seu preço fosse aumentado em 15%. Quanto passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preço original, quanto o CD passaria a custar? - Aumento: Preço = ,15 x 25 = 25. (1 + 0,15) = 25. 1,15 = R$ 28,75 - Desconto: Preço = 25 0,15 x 25 = 25. (1 0,15) = 25. 0,85 = R$ 21,25 Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 7

8 8 FATOR DE MULTIPLICAÇÃO: a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 EXERCÍCIOS 1. Calcular os valores de: a) 10% de ,2% de 17 b) 5,3% de 18,45 3,4% de 2,7 c) 0,4% de ,6% de 234,25 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de De uma classe com 40 alunos, 35% são rapazes. Quantos rapazes e quantas moças há na classe? 3. O preço de venda de um CD é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o CD se a loja anunciar: a) Um desconto de 12%? b) Um acréscimo de 5%? 4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 5. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto? 6. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro? Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 8

9 9 7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor da venda das propriedades? 8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos? 9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250,00. Qual a taxa de desconto 10. Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões: a) d) 80 e) 0,125 b) 1 20 c) Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível: a) 80% b) 25,2% c) 0,48% 2 d) % 3 1 e) 2 % 4 É importante lembrar que em todas as formulas financeiras se deve usar sempre a taxa unitária. FATOR DE MULTIPLICAÇÃO: a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 9

10 TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. i ' i n ' n Exemplo Calcule a taxa mensal proporcional a 24%aa. R. 24/12 = 2 %am Exercícios 1) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9%at b) 24 % as c) 0,04 ad 2) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 1,5 %am b) 8%at c) 21%as d) 0,05%ad OBS: NA RESOLUÇÃO DE QUALQUER PROBLEMA FINANCEIRO DEVEMOS OBSERVAR AS UNIDADES DE TEMPO DA TAXA E DO PROPRIO TEMPO, POIS AMBAS DEVEM SE REFERIR À MESMA UNIDADE DE TEMPO. Abreviaturas empregadas na notação das taxas Abreviatura a.d. a.m. a.b. a.t. a.q. a.s. a.a. Significado ao dia ao mês ao bimestre ao trimestre ao quadrimestre ao semestre ao ano Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 10

11 11 FLUXO DE CAIXA O diagrama de fluxo de caixa (DFC) representa graficamente a movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa). Os principais aspectos do diagrama de fluxo de caixa são: a escala horizontal representa o tempo o tempo (dias, semanas, meses, anos etc); o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de períodos passados; as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sinal positivo e são representadas por setas apontadas para cima. as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são representadas por setas apontadas para baixo. Operação de Empréstimo Aplicação Operação de Valor Presente (C) Período de capitalização Valor Futuro (M) Valor Presente + juros 0 n 0 n Valor Futuro (M) Valor Presente + juros Período de capitalização Valor Presente (C) Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um empréstimo contraído por alguém no valor de $ 300,00 que será quitado mediante o pagamento de $ 340,00, daqui a seis meses, pode ser visto a seguir. Valor Presente (C) C = + $ 300,00 0 n = 6 meses Exercícios Valor Futuro (M) M = - $ 340,00 1. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de $ 500,00 que será resgatado em 3 parcelas iguais, mensais, no valor de $ 200, Uma empresa pensa em abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial igual a $ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em $ 80,00 e as receitas em $ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operação. Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 11

12 12 3. Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir: Ano Fluxo de caixa 0 700, , , , , ,00 3. JUROS Do Aurélio: 1. Econ. Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, geralmente expressa como porcentagem da soma emprestada: 2. Ant. Econ. Rendimento de capital investido; interesse. [M. us. no pl.] 3. Fam. Recompensa (2) ANALISE DOS JUROS NO TEMPO Em relação ao tempo nós poderemos ser credores ou devedores dos juros CREDOR Seremos credores dos juros, quando investimos nosso capital, para futuramente desfrutamos desse rendimento. Por exemplo: Quero fazer uma viajem no final do ano e para tanto guardamos parte do meu salário em uma renda fixa. No final terei o credito dos juros e poderei gozar de minha tão sonhada viajem DEVEDOR Seremos devedores dos juros, quando temos a necessidade de algo, ou queremos muito gozar de algum bem, como por exemplo um carro, um som novo, etc. Por exemplo: Vou sair de férias do meu emprego e quero muito viajar para uma praia no nordeste, porém não tenho o dinheiro suficiente, para que eu possa fazê-la, financio-a em 10 pagamentos. A partir do momento que comprei algo financiado, passei a ser devedor. Agora você já tem condições de tomar a decisão de ser credor ou devedor dos juros. Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 12

13 JUROS SIMPLES É o juros que incide apenas no principal ou capital inicial ou ainda no valor presente, ou seja mesmo decorridos vários períodos de capitalizações, sempre calcularemos o juros tomando como base o valor presente. Fórmula J = PV.i.n Exemplos 1) Se eu aplicar R$ 1.540,00 durante 6 meses a uma taxa de 2%a.m., quanto terei de juros simples? Nas resoluções dos problemas financeiros procure primeiro identificar todos os dados do problema, para depois equaciona-lo. PV = n = 6 m i = 2 % = 0,02 2) Durante quanto tempo devo deixar aplicado meu dinheiro que é R$ 3.490,00, sabendo que meu gerente me ofereceu uma taxa de 1,2%am, para que eu tenha R$ 5.000,00. 3) Paulo aplicou R$ 3.560,00 em 02/01/06 e resgatou em 06/04/2006 o valor de R$ 5.430,00, o que proporcionou a Paulo comprar uma moto, calcule a taxa de juros supondo que o sistema de capitalização seja simples. 4) Calcule o juros de um capital que ficou aplicado durante 2,25 anos, sabendo que a taxa é de 7,2%a.s. e que o valor aplicado foi de R$ 1.560, VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO: Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: No entanto, sabe-se que: Assim, O valor de C pode ser obtido por: FV = PV + J J = PV. i. n FV = PV + PV. i. n FV = PV(1 + i. n) Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 13

14 14 FV PV 1 i n O valor de i pode ser obtido por: FV 1 PC i n O valor de n pode ser obtido por: FV 1 PV n i EXERCÍCIOS 1. Um capital de $ ,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês no RCS, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.r: J = 6.000,00 2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ ,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.r: C = ,00 3. Um capital de $ ,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação.r: i = 2,2% 4. Uma aplicação de $ ,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ ,00. Calcular o prazo da aplicação.r: n = 6 meses 5. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.r:m = $3.900,00 6. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação?r: C = $ 500, O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação.r: i =0,20 = 20% 8. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a.m. regime de capitalização simples. Qual a duração da operação?r: i = 48,53 Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 14

15 15 4. DESCONTO Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado (pago) antes do vencimento. É uma operação habitual no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de um título de crédito, tais como letras de cambio, notas promissórias, cheques-predatados, etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da data de vencimento. O banco, a factoring ou financeira, naturalmente, liberam uma quantia menor do que o valor nominal (FV) do título. Na operação de desconto devemos ter bem definido o Valor Futuro (FV), que é o valor do título na data de seu vencimento. Todo título, cheque-pre, nota promissória, letra de cambio, etc, sempre serão definidos como FV(valor futuro), quando descontados, pagos ou liquidados, ai sim estes valores passarão a ter PV (Valor Presente). Pela sistemática da capitalização simples, o desconto pode ser classificado em duas modalidades: desconto racional simples (desconto por dentro) e desconto comercial simples (desconto por fora). FV (título no seu vencimento) 0 PV (título quando resgatado) 4.1 DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) É o valor equivalente ao juros simples produzido sobre o valor nominal ou FV quando se aplica sobre ele as mesmas condições, ou seja aplicando-se o FV à mesma taxa e mesmo tempo. Formula d = FV.i.n. PV = FV(1 in) Ex. 1) Quero descontar um título de R$ 3.400,00 que vencerá em 90 dias, o banco me cobra uma taxa de 3,8% am. Qual o valor do desconto? 2) Tenho um lote de cheques-pre no valor de R$ 5.000,00 para 60 dias. A que taxa devo negociá-los para que eu receba no mínimo R$ 4.770,00? Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 15

16 DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) É equivalente aos juros produzido pelo PV- valor presente ( valor liquido), no mesmo tempo e taxa do desconto. d r = FV. i. n 1 i. n ou d r = FV PV PV r = FV 1 i. n Em comparação com o desconto comercial o desconto racional é ligeiramente menor. Ex: 1) Calcular o desconto racional de um título de R$ 1.500,00 que será resgatado 60 dias antes do vencimento, sabendo que a taxa de 2,3%. 2) Qual o valor liquido que receberei se descontar um cheque-pre para 45 dias se a taxa cobrada é de 1,9%am., se o desconto for racional? 3) Quantos dias antes do vencimento eu devo descontar um título de R$ ,00, à taxa de 3,2%am., para que eu receba R$ ,00? 4.3 TAXA DE JURO EFETIVA A taxa de juros que no período n torna o capital PV igual ao montante FV é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva. Estas fórmulas só deverão ser usadas para desconto comercial. i d f PV. ou n i i. f 1 i. n Exemplo 1) Se eu tenho um titulo no valor de R$ 9.000,00, e pretendo descontá-lo 75 dias antes de seu vencimento a uma taxa de 1,8%am, qual o valor que devo receber? 2) Em uma operação de desconto comercial de um título com prazo de 75 dias o banco cobra uma taxa de 2,9%am. Qual é a taxa efetiva nesta operação? 3) Um título de R$ ,00 teve um desconto de R$ 498,00, se a taxa negociada foi 2,3%am, calcule o prazo da operação e a taxa efetiva de juros. 4) Calcule as taxas efetivas para as taxas e prazos abaixo: a) i = 2,3%am. ; 5 meses b) i = 2,3% am ; 3 meses Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 16

17 17 c) i = 1,8%ab. ; 10 meses d) i = 4,5%am; 2 meses 5) Um título foi descontado à taxa de 2%a.m. Sabendo-se que o valor nominal era R$ 7.144,40 e o valor descontado racional R$ 6.740,00, qual o prazo de antecipação? 6) Calcule o valor nominal de uma duplicata que, descontada por dentro, à taxa de 78%a.a., 60 dias antes do vencimento, resultou num líquido de R$ ,00. 7) Uma duplicata de valor nominal de $ 9000,00 é descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 5%a.m., pese-se: a) o desconto comercial b) o valor liquido recebido c) a taxa efetiva de juros 8) Sr. Paulo teve creditado na conta de sua empresa o valor de R$ ,00 referente ao desconto de um lote de duplicatas com valor de R$ ,00 que venceriam em 75 dias. Qual foi a taxa negociada? 9) Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 120,75, a taxa de 6%aa, 4 meses antes do vencimento? Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 17

18 18 TRABALHO MATEMATICA FINANCEIRA PROF. ÍTALO 1) Um valor aplicado a juros simples durante 4 meses,formou o montante de $450,00.Sabendo que, quando estiver aplicado durante 11 meses,o saldo será de $611,00,qual será esse valor? 2) Uma pessoa aplicou um valor a juros simples á taxa de 1,8% a.m.,durante 4 meses e 11 dias,recebendo de juros $84,97.Calcule o valor aplicado. 3) Uma pessoa aplicou certo valor a juros simples durante 3 anos,5meses e 18 dias,á taxa de 12%a.a,rendendo de juros $3.467,50.Calcule o valor aplicado. 4) Uma pessoa aplicou o valor de $830,00 a juros simples durante 4 meses e 11 dias, á taxa de 1,8% a.m.calcule o montante em juros exatos. 5) O valor de $4.320,00,aplicado a juros simples exatos durante 10meses e 8 dias,rendeu de juros $873,56.Calcule a taxa 6) O valor de $4.230,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 10 dias,á taxa de 8%a.s.Calcule o valor dos juros. 7) O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples,á taxa de 4% a.m.,formando o montante de $505,15.Quanto tempo ficou aplicado? 8) O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples exatos á taxa de 4% a.m.,rendendo de juros $749,59.Quanto tempo ficou aplicado? 9) O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 4 anos,8 meses e 26 dias,rendendo de juros $650,00.Calcule a taxa de juros. 10) O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 26 dias,formando o montante de $650,00.Calcule a taxa de juros. 11) Um valor,aplicado a juros simples durante 8 meses,á taxa de 2% a.m.,rendeu de juros $1.043,84.Calcule esse valor. 12) O valor de $1043,00 foi aplicado durante 8 meses,rendendo de juros 191,14.Calcule a taxa de juros. 13) O valor de $840,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano,3 meses e 21 dias,à taxa de 3% a.m.calcule o montante. 14) Um título com valor de $ ,00 e vencimento daqui a 4 anos deve ser resgatado daqui a um ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.considerando desconto racional,qual o valor do resgate? ,40 15) Repetir o exercício anterior,considerando o desconto comercial ,00 16) João tem um compromisso representado por duas promissórias:uma de $ ,00 e outra de $ ,00, vencíveis em 4 e 6 meses,respectivamente.prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas,solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 meses.sabendo que o banco adota juros compostos de 5% ao mês,o valor da nova nota promissória é de (desprezar os centavos no resultado final): a)$ ,00 b)$ ,00 c)$ ,00 d)$ ,00 e)$ ,00 Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 18

19 17) O valor do desconto comercial composto de uma nota promissória,que vence em 3 anos,é de $ Admitindo que a taxa nominal de desconto utilizada na operação é de 24% ao ano,com capitalização trimestral,qual o valor nominal do título?(despreze os centavos.) $ ) Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e o juros recebidos a partir da aplicação de um principal de R$ ,00, com uma taxa de juros de 1%am. 19) Determinar o capital que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de 10 %aa, para produzir um montante de R$ ,00, a juros simples. 20) Calcular o tempo necessário para que um capital triplique a juros simples se a taxa for: a) 6% am b) 9% a.t. c) 10% a.a. d) 8 % a.b. 21) Paulo aplicou R$ 5.650,00 à taxa de 2% am e resgatou um montante de R$ 7.234,00. Durante quanto tempo Paulo deixou seu dinheiro aplicado? 22) Senhora Maria recebeu de juros R$ 1.245,00, depois de ter deixado seu dinheiro aplicado durante 9 meses à taxa de 1,8% am. Quanto dona Maria aplicou? 23) Quero comprar um computador que custa R$ 1.560,00 a vista, porém só tenho R$ 1.300,00, meu gerente me ofereceu uma aplicação que paga 2% am, quanto tempo devo aplicar o meu dinheiro para que possa comprar o computador? 24) A que taxa devo aplicar R$ 1200,00 para que em 12 meses tenha R ,00? 25) Um titulo com vencimento em 3 meses no valor de R$ 1.500,00 vai ser descontado à taxa de 3 %am. Quanto o portador receberá e qual a taxa efetiva? 26) Um título com 119 dias a decorrer até o vencimento está sendo negociado, a juros simples, à taxa de 15% aa. Qual deve ser o valor do título para que o portador do mesmo receba R$ 1.000,00? 27) Calcule a taxa efetiva nos seguintes casos: a) Taxa: 4%am Prazo: 5 meses b) Taxa: 3,5% am Prazo: 2 meses c) Taxa: 5% Prazo: 6 meses; 4 meses; 2 meses 19 Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 19

20 20 5. JUROS COMPOSTOS Juro composto é aquele que no final de cada período financeiro, o juro se incorpora ao principal, calcula-se o juro sobre o montante relativo ao período anterior. FV = PV.(1 + i) n O fator (1 + i) n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. Exemplo 1) Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicado em regime de juro composto a 5%a.m, durante 3 meses. 2) Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para o mesmo dobre, aplicado a 3%a.m. a juros compostos? 3) Estou querendo comprar um Notebook Latitude TM 120L que custa R$ 2.099,00. O vendedor da loja me garantiu que este preço não sofrerá aumento nos próximos 4 meses. Meu gerente do banco me ofereceu uma aplicação com taxa de 1,7%a.m., quanto devo aplicar para que possa comprar o notebook? FORMULA DOS JUROS COMPOSTO J = PV.[(1 + i) n - 1] Exercícios 1) Um capital de R$ foi aplicado a juros compostos durante três meses, à taxa de 2 %a. a) Qual o montante? b) Qual os juros auferidos? 2) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5%a.m., durante 4 meses, rendeu um montante de R$ ,00, calcule o capital inicial. 3) U ma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 4) O capital de $ 8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5%a.m., elevou-se no fim de certo tempo a $ Calcule este tempo. 5) Calcule o tempo que deve deixar aplicado um capital de R$ 2.980,00 para que possa resgatar R$ 3.198,38, sabendo que a taxa pela qual o capital será remunerado é 1,5%am. Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 20

21 6) Calcule o montante para as aplicações abaixo, supondo o regime de capitalização composta: Capital Taxa Prazo A %aa 2 anos B %am. 1 ano C %at 1ano e meio TAXAS EQUIVALENTES Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido pelo capital P, à taxa i, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo capital P, durante 12 meses, as taxa mensal. Ou seja P(1 + i a ) 1 = P(1 + i m ) 12 Para outras frações de ano, temos: (1 + i a ) 1 = (1 + i s ) 2 = (1 + i t ) 4 = (1 + i b ) 6 = (1 + i m ) 12 i k = (1 + i) k 1 ou i k = k 1 i ou ainda pode optar pela fórmula: i k k T ( 1 i) 1 Exemplo 1) Qual a taxa trimestral equivalente 30%aa? 2) Calcule a taxa anual equivalente a 2%am. 3) Determine a taxa bimestral equivalente a 18%as. Exercícios 1) O Banco da Praça me oferece uma taxa de 1,2%am e o Banco do Boteco me oferece uma taxa de 15,66%aa. Qual taxa é melhor para mim? Resolva usando a equivalência de taxas. 2) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,8%am b) 2,5%ab c) 4,5%at d) 13%aq e) 18% a.s. 3) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas: a) 75% a.a. b) 6,5 %ab c) 0,12%ad d) 21%at 4) Dada a taxa de juros de 9,2727% at, determinar a taxa equivalente mensal. Apostila Matemática Financeira Prof. Ítalo de Paula Machado Página 21

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