Instituto Superior de Economia e Gestão Mestrado Ciências Actuariais Introdução aos Seguros. Ano lectivo 2007/2008

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1 Instituto Superior de Economia e Gestão Mestrado Ciências Actuariais Introdução aos Seguros Risco de Taxa de Juro Modelo de Redington Ano lectivo 007/008 Prof. doutor Carlos Pereira da Silva Professor Catedrático do ISEG 1

2 1. PROBLEMÁTICA DA IMUNIZAÇÃO.NOS RAMOS NÃO VIDA 3. O MODELO DETERMINÍSTICO DE IMUNIZAÇÃO DE NOS RAMOS VIDA E PENSÕES 3.1 Definições 3. As condições de imunização de Redington

3 1. Problemática da imunização O risco financeiro das empresas de seguros está intimamente ligado à carteira de investimentos que cobre as responsabilidades técnicas assumidas nas carteiras de ramos de seguros. Os riscos podem ser ocasionados por variações da taxa de juro e/ou por falência dos emitentes de títulos que integram a carteira de investimentos. Se a maturidade efectiva da carteira de activos financeiros do segurador (duração) é superior à maturidade efectiva das suas responsabilidades do balanço, então o segurador está exposto ao risco de taxa de juro. Se as taxas de juros aumentam inesperadamenteo valor de mercado do segurador cai-o valor de mercado dos seus activos financeiros sofrerá perdas de capital superiores às das responsabilidades. Na ausência de opções implícitas nos seus contratos financeiros, a resposta do valor a mudanças inesperadas das taxas de juro são geralmente simétricas. Se as taxas de juro caem inesperadamente, o valor da empresa aumenta. 3

4 A figura seguinte ilustra o efeito das variações da taxa de juro no valor da seguradora que comercializa apólices de seguros temporários de curto prazo e investe as reservas matemáticas em empréstimos hipotecários de rendimento fixo a longo prazo: o aumento das taxas de juro ( r>0) diminui o valor da Empresa ( N<0). Sem opções implícitas nos empréstimos e nos contratos de seguros, a inclinação do pefil de exposição é dn dr = (1 + 1 r ) ( DL VL DA VA ) e vê-se que só quando DA = DL (por definição VA = VL) se tem dn dr = 0 4

5 N A Á r0 r 5

6 . Nos ramos Não Vida As companhias de seguros podem reduzir a sua exposição a flutuações amplas no seu rendimento económico identificando e gerindo o risco de taxa de juro. Por isso, a não consideração, explicitamente, do risco da taxa de juro pode influenciar desnecessariamente a volatilidade do capital e o excedente económico, que poderiam ameaçar a solvência e a sobrevivência da empresa. Definimos o risco de taxa de juro como o efeito de mudanças não antecipadas das taxas de juro sobre o valor de mercado da carteira de activos financeiras ou de responsabilidades. No contexto de um segurador, o risco é que o valor actual das responsabilidades em carteira cresça mais rápidamente se as taxas de juro descem, ou desça menos rápidamente se as taxas de juro aumentem, do que o valor de mercado da carteira de activos financeiras. Tais movimentos relativos nos valores das carteiras podem perturbar o excedente económico do segurador. 6

7 Utilizando o princípio da duração como medida da sensibilidade à taxa de juro, o matching através da duração monetária de uma carteira de activos com duração monetária das responsabilidades correspondentes ajudará a imunizar a situação líquida da empresa contra os efeitos das mudanças das taxas de juro. Redington (195) aplicou esta técnica, pela primeira vez, à imunização das carteiras de activos e de passivos das companhias de seguros de vida, mas acrescentou-lhe a noção de dispersão, ou seja a influência dos desvios das durações dos fluxos activos e passivos em relação à respectiva duração. A duração é a medida da sensibilidade do valor presente do fluxo de cash-flows às mudanças da taxa de juro. Na prática, contudo, a duração é definida de várias maneiras. Neste texto utilizam-se dois conceitos de duração: a duração modificada e a duração monetária. A duração modificada explica a mudança percentual do valor da carteira em resultado de uma mudança de 1 ponto de base (0.1%) das taxas de juro. A medida da duração monetária explica a mudança no valor actual monetário absoluto em resultado de uma mudança de 100 pontos base das taxas de juro; é igual à duração modificada multiplicada pelo valor presente dos fluxos de pagamento subjacentes. 7

8 Se a duração monetária dos activos é igual à duração monetária das responsabilidades, o valor de mercado simultâneamente dos activos e responsabilidades mudará aproximadamente pelo mesmo montante monetário quando as taxas de juro mudam com pequenas variações. A companhia que adopta esta estratégia é dita imunizada contra o risco de taxa de juro. Quando o valor presente dos activos excede o valor presente das responsabilidades, é útil calcular como o excedente muda com as taxas de juro. A duração monetária do excedente é determinada subtraindo a duração monetária das responsabilidades da duração monetária dos activos. O resultado mostra como o valor monetário do excedente muda com variações pequenas nas taxas de juro. Mesmo uma ausência de duração activo/responsabilidade pequena pode resultar numa relativamente larga duração (ou sensibilidade à taxa de juro) do excedente. Isto acontece porque a dimensão do excedente é típicamente pequena relativamente à totalidade da carteira global, produzindo um efeito de alavancagem. 8

9 Considere-se um segurador cujo rácio de excedente em relação aos activos totais, em termos de valores de mercado, é 5%. Assuma-se que o valor de mercado dos activos é de 100 milhões. A duração modificada são de 5 para os activos e de para as responsabilidades, o que origina um desfazamento de duração de 3 anos. Qual é a implicação sobre a duração do excedente?. Uma forma de resposta a esta questão é converter a duração modificada numa duração monetária, multiplicando o valor de mercado dos activos (100 milhões) e das responsabilidades (75 milhões) pelas respectivas durações modificadas. A duração monetária é de 500 milhões para os activos e de 150 milhões para as responsabilidades. A diferença entre estas durações monetárias origina uma duração monetária para o excedente de 350 milhões. Dividindo a duração monetária do excedente pelo seu valor de mercado (5 milhões) dá-nos uma duração modificada do excedente, que neste caso é de 14. Uma mudança nas taxas de juro de 100 pontos de base produzirá aproximadamente uma mudança de 14% no verdadeiro valor económico, ou de mercado, do excedente - uma sensibilidade à taxa de juro extremamente elevada. 9

10 Podiamos usado directamente a duração modificada. Assuma-se que as taxas de juro aumentam 100 pontos base. Isto causa uma descida no valor de mercado dos activos de cerca de 5% e nas responsabilidades de cerca de %. Os activos são agora avaliados em cerca de 95 milhões e as responsabilidades em cerca de 73.5 milhões. O excedente reduz-se passando de 5 milhões para 1.5 milhões. A subida de 100 pontos base na taxa de juro reduziu o excedente de cerca de 3.5 milhões, o que significa uma mudança de 14%. Assim, a duração modificada do excedente é, novamente, de 14. Uma terceira via de análise é aplicar simplesmente a fórmula, que pode ser derivada de qualquer uma das soluções anteriores MV ( A ) MD s = ( MD A MD L ) * + MV ( S ) MD L onde, MDs = duração modificada do excedente MD A = duração modificada dos activos MD L = duração modificada das responsabilidades MV(A)= valor de mercado dos activos MV(S)= valor de mercado do excedente 10

11 Esta fórmula explica a ligação entre a ausência de duração, alavacangem, e duração do excedente. Suponha-se que a companhia em causa é uma seguradora de vida com um rácio de excedente típico de 4%. Dado que a companhia vida é altamente alavancada, o défice de duração de 3 anos implica uma maior volatilidade da posição de capital. Utilizando um dos procedimentos acima descritos, pode mostrar-se que a duração do excedente estaria perto de 80! (a duração efectiva poderia ser maior ou menor que 80 para um dado número de anos de desvio, dependendo dos níveis absolutos da duração). Quanto mais alavancada é a companhia, mais cuidado se deve ter na avaliação e gestão dos desvios de duração. Note-se que a implementação de uma estratégia de gestão do desvio de duração exige o conhecimento dos valores presentes dos activos e das responsabilidades. Vamos adimitir que as responsabilidades da companhia de seguros podem ser expressas como cash-flows de forma que a determinação do valor presente das responsabilidades é imediata. 11

12 Contudo uma vez que os seguradores não alinham as suas responsabilidades nem a maior parte dos activos pelo mercado, existe na realidade algum risco de taxa de juro resultante do desvio entre durações de activos e responsabilidades?. A resposta, segundo Babbel e al.(1994) é inequívocamente positiva. Enquanto o valor contabilistico pode, a curto prazo, mascarar as relações económicas subjacentes, não pode no entanto mudá-las. A longo prazo, os resultados contabilísticos reflectirão os económicos. No entanto se a economia sofre mudanças significativas, os resultados contabilísticos podem mesmo assim reflectir estas mudanças no curto prazo. No princípio dos anos 80 muitos seguradores foram obrigados a compreenderem este conceito. Irónicamente, não foi a deterioração da situação económica, que obrigou muitas companhias a tomarem medidas. Antes porém, as fluctuações da taxa de juro foram tão importantes, que mesmo os resultados contabilísticos começaram a reflectir parcialmente a perigosa situação financeira. Os seguradores não podiam ignorar mais estes efeitos. Necessitando de liquidez para pagarem sinistros de apólices antigas e não desejando liquidar as suas obrigações de longo prazo com perdas de capital significativas, muitos seguradores subscreveram novos negócios nos quais o rácio combinado foi crescendo. 1

13 Para evitarem perdas correntes, assumiram perdas futuras. Adicionalmente, estes seguradores foram incapazes de aproveitar as oportunidades atractivas que prevaleciam no mercado de obrigações.(que o mercado reconhece o problema do risco de taxa de juro entre os seguradores não vida é evidenciado pelo facto destas empresas comandarem o preço das acções durante o período em que a sua exposição às fluctuações da taxa de juro é minimizado. Um segurador não vida não precisa necessáriamente de fazer o matching da duração monetária dos seus activos e responsabilidades; um matching exacto pode nem ser praticável nem desejável. Considere-se que a curva de rendimento é muitas vezes positivamente inclinada, especialmente no mercado de obrigações municipais. Neste enquadramento, investindo a curto prazo para casar a duração das suas responsabilidades, um segurador pode não sómente obter rendimento contabilístico mas também maiores rendimentos não antecipados.. Este sacríficio pode ser avaliado relativamente ao benefício ganho com a redução do risco de taxa de juro. uma companhia com reservas importantes e suficientes fundos próprios pode, de facto, querer reter algum risco de taxa de juro na antecipação de maiores rendimentos. 13

14 Os métodos para estimar a duração dos activos financeiros tem merecido atenção considerável. Neste estudo apresentamos quatro passos que uma companhia de seguros não vida deve seguir na determinação da sensibilidade à taxa de juro (duração) das suas responsabilidades: 1. identificar e quantificar os cash flows necessários para cobrir as responsabilidades (pagamento de sinistros).. identificar o calendário dos pagamentos de sinistros 3. aplicar uma fórmula de duração apropriada e examinar então como é que este resultado varia. 4. ajustar a duração das responsabilidades em função das influências dos prémios não adquiridos, acordos de resseguro, e de quaisquer padrões de fluxos de pagamentos únicos para despesas de regularização de sinistros. 14

15 3. O modelo determinístico de imunização de nos Ramos Vida e Pensões Um Fundo de Poupança está sujeito a riscos que afectam simultaneamente o activo e o passivo do balanço. No lado passivo trata-se da probabilidade de o montante das pensões efectivamente pagas(ex-post) diferir que se esperava pagar(ex-ante) com base nas hipóteses actuariais. Estas hipóteses dizem respeito ao turnover de pessoal, à taxa de mortalidade e à escala de salários, cujos valores verificados podem afastar-se das previsões iniciais. No lado activo, os riscos estão ligados à probabilidade de as aplicações financeiras disponíveis para liquidação dos benefícios de pensões, à medida que estes são exigiveis(ex-post) divergirem dos montantes que se esperava ter disponíveis (exante). 15

16 As hipóteses iniciais acerca da taxa de rendimento dos investimentos do fundo podem afastar-se da taxa de rendimento efectiva, pelo que o custo normal do plano pode ser afectado pelo desvio da capitalização das reservas. Os riscos activos e passivos não são totalmente independentes quando a causa dos mesmos são as variações da taxa de juro. Com efeito quer a taxa de rendimento dos activos, quer a de actualização das responsabilidades dependem do mesmo risco sistemático ligado ao comportamento do mercado financeiro e às diferentes taxas de juro aí oferecidas. Este último risco é o que está subjacente às técnicas de imunização Activo/Passivo que será objecto de tratamento especial. 3.1 Definições Segundo Redington (195), as ideias chave para uma política de matching de activos e responsabilidades são a duração e a dispersão. Define-se duração de um activo, DA, como o seu prazo médio até à maturidade, ou seja o número médio de anos ponderado pelo peso dos fluxos, até que todos estes ocorram. Para uma obrigação de maturidade T temos : 16

17 DA = T t At T F + t 1 (1 y ) t (1 y ) T = + m + m T At F + 1 (1 ) (1 y m ) T t y t = + m + com : y = Taxa de rentabilidade interna do título tm At= Valor do cupão no período t F =Valor do reembolso do título A dispersão do valor do título, IA, é dada por T A 1 t ( t DA) IA = VA t t= 1 ( 1+ ytm) coma Fluxo total no período t, t T t F A t T t= 1( 1 y ) ( 1 y ) VA = + + tm + VA= Valor actual do título tm e 17

18 Da mesma forma a duração de uma responsabilidade (Utilizamos aqui o exemplo da renda temporária), DL, de prazo T e Fluxo L é dado por: DL T t Lt t = + y t 1 (1 = m ) T Lt t = + y t 1 (1 m ) Quando a probabilidade é igual à unidade a dispersão, IL, é dada pela expressão: IL = 1 VL T L ( t DL) t ( + y ) t t= 1 1 tm com VL valor actual da renda el t = Fluxo total no período t 18

19 3. As condições de imunização de Redington Suponhamos, por conveniência de raciocínio, que uma Companhia de Seguros só explora Rendas Certas Temporárias de termos postecipados e que para fazer face às suas responsabilidades investe em obrigações de cupão nominal e duração idêntica a cada termo da renda. A responsabilidade actual do segurador por unidade de capital é dada por: n VL = Lt t=1 v t e a cobertura dessa responsabilidade é dada por: n VA = At t=1 v t 19

20 Diz-se que a responsabilidade do segurador está perfeitamente fundeada se VA > VL. Isto significa que o valor dos activos é suficiente para fazer face aos pagamentos periódicos de todos os compromissos da Companhia. No caso de se verificar VA <VL, o valor do fundo seria insuficiente para o segurador poder honrar os seus compromissos, devendo nesse caso depositar o seu balanço. A situação de matching perfeito verificar-se-ia quando VA = VL. 0

21 Defina-se a situação liquida, N, por N = VA VL T N = ( At Lt ) t r t t = 1 ( 1+ ) ( 1+ r ) com: r=taxa de juro L t = fluxos financeiros passivos no fim da anuidade t A t= fluxos financeiros activos no fim da anuidade t Na situação de matching perfeito da Situação Líquida tem-se segundo Redington : N = VA VL = 0 1

22 As duas Condições de Imunização de Redington A primeira condição "A duração dos fluxos das responsabilidades deve ser igual à duração das receitas dos activos de cobertura". N é uma função decrescente da taxa de juro para valores de r inferiores àquele que fa N=0, e uma função crescente para valores superiores ao que faz N=0.

23 Com efeito no ponto r0 exige-se que: dn dr n t 1 = t ( ) ( 1 ) = 0 + t = 1 Lt At r Ora, DA = e DL = então n t At 1+ r t = 1 VA VL ( ) n t Lt 1+ r t = 1 ( ) t t dn dr 1 ( 1+ r) ( ) = DL VL DA VA Vê-se que só quando DA = DL (por definição VA = VL) se tem dn dr = 0 3

24 A segunda condição "o valor dos fluxos das receitas deve ser mais disperso em torno da respectiva duração do que o valor dos fluxos dos pagamentos". Esta condição exige que: d N 0 dr no ponto em que a primeira condição é satisfeita (VA x DA = VL x DL) Prova-se 1 que: d N = (1 + r) dr ( DA VA DL VL IL+ IA+ DL DA) é maior ou igual a zero quando IA >IL com: 1 Cf. Bierwag (1987). 4

25 1 t IA = VA n A ( t DA) t ( + r) t = 1 1 e 1 IL = VL n L ( t DL) t ( + r) t t = 1 1 em que IA e IL são a dispersão dos activos e das responsabilidades, respectivamente. 5

26 O Matching de Activos e Responsabilidades - Imunização 1. Introdução ao Modelo de Redington A teoria da imunização de Redington não representa uma situação de equílibrio uma vez que admite a existência de lucros de arbitragem consequência das variações da taxa de juro. As prestações do fundo são representadas por LT com t(0<t<t) maturidade do passivo Assume-se que os LT são certos.. Da mesma forma At representa os rendimentos dos Activos pagos em t. Seja δ (constante) a taxa de juro continua. Assuma-se que a curva de juro é horizontal. 6

27 Suponha-se que VA (Valor actual dos Activos)=VL(Valor actual das Responsabilidades) VA e VL = ) = T T A L 0 0 t t exp( δt) dt exp( δt) dt 7

28 Se no próximo instante δ varia de um pequeno montante ε os novos valores de VA e VL são VA =VA+ ε e VL =VL+ ε.. Utilizando a expansão em série de Taylor para N =VA -VL, Redington mostra que enquanto VA VL = δ δ e VA VL > δ δ 1ª Condição ª Condição então VA' VL' O Fundo está Imunizado contra o risco de taxa de juro 8

29 Exemplo. Seja um capital diferido a prémio puro a pagar no fim de 10 anos. Se ignorarmos a mortalidade e o valor do contrato for 100 o segurador pode investir em dois activos: Seja um cupão zero a 5 anos e um cupão zero a 10 anos. Se δ=8% então o valor actual do capital diferido é 100*exp(-0.08*10)= Para conseguir imunizar a carteira, os montantes do prémio a serem investidos nos dois títulos (λ1 a 5 anos e λ a 10 anos) são dados pela solução do sistema de equações seguinte: λ 1 *exp(-0.08*5)+ λ *exp(-0.08*15)=100 exp(-0.08*10) 5*λ 1 *exp(-0.08*5)+ 15*λ *exp(-0.08*15)=10*100 exp(-0.08*10) que fornece λ1= 50*exp(-0.4)= λ= 50*exp(0.4)=

30 Neste caso o valor de VA VL δ δ é 5*λ1*exp(-0.4)+5*λ*exp(-1.) exp(-0.8)=150 exp(-0.8)(1+9-8)>0. Na ausência de custos de transacção este resultado implica a existência de lucros de arbitragem para um investidor que pode endividar-se e aplicar à mesma taxa de juro. De facto utilizando a série de Taylor prova-se que N( r+ r) N( r) + N'( r) δ + 1 N''( r)( r) como N ''( r) >0 então N ( r+ r) > N( r). Num ambiente de estrutura a prazo estocástica estes lucros são eliminados. 30

31 . Noções básicas do pricing de obrigações com taxas de juro estocásticas.1. A modelização estocástica da taxa de juro Uma obrigação é um contrato que rende um montante conhecido num prazo futuro, chamado maturidade t=t. A obrigação emitida pelo Estado ou pelas empresas pode também pagar um cupão em períodos fixos do tempo durante a vida do contrato. Se não existir cupão a obrigação é chamada de cupão zero (zero cupon). Seja V o valor actual da obrigação dependente do tempo, V(t). Seja Z o valor nominal do contrato: tem-se V(T)=Z Queremos saber o valor da obrigação para qualquer período t<t. Precisamos de modelizar primeiro a taxa de juro estocástica de longo prazo. 31

32 Suponhamos que a taxa de juro de curto prazo, r, é governada pela equação estocástica dr=ω(r,t)dx+u(r,t)dt 1) A forma funcional de ω(r,t) e u(r,t) determina o comportamento da taxa de juro. Quando as taxas de juro seguem uma equação diferencial estocástica do tipo 1) o preço da obrigação é da forma V(r,t); a dependência de T verifica-se em V(r,T)=Z. Sejam duas obrigações de maturidade T1 e T. e o protafólio Π composto de 1 obrigação de maturidade T1 e preço V1 e de - obrigação de maturidade T e preço V. Então o seu valor será: Π=V1- V A mudança no valor dπ no periodo dt, após aplicação do lema de ITO às funções de r e de t é: V1 dπ = dt t V1 + dr r + 1 ω V1 dt r V ( t dt V + r dr + 1 ω V r dt) 3 )

33 De ) vemos que escolhendo o seguinte V1 = r V r eliminamos a componente aleatória dr em dπ. Tem-se então: V V V r V V dπ= [ + ω dt + ω / 1 ( ) dt] 3) t r V / r t r Utilizando um raciocinio de arbitragem que afirma que um activo sem risco deve render a taxa de juro sem risco rdπ/π=rdt. Então r V1/ dr dv / dr V1 t 1 V1 r V1/ dr dv / dr V t V r [ V * V ] dt = + ω + ( + ω ) ]* dt 1 1 Rearrumando os termos em V1 no membro da esquerda e os termos em V no membro da direita vem: 33

34 V1 1 V V V V V ω rv ω rv ) / = ( + ) / t r r t r r ( Esta equação tem duas incógnitas. Contudo o membro da esquerda só é função de T1 mas não de T e o membro da direita só é função de T mas não de T1. A única maneira de isto ser possível é que ambos os membros sejam independentes da data de maturidade. Eliminando o indice de V tem-se: V t 1 V ω r ( + V rv ) / r = α( r, t) Façamos α(,) rt = ω(,) rtλ(,) urt (,) 34

35 35 A equação do preço da obrigação de cupão zero é então 0 ) ) ( 1 ( = + + rv r V u r V t V λω ω com λ o preço de mercado do risco Π + Π + Π Π = Π Π = = 1 1 * * 1 r r u t r e r ω µ ω σ σ µ λ Repare-se que ω 1 Π Π r é a duração estocástica

36 .. Soluções da equação do preço Consideram-se apenas certas formas funcionais especiais para ω e u da equação 1) que, pode demonstrar-se, são as formas gerais mais compativeis com uma classe particular de soluções operacionais da equação de preço. Assume-se que ω e u têm a seguinte forma ω (r,t)=[α (t)r-β(t)] 1/ u= {γ(t)r-η (t)+λ(r,t)* [α (t)r-β(t)] 1/ } Aplicando restrições adequadas às funções dependentes do tempo, podemos assegurar que o modelo aleatório da equação 1) tem as seguintes propriedades económicas plausíveis podemos evitar taxas de juro negativas A taxa à vista pode ser limitada no seu nível mínimo por um número positivo se fizermos α (t)>0 e β(t)>=0. O limite mínimo é então β/α. No caso especial de α(t)=0 devemos fazer β(t)>=0 36

37 podemos obrigar o movimento da taxa de juro à vista a regressar à média. Para um grande (pequeno) r a taxa de juro tenderá a descer (aumentar) em relação à média, que pode ser uma função do tempo. Adicionalmente, obrigando a que r aumente se atingir o seu limite mínimo β/α. Fazemos então η (t)> β(t)* γ(t)/ α (t)+ α (t)/ A solução de Cox, Ingersoll e Ross (CIR) impõe β=0 ou seja independência dos pârametros em relação ao tempo. 37

38 .3. Aplicação prática Seja P(r,T) um título de cupão zero com r a taxa de juro à vista e P satisfazendo a equação P t P 1 P + f + rp r r = 0 Na maturidade o preço do cupão é 1 por definição Cox, Ingersoll e Ross propõem que o processo de taxa de juro dr seja reversível em relação à média, ou seja dr = k( µ r) dt + σ rdz com k,µ e σ constantes positivas. A solução para a equação diferencial é então 38

39 39 [ ] ) ( ) exp ( ),, ( T B r A T s t r P = [ ] + + = ) exp( ) exp( (1 ) ( ) exp ( ) ( t t k t k k t A λ λ λ λ λ λ σ µ [ ] + + = ) exp( ) exp( ) 1 ( )) exp( (1 ) ( t t k t t B λ λ λ λ λ e λ σ = + k

40 Esta solução fornece uma curva de juro que é crescente para valores baixos da taxa de juro corrente r(t) e decrescente para valores elevados da taxa de juro corrente. Seja o exemplo de Redington anteriormente estudado.se os activos cobrirem exactamente as responsabilidades AT=LT para qualquer T então T P( r, t) A dt = P( r, t) L 0 t T 0 t dt Neste caso de matching absoluto o fundo está perfeitamente imunizado independentemente do processo de formação do preço É ainda possível conseguir uma posição imunizada quando os preços dos títulos são dados por P(r,t) sem se chegar ao extremo de matching absoluto. O que já não é possível é obter ganhos de arbitragem nestas circuntâncias. A posição imunizada condicional à taxa de juro corrente r é obtida fazendo com que a componente estocástica desapareça. Se 40 VL=VA

41 com VA = PrT (, ) A 0 L T dt VL = P(, r T) dt 0 T a componente estocástica do rendimento será, VA ( ρ r VL ρ ) dz r com base na equação dp P P 1 P = ( + f + ) dt t r r + P ρ r dz 41

42 f e ρ são respectivamente a componente deterministica e a componente estocástica da variação da taxa de juro dr dr=f(r,t)dt+ρ(r,t)dz Seleccionando convenientemente a carteira de activos tem-se VA r = VL r e a posição será imunizada com rendimento total nulo. A posição imunizada é válida só para a taxa de juro corrente e para a estrutura actual de maturidades das responsabilidades. A posição de imunização deve ser ajustada continuamente para acomodar as mudanças nestes pârametros. 4

43 Note-se que para obter VL r P r (, rt) precisamos de conhecer para todas as maturidades T de juro. O prazo médio dos activos é dado por VA r /VA Em literatura financeira este conceito chama-se duração. Para conseguir obter a imunização da carteira com modelos estocásticos o prazo médio dos activos deve ser igual ao prazo médio das responsabilidades tal como na teoria de Redington. 43

44 Ilustremos agora o nosso raciocinio com o exemplo anterior e façamos a comparação com os resultados do modelo deterministico COMPARAÇÃO ENTRE PREÇOS DE OBRIGAÇÃO E DURAÇÃO DE UM TÍTULO DE VALOR NOMINAL DE 100, CALCULADOS PELO MODELO DETERMINÍSTICO E PELO MODELO DE COX, INGERSOLL E ROSS A taxa de juro sem risco é r=0.07 MATURIDADE TAXA INSTANTANEA DE JURO E 5% 6% 8% 9% DURAÇÃO Det CIR Det CIR Det CIR Det CIR Det CIR Parâmetros CIR: σ = u=0.07 k=1 r=

45 à taxa de juro de 7% o valor da carteira seria: Modelo deterministico Modelo CIR Preço duração preço duração O sistema de equações é agora λ1pr (,) 5 + λ λ Pr (, 15) = 100Pr (, 10) P λ r r P r r P (,) + (, ) = (, r r ) Os valores de λ1 e λ são dados pela equação CIR. Os valores são apresentados no quadro seguinte Montantes de títulos de 5 e de 15 anos para imunizar a posição de responsabilidades a 10 anos. 45

46 Taxa de juro instantanea Modelo deterministico Modelo CIR λ1 λ λ1 λ Os comentários seguintes ajudam a comprender o problema. Uma pequena mudança da taxa de juro no modelo deterministico induz um movimento que atinge a totalidade da curva de juro. Isto tem um impacto dramático no preço do activo de longo prazo. Neste modelo o preço do activo longo é muito sensível às mudanças da taxa de juro. O prazo médio que pode ser tomado como a medida do risco do título a respeito das variações da taxa de juro é igual a T, o prazo para a maturidade. No modelo de CIR a taxa local de juro possui um mecanismo de retorno à média. 46

47 Por isso as mudanças da taxa de juro à vista têm um efeito mais pronunciado nos rendimentos de curto prazo e os prazos médios são inferiores às dos respectivos valores do modelo deterministico. Como o efeito sobre o valor dos activos longos é menos arriscado o modelo estocástico dá lugar a um maior investimento nos títulos de longo prazo. 47

48 Anexo Exemplo de aplicação das Condições de Redington 1. Seja a seguinte responabilidade de uma Companhia de Seguros: Pagar no fim do período de 5 - Esc Pagar no fim do período de 8 - Esc Se a taxa de juro do mercado for de 10% a soma actualizada das responsabilidades é L V = 609 L 5 8 V = 1418 L V = 1867 T 48

49 A duração das responsabilidades é igual á soma ponderada das durações individuais L L L L D = T D * 5 W + 5 D * 8 W L 8 L L W = t V t V L T L W = L W = D L T = 0.33 * * 8 A dispersão do fluxo de responsabilidades é L L L L L IT w *( 5 D ) T w *( 8 D ) T = = 49

50 Suponhamos que no final do ano 7 a seguradora recebia um fluxo de Esc A V = A D = 7 7 A I = (7 7) = 0 7 Assim N = A - L e as responsabilidades estão perfeitamente cobertas e respeita-se a primeira condição de redington D A = D L A ª condição também é verificada uma vez que a dispersão dos fluxos activos é superior à dispersão dos fluxos passivos A A A A A IT = w 3 *( 3 D T ) + w10 *( 10 D T ) = 1 I e T A L = > T = 1 I 50

51 Suponha que a taxa de juro evolui como no quadro seguinte: R V A V L N = V A - V L Ou seja para todos os valores de R diferentes de 10% temos N<0. Não satisfaz a ª condição de Redington apesar de D L = D A = 7 51

52 . As responsabilidades obdecem às características do exemplo. Os fluxos verificam no final do 3º ano e no final do 10º ano, respectivamente: A 3 V = 1066 * (1.10) 3 A 10 V = 7609 * (1.10) 10 Então A A A V = T V 3 V 10 D = 7 A + = 1868 A I T A A = w * ( D ) + A w * ( ) = 10 A W = A W =

53 Reproduzindo os valores do quadro anterior com as alterações apropriadas temos: R V A V L N = V A - V L Vê-se que a Situação Líquida permanece sempre positiva, para taxas inferiores ou superiores a 10% e, que existem ganhos de arbitragem sem risco 53

54 Bibliografia Boyle, P (1978). Immunization under stochastic models of the term structure. Journal of The Institute of Actuaries, vol 105, Part II, nº 49 Cox, J., Ingersoll, J.&Ross,S. (1977). A Theory of the Term Structure of Interest-Dependent Claims. Wester Finance Association Meetings, Clifornia, June Vasicek, O. (1977). An Equilibrium Characterization of the Term Structure, Journal of Financial Economics, 5. Redington, F. (195). Review of the Principles of Office Life Valuations. Journal of the Institute of Actuaries,