DESENVOLVIMENTO DE WEBSITE ABORDANDO OS FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA TENSORIAL E O ACOPLAMENTO ENTRE A PLASTICIDADE E O DANO
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- Miguel Ventura Graça
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1 DESENVOLVIMENTO DE WEBSITE ABORDANDO OS FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA TENSORIAL E O ACOPLAMENTO ENTRE A PLASTICIDADE E O Rsumo DANO L. F. Kafr W. S. Assis Ambos o Dartamnto Engnharia Estruturas Funaçõs a Escola Politécnica a USP (07 Janiro 00) Est trabalho arsnta as frramntas rocssos utilizaos ara o snvolvimnto um wbsit ara a iscilina Introução à Mcânica o Dano Fraturamnto traz uma introução ao stuo o acolamnto ntr a lasticia o ano qu também foi incluío no Wbsit. Wbsits com srviors ft míia são frramntas valiosas ara qualqur iscilina a artir o momnto no qual tivrmos acsso à Intrnt fácil ara alunos rofssors comçarmos a utilizar míias igitais. O wbsit funciona como um mcanismo organização (as míias igitais) informação (avisos o rofssor links rlacionaos com a iscilina) mlhoria o iálogo facilitação o arnizao. Dsnvolvimnto wbsit ara a iscilina Introução à Mcânica o Dano Fraturamnto. Introução O objtivo st trabalho é scrvr a xriência os autors ao snvolvr um wbsit ara a iscilina Introução à Mcânica o Dano Fraturamnto o rograma ós-grauação o Dartamnto Estruturas Funaçõs a Escola Politécnica a Univrsia São Paulo a Escola Engnharia a Univrsia São Paulo o camus São Carlos. A motivação inicial ara o snvolvimnto o sistma vm o fato as aulas srm ministraas ara os alunos m São Paulo m São Carlos através o sistma vío confrência. Dsta forma nst sistma nsino torna-s muito imortant a xistência um local (virtual) qu
2 funcion como rositório as notas aula matrial aoio onto ncontro rofssors alunos as uas cias.. Matriais Utilizaos Nst trabalho utilizamos os quiamntos: Microcomutaor IBM PC Pntium III; Placa aquisição vío Pinnacl (ara igitalização os víos m VHS); as frramntas (softwars) snvolvimnto: Microsoft Wor: utilizao ara a ração as notas aula xortação o txto formatao ara a linguagm HTML convrsão as quaçõs o Equation Eitor m imagns; Convrsor Míia o Microsoft Mia Plar: utilizao ara convrsão (comactação) os víos igitalizaos m formato.avi ara.asf (Winows Mia Straming); Corl Draw: itor gráfico utilizao ara snhar as figuras; Macromia Flash: rograma utilizao ara a confcção as animaçõs; Macromia Dramwavr: itor gráfico HTML. Utilizao ara a confcção a iagramação as áginas acabamnto final o HTML criao lo Wor rogramação o cóigo m JavaScrit; Acrobat Writr: rmit convrtr arsntaçõs o PowrPoint txtos o Wor ( outros tios ocumnto) ara o formato.f iminuino o tamanho os arquivos fixano a formatação imino qu os ocumntos sjam itaos or trciros;.3 Mtoologia Utilizaa Ao laborarmos a intrfac gráfica a rocuação rincial foi a fazr um laout ágina agraávl qu rsrvass a maior quantia ára tla ara a visualização o contúo ( não mnus) no qual o toos os rcursos ussm sr acssaos uma manira intuitiva com uma quantia mínima cliqus mous.
3 Para tanto laboramos a intrfac arsntaa na figura abaixo na qual toos os links rinciais foram isostos no mnu ro-own surior. Figura Tla Inicial Em virtu a quantia gran trabalho tivmos rstringir nossa lataforma imlmntação ara o Intrnt Exlorr ara uma rsolução tla 800x600 ixls. Dsta forma as áginas snvolvias não vm sr visualizaas com o Ntsca Navigator ou com uma rsolução tla ifrnt 800x600. Através o mnu Contúo omos acssar as notas aula: Figura Página com notas aula
4 O mnu Informaçõs contém informaçõs sobr a islina (mnta rogramação) sobr os rofssors. O mnu Misclânia ngloba a ára ownloa links: Figura 3 Ára Downloa Na ára ownloa tivmos a rocuação ixar toos os rogramas ncssários ara a visualização o contúo snvolvio. O mnu 000 arsnta a lista alunos a rogramação aulas o ano 000 os tmas sminários. Dssa forma consiramos qu a utilização rcursos nsino basaos na Intrnt é muito imortant mas qu aina é uma ára muito stuo ara qu ossamos obtr o ganho máximo routivia ara aulas stuo qu os rcursos isonívis atualmnt já om nos roorcionar. Rssaltamos aina qu o isênio tmo é muito gran ara convrtr um curso ministrao convncionalmnt m um curso basao na wb qu a forma arsntação o curso v sr muito bm arquittaa vitano qu o aluno s irrit ou s isrs ao utilizar os rcursos igitais.
5 Estuo o acolamnto ntr a lasticia o ano. O concito Dano O ano é uma granza física qu não é mnsurávl irtamnt o sr ntnio como o créscimo as rorias lásticas o matrial m consqüência a rução as áras transmissão as forças intrnas qu corr a nuclação subsqünt crscimnto microfissuras microcavias. Nos mios homogênos a anificação é ssncialmnt o rocsso romimnto as ligaçõs atômicas. Nos mtais as ruturas as ligaçõs ocorrm aós um rocsso lastificação ncruamnto qu consist na movimntação ostrior acúmulo iscorâncias causao la rsnça algum microfito. O acúmulo várias iscorâncias lva ao romimnto várias ligaçõs originano uma microfissura. Sob uma rsctiva mais rcisa o ano o sr rrsntao or um scalar D qu rrsnta a nsia surficial microfissuras microcavias m um lano qualqur o intrior o matrial. Ess concito foi roosto originalmnt or Kachanov (958) quano buscou scrvr a rutura frágil or fluência m mtais solicitaos uniaxialmnt à tração sob lvaas tmraturas. Postriormnt ssa iéia assou or algumas moificaçõs arfiçoamntos corrnts stuos ralizaos lo rório Kachanov (986) or Lmaitr Chaboch (985) Krajcinovic (989) outros. D acoro com o concito originalmnt formulao or Kachanov (aina hoj acito) s S for a ára um lano qualqur qu intrcta o intrior o matrial (-D) S corrson à ára qu ftivamnt transmit as tnsõs. Consqüntmnt 0 D Quano D0 izmos qu o matrial ncontra-s m um stao não-anificao ao asso qu no instant m qu D o matrial stá totalmnt anificao ou sja stá fraturao. No ntanto vrifica-s na rática qu o lmnto sofr fraturamnto ants qu o ano alcanc a unia fato qu s á m virtu as ruturas as ligaçõs os átomos o matrial. Consqüntmnt é cornt stablcr stablcr um critério iniciação fraturamnto sno ss ao or : D D c
6 On D c rrsnta o ano crítico. Atualmnt muitos avanços têm ocorrio na toria o ano. Mazars & Pjauir-Cabot arsntam uma rvisão os ifrnts molos basaos na Mcânica o Dano Contínuo formulaos no Laboratoir Mècaniqu t Tchnologi (Cachan França). Comortamnto úctil fitos unilatrais como fchamnto fissuras são iscutios m conjunto com análiss numéricas a fim analisar matriais como o concrto simls armao sno ftuaa a roosição molos aquaos ara caa caso.. Formulação Trmoinâmica Consirmos qu as formaçõs lásticas ε sjam xrssas m rlação às formaçõs totais lásticas como ε ε - ε qu α β sjam variávis intrnas (rsctivamnt um tnsor sguna orm um scalar) associaos a uas formas ncruamnto: cinmático através α isotróico or mio β. Α nrgia livr or unia volum é consiraa sguno a xrssão abaixo: WW(ε θ β α D) on θ nota a tmratura D o ano. As quaçõs stao corrsonnts são forncias or: (..) ε S θ B β A α Y (..) a issiação val: φ φ q + φ intr (..3) on: φ φ φ φ q q intr intr é issiação térmica aa θ q θ é chamaa issiação intrinsca val : ε : or : α β D + A : + B + Y (..4) (..5)
7 Consirano a hióts a gnralização normalizaa assumirmos a xistência o suootncial issiação D o qual s rlaciona com as rivaas tmorais arsntaas m (..5) conform arsntao abaixo: ε α A β B D (..6) Y.3 Elastolasticia um coro anificao.3. Critério anificação Para um molo uniimnsional no qual sja amitio lasticia acolaa com ano a função nrgia val: W E ( D)( ε ) (.3.) A função nrgia scrita or (.3.) val s qu o ano ftu um créscimo na lasticia o matrial sguno a taxa (-D). Sguno Kachanov (958) Rabotnov (963) é ossívl scrvr também: ε ( D)Eε (.3.) forma qu: f ε E ( D) E E f (.3.3) On f / (-D) é a tnsão ftiva (rfrnt à surfíci qu ralmnt ftua a transmissão as forças intrnas) E f é o móulo lasticia ftivo o qual lva m conta a ocorrência a anificação o matrial. Em um matrial lástico linar anisotróico com ano isotróico(não acolao com lasticia consirano uma volução isotérmica qu não lva m conta os fitos a tmratura) a nrgia livr aa la quação (.3.4) roorciona um molo bastant aquao.
8 W W ε ( αβ D) W ( ε D) + W ( αβ) (.3.4) on: W (ε D) ( D) ε : E : ε. Portanto como uma gnralização (.3.) nós trmos: (.3.5) ε ( D)E : ε (.3.6) além : Y ε : E : ε (.3.7) : B β A α. (.3.8) A quação (.3.7) mostra a força gnralizaa Y qu é a variávl trmoinâmica ual D. Para um matrial lástico linar isotróico irmos obtr: on: Y ( D) E - R v (.3.9) 3 (.3.0) m δ (.3.) m ( ) (.3.) 3 são rsctivamnt a tnsão quivalnt (.3.0) a tnsão sviaora (.3.) a tnsão méia (.3.). Também: R v 3 ( + v) + 3( ν) m (.3.3)
9 Na quação (.3.3) E ν são rsctivamnt o móulo lasticia o coficint Poisson o matrial não-anificao. O imnsionamnto a quantia Rv sua imortância om visualizaos a artir o critério anificaçãoroosto or Lmaitr Chaboch (985) lo qual: R v 0 (.3.4).3. Evolução os arâmtros anificação Para um molo uniimnsional o-s afirmar qu: Ef Ef ( D) E ou sja : D - (.3.5) E Em um tst faiga baixa frquência tanto E como E f om sr cuiaosamnt mios moo qu é ossívl lotar um gráfico rlacionano o númro ciclos carga scarga com o ano. A figura.3. arsnta o gráfico obtio quano o aço inoxiávl A36 é submtio a um nsaio faiga a tmratura constant(550ºc) xib a acumulação o ano urant o rocsso. D N/Nc Figura 3. Evolução o ano m uma ça mtal submtia a um nsaio faiga baixo ciclo. No nsaio ralizao Nc8 ciclos.
10 Uma istinção ncssita sr fita ntr a faiga baixo alto ciclo. Tiicamnt: δd g( δn m M D) (.3.6) On N rrsnta o númro ciclos m or sua vz a tnsão méia M a tnsão máxima. No caso faiga baixo ciclo os incrmntos ano m caa um os ciclos ncontram-s irtamnt rlacionaos às formaçõs lásticas acumulaas urant o ciclo nquanto ara faiga alto ciclo a nuclação as microfissuras originano o ano é associao às concntraçõs tnsõs nas xtrmias faixas isolaas slizamnto ocasionano a chamaa microlasticia. Rsultaos como o arsntao na figura.3. sugrm a ossibilia o uso um suootncial Dm trmos Y isto é: D ( YD) So o s + Y S o s o + D (.3.7) moo qu a quação D Y (vi..6) é quivalnt a: S o D Y Y S (.3.8) o D on anas ois arâmtros o matrial (S o s o ) stão rsnts os quais são ossivlmnt nnts a tmratura..3.3 Microformaçõs lásticas O ano smr stá associao com formaçõs irrvrsívis. Portanto l o sr srzao quano são ralizaos tsts a fatiga no rgim lástico. Chamarmos ε π as
11 microformaçõs lásticas imortants qu om acontcr fora o rgim lástico P a variávl trmoinâmica ual isto é a tnsão. O otncial trmoinâmico ara ss caso é ao or W on: W W(ε Dε π ) (.3.9) O conjugao W obtio or mio a transformação arcial Lgnr-Fchl m rlação a ε roorciona: W W π ( D ε ). ε (.3.0) Por xmlo s consirarmos um matrial isotróico lástico linar ε π como variávl sarávl nós ormos tomar: + ν tr ν E D E D ( tr) π W ( ε ) W + π (.3.) on são obtias as quaçõs stao: ε Y - P - ε π π. (.3.) Chaboch(974) roôs as sguints quaçõs ara scrvr a volução as microformaçõs lásticas: ε π k ( D) β D (.3.3) 3 ( )( ) (.3.4) on é o valor méio aós um ciclo carrgamnto. Dss moo tmos um molo fatiga ara um númro lvao os ciclos o qual Fornc uma volução não-linar o ano. Os coficints k β rsnts na quação (.3.3) caractrizam o atritos intrnos são obtios a artir a curva wohlr qu roorciona o númro os ciclos qu
12 rouz o fraturamnto uma ça m função a tnsão máxima obtia m um tst combinao faiga tração comrssão..3.4 Acolamnto a lasticia com ano Nst stuo utilizarmos a hióts o matrial arão gnralizaa (isto é o critério lasticia é obtio a artir o otncial lasticia).o acolamnto alica-s articularmnt bm no caso o chamao ano úctil urant a iniciação crscimnto as microcavias o qual ocorr frquntmnt m tsts faiga baixo númro ciclos ( N<0 4 ) ralizaos sob tmraturas rlativamnt baixas. Para o snvolvimnto o molo consirarmos as variávis stao ε ε β D on as três últimas são issiativas. O otncial issiação consirano-s o critério lasticia é ao or: com: f D ( B D) 0 f ( B D) + D ( YD) (.3.5) (.3.6) on são obtias as quaçõs: ε λ f β λ f B D λ Y (.3.7) ara o critério lasticia com ncruamnto Miss nós trmos: ortanto: ε β D ( + ) ko f B + λ λ f 3 D λ λ λ f ε ε B D 3 λ s D o Y Y S o D (.3.8) (.3.9) (.3.30) (.3.3)
13 O mutilicaor lástico λ/ é usualmnt rminao la conição f/ 0 moo qu: λ H ( f ) B K o β ( D) Y S o s o (.3.3) Na quação.3.3 < / > nota a art ositiva / H(f)0 s f<0 H(f) s f0. A rivaa B/β caractriza o ncruamnto não-linar. Com o snvolvimnto as quaçõs.3.9 a.3.3 com o comlmnto ao la quação.3.3 o molo acolamnto ano com lasticia ncontra-s viamnt finio. Bibliografia MAUGIN G.A. (99). Th Trmomchanichs of Plasticit an Fractur Cambrig Univrsit Prss USA. LEMAITRE J.; CHABOCHE J.-L. (990). Mchanics of Soli Matrials Cambrig Univrsit Prss USA. LEMAITRE J.(996). A cours on Damag Mchanics Srigr-Vrlag Grman.
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