TCE/PI - Escola de Contas MiniCurso. Noções Atuariais

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1 TCE/PI - Escola de Contas MiniCurso Noções Atuariais Dezembro de 2012

2 O Cálculo Atuarial A ciência Atuarial é a ciência dedicada aos cálculos feitos pelas companhias de seguro de vida, estabelecendo as bases de suas operações e verificando os resultados, ou seja, é calculado o risco protegido e os recursos para sua cobertura, vislumbrando as possibilidades em variadas situações, no caso do sistema previdenciário, especialmente dentro das expectativas futuras em relação ao envelhecimento da população e às tendências da natalidade populacional.

3 O Cálculo Atuarial Através das análises atuárias, os administradores públicos do regime previdenciário podem elaborar medidas para a correção de desvios, de maneira que através das correções, o sistema continue protegido, mantendo sempre seu equilíbrio financeiro, evitando sua falência e a ausência de cobertura para os cidadãos. Neste tipo de equilíbrio, cabe à entidade, ao desenvolver o plano de benefício adotado, trabalhar com uma gama de variáveis existentes, como o número de segurados existentes, número de segurados que futuramente irão existir, etc.

4 O Cálculo Atuarial O equilíbrio financeiro, reflete a existência de reservas monetárias ou de investimentos, numerário ou aplicações suficientes para ao adimplemento dos compromissos atuais e futuros previstos. Não se vislumbra apenas os direitos atuais, mas também os que futuramente irão se materializar, isto é, a razoável certeza do adimplemento dos benefícios que irão surgir.

5 O Cálculo Atuarial O Cálculo Atuarial Fornece meios para a apuração de prêmios de seguros ligados à vida e a custos previdenciais; Utiliza as tábuas de mortalidade para avaliar a esperança de vida para uma certa idade (função sobrevivência) Utiliza, conjuntamente, os conceitos dos regimes de capitalização financeiros e a teoria da Probabilidade O papel e a atividade de um atuário envolve projeto; adaptação; resolução de problemas; estimativa do risco; inovação e conhecimento técnico no campo contínuamente mutável dos sistemas de seguridade financeira.

6 A Função Sobrevivência Existe um padrão geralmente observado no que se refere à mortalidade entre as vidas dos seres humanos. Se x é a variável aleatória que representa a idade de um ser humano e que pode variar no intervalo [0,w] A Função sobrevivência [ s(x) ] é uma função probabilística definida pelo valor da probabilidade de que um ser humano de idade (0) chegue a atingir a idade (x) s(x) é contínua e decrescente com relação à (x)

7 A Função Sobrevivência s 10 s x = 1 x 130 = 1 10 = 92, 3077% = PROBABILIDADE DE 0 SOBREVIVER ATÉ 10 ANOS 130 Probabilidade de (0) falecer entre 10 e 18 anos: s(10)- s(18) Probabilidade de (10) sobreviver até a idade de 50 anos: s(50) s(10) Probabilidade de (10) morrer até 50 anos: 1 s(50) s(10) Probabilidade de 32 morrer antes dos 53 anos: s 32 s(53) s(32) Probabilidade de 32 morrer entre os 43 e os 53 anos: s 43 s(53) s(32)

8 Tábua de Mortalidade Efeito da mortalidade em 10 6 pessoas recem nascidas (0): O valor esperado do número de sobreviventes até 1 ano de idade será: E x 1 = 10 6 s 1 = l 1 O valor esperado do nº de mortes entre (0) e (1) será: 10 6 (1 s 1 )=d 1 Utilizando o mesmo procedimento para os pares (l 2, d 2 );..., teremos a tábua de mortalidade onde: l x = k. s x ; representa o número de sobreviventes à idade x d x = l x l x+1 ; representa o número de óbitos entre as idades (x) e (x+1)

9 Tábua de Mortalidade - Probabilidades A probabilidade de (x) sobreviver pelo menos mais 1 ano é: p x = l x+1 l x A probabilidade de (x) falecer em menos de 1 ano (antes de atingir (x+1)) é: q x = l x l x+1 l x = d x l x A probabilidade de (x) viver até atingir (x+n) é: npx = l x l x+n A probabilidade de (x) falecer antes de chegar a (x+n) é: /nqx = 1 - npx = [ l(x) / l(x+n) ] A probabilidade de (x) viver até (x+n) e falecer antes de completar (x+n+1) é: n/qx = d(x+n) / l(x)

10 Tábua de Mortalidade - Construção Normalmente são construídas a partir dos dados dos estudos de mortalidade: 1. Define-se a raiz da tábua (normalmente uma potência de 10 maior ou igual a 5) 2. Atribui-se o valor valor da raiz, para o valor inicial de l(x) [ l(0) ] 3. Faz-se d(0) = l(0). q(0) 4. Faz-se l(1) = l(0) d(0); d(1) = l(1). q(1); l(2) = l(1) d(1) d(x) = l(x).q(x) ; l(x+1) = l(x). d (x)... l(x) = l(0). s(x)

11 Tábua de Mortalidade - Construção Se admitirmos que s(x) e, portanto, l(x) varia linarmente ao longo de 1 ano, podemos conceber uma função L(x) que representaria o número de sobreviventes até(x) mas que ainda nã atingiram (x+1) L(x) = l(x+1/2) = ½ (lx+lx+1) L(x) representa a média de sobreviventes entre (x) e (x+1) q(x)=d(x)/l(x) taxa anual de mortalidade M(x)=d(x)/L(x) taxa central de mortalidade = 2 ( 1 P x 1+P x ) = 2q x 2 q x Taxa instantânea (anual) ou força da mortalidade: M x = s (x) = l (x) s(x) l(x) (log(u)) = u /u M(x) = log( l(x) )

12 Quantidade de Existência Considere uma função [ T(x) ] que represente a área sob a curva l(x) entre 0 e (w) Como L(x) representa o número médio de sobreviventes entre as idades x+t e x+t+1 e como Lx+t = ½ (lx+t + lx+t+1) Podemos definir T(x) como: Tx = Lx + Lx+1 + Lx = l x j=w + l 2 j=1 x+j A função T(x) [ quantidade de existência] representa a quantidade (em anos) que viverão todos os componentes do grupo (população), desde a idade x até que o grupo se extinga.

13 Vida Média Vida Média Completa e x 0 = T x l x expectativa de vida das pessoas à idade (x) Vida média abreviada admitindo que as mortes ocorrem no início do ano e x = e x 0 - (1/2) P x = e x 1+e x+1

14 Vida Média Quando começamos a contar os anos apenas apartir de uma idade (x+n) vamos calcular a Vida Média Diferida que será dada por: j=w x n 1 T(x+n) / l(x) = l x+n + (l 2 j=1 x+n+j ) A Vida Média Temporária por n anos será a diferença entre a vida média completa e a vida média diferida (contada a partir de n anos)

15 As forças da mortalidade e dos juros Todas as vezes que um capital aplicado durante um certo período, seja pago apenas caso a pessoa que aplicou esteja viva, teremos as taxas de mortalidade e de juros atuando conjuntamente: O valor esperado do montante do investimento após n períodos será: FV = PV(1 + i) n. P x = PV(1 + i) n. (1 q x ) δ = log e (1 + i) = força dos juros e δ = (1 + i)

16 Cálculo de Anuidades Vamos considerar a operação de seguro que consiste no capital diferido, comprado através de prêmio único, a ser pago num prazo de n anos caso a pessoa esteja viva nesta altura 3 fatores contribuem para o cálculo de prêmio: O Capital segurado diferido (FV) O fator de desconto financeiro A probabilidade (Px) de que a pessoa esteja viva dentro de n anos O valor presente do prêmio a ser pago é dado por: nex = FV.Px (1+i) n = FV.l x+n (1+i) n.l x valor atuarial l x+n (1+i) n.l x. = v n (fator desconto atuarial)

17 Tábuas de Comutação nex = FV.Px (1+i) n = FV.l x+n (1+i) n.l x valor atuarial l x+n. = (fator desconto atuarial) ; (1+i) n.l = vn. x l x+n = vx l v n 1 x v x. v n. lx+n = l x = n = fator de desconto financeiro l x (1+i) vx+n nex = vn. lx+n. l v x. x+n l lx x nex = vn. l x+n = = vx D x+n v x. v n. lx+n = vx+n. lx+n Dx l x v x. lx = vx v x. v n. lx+n = l x : D x = v x. l x e D x+n vx+n = v x+n. l. lx+n onde: x+n v x = D, ou seja, x+n D x = v x D. l x+t = v x+t. l x e D x+n = v x+n x+t. l x+n,. lx Dx A primeira coluna onde: D x = v x da Tábua de Comutação. l x e D x+n = v x+n é formada por todos os produtos D desde x. = l x+n 0 até, ou x = seja, w D x+t = v x+t. l x (sendo w a primeira idade onde não há mais sobreviventes). = D x+n Dx

18 Cálculo de Anuidades Anuidade de sobrevivência com pagamentos iguais - Anuidade vitalícia de valor unitário, pagável a uma pessoa a partir de um determinado ano da sua vida desde que ela esteja viva na altura. w x 1 - a x = je x w-x-1 j=1 a x = v t w-x-1 Dx+t. t P x = t=1 t=1 D x a x é o valor presente da série de pagamentos ou a renda unitária vitalícia postecipada Definindo uma nova comutação: w-x-1 Nx = D x+t t=0 a fórmula de a x torna-se: a x = N x D x 1

19 Cálculo de Anuidades Anuidade de sobrevivência com pagamentos iguais - Anuidade de valor unitário, paga a uma pessoa a partir de um determinado ano da sua vida, por um período de tempo limitado desde que ela esteja viva na altura. n D a x: n = = x+t n n tex D t=1 D a t 1 x x: n = = x+t tex t 1 t=1 Dx é a renda unitária de n Visto que sobrevivência n D x+t = N x+1 - N x+n+1, te Visto t 1 postecipada que D x+t = N x+1 - N x+n+1, temos que: t 1 a = N x+1 N x+n+1 x: n a = N x+1 N x+n+1 Dx x: n Dx n

20 Cálculo de Anuidades Anuidade de sobrevivência com pagamentos iguais Anuidade vitalícia, de valor unitário, que provê (x) pagamentos a uma pessoa a partir de um determinado ano da sua vida (x+n+1). n a w-x-1 1 w-x-1 / x = t E x =. Dx+t = N x+n+1 t=n+1 D x t=n+1 D x ou n/ a x = a x - a = N x+1 x:n Dx ou - N x+1 - N x+n+1 Dx = N x+n+1 Dx n/ a x = n E x. a x+n = D x+n Dx. N x+n+1 Dx+n = N x+n+1 Dx renda unitária, vitalícia, postecipada Cesar diferida Oliveira por n anos

21 Cálculo de Anuidades De um modo Geral: Modelo Antecipado-prestações (p) pagas ao início de cada período Financeiro s xn = p. (1 + i)n (1 + i) i Atuarial a x = w x 1 k=0 kex Renda Vitalícia Antecipada n a xn = k=0 kex Renda Temporária Antecipada s xn = p. N x N x+n = p. a D xn. 1 x+n nex

22 Cálculo de Anuidades De um modo Geral: Modelo Postecipado-prestações (p) pagas ao final de cada período Financeiro s n = p. (1 + i)n 1 i Atuarial a x:n = a x = n w x k=0 kex Renda Temporária Postecipada k=1 kex Renda Vitalícia Postecipada s x:n = p. N x+1 N x+n+1 1 = p. a D x:n. x+n nex

23 Cálculo Atuarial e Financeiro Exemplo Operação Financeira Cálculo do valor presente de ,35 aplicados com i= 6%aa durante 20anos C 0 =10.000,00 Operação Atuarial Cálculo do valor presente de uma operação previdencial que estabeleça o montante necessário ao pagamento de rendas, considerando x = 20 e n = 20: π 0 = s x (1 + i) n (m) nex. a x+n=32.071,35.nex= , 35(1, 06) 20. l 40 =9414,98 l 20 π 0 =Custo da operação no seu início Sx = salário do participante na idade x Is = incremento real dos salários N = nº de períodos da operação (m) =renda atuarial postecipada considerando apenas o decremento morte para um a x+n participante de idade x+n C 0 π 0 C n. (npx) (1 + i A ) n = C n (1 + i f ) n

24 Cálculo Atuarial e Financeiro Os valores de capitalização de prestações atuariais levam à formação de montantes mais elevados que os obtidos através do regime puramente financeiro. A partir da comparação entre os valores obtidos nos dois modelos, mede-se o nível de esforço adicional necessário (P) à formação de reserva matemática por contribuição definida por meio da prestação acumulada. Deste modo, para valores distintos das prestações (financeira e atuarial), tem-se o valor da reserva matemática, igualando as expressões obtidas para o valor futuro nos dois modelos. s x:n = s n pf. (1+i)n 1 =pa. N x+1 N x+n+1 i D x+n i(n x N x+n ) p F = p A 1 + i n+1 (1 + i). D x+n

25 Tábua de Mortalidade

26 Os Sistemas Previdenciários Arranjos institucionais para a proteção de idosos, inválidos e dependentes que perderam a sua fonte de sustento em razão do falecimento de seus provedores Previstos em lei contribuições e benefícios A solvência e a capacidade de pagar benefícios futuros é garantida pelo governo Podem ser complementados por sistemas privados de aposentadoria

27 Sistemas de Previdência Social Benefícios Fixos A fórmula de benefício é especificada e o modelo financeiro (contribuições) é estruturado de modo a financiar adequadamente os benefícios Contribuições Fixas As contribuições são definidas a priori e os benefícios são resultantes do investimento das contribuições

28 Sistemas de Previdência Social Benefícios Definidos Fontes de financiamento Contribuições (valor uniforme ou relacionadas à renda) Pagas pelas pessoas cobertas pelo sistema Pagas pelos empregadores em favor dos empregados cobertos pelo sistema Subsídios Outras receitas governamentais

29 Sistemas de Previdência Social Benefícios Definidos Fórmula da aposentadoria Valor uniforme Valor relacionado ao rendimento A base de cálculo pode ser O salário final segurado A média final dos salários segurados A média final dos salários segurados da carreira do indivíduo

30 Sistemas de Previdência Social Contribuições Definidas Fundos nacionais de previdência São abertas contas individuais para cada segurado e as contribuições são registradas nessas contas Os juros são adicionados periodicamente às contas O saldo acumulado pode ser pago como Um pecúlio na aposentadoria Invalidez Morte antes da aposentadoria Saques parciais para outros propósitos (habitação, saúde, educação)

31 Segurança Social Financiamento Modelo que permitirá a existência de um fluxo de recursos capaz de suprir as despesas (benefícios e administração) na medida em que estas ocorram; mecanismo que determina o valor e a periodicidade das contribuições adequadas ao sistema previdenciário;

32 Segurança Social Financiamento Parâmetros demográficos e econômicos A força da taxa de juros ( δ ) A força do crescimento de novos entrantes ( ρ ) A força do crescimento dos salários ( γ ) Taxa instantânea de mudança do nível geral dos salários responsável pela escala dos salários (progressão dos salários em função da idade) A força da indexação das aposentadorias (β) A força da mortalidade, invalidez, etc... μ x d A força da inflação ( θ )

33 Segurança Social Financiamento Parâmetros demográficos e econômicos Pressupostos : A taxa de crescimento dos salários ( salvo durante grandes transformações econômicas) deve superar a taxa de inflação pelos ganhos de produtividade A indexação das aposentadorias deve manter o poder de compra dos indivíduos cobertos pelo sistema (indexação de preços) e manter o padrão de vida dos aposentados semelhante ao dos ativos (γ β θ) δ > ρ + γ a taxa de juros (no longo prazo) deve superar a soma da taxa de crescimento do números de segurados com a taxa de crescimento da escala salarial

34 Segurança Social Financiamento Parâmetros demográficos e econômicos Pressupostos : A densidade de contribuições é de 100% O nº de novos entrantes no intervalo (t, t+dt) = e ρt A unidade de salários irá crescer segundo: e γt A unidade de aposentadoria deverá crescer segundo: e βt A unidade de tempo (contínuo) é o ano

35 Segurança Social Demografia Função População Ativa A(t) Função População aposentada R(t) Pressupostos : Assume-se que as pessoas que já alcançaram a idade da aposentadoria no início do funcionamento do sistema de previdência, não terão direito a este benefício Assumimos uma idade para os novos entrantes ( b ) Fixamos uma idade para a aposentadoria ( r )

36 Segurança Social Demografia Diagrama de Lexis Aposentad oria Entrada no Sistema

37 Segurança Social Desenvolvimento Demográfico Função População Ativa A(t) Função População aposentada R(t) Características das Funções demográficas: R t > 0 R (t) > A (t) R(t) A (t) (t < w 1 ) R (t) R(t) = A (t) A (t) = ρ (t w 1) w 1 = neste momento o sistema alcançou a sua maturidade demográfica

38 Segurança Social Desenvolvimento Financeiro Função Despesa (com benefícios ) B(t) Função Salário Segurado S(t) Características das Funções demográficas: B t > 0 B (t) > S (t) B(t) S (t) (t < w 2 ) R (t) = S (t) = ρ + γ (t w R(t) S (t) 2) w 2 = neste momento o sistema alcançou a sua maturidade financeira Taxa de reposição é o valor percentual da aposentadoria inicial em relação ao salário que serviu de base para o cálculo

39 Segurança Social Desenvolvimento Financeiro

40 Segurança Social Métodos de Financiamento Qualquer método de financiamento procura estabelecer um equilíbrio entre despesas e receitas, sem necessariamente igualar as contribuições com as despesas correntes (este é apenas um dos caminhos). Temos de considerar duas funções: C(t) função taxa de contribuição caracterizadora do método V(t) função reservas matemáticas representa o excesso das entradas sobre as saídas (acumulada com força de juros δ ) dv t = V t δ t + C t S t dt B t dt V m = e δm [B t C t S t ]e δt dt (expressão prospectiva para a m função reserva para um sistema de previdência novo)

41 Segurança Social Métodos de Financiamento Repartição Simples (PAY as YOU GO) - PAYG Definido teoricamente como V(t) =0 para todos os valores de ( t ) C t = B(t) S(t) Deverá ser aplicado para os RPPS em que a massa de participantes tenha alcançado um estado estacionário, onde as despesas previstas apresentem estabilidade, devidamente demonstradas nas avaliações atuariais anuais O Método PAYG alcança seu equilíbrio em um determinado (t), com as pessoas ativas arcando com os custos dos inativos. A alíquota de contribuição para o ano n+1 é dada por: PAYG n+1 = n+1 n B(t)e δt dt n+1 S(t)e δt dt

42 Segurança Social Métodos de Financiamento Prêmio Médio Geral - GAP Definido teoricamente como tendo uma alíquota de contribuição constante C(t) = C aplicada durante todo o tempo de vida do sistema de previdência. m C t = B(t)e δt dt V(m)e δm S(t)e δt dt m Se considerarmos a partir do início do sistema (m=0) 0 C t = B(t)e δt dt S(t)e δt dt 0

43 Segurança Social Métodos de Financiamento Capitalização Terminal TFS Repartição de Capitais de Cobertura-RCC Bastante utilizado em sistemas de seguros e acidentes de trabalho e também em sistemas de previdência Cada aposentadoria é capitalizada no momento da exigibilidade do prêmio capitalização prévia total no momento da ocorrência da exigibilidade do prêmio. Ka(t)dt = valor capitalizado dos prêmios em (t+dt) O valor presente dos gastos futuros com benefícios é: B(t)e δt 0 dt = 0 Ka(t)e δt dt Alíquota de Contribuição: C t = TFS t = Ka(t) S(t) Reserva p/ n períodos: V n = e n n [Ka t B t ]e δt 0 dt

44 Segurança Social Métodos de Financiamento PAYG GAP TFS Pouco prático para sistemas de previdência pela necessidade de alterar o valor da alíquota de contribuição com frequência, a alíquota final é elevada e praticamente não se acumulam reservas Tem uma alíquota constante mas que necessita ser relativamente elevada desde o início do sistema. Acumula bastante reserva. tem a característica da reserva ser adequada para cobrir as despesas futuras com os benefícios já concedidos. O método de períodos sucessivos de controle fornece um equilíbrio entre o PAYG e o GAP permitindo o controle da alíquota de contribuição e da acumulação de reservas.

45 Segurança Social Métodos de Financiamento Para cada Regime Financeiro de Capitalização Repartição Simples; Rep. de capitais de Cobertura; Capitalização Terminal Existem vários métodos de financiamento. Os mais usuais são: UC Crédito Unitário; PUC Crédito Unitário Projetado; PNI Prêmio Nivelado Individual; e, IEN Idade de Entrada Normal.

46 Segurança Social Métodos de Financiamento UC Crédito Unitário Num RPPS em equilíbrio financeiro e atuarial para um grupo de segurados o ativo líquido (AL) representa o valor atual dos benefícios futuros. No início do exercício financeiro temos: Al i = VABF i e no final teremos: AL f = VABF i + dvabf(t) B(t) CA(t) + R(t) + [C(t) * S(t)] ALf ativo líquido do plano no final do exercício financeiro; VABFi valor atual dos benefícios futuros no início do exercício financeiro; dvabf(t) acréscimo a ser considerado no exercício financeiro para o valor atual dos benefícios futuros; B(t) montante de benefícios pagos no exercício financeiro; CA(t) custo administrativo no exercício financeiro; R(t) remuneração no exercício financeiro do capital aplicado; C(t) percentual total a incidir (alíquota) mensalmente sobre a folha de contribuição dos segurados no exercício financeiro.

47 UC Crédito Unitário Segurança Social Métodos de Financiamento O valor de C(t) é dado por: VABF(t) = 13 * R(t) * ay * Dy / Dx VASF(t) = 13 * R(t) * ax C(t) = VABF(t) * 100 / VASF(t) VABF(t) VA do benefício futuro no final do exercício financeiro dos servidores ativos; R(t) remuneração de contribuição dos servidores ativos; ay anuidade vitalícia postecipada com pagamento sub-anual em 12 parcelas para um servidor com idade y y idade de um servidor na elegibilidade a uma ap. voluntária; Dy e Dx representam função atuarial para as idades y e x. x idade do servidor na data do cálculo. VASF(t) representa o valor atual dos salários futuros no final do exercício financeiro dos servidores que contribuem; ax representa uma anuidade postecipada com pagamento sub-anual em 12 parcelas diferida de (n) anos e temporária de (s) anos; É diferida do tempo passado que já contribuiu, é temporária porque se considera o tempo que falta para atingir a elegibilidade ao benefício (ex: aposentadoria voluntária).

48 Segurança Social Métodos de Financiamento PUC Crédito Unitário Projetado Na data de cálculo se projeta a remuneração para a data da elegibilidade do benefício By(t) = Rx(t) * (1+i)s By(t) valor do benefício na data que o servidor atinge a elegibilidade ao benefício (ex: aposentadoria voluntária) Rx(t) remuneração de contribuição do servidor na data do cálculo; (1+i)s fator de capitalização da remuneração com de taxa de juros ( i ) do crescimento real dos salários. Com a projeção do valor de Rx(t), obtém-se C(t) do mesmo modo que no Regime UC

49 Segurança Social Métodos de Financiamento Regime Financeiro de Capitalização PNI Prêmio Nivelado Individual O valor da alíquota de contribuição é determinada pela seguinte expressão: C(t) = (VABF x AL i ) * 100 / VASF x AL i ativo líquido do plano no início do exercício financeiro; VABF x valor atual dos benefícios futuros calculados na idade x; VASF x valor atual dos salários futuros calculados na idade x

50 Segurança Social Métodos de Financiamento Regime Financeiro de Capitalização IEN Idade de Entrada Normal Neste método de financiamento o plano de custeio é determinado pela seguinte expressão: C(t) = VABFm * 100 / VASFm VABFm valor atual do benefício futuro calculado na idade (m) que o segurado começou a contribuir para Regime (RGPS ou RPPS) considerando o valor do benefício na data de elegibilidade (ex: no caso de aposentadoria voluntária) VASFm valor atual dos salários futuros calculado na idade (m) que o segurado começou a contribuir para o Regime (RGPS ou RPPS) mas considerando o salário na data do cálculo.

51 Segurança Social Técnicas de Análise Atuarial Projeção Valor Presente

52 Segurança Social Métodos de Financiamento

53 Segurança Social Métodos de Financiamento

54 Reserva Matemática Para que haja equilíbrio, na contratação de um seguro, no momento inicial, o valor atual do compromisso do segurador, deve ser igual ao valor atual do compromisso do segurado. P. a = A ( O produto do prêmio anual pela renda antecipada é igual ao prêmio único) Será que este equilíbrio se manterá ao longo do tempo? Suponha que o contrato fosse feito alguns anos depois. Neste caso, a idade do segurado seria (x+t) e, como o prêmio único cresce com a idade do segurado, teríamos: P (t) > P ; A(t) > A estando rompido o equilíbrio inicial pois o compromisso do segurador é, agora em (t), maior do que o compromisso do segurado.

55 Reserva Matemática Como o valor do prêmio cresce com a idade do segurado, em (t) P (t) > P Para que haja equilíbrio, no instante (t), há que observar a diferença (Reserva Matemática) representada por : A t P. a (t) = [P (t) P ]. a (t) = V(t)

56 Reserva Matemática Exemplo: seguro de vida inteira de (x) a prêmio anual antecipado, t anos após o a celebração contrato. Nesta altura (t), o valor atual dos compromissos futuros do segurador é A x+t o valor atual dos prêmios puros futuros a serem pagos pelo segurado é: P x. a x+t. A diferença (A x+t - P x. a x+t) é a Reserva Matemática e representa a obrigação líquida do segurador. a reserva matemática é, neste caso, o excesso do valor atual dos benefícios futuros em relação ao valor atual dos prêmios puros futuros

57 Reserva Matemática Método Prospectivo Vamos considerar um seguro vida de (x), de valor unitário (t) anos após o contrato: O valor atual dos compromissos do segurador é: A x+t O valor atual dos compromissos futuros do segurado: P x. a x+t A Reserva Matemática (prospectiva) do final do ano (t) de seguro é o excesso do valor atual dos benefícios futuros a serem pagos pelo segurador sobre o valor dos prêmios futuros a serem pagos pelo segurado.

58 Reserva Matemática Exemplos de Cálculo Seguro ordinário de vida contratado em (x): t V x = (A x+t ) - (P x. a x+t) = M x+t (P x.n x+t ) D x+t Seguro de vida inteira com pagamento limitado a n prêmios anuais A reserva matemática do final do ano t é: n t V x.... Mx t - n Px (Nx t - Nx n ) Ax t - n Px.ä para t<n, x t:n-t Dx t

59 Reservas Matemáticas O equilíbrio financeiro, reflete a existência de reservas monetárias ou de investimentos, numerário ou aplicações suficientes para ao adimplemento dos compromissos atuais e futuros previstos. Não se vislumbra apenas os direitos atuais, mas também os que futuramente irão se materializar, isto é, a razoável certeza do adimplemento dos benefícios que irão surgir.

60 Fluxo de caixa PV = Valor Presente; FV = Valor Futuro J = juro composro; n = tempo de aplicação i=taxa de juros unitária[ i/100 ] PMT = Valor de uma prestação NPV = Valor presente líquido do investimento Investimento IRR = Taxa interna de retorno PB = Payback = Tempo de retorno Saídas Entradas Flx Líquido Flx Líquido Acum

61 Bibliografia ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo : Atlas, AYRES JR., Frank. Matemática Financeira. Rio de Janeiro : McGraw-Hill, PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira - Objetiva e Aplicada. São Paulo : Saraiva, Rodrigues, José Angelo. Gestão do Risco Atuarial Saraiva 2008 Iyer, Subramanian. Matemática Atuarial dos Sistemas de Segurança Social Tradução do MPAS-2002 Março a Maio de 2012