Cálculo e Instrumentos Financeiros (Parte 2) Pedro Cosme Vieira 1ª Aula

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1 Cálculo e Instrumentos Fnanceros (Parte 2) Pedro Cosme Vera 1ª Aula Faculdade de Economa da Unversdade do Porto 2013/ Introdução Rsco e sua dversfcação Quando alguém empresta um captal, tem como objectvo receber mas tarde esse captal que emprestou acrescdo dos juros Mas exste sempre uma probabldade de não receber nem uma cosa nem outra (no todo ou em parte). 3 4

2 Introdução Na análse de um nvestmento, porque é baseada em prevsões quanto ao desempenho futuro do negóco preços dos nputs, preços e quantdades dos outputs, deprecação do captal, falhas e descobertas tecnológcas A medda calculada a pror na avalação pode, a posteror, vr a concretzar-se de forma menos favorável. 5 Introdução No sentdo de compreendermos o rsco, controlá-lo e utlzá-lo na tomada de decsão, vamos neste capítulo apresentar a modelzação estatístca do rsco. 6 Introdução Já consderamos um modelo de rsco p > Prob. de não receber nada (1-p) > Prob. de receber captal e juros V.(1+r) 0 x p + V.(1+).(1-p) (1+r) / (1-p) -1 r > taxa de juro sem rsco > taxa de juro com rsco Seguro de vda Ex.2.1- Num seguro de vda em que é paga a ndemnzação na data da morte. A seguradora captalza os prémos pagos pelo segurado de forma a ter reservas para pagar a ndemnzação. A seguradora tem uma margem de 10% Qual o prémo anual por cada 1000 de ndemnzação? 7 8

3 Seguro de vda Se a seguradora soubesse a pror quantos anos faltavam para o segurado morrer e a taxa de juro, calculava faclmente o prémo do seguro que lhe permtra captalzar a ndemnzação e ter algum lucro Mas na data de assnatura do contrato essas grandezas não são conhecdas 9 Seguro de vda Se a duração fosse N e a taxa de juro r tínhamos Valor actual da ndemnzação N I (1 + r) Valor actual da soma de todos os prémos (prestações) pagos pelo segurado (antec.) P r N ( 1 (1 + r) ) (1 + r) 10 Seguro de vda Igualando obtemos o prémo que a seguradora precsa cobrar (sem margem) I (1 + r) P N P r I r N ( 1 (1 + r) ) N N + 1 ( 1 (1 + r) ) (1 + r) (1 + r) Exemplo: seguro de vda Se N40 e r 2% resultava: Paga 40 anualdades P ( ) Mas os 10%, seram /ano/ %/ano

4 Exemplo: seguro de vda O seguro tem rsco porque a seguradora não conhece N nem r >O rsco pode resultar de um fenómeno aleatóro, e.g., o euromlhões. > Mas o mas normal é resultar de uma concretzação futura, e.g., a ocorrênca de uma novação tecnológca Exemplo: seguro de vda Sem conhecermos N nem r o melhor que pode ser feto é a construção de alguns cenáros Dvdmos cada varável em cenáros Como exemplo, consderamos os cenáros Adverso, Médo, favorável M.Mau, Mau, Médo, Bom, M.Bom M.Mau, Mau, Médo-, Médo+, Bom, M.Bom Exemplo: seguro de vda Seguro de vda Cada cenáro é uma combnação de valores possíves para as varáves relevantes desconhecdas No caso de varáves contínuas, esse valor é o representante de um ntervalo, e.g., o valor do meo

5 Exemplo: seguro de vda Seguradora cobrar /ano por cada seguro de 1000, terá prejuzo nos cenáros Mau e Mmau e uma margem maor que 10% nos cenáros Bom e Mbom. Exemplo: seguro de vda Também podemos usar uma combnação de cenáros ndvduas. Se temos 5 cenáros para a taxa de juro e 6 para a longevdade, da combnação resultam 30 cenáros Cobrando um prémo anual de 17.86, podemos dentfcar os cenáros em que a seguradora tem prejuzo e lucro Exemplo: seguro de vda Introdução Os cenáros conseguem dar uma dea dos potencas perdas e ganhos mas não nos ajudam quanttatvamente na decsão F5: $C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2) Vamos necesstar de alguns concetos estatístcos que permtam agregar a nformação. Área F6:K10 com formatação condconada (se <17.854) 19 20

6 Concetos estatístcos báscos Concetos estatístcos báscos A Estatístca descreve, organza e relacona objectos e fenómenos demasado dfíces de apreender com as ferramentas conceptuas da matemátca clássca (.e., funções reas de varáves reas) Concetos estatístcos báscos A estatístca reduz a dmensão do fenómeno consderando Poucas varáves (as mas relevantes) e Conhecmento parcal dessas varáves Concetos estatístcos báscos Por exemplo, quando se constró um avão, é necessáro colocar bancos adequados para acomodar Pessoas com Necessdades Especas (PNE). Cada lugar mplca um custo Mas dexar passageros em terra tem uma penalzação Eu não se quantas pessoas aparecem em cada voo

7 Concetos estatístcos báscos Dados passado: Olhando para as pessoas que vajaram no passado, 3.0% são PNE. Concetos estatístcos báscos Partndo desta nformação pouco pormenorzada Calculada com os passageros do passado podemos calcular, com a ajuda da estatístca, estmatvas para as necessdades das vagens futuras Supomos a establdade das característcas da população Concetos estatístcos báscos Concetos estatístcos báscos Probabldade 15% 10% 5% 0% PNE Sabendo-se que 3% dos ndvíduos são PNE, em x% das vagens futuras (com 200 passageros) haverá necessdade de N lugares Agora, podemos optmzar uma função objectvo. H1) cada lugar especal dá 50 de prejuzo H2) Dexar um PNE em terra tem 1000 de penalzação Podemos mnmzar o prejuzo esperado Função dstrbução de Posson 27 28

8 Concetos estatístcos báscos Concetos estatístcos báscos A varável de decsão é N. 0 f ( n, x) 50n 1000( x n) se x n se x > n x é o número de PNE que aparecem num voo qualquer n é o número de caderas especas do avão Prejuzo esperado Número de caderas especas Concetos estatístcos báscos Para já não nteressa saber como a fgura anteror fo calculada. Com os 3% de PNE, fo possível construr um modelo de apoo à decsão. O valor óptmo depende da percentagem de PNE (estmatva) 2.0% > 11 lugares 3.0% > 14 lugares 4.0% > 17 lugares 31 Noção de varável estatístca 32

9 Noção de varável estatístca Noção de varável estatístca Na prmera parte da dscplna aprendemos modelos que nos permtem quantfcar o mpacto da nossa decsão em função das varáves relevantes (e.g., taxa de juro, taxa de crescmento as vendas) O rsco resulta de não conhecermos os valores concretos que as varáves vão assumr no futuro. 33 Por exemplo, na construção de um automóvel não se a altura nem o peso do futuro condutor. Será um valor sorteado da população Vou ultrapassar a falta de nformação assumndo que será um valor retrado aleatoramente da população da qual conheço estatístcas e.g., o valor médo e a dspersão 34 Noção de varável estatístca Numa extracção aleatóra os ndvíduos são obtdos sem ter em atenção nenhuma das suas característcas e.g., a extracção de uma bola no Euromlhões não tem em atenção o número. Depos, agrego a população numa função objectvo a optmzar Valor esperado do lucro ponderado pelo rsco Probabldade A cada um dos valores possíves (.e., cada cenáro) é atrbuído uma probabldade -> Atrando uma moeda ao ar, a probabldade de sar cara é 50%. -> Retrar o número 33 de um saco com os números 1 a 50 é 1/50. -> A probabldade de nascer uma raparga é 49.03% (INE, Jan2013:Jul2013)

10 Interpretações de probabldade Probabldade de se concretzar o valor x Clássca: é a proporção de vezes em que observo o valor x se repetr a experênca de forma ndependente e mutas vezes Bayesana: é uma conjectura construída por pertos sobre o fenómeno anda desconhecdo se concretzar com o valor x Em termos prátcos, a perspectva bayesana é mas flexível mas não tem tanto suporte teórco Probabldade A probabldade não garante qual o valor que se va obter no concreto e.g., sabe-se que a probabldade de numa vagem haver 6 PNE é de 16% não dz que vão aparecer 6 pessoas mas contém um certo grau de nformação que ajuda a avalar a mportânca relatva dos cenáros construídos Probabldade Opnão de pertos: Ex.2.4. Foram dentfcados 8 cenáros possíves quanto ao comportamento do preço do Brent em dólares daqu a 10 anos e nqurda a opnão de 100 pertos sobre a probabldade de se concretzarem (proporconal à escala de 0 a 10). Probabldade Com base na soma dos pontos atrbuídos por todas as pessoas, determne a probabldade assumda para que cada um dos cenáros possa vr a acontecer

11 2ª Aula B5: B4/$J4 J4: Soma(B4:I4) Conclundo, 1 - Eu tenho um modelo de cálculo das mplcações fnanceras da mnha decsão onde me falta a nformação sobre o cenáro concreto que se va realzar Tenho o modelo que funcona bem quando conheço os valores 43 44

12 Substtuo o valor desconhecdo por uma varável aleatóra 2 Quando não tenho os valores, o melhor que posso fazer é substtur o valor desconhecdo por uma varável aleatóra de que eu tenho nformação quanto à probabldade de cada cenáro se vr a concretzar. Por exemplo, não conheço a duração Uso uma varável aleatóra como modelo do rsco Esta substtução (do cenáro futuro desconhecdo pela varável aleatóra) mplca que tenha como resultado não um valor mas também uma varável aleatóra (como se fosse toda uma população de resultados). Exemplo Ex.2.5. Conhecda a probabldade de o ndvduo durar determnados anos e a taxa de juro ser determnada retome o Ex.2.1 e calcule a probabldade da seguradora ter uma margem das vendas abaxo dos 10% pretenddos 47 48

13 Caracterzação da v.e. População dvdda em cenáros Intervalos Pego nos ndvíduos todos da população e calculo a proporção que ca dentro de cada classe e.g., dvdo a longevdade de uma pessoa nos ntervalos [0, 30]; ]30,60]; ]60,90] e ]90, 120] Caracterzação da v.e. Não podendo medr toda a população, utlzo uma amostra no cálculo da probabldade Quando (parte) da população está no futuro, tenho que consderar o presente como uma amostra dessa população do futuro Exemplo a probabldade de cada cenáro é determnada com nformação passada e pela opnão de um panel de pertos Vamos supor a segunte nformação quanto à probabldade de ocorrenca de cada cenáro: 51 52

14 Exemplo R. Agora que tenho nformação quanto à probabldade de cada um dos cenáros poder ocorrer, olhando para o resultado de cada cenáro (apresentado no Ex. 2.1) somo a probabldade dos cenáros em que o prémo devera ser maor que o adoptado (1.785%/ano) São os cenáros a vermelho A probabldade da margem das vendas fcar abaxo dos 10% pretenddos é 57.78%. Exemplo: seguro de vda F5: $C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2) Área F6:K10 com formatação condconada (se <17.854) Tabelas de sobrevvênca Tabela de sobrevvênca As seguradoras têm tabelas que dão a probabldade de uma pessoa estar vva decorrdos x anos desde que nasceu. Quantfcado em partes por Por exemplo, o INE estma que a probabldade de um ndvduo nascdo em 2007 estar vvo em 2040 é 98439/

15 Tabelas de sobrevvênca A probabldade de uma pessoa de 20 anos durar apenas 10 anos é de ( )/ % Exercíco Ex.2.6. Uma empresa contrata um fnancamento de 10M com 3 anos de dfermento e amortzado nos restantes 7 anos, pagamentos trmestras postecpados. TAE é a EURIBOR mas 2.5 p.p. Usando um quadro de probabldades conhecdo, determne P(prest>500k ) Exercíco D6: (A6+B6)/2; E6: D6+E$1; F6: (1+E6)^(1/4)-1 Ex.2.7. Uma famíla adqure um móvel a crédto > 150k a 40 anos > Prestação mensal guas em termos reas > Antecpada Quero saber o esforço fnancero > Prestação/Rendmento G6: B$3*F6/(1-(1+F6)^-E$2); E3Soma(C12:C18) 59 60

16 Exercíco Vamos fazer a análse a preços constantes e calcular a prestação anual paga no meo do ano da renda cujo valor actual é 150k : que evta saber a taxa de nflação P P r 40 ( 1 (1 + r) ) r ( 1 (1 + r) ) (1 + r) (1 + r) Exercíco Podíamos fazer mensal rm (1 + r)^ (1/12) 1 Pm rm 480 ( 1 (1 + rm) ) (1 + rm) Mas a dea é vsualzar a smplfcação de consderar o pagamento a meo do período. 62 Exercíco Dados Eu não se qual va ser a taxa de juro real nem o rendmento futuros. Vou assumr cenáros e probabldades para cada cenáro

17 Valor médo J5: $B$1*$D5/(1-(1+$D5)^-$B$2)/(1+$D5)^0,5/E$4 O5: IF(J5>$P$2;E5;0) P3: SUM(O5:S9) Na tomada de decsão é convenente agregar todos os cenáros em apenas algumas meddas. Em termos económcos, o valor esperado (médo) é a medda que contém mas nformação é a componente sem rsco do fenómeno que estamos a analsar Valor médo Havendo n cenáros caracterzado cada um por x n, com determnada probabldade de ocorrênca, p n, o valor médo será µ x1. p1 + x p + x. p x. p x p p 2 2. p Porque as probabldades somam n x n n. p. p n n 67 Valor médo O valor médo já nos permte um crtéro quanttatvo que nos ajuda a decdr numa stuação com rsco. Mas é muto lmtado porque não tem em atenção o rsco (a varabldade) 68

18 Ex.2.8. Um empresa fornece refeções a avões. Que confeccona durante a note para responder às solctações do da segunte que são ncertas. Por cada refeção que fornecer recebe 15 (com um custo de produção de 5 ) e tem uma penalzação de 15 por cada refeção que seja pedda e não possa ser fornecda. As refeções que sobram são destruídas no fm do da. ) Determne, em méda, a rentabldade do fornecmento em função do número de refeções confecconadas. ) Determne o número de refeções que maxmza a rentabldade méda A empresa constró cenáros em que a varável desconhecda é o número de refeções encomendadas Calcula, para cada da e com base na sua experênca, a probabldade de cada um dos cenáros se verfcar. Com essas probabldades, a empresa determna o resultado médo do da em função do número de refeções confecconadas (que é a varável de decsão). 71 E6: MÍNIMO(C6;$D$1) F6: C6-E6 G6: E6*E$4-D$1*D$2+F6*F$4 H6: D6*G6 H15: SOMA(H6:H14) 72

19 Alterando o valor da varável de decsão, D1, determno qual o número de refeções que maxmza o resultado médo, H15 Optmzação O Excel tem a ferramenta Solver que permte maxmzar ou mnmzar o resultado de um modelo. No Excel 2007: Offce Button+ Excel Optons + Add-ns category +no Manage clckar em Go, +Solver Add In Depos, aparece no Analyss Desvo padrão 3ª Aula Ao agregarmos os cenáros no valor médo fcamos sem uma medda de rsco o desvo padrão, σ, é uma boa medda do rsco de assumrmos o valor médo dos cenáros possíves como o valor do cenáro que va acontecer (e que é desconhecdo) 75 76

20 Desvo padrão Algebrcamente é a raz quadrada da Méda dos desvos ao quadrado Desvo padrão Como a soma de todas as probabldades dá 1 σ 2 ( x µ ). P ( x µ ) 1 1 P P 1 n N 2. P N σ 2 2 ( x 1 µ ). P ( x n µ ). PN Desvo padrão O desvo padrão é uma expressão dervável e que tem nterpretação geométrca. Se, e.g., uma população se agrega no valor médo 25 /da e desvo padrão 5 /da, é equvalente a ter metade dos ndvíduos em 20 /da e outra metade em 30 /da. Desvo padrão Ex Uma empresa pretende nternaconalzar-se e traçou város cenáros possíves Determne o valor médo e o desvo padrão do resultado fnancero que resulta da nternaconalzação

21 Desvo padrão D2: $B2*C2 D10: SUM(D2:D9) E2: (C2-$D$10)^2 F2: $B2*E2 F10: SUM(D2:D9) F11: F10^0,5 Podemos ler este resultado como: Em méda o resultado será 28.3k mas em metade dos casos o resultado será 4.3k e na outra metade será 52.3k Ex Supondo que nos baralhos de 52 cartas uma fgura vale 10 pontos. Determne o valor médo e o desvo padrão dos pontos de uma carta retrada aleatoramente. Nesta população teórca eu posso calcular os valores da população 83 4 cartas valem 1 ponto, 4 cartas valem 2 pontos. 4 cartas valem 9 pontos 16 cartas valem 10 pontos µ

22 O desvo padrão será σ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Ex Relatvamente ao Ex. 2.8, determne o desvo padrão dos resultados. Determne o número de refeções que maxmza o valor médo do resultado menos o seu desvo padrão. As pessoas preferem não nfrentar rsco pelo que, quando ele exste, é precso retrar alguma cosa ao valor médo Função de dstrbução I6: (G6-$H$15)^2 J6: I6*D6 Quando a varável é contínua podemos partr o domíno em ntervalos, cenáros, e apontar uma probabldade de o acontecmento vr a pertencer a cada um dos cenáros. Em cada cenáro adoptamos como valor representatvo o meo do ntervalo J15: SOMA(J6:J14) J16: J15^0,

23 Função de dstrbução Apesar de atrburmos uma probabldade a cada cenáro Se temos 30 cenáros, precsamos de 29 números Mas não exste nformação para ter rgor nesses números. Temos nformação para 1 ou 2 números Função de dstrbução É acetável pensar que os cenáros vznhos têm assocadas probabldade semelhantes. A Estatístca propõe o uso de uma função F(x) que quantfca a probabldade de ser observado um valor menor que ou gual a dado valor x Função de dstrbução A função de dstrbução é caracterzada por alguns parâmetros No ex.2.1 use a Função Dstrbução de Posson que se caracterza por 1 parâmetro (os 3%) Valor médo Desvo Padrão Dstrbução Normal É caracterzada por dos parâmetros O valor médo O desvo padrão (ou a varânca) Varânca desvo padrão ao quadrado É mportante porque é a dstrbução lmte da soma de acontecmentos estatstcamente pouco dependentes 91 92

24 Dstrbução Normal A probabldade de acontecer o cenáro ]µ σ; µ + σ] é de 68.3% 2/3; ]µ 2σ; µ +2σ] é de 95.5% 19/20 ]µ 3σ; µ +3σ] é de 99.7% 997/1000. Dstrbução Normal Ex. o QI -coefcente de ntelgênca é uma varável aleatóra com dstrbução normal com méda 100 e desvo padrão 15 A probabldade de encontrar aleatoramente um ndvíduo com QI > 145 é 0.13% (.e., uma em cada 740 pessoas) 1-DIST.NORM(145;100;15;VERDADEIRO) Inglês: NORMDIST Dstrbução Normal A Dstrbução Normal concentra a maor probabldade nos cenáros em torno do valor médo P(x 20% k ) 15% 10% 5% 0% -3-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3k Exercíco Ex Compre obrgações a 25 anos à taxa de juro nomnal fxa de 3%/ano, sem possbldade de moblzação antecpada. A taxa de nflação méda prevê-se segur dstrbução N(0.02, 0.01)/ano Determne o valor real a receber no fm do prazo de aplcar e a probabldade de esse valor ser menor que a quanta aplcada

25 Exercíco Exercíco 1) Vou dvdr o domíno da taxa de nflação em cenáros e calcular o valor captalzado para cada cenáro 2) Calculo o valor médo e o desvo padrão do V.F. em termos reas e a probabldade de vr a ser recebdo uma quanta menor que a aplcada ª Aula A7: G1-4,25*G2 B7: A7+$G$2/2 A8: B7D7: (A7+B7)/2 C7: DIST.NORM(B7;G$1;G$2;true)-DIST.NORM(A7;G$1;G$2;true) E7: (1+C$1)/(1+D7)-1 F7: C$2*(1+E7)^C$3 G7: F7*C7 H7: (F7-G$25) I7: H7^2*C7 C24: SOMA(C7:C23) G25: SOMA(G7:G22)/C24 I24: SOMA(I7:I22)/C24I25: I24^0,5 I26: DIST.NORM(C2;G25;I25;true)

26 Dstrbução Unforme Na F.D. Unforme os valores no domíno são todos gualmente prováves. Pode se caracterzada pelos extremos valores mínmo e máxmo Pelo valor médo e ampltude Pelo valor médo e desvo padrão Dstrbução Unforme Sendo dados µ valor médo σ desvo padrão O Valor mínmo µ σ O Valor máxmo µ σ Dstrbução Unforme Sendo dados Mx valor máxmo Mn valor mínmo Valor médo (Mn + Mx)/2 Desv. padrão (Mx - Mn) Dstrbução Unforme A probabldade de um cenáro é a sua proporção no domíno possível. Ex., com a dstrbução unforme U(Mn,Mx) U(5; 10) A probabldade do cenáro [5;6] é 1/

27 Escolha da F.Dstrbução A função dstrbução não é conhecda sendo uma proposta da Teora. No entanto, em termos de decsão económca, a função dstrbução não é um factor crítco (ver ex.2.13). e.g., consderar uma função dstrbução normal é dêntco a consderar uma função de dstrbução unforme. Dstrbução não smétrca No entanto, quando o fenómeno é caracterzado por uma função muto assmétrca, Exste uma probabldade mas elevada de alguns acontecmentos catastrófcos Mede-se com 3 m ( ) 3 µ P x m é zero nas F.D. smétrcas não posso utlzar uma função smétrca Dstrbução não smétrca Exemplo de uma dstrbução assmétrca é o caudal de um ro É normal ter m / µ > 5 80% dos das um caudal ao valor médo 1 da em cada 100 anos haver um caudal 30 vezes superor ao caudal médo Dstrbução não smétrca Os caudas muto elevados (e.g., que ocorrem com a probabldade de 1 da em 100 anos) têm muto poder destrutvo Os seguros contra danos de cheas têm que quantfcar com rgor a probabldade destes acontecmentos extremos As barragens e pontes têm que ser fetos de forma a resstr a estes caudas extremos

28 Dstrbução não smétrca Rbera, 1962/01/03 10:00, ~17000m 3 /s, 1909 fo > em 68cm O caudal médo do ro Douro no Porto é 714m 3 /s A ponte de Entre-os-Ros cau com o caudal no Porto de ~13500m 3 /s A maor chea conhecda no Porto ocorreu em 23 de Dezembro de 1909 (e 6 Dez. de 1739) com >20000m 3 /s A barragem de Lever-Crestuma está dmensonada para 26000m 3 /s Operações algébrcas smples Operações algébrcas com uma varável aleatóra Se somarmos uma constante a uma varável aleatóra O valor médo vem aumentado O desvo padrão mantêm-se µ ( a + X ) a + µ ( X ) σ ( a + X ) σ ( X )

29 113 Operações algébrcas smples Ex. A altura das pessoas é N(1.75, 0.15) Supondo-as em cma de uma cadera com 0.5m, a altura total será N(2.25, 0.15) 114 Operações algébrcas smples ) ( ) ( ) ( ) ( X a x p a p x p a p x a p X a n n n n µ µ Operações algébrcas smples ( ) ( ) ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( x X x p X a x a p X a n n σ µ µ σ Operações algébrcas smples Se multplcarmos uma constante por uma varável aleatóra O valor médo vem multplcado O desvo padrão vem multplcado pelo valor absoluto da constante ) ( ) ( ) ( ) ( X a X a X a X a σ σ µ µ

30 117 Operações algébrcas smples ) ( ) ( ) ( ) ( X a x p a x a p x a p X a n n n µ µ 118 Operações algébrcas smples ( ) ( ) ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( x a X x p a X a x a p X a n n σ µ µ σ 119 Operações algébrcas smples Ex Um marcenero tem 1000 /mês de despesas fxas e tem de margem das vendas, em méda, 15 por cada móvel que produz. Supondo que projecta produzr este mês 100 móves, qual será a sua remuneração em termos médos? R. Atendendo às propredades, teremos 100 µ Ex.2.15 Um empresáro está a avalar o aluguer de um barco de pesca pelo qual paga 3ml /da. Demora um da de vagem para cada lado e pesca, durante 5 das, 2500kg/da O preço de venda segue dstrbução N(2,1) /kg Quanto será o lucro? Qual a probabldade de ter prejuízo?

31 Ex.2.15 O lucro será N(2; 1) N(2; 1) N(25000; 12500) N(4000; 12500) Em méda 4ml com desvo padrão de 12.5ml Exercíco Compro os legumes a 0.50 /kg, pago 75 pelo transporte e o preço de venda é desconhecdo tendo dstrbução N(0.60; 0.15) /kg. ) Determne qual va ser o meu lucro de ntermedar 1000kg de legumes. ) Determne a probabldade de eu ter prejuízo. A probabldade de ter prejuízo será 37.45%, NORMDIST(0;4000;12500;TRUE) Exercíco ) Lucro V.(Pvenda Pcompra) Ctransporte 1000[N(0.60, 0.15) 0.50] 75 Lucro N(600, 0.15x1000) 575 N(25, 150) ) No Excel teríamos A1: Dst.Norm(0; 25; 150; Verdadero) 43.38% Exercíco Ex O empresáro A fez uma descoberta que lhe permte desenvolver um negóco cujo q de Tobn é N(1.5, 0.25) e onde é necessáro nvestr 1M. Sendo que o empresáro A vendeu ao empresáro B metade do negóco por 625k, qual será o q de Tobn de A e de B?

32 Exercíco R. A nveste 375k que terá RECEB. 0.5 q N(1.5,0.25) INVEST N(2,0.333) Acções - obrgações O Ex.2.16 lustra porque é vantajoso o empreendedor emtr acções da sua empresa. Uma acção é uma parte do captal própro da empresa tendo, em termos contablístcos, um certo valor nomnal, normalmente 1. B nveste 625k que terá 0.5 q N(1.5,0.25) N (1.2,0.2) Acções - obrgações 5ª Aula Por exemplo, uma empresa com um captal socal de 10M dvde-se em 10M de acções com valor nomnal de 1 cada. A acção dá dretos de voto na condução dos destnos da empresa e é remunerada com uma parte dos lucros, o dvdendo, que é ncerto

33 Acções - obrgações As acções têm maor rsco que as obrgações porque, em caso de nsolvênca, os actvos da empresa pagam prmero as obrgações e apenas o que sobrar (.e., nada) é que é dvddo pelas acções. Além dsso, no contrato de emssão o resultado das obrgações é conhecdo (o cupão e o valor de remssão) enquanto que o lucro da empresa é varável. 129 Acções - obrgações Interessa ao empresáro dspersar o captal da empresa porque, normalmente, a empresa emte as acções, numa operação denomnada por OPV (mercado prmáro), a um preço superor ao valor contablístco. As acções são depos transacconadas entre nvestdores (mercado secundáro) sendo o seu preço, denomnado por cotação, determnado pela expectatva que os agentes económcos têm da evolução futura do negóco (.e., dos dvdendos e da cotação). 130 Operações algébrcas não smples Se qusermos calcular um prémo de um seguro de vda em que a duração do ndvduo é uma varável aleatóra, as operações algébrca não são smples: L P L V ( 1+ r) (1 (1 + r) )(1 + r) r P V r (1 (1 + r) )(1 + r) L L Operações algébrcas não smples Cálculo expedto. Sendo que temos y g(x), obtemos um valor aproxmado da dstrbução usando os dos pontos notáves x 1 µ - σ e x 2 µ + σ Calculamos y 1 g(µ-σ) e y 2 g(µ+σ) Valor médo (y 1 + y 2 )/2 Desv. padrão y 2 - y 1 /2 132

34 Operações algébrcas não smples Nas dstrbuções smétrca é ndferente usar Valor médo (g(µ-σ) + g(µ+σ))/2 g(µ) Nas dstrbuções assmétrcas é melhor usar Valor médo (g(µ-σ) + g(µ+σ))/2 Exercíco Ex O prémo de um seguro de vda com r 2%/ano, L ~ N(50, 10) ) Determne qual devem ser as reservas Y/1000 de forma a ter Y µ(p) + σ(p). ) Se a seguradora propõe um prémo antecpado de 15 /ano por 1000 seguros, qual será o seu lucro? P Exercíco L V (1 + ) r L (1 (1 + r) )(1 + r) P(40) /ano; P(60) 8.60 /ano. a seguradora precsará reservas com méda ( )/ /ano e desvo padrão ( )/ /ano aconselhando a prudênca a que as reservas sejam /ano. 1 Exercíco P(40) /ano; P(60) 8.60 /ano. Lucro(40) /ano; Lucro (60) /ano. Para uma longevdade genérca, o lucro do seguro terá valor médo ( )/ /ano desvo padrão ( )/ /ano

35 Operações algébrcas não smples Dvsão em cenáros. Já utlzamos esta abordagem (ex ex.2.11). Operações algébrcas não smples Dvde-se o domíno da varável em cenáros sendo convenente utlzar a folha de cálculo. Ao consderarmos ntervalos mas pequenos, estamos a dmnur o erro de cálculo Operações algébrcas não smples C7: NORMDIST(B7;C$2;C$3;TRUE)- NORMDIST(A7;C$2;C$3;TRUE) D7: (A7+B7)/2+0,5 E7: F$1-H$1*F$2/(1-(1+F$2)^-D7)/(1+F$2)^(D7+1) F7: C7*E7 G7: E7-F$40 H7: G7^2*C7 C39: SUM(C7:C38) F40: SUM(F7:F38)/$C39 H39: SUM(H7:H38)/$C39 H40: H39^0,5 Método de Monte Carlo Método de Monte Carlo. 1) Sorteamos város valores para a varável de acordo com a sua função dstrbução. 2) Aplca-se o modelo aos dados e determnase uma população de resultados possíves. Calcula-se o valor médo, o desvo padrão, fazse um hstograma, etc., dos resultados. Tools + Data Analyses + Random Number Generaton **

36 Método de Monte Carlo Método de Monte Carlo **Excel 2007 Instalamos o Data Analyses Offce Button + Excel Optons + Add Ins + Excel Add Ins Go Depos, aparece em Data o Data Analyss Método de Monte Carlo Método de Monte Carlo Quando derem o R, verão que o Método de Monte Carlo é de smples mplementação É muto flexível e poderoso Permte determnar o erro de cálculo

37 Comparação dos métodos O método expedto, por usar apenas dos pontos notáves, será o de menor grau de confança A dvsão em cenáros está dependente do detalhe dos cenáros O método de monte carlo está dependente do número de elementos extraídos Comparação dos métodos No caso do Ex Dversfcação do rsco Dversfcação do rsco O modelo estatístco ajuda a decdr num problema com rsco Podemos dmnur o rsco juntando actvdades dversfcando Em termos estatístcos, são operações de soma de varáves aleatóras

38 Dversfcação do rsco Em termos económcos trata-se de construr uma cartera de actvos Não pôr os ovos todos no mesmo cesto Uma concretzação negatva de um actvo será estatstcamente compensada por uma concretzação postva de outro actvo Dversfcação do rsco Por exemplo, na praa podemos vender gelados e gabardnes. Quando faz calor, a venda de gabardnes dá prejuízo e a de gelados dá lucro Quando chove, a venda de gabardnes dá lucro e a de gelados dá prejuízo Vender de ambos dmnu o rsco Dversfcação do rsco Faz Calor Chove Gelados Gabardnes Total do negóco Duas varáves Dvsão das varáves em cenáros Probabldades cruzadas Já utlzamos no ex.2.5 O método é semelhante à stuação em que temos uma varável estatístca, mas agora serão cenáros que envolvem a concretzação de város contngêncas. 152

39 Exercíco Ex Um pescador precsa decdr se va pescar ou não. Não sabe a quantdade que va pescar nem o preço a que va vender. A ntução permte-lhe construr cenáros e atrbur-lhes probabldades. De, em smultâneo, se verfcar uma quantdade pescada (em kg) e um preço (em /kg). 153 Exercíco Pesca \ preço [1; 2] /k ]2; 3] /k ]3; 4] /k [0; 100]kg 0% 4% 10% [100; 250]kg 1% 35% 15% ]250; 400]kg 5% 10% 10% ]400; 500]kg 9% 1% 0% 154 Exercíco Exercíco O pescador pode agora calcular a receta (em termos médos e desvo padrão) multplcando a quantdade (do meo do ntervalo) pelo preço (do meo do ntervalo) e decdr r pescar se, e.g., a receta méda menos o desvo padrão for maor que os custos fxos

40 Exercíco B8: $A2*B$1 F2: B8*B2 H6: SUM(F2:H5) F8: (B8-$H$6)^2*B2 H12: SUM(F8:H11) H13: H12^0,5 Decsão Depende agora dos custos fxos necessáros para poder pescar. Se fossem, por exemplo, 500 fcara Lucro médo 61,50 Des.Pa.lucro 270,76 Se a função objectvo fosse LM-DP , não a pescar por ser < Exercíco 6ª Aula Ex Uma empresa com 1000 trabalhadores pretende contratar um seguro de trabalho que dura 5 anos O seguro, em caso de morte, paga 60 meses de saláro à vúva. Quanto deve ser o prémo mensal, antecpado?

41 Exercíco Exercíco R. Temos 3 varáves desconhecdas, a taxa de juro, a longevdade e o saláro Vamos supor que a seguradora assumu 45 cenáros, calculou as probabldades de cada um e construu um modelo no Excel. Assume-se que a probabldade de nos 5 anos o trabalhador morrer é 0,140% Exercíco Exercíco K3: I3*$O$2*H3/(1-(1+H3)^-G3)/(1+H3) L3: K3*J3 M3: (K3-$L$52)^2*J3 L51: SOMA(L3:L49) M50: SOMA(M3:M49) M51: M50^0,

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