Simulação de um catálogo espectrofotométrico III ABC do método de Monte Carlo. Laerte Sodré Jr. Fevereiro, 2011

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1 Simulação de um catálogo espectrofotométrico III ABC do método de Monte Carlo Laerte Sodré Jr. Fevereiro, 2011

2 O começo:

3 População e Amostra População: uma coleção completa de objetos (pessoas, animais, galáxias) a partir da qual podemos obter dados. É a população que nos interessa, é o que queremos explicar ou tirar conclusões Amostra: grupo de objetos extraídos da população para estudo. Para cada população há muitas amostras possíveis.

4 Amostragem (sampling) Amostragem: seleção de observações de uma população A amostra é representativa da população? Efeitos de seleção! Em astronomia os efeitos de seleção são geralmente determinados por limites instrumentais.

5 MCMC Monte Carlo Markov Chain Objetivo: gerar um conjunto de pontos a partir de uma certa distribuição de probabilidades Monte Carlo: os pontos são gerados ao acaso Cadeia de Markov: os pontos são gerados em sequência e cada novo ponto gerado depende apenas do ponto anterior

6 Georges Louis Leclerc Comte de Buffon ( )

7 Buffon's original form was to drop a needle of length L at random on grid of parallel lines of spacing D. For L less than or equal D we obtain P(needle intersects the grid) = 2 L / PI D. If we drop the needle N times and count R intersections we obtain P = R / N, PI = 2 L N / R D.

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12 Monte Carlo Example: Estimating π

13 If you are a very poor dart player, it is easy to imagine throwing darts randomly at the above figure, and it should be apparent that of the total number of darts that hit within the square, the number of darts that hit the shaded part (circle quadrant) is proportional to the area of that part. In other words,

14 If you remember your geometry, it's easy to show that

15 (x, y) x = (random#) y = (random#) distance = sqrt (x^2 + y^2) if distance.from.origin (less.than.or.equal.to) 1.0 let hits = hits + 1.0

16 A Simple Integral Consider the simple integral: This can be evaluated in the same way as the pi example. By randomly tossing darts at a graph of the function and tallying the ratio of hits inside and outside the function.

17 A Simple Integral (continued ) R = {(x,y): a x b, 0 y max f(x)} Randomly tossing 100 or so darts we could approximate the integral I = [fraction under f(x)] * (area of R) This assumes that the dart player is throwing the darts randomly, but not so random as to miss the square altogether.

18 Geração de amostras a partir de distribuições de probabilidades A ideia é gerar uma sequência de números aleatórios (pontos ou variáveis) que obedeçam a uma certa distribuição de probabilidades (ponto aqui pode ser num espaço de N-dimensões) Cada ponto gerado depende apenas do anterior A melhor maneira de se gerar um novo ponto é usando a distribuição cumulativa de probabilidades dos pontos A partir de uma amostra simulada, pode-se calcular estatísticas, como médias e variâncias

19 Geração de amostras a partir de distribuições de probabilidades A melhor maneira de se gerar um novo ponto é usando a distribuição cumulativa de probabilidades dos pontos

20 Geração de amostras a partir de distribuições de probabilidades A melhor maneira de se gerar um novo ponto é usando a distribuição cumulativa de probabilidades dos pontos A distribuição cumulativa F(x)= tem distribuição uniforme Gera-se um número aleatório g e escolhe-se um valor de x tal que F(x)=g Em geral é necessário se resolver a equação F(x)-g=0

21 Exemplo: geração de uma amostra uniforme dentro de um retângulo g: número aleatório entre 0 e 1, produzido por um gerador de números aleatórios Quero gerar 100 números uniformemente distribuídos entre x1<x<x2 e y1<y<y2 Pseudo código: Para i=1,n=100 gera g1 e g2 x(i)=x1+(x2-x1)*g1 y(i)=y1+(y2-y1)*g2

22 Geração de uma distribuição uniforme de pontos no círculo Método 1 (análogo a integração por MC) k=0 Do while k < N gera g1 e g2 x1=g1*r y1=g2*r Se (x1² +y1²)<r², k=k+1 x(k)=x1 y(k)=y1

23 Geração de uma distribuição uniforme de pontos no círculo Método 2 (coordenadas polares): r,θ Densidade de probabilidade de θ: p(θ)=1/(2π) Área de um anel de largura dr: da=2πrdr Densidade de probabilidade de encontrar um ponto entre r e r+dr em um círculo de raio R: p(r)dr = da/(πr²), ou p(r) = 2r/R² Distribuição cumulativa de p(r): F(r) = 0 r p(r)dr = (r/r)²

24 Geração de uma distribuição uniforme de pontos no círculo Método 2 (coordenadas polares): r,θ F(r)=(r/R)² Para i=1, N gera dois números aleatórios g1 e g2 Θ= 2*pi*g1 r=r*g2 1/2

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28 Exercício: como simular uma distribuição de pontos com simetria circular e com densidade superficial proporcional a r -α?

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