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1 A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse:

2 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 2 GRAPH é marca registrada de Ivan Johansen (0). Novas versões, manuais e códigos fonte estão disponíveis em RESOLUÇÃO GRÁFICA Nesta seção, vamos mostrar como podemos resolver graficamente problemas de programação linear de duas variáveis. Para tanto, utilizaremos o programa gratuito GRAPH em sua versão 4.3, retomando o problema da confecção de uma seção anterior. Exemplo 1K Uma pequena confecção está dividida em três setores, corte, costura e embalagem com, respectivamente, 5, 9 e 4 funcionários. Durante certo período, produzirá, com exclusividade, vestidos e camisetas. A tabela seguinte mostra os tempos em minutos que cada um dos produtos consome nos três setores: vestido camiseta corte 3 min 1 min costura 6 min 1 min embalagem 1 min 1 min a) Quantos vestidos e quantas camisetas deverá produzir no intervalo de 6 minutos se os lucros respectivos por unidade de cada produto forem R$ 14,00 e R$,00? Este problema foi modelado na seção anterior, ocasião em que obtivemos: Cada vestido demora 3 minutos e cada camiseta 1 minuto no corte, onde temos 30 minutos(5 funcionários x 6 minutos) disponíveis. Similarmente, cada vestido demora 6 e cada camiseta demora 1 minuto na costura onde temos 54 (9 x 6) minutos disponíveis. Finalmente, para serem embadados, cada vestido e cada camiseta demoram 1 minuto, onde temos 24 (4 x 6) minutos disponíveis. Ao lado, representamos alguns pontos do plano cartesiano relevantes para o problema. Veja que quantidades negativas não têm significado e, desta forma, omitimos os outros quadrantes do plano. Estes pontos, com algum trabalho de digitação, poderão ser representados num arquivo do Graph através do botão Inserir série de pontos ou da tecla de atalho F4. maximizar F 14x y 3x y 30 sujeito a 6x y 54 x y 24 Podemos considerar os pontos (x, y) do plano cartesiano para representar os pares de solução para o problema considerado. Assim, o ponto genérico (x, y) representará as quantidades x de vestidos e y de camisetas. Com o programa Graph, podemos destacar alguns destes pontos no plano cartesiano xy: camisetas vestidos No entanto, nem todas estas combinações serão possíveis de serem implementadas na prática devido às limitações impostas pelos setores. Por exemplo, o setor de embalagem imprime a restrição x + y 24. Assim, não será possível embalar em 6 minutos, por exemplo, x = vestidos e y = 15 camisetas pois, neste caso, + 15 = 25 > 24. Assim, a restrição x + y 24

3 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 3 Isso pode ser obtido a partir do botão Inserir relação, que insere uma nova equação ou inequação através do ícone é x < y ou da tecla F6. No campo relação, digite "x+y<=24" e, no campo constante, digite "x>=0 and y>=0". O resultado será o triângulo sombreado ao lado. Veja que o ponto (, 15) se encontra fora do triângulo, o que mostra a inviabilidade de implementar a produção de selecionará uma região de pontos possíveis no gráfico anterior. Esta região será o triângulo formado pelas retas x + y = 24, x = 0 (eixo y) e y = 0 (eixo x). camisetas (, 15) vestidos e 15 camisetas sob o ponto de vista do setor de embalagem. 5 Embalagem x + y vestidos Procedemos de modo análogo usando o recurso inserir relação por mais duas vezes, uma para cada desigualdade. Assim, para que uma solução seja viável, é necessário que pertença aos três triângulos simultaneamente, isto é, pertença ao Em seguida, colocamos as demais inequações no gráfico, isto é, as restrições devidas aos setores de corte e de costura: Costura pentágono definido pela intersecção dos três triângulos da figura. Corte Embalagem Embalagem Corte Costura No entanto, para que o Graph exiba apenas o pentágono das intersecções dos 3 triângulos, você poderá inserir uma única relação e especificar, além de "x>=0" e "y>=0" as outras duas no parâmetro constante, todas interligadas com a palavra reservada "and": O efeito produzido será o da figura ao lado. Veja que apenas os pontos localizados na região poligonal sombreada representarão combinações de vestidos (x) e de camisetas (y) possíveis de serem produzidas no intervalo de 6 minutos. A questão que se coloca agora é: qual destes pontos representará a combinação de maior lucro? Para tanto, tomamos a função objetivo F = 14x + y, e isolamos o valor de y, obtendo a equação:

4 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 4 Desta maneira, transformamos uma função F de duas variáveis x e y numa família de funções y que, para cada F fixo, será representada pela reta de equação dada. Como estas três retas apresentam os mesmos coeficientes angulares (2), as tangentes trigonométricas dos ângulos α serão iguais e, consequentemente, os ângulos serão iguais, o que determinará três retas paralelas. F F 14x y y 2x Assim, para cada valor de F, teremos uma reta específica. Por exemplo, atribuindo-se diferentes valores a F, teremos: 0 F 0 y = 2x 5 F 5 y = 2x 140 F 140 y = 2x Os gráficos destas três retas estão desenhados na figura a seguir. Cada uma das retas representará combinações de vestidos (x) e de camisetas (y) que resultarão no lucro F indicado. Assim, por exemplo, a reta mais abaixo, com F = 0, é formada por pontos que representam combinações de vestidos e de camisetas que proporcionarão lucro de F = 0 reais: Para inserir cada uma das retas, clique sobre o ícone do gráfico ou tecle "INS". Em seguida, mantenha o tipo da função na padrão y = f(x) e digite "0/ 2x", escolha uma cor e uma expessura para a reta e clique em OK. Proceda de modo similar para cada uma das outras retas Embalagem Corte F = 140 F = 5 F = 0 Costura Desta forma, teremos muitas maneiras de produzir lucro de R$ 0, muitas de produzir lucro de R$ 5 e também de R$ 140 e que estas retas seguem paralelas entre si e sobem à medida que F aumenta. Pelo gráfico acima, concluímos que haverá apenas uma maneira de o lucro ser o maior possível: isso ocorrerá para a reta paralela que tocar o ponto de encontro das duas restrições, embalagem e corte, destacado na figura anterior. As coordenadas deste ponto, portanto poderão ser dadas pela resolução do seguinte sistema de equações: Embalagem F = 5 F = 189 F = x y 24 ( ) 3x y 30 2x 6 x 3 y 24 3 y F = Este ponto indicará que serão necessários produzir x = 3 vestidos e y = 21 camisetas em 6 minutos para que o lucro seja o maior possível: Realmente, se traçarmos a reta y = 189/ 2x no gráfico anterior, veremos que ela tocará o ponto (3, 21) e será paralela às demais. F 14x y F Assim, podemos concluir, com isso, que a solução ótima será, necessariamente, algum ponto do contorno da região poligonal.

5 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 5 Existe um recurso do Graph realmente sensacional para visualizar estas retas paralelas através de uma animação. Para tanto, desabilite todas as quatro retas anteriores clicando sobre o seu objeto no lado esquerdo do menu e defina a seguinte constante F = 0: Para isso, clique sobre o botão funções otimizadas de ícone f(t) ou pressione "CTRL F". Na coluna Nomes, digite F e na coluna Definição digite 0 (zero). Agora, insira uma nova função e a parametrize conforme a seguinte caixa de diálogo: Na definição de função, digite "F/ 2x". O Graph entenderá que F é o valor 0 digitado anteriormente e traçará a reta que conterá os pontos que terão lucro zero, isto é, f(x) = 2x, o que inclui apenas o ponto (0, 0) do pentágono. Agora, clique no menu Calc e na opção animação... e configure a janela de diálogo como indicado: Isso gerará um vídeo onde o valor de F será continuamente modificado de 0 até 189 (valor ótimo), com passos de, isto é, F será 0, depois, depois, etc, até 189. A velocidade de frames/segundos deverá ser no mínimo, para que tenhamos uma idéia de que uma mesma reta estará se deslocando sobre o pentágono com o aumento do valor de F até 189. Clicando sobre o botão Animação, o Graph gerará um vídeo.avi que, inclusive, poderá ser salvo em seu computador: Veja ao lado o instante em que F é igual a 1 (mostrado no canto inferior direito), ocasião em que demos pause no vídeo e visualizamos a reta correspondente ao lucro de 1 reais. Continuando a visualizar, a reta parecerá se deslocar paralelamente até o ponto azul, encontro das restrições embalagem e corte, ponto ótimo do problema de PL em questão: x = 3 e y = 21.

6 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 6 b) Quantos vestidos e camisetas deverá produzir no intervalo de 6 minutos se os lucros respectivos por unidade de cada produto são R$ 28,00 e R$,00? Alterou-se apenas o lucro unitário dos vestidos de R$ 14 para R$ 28. Assim, a região de soluções viáveis será a mesma pentagonal fechada enquanto que as retas de lucro terão a seguinte equação: F F 28x y y 4x Comparando estas retas com as do item anterior, concluímos que apenas os coeficientes angulares se alteraram (de 2 para 4). Haverá possibilidades, então, de a solução ótima ser alterada, conforme veremos a seguir. Assim, para cada um valor de F específico, teremos uma reta diferente, todas, porém, com o mesmo coeficiente angular e, portanto, paralelas como as do item anterior: 0 F 0 y 4x 5 F 5 y 4x 140 F 140 y 4x Observando as retas paralelas, concluímos que a solução ótima será agora o ponto de encontro das restrições do corte e da costura: Embalagem F = 231 F = 140 F = 5 F = 0 Corte Costura x y 54 ( ) 3x y 30 3x 24 x 8 y y 6 Corte Este ponto indicará que serão necessários produzir x = 8 vestidos e y = 6 camisetas em 6 minutos para que o lucro seja o maior possível: Costura F = 266 F 28x y F Como no item anterior, poderemos gerar uma nova animação para visualizar as retas se deslocando paralelamente em direção ao ponto (8, 6) de solução ótima. Concluímos que esta solução ótima será novamente outro ponto do contorno da região poligonal.

7 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - c) Quantos vestidos e camisetas deverá produzir no intervalo de 6 minutos se os lucros respectivos por unidade de cada produto são R$ 21,00 e R$,00? Analogamente, obtemos a família de retas da função objetivo modificando-se apenas o lucro unitário dos vestidos para R$ 21: F F 21x y y 3x Além de paralelas entre si, estas retas deverão ser paralelas à reta do corte, pois a equação desta é 3x + y = 30 y = 30 3x. Logo, as retas F têm o mesmo coeficiente angular m = 3 que a reta do corte. Devemos agora obter algumas retas substituindo-se F por valores específicos: 0 F 0 y 3x 5 F 5 y 3x 140 F 140 y 3x Veja agora que as retas objetivo serão paralelas à reta do corte. Assim, para um valor específico de F, a reta pontilhada passará sobre a reta corte e, para um valor infinitesimalmente superior de F, a reta pontilhada deixará de fazer intersecção com a poligonal. Desta forma, todos os pontos do corte entre x = 3 e x = 8 serão soluções ótimas deste problema. O gráfico ficará: camisetas F = 140 F = 5 F = 0 corte vestidos A figura anterior indica que teremos múltiplas soluções para o problema, isto é, todos os pontos localizados sobre a reta corte de x = 3 a x = 8 serão soluções ótimas. Para encontrar os pontos ótimos que indicarão soluções inteiras, basta fazer x = 3, 4, 5, 6, e 8 sobre a reta de corte: reta corte: y 30 3x x 3 y x 4 y x 5 y x 6 y x y x 8 y Para encontrar o valor de F correspondente aos pontos ótimos, substituímos as coordenadas de qualquer um ponto ótimo na função objetivo: F 21x y (3,) F (,9) F

8 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 8 Desta forma, podemos traçar a reta objetivo com F = 2 e igualmente marcar os pontos obtidos. Assim, todos estes serão soluções ótimas do problema, o que nos faz concluir que este problema de PL terá soluções múltiplas: Apesar de o segmento do corte conter infinitos pontos, o problema em questão se interessa apenas pelas soluções inteiras que são os 6 pontos destacados no gráfico ao lado. 24 camisetas F = 140 F = 5 F = 0 (3, 21) (4, 18) (5, 15) F = 2 (6, 12) (, 9) (8, 6) vestidos Podemos reconhecer que um problema de PL com duas variáveis apresentará soluções múltiplas quando a função objetivo F for uma combinação linear de alguma restrição. No exemplo anterior, a formulação exata será: Alinhamos os coeficientes de x e de y nas restrições e também na função objetivo, além de destacarmos os coeficientes unitários para maior clareza. Podemos generalizar, com algumas adaptações, este resultado para problemas de PL com mais de 2 variáveis, o que torna os problemas com soluções múltiplas facilmente identificáveis. maximizar F 21x y 3x 1y 30 sujeito a 6x 1y 54 1x 1y 24 Veja como os coeficientes da função objetivo serão iguais ao da restrição corte multiplicados por. Assim, a solução ótima será todo o lado da poligonal relacionada a esta restrição. Isso porque as famílias de retas F serão paralelas entre si e também paralelas à reta do corte. Como nos itens anteriores, poderemos gerar uma interessante animação para visualizar que o segmento do corte é a solução múltipla deste problema de PL: Para tanto, defina F = 0 no recurso Funções Otimizadas (tecla F6 ou ícone f(t)). Em seguida, adicione a função "F/ 3x" e clique sobre Calc >> animação e parametrize a caixa como segue: Se prefirir, salve o vídeo para que o mesmo possa ser exibido no Windows quando desejar.

9 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 9 EXERCÍCIOS Dica 12: observe como a região poligonal definida pelas restrições será a mesma para os três itens. 12) Utilizando os recursos do programa Graph, gráficos e animações, e também habilidades algébricas, obtenha as soluções inteiras dos seguintes problemas de PL: a) b) c) max F 4x y max F 2x 2y max F 2x 5y x y 30 x y 30 x y 30 sujeito ax 2y 42 sujeito ax 2y 42 sujeito ax 2y 42 x 3y 54 x 3y 54 x 3y 54 Dica 13: a variável x é a quantidade de camisetas, y é a de calças a serem produzidas por dia para otimizar o lucro total. 13) Considerando o problema da confecção de camisetas e calças, inicialmente resolvido no exercício 2 e posteriormente modelado no exercício 6 como: maximizar F 8x 13y x 156 sujeito a y 90 x y Dica 14: a variável x é a quantidade de embalagens de 5 kg a serem usadas e y é a de 18 kg para embalar kg de ração e proporcionar o máximo lucro. a) Represente a região poligonal de restrições usando o programa Graph. b) Resolva graficamente e compare a solução obtida com o resultado do exercício 2. 14) Considerando o problema do comerciante de ração inicialmente resolvido no exercício 3 e, em seguida, modelado no exercício como: maximizar F 4x 15y x 60 sujeito a y 40 5x 18y 00 Dica 15: a variável x é a quantidade de aviõezinhos de madeira, y é a de aço a serem produzidas por hora com o objetivo de maximizar o lucro total obtido. a) Represente a região de restrições usando o programa Graph. Por que motivos, esta será apenas um segmento de reta? b) Resolva graficamente e compare a solução obtida com o resultado do exercício 3. 15) Retomando agora o exercício 8 da fábrica de aviõezinhos, utilize a modelagem obtida: maximizar F 3x 5y x 2y 30 2x 4y 40 sujeito a x y 6 e o programa Graph para obter a solução ótima. 16) Explique o motivo pelo qual não podemos usar o programa Graph para resolver o problema do sacolão, inicialmente desenvolvido neste capítulo.

10 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 1) Utilizando os recursos do programa Graph e também habilidades algébricas, obtenha as soluções dos seguintes problemas de PL: a) b) c) min F x 4y min F x 4y min F x 2y x 0 x 0 x 0 sujeito ay 150 sujeito ay 150 sujeito ay 150 x 3y 450 x 3y 900 x 3y 900 C D B A CUSTO = , E ) O polígono fechado ABCDE refere-se à região de restrições de um problema de PL que objetiva minimizar o custo total onde os custos unitários são, para x e y, respectivamente iguais a R$ 300 e a R$ 350. Qualquer ponto da diagonal BE apresenta custo de R$ 155 mil. a) Qual o será o ponto ótimo? b) Encontre as coordenadas deste ponto e o custo ótimo associado, sabendo-se que as escalas em x e y não são necessariamente iguais. O enunciado a seguir refere-se às questões de 19 a 21. Considere a região poligonal definida por: y A B 2x y 140 4x y 150 9x y 280 C 19) Associe cada um dos lados AB, BC e CD a cada uma das restrições dadas e, em seguida, encontre os seus vértices A, B, C, D e E. E D x ) Considerando-se a região poligonal como as restrições de um problema de maximização de PL, qual das funções objetivos seguintes não apresentará soluções múltiplas e por quê? a) F = 4x + 2y b) F = x + 5y c) F = 2x + 3y d) F = 2x + 3y Dica 21: (arte da capa) esta figura caracteriza definitivamente a função F como função de duas variáveis, x e y, e seu gráfico é exibido ao lado bem como ilustrado na capa deste livro. Trata-se de uma parte do plano no espaço tridimensional que é imagem da região poligonal definida pelas restrições no plano xy. O trabalho deste exercício se resume assim ao cálculo numérico da função F em cada um dos pontos vértices da região 21) Para a função objetivo que é a resposta do exercício anterior, mostre que os valores de F para cada um dos pontos vértices da região poligonal são exibidos na figura seguinte: z y B poligonal e conferência com os valores A exibidos no gráfico. Assim, o ponto A definido por x = 0 e y = 140 é aquele que maximiza a função F = 2x + 3y para os pontos da região poligonal dada. E 190 C F = 2x + 3y D 62 x

11 Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional - 11 EXERCÍCIOS AVANÇADOS y x 22) Um feirante precisa vender em sua barraca um mínimo de 0 dúzias de maçãs e um mínimo de 1 dúzias de peras e um total de 300 dúzias das duas frutas juntas. Seu objetivo é o de minimizar o custo total na aquisição destas duas frutas. a) Mostre a região de restrições graficamente. b) Se a solução ótima apontou 0 dúzias de peras e 0 de maçãs, mostre algebricamente que o custo da dúzia de maçãs é maior ou igual ao custo da dúzia de peras. 23) Considere o seguinte problema de PL: y B C maximizar F ux vy x y 1 sujeito a x 3y A D x A região poligonal ABCD das restrições encontra-se pintada no gráfico ao lado. Qual deverá ser a relação entre u e v para que: a) o ponto B seja a solução ótima do problema? b) o segmento BC seja a solução ótima do problema (soluções múltiplas)? c) o ponto C seja a solução ótima do problema? d) o segmento CD seja a solução ótima do problema (soluções múltiplas)? e) o ponto D seja a solução ótima do problema? 24) A região poligonal aberta desenhada ao lado refere-se às restrições de y A B um problema de PL. a) Encontre as equações destas restrições. b) Considerando a função objetivo como: minimizar F ux vy x encontre a relação entre os coeficientes u e v para que o vértice A seja a solução ótima única, o segmento AB seja a solução ótima (múltipla) e o ponto B seja a solução ótima única deste problema de PL. 25) A região poligonal fechada desenhada ao lado refere-se às restrições y B C D de um problema de PL. a) Encontre as inequações destas restrições. b) Considerando a função objetivo como: A E x maximizar F ux vy encontre a relação entre os coeficientes u e v para que cada um dos vértices seja a solução ótima do problema..

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