COMPUTADORES DESCONECTADOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática COMPUTADORES DESCONECTADOS Propostas para ensinar lógica e fundamentos da computação para alunos do Ensino Básico Autora: Caroline Lameza Ramos Orientador: Pedro Luiz Aparecido Malagutti Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso B Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Tomas Edson Barros Karina Schiabel-Silva Vera Lúcia Carbone São Carlos, 30 de novembro de

2 COMPUTADORES DESCONECTADOS Propostas para ensinar lógica e fundamentos da computação para alunos do Ensino Básico Autora: Caroline Lameza Ramos Orientador: Pedro Luiz Aparecido Malagutti Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso B Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Tomas Edson Barros Karina Schiabel-Silva Vera Lúcia Carbone São Carlos, 30 de novembro de 2011 Caroline Lameza Ramos Pedro Luiz Aparecido Malagutti 2

3 AGRADECIMENTOS Agradeço, À Deus por ter me proporcionado determinação e sabedoria para a realização deste trabalho. Ao orientador, Pedro Luiz Aparecido Malagutti, pelo tempo concedido a este trabalho e por acreditar que ele seria possível. À minha família e amigos por me apoiar nesta caminhada, me orientando sempre a seguir em frente. Aos professores do curso de Matemática pela contribuição na minha formação acadêmica e profissional. 3

4 EPÍGRAFE As máquinas me surpreendem com muita frequência Alan Turing 4

5 RESUMO Em continuidade ao trabalho de conclusão de curso A, que desenvolveu atividades de ensino que trabalhavam com fundamentos matemáticos utilizados pelos computadores, esse trabalho apresentará como construir, com materiais simples, máquinas que executam as mesmas funções de um computador, podendo (as mesmas) serem desenvolvidas em várias etapas da Educação Básica. Com isso, proporcionando materiais que facilitam a compreensão e aprendizagem dos conteúdos matemáticos utilizados nos processos tecnológicos. Para desenvolvê-lo foram utilizadas primordialmente as referências: Inteligência Artificial no Ensino Construção de computadores que se comportam como humanos, Computer Science Unplugged, Logic Machines & Diagrams e An Instructional manual for CARDIAC A Cardboard illustrative aid to computation. 5

6 SUMÁRIO Apresentação Máquinas que contam Cartões binários com pontos Computador ecológico Adivinhação do aniversário Cartões binários perfurados Máquinas que calculam Multiplicação com as mãos Ábaco Réguas deslizantes Régua para adição Régua para multiplicação Régua para radiciação Tabuada com CD Calculadora de Napier Método da Gelosia Ossos de Napier Máquina de Genaille Lucas Rudimentos de eletricidade: duas máquinas de calcular binárias Máquinas que aprendem Jogo de Xadrez NIM com palitos Uma variação do NIM: com envelopes Jogo da Velha com cinco instruções Jogo da Velha 3D Máquinas que realizam operações lógicas

7 4.1. Dominós Palitos e elásticos Gardner Máquina de Pastore Máquina de Stanhope Máquina de Jevons Máquina de Marquand Lógica Binária Cartões com janelas A vida sexual das máquinas Joga da vida Máquinas que escondem a comunicação Máquinas feitas de papel Códigos corretores de erros mágica Computadores Analógicos Computador com varetas Como economizar combustível usando barbante CD trigonometria CARDIAC A cardboard illustrative aid to computation Considerações Finais...80 Referências Bibliográficas

8 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Cartões binários com pontos...13 Figura 2 - Representação do número 9 em binário, utilizando os cartões...13 Figura 3 - Computador Digital Ecológico Binário...15 Figura 4 Representação do número 14 com o Computador Ecológico...15 Figura 5 Calendários Mágicos...16 Figura 6 Cartões Binários Perfurados...19 Figura 7 Como localizar o cartão Figura 8 - Figura 1- Representação com as mãos: 7 x Figura 9 - Representação do número 1849 no ábaco...23 Figura 10 Representação do número 92, que corresponde a Figura 11- Representação do número 42, que corresponde a Figura 12 - Tabela para adição...25 Figura 13 Fita para deslizar na tabela da adição...25 Figura 14 Exemplo para a tabela da adição...25 Figura 15 - Tabela para multiplicação...26 Figura 16 Fita para deslizar na tabela da multiplicação...26 Figura 17 Exemplo para a tabela da multiplicação...27 Figura 18 Tabela para a Radiciação...28 Figura 19 Fita com os números para deslizar...28 Figura 20 Exemplo da Régua da Radiciação...28 Figura 21- Círculo para a tabuada com CD...29 Figura 22 Capa para o CD...29 Figura 23 Exemplo da Tabuada com CD...30 Figura 24 Ossos de Napier...30 Figura 25- Multiplicação de 361 po 297, utilizando o método da Gelosia...31 Figura 26 Multiplicação de 361 por 297, utilizando os Ossos de Napier...32 Figura 27 Réguas da Multiplicação de Genaille Lucas...33 Figura 28 Réguas 5, 6 e Figura 29 Réguas 5, 6 e Figura 30 Réguas para a divisão de Genaille Lucas

9 Figura 31 Fitas 8, 9 e Figura 32 Circuito elétrico para máquina binária...37 Figura 33 Circuito que fornece 01 em binário...38 Figura 34 Outro circuito que fornece 01 em binário...38 Figura 35 Circuito que fornece 10 em binário...39 Figura 36 Tabuleiro do Jogo...40 Figura 37 Movimentos do jogo...41 Figura 38 Jogadas possíveis...42 Figura 39 Exemplo de jogo...43 Figura 40 Configuração dos palitos...44 Figura 41- Exemplo de como serão as caixinhas do jogo...44 Figura 42 Possíveis Jogadas...45 Figura 43 Envelopes para montar o NIM...47 Figura 44 Configuração do Jogo da Velha em 3D...49 Figura 45 Configuração de uma jogada que marca ponto...49 Figura 46 Porta lógica ou...50 Figura 47 - Porta lógica e...50 Figura 48 Porta lógica não...51 Figura 49 Porta lógica ou...51 Figura 50 Porta lógica e...52 Figura 51 Porta lógica não...52 Figura 52 Arranjo de Pastore...53 Figura 53 Representação de Venn...53 Figura 54 - Representação por Pastore de diferentes silogismos...54 Figura 55 Máquina de Stanhope...54 Figura 56 Máquina de Jevons...55 Figura 57 Máquina de Marquand...56 Figura 58 Teclado da Máquina de Marquand...56 Figura 59 Lógica em Binário...56 Figura 60 Cartões com janelas...57 Figura 61 Tabuleiro...59 Figura 62 População...60 Figura 63 Um exemplo de jogo...60 Figura 64 Sistema de criptografia de Júlio César

10 Figura 65 Régua deslizante...62 Figura 66 Exemplo da configuração da régua deslizante...63 Figura 67 Outra forma de criptografia...63 Figura 68 Configuração inicial das cartas...64 Figura 69 Configuração das cartas com acréscimo de uma fileira horizontal e Vertical...64 Figura 70 Círculo CD de trigonometria...67 Figura 71 Círculo Trigonométrico...67 Figura 72 - Capa da frente do CARDIAC...69 Figura 73 - Capa de trás do CARDIAC...69 Figura 74 - Monitor do CARDIAC...69 Figura 75 Marcador...69 Figura 76 - Memória do CARDIAC...70 Figura 77 - Cartão de entrada e saída e fitas para deslizar e dar as instruções...70 Figura 78 - Fita com Instruções

11 APRESENTAÇÃO Na sociedade moderna percebemos que o mundo virtual vem ganhando cada vez mais espaço na vida das pessoas e assim as mesmas vão dominando a execução de tarefas complexas que permeiam esse mundo e acabam fascinadas pela praticidade que as máquinas proporcionam. Em contrapartida, essas pessoas dizem não gostarem de matemática e esquecem que ela é fundamental para o funcionamento das máquinas que hoje são tão importantes em suas vidas. O que contribui para essa antipatia é a maneira como os softwares se apresentam, não aproximando o conhecimento científico com o cotidiano dos alunos e, além disso, executando todas as funções e, com isso, não permitindo que os alunos desenvolvam funções que suscitam o prazer da descoberta das façanhas matemáticas e a lógica do funcionamento. No trabalho de conclusão de curso A foi abordado teoricamente a lógica e os conteúdos matemáticos utilizados pelos computadores, nesta nova etapa o objetivo é retomar esses conteúdos e aprofundá-los por meio da construção de máquinas com materiais simples, tais como: máquinas que contam, que calculam, que aprendem, que realizam operações lógicas, de computadores analógicos, CARDIAC. Além disso, o uso de uma linguagem de programação e a sua aprendizagem também pode ser muito significante por apresentar uma estrutura matemática simples e interessante que se baseia na lógica. Logo, espera-se motivar o interesse e curiosidade do aluno para o estudo da Inteligência Artificial, utilizando para isso as inovações tecnológicas para o ensino de matemática. Para que isso seja possível serão apresentadas máquinas simples, mas que realizam tarefas impressionantes e máquinas que merecem uma maior atenção no estudo do seu funcionamento. O trabalho está dividido em oito capítulos, os quais abordam os principais temas da Inteligência Artificial básica, do ponto de vista pedagógico, o que inclui contagem, cálculo, aprendizagem de máquinas, comunicação, raciocínio lógico, reprodução, criptografia com máquinas, computadores analógicos e digitais como o CARDIAC. 11

12 1. MÁQUINAS QUE CONTAM Desde os primórdios já se era possível efetuar a contagem por meio de uma máquina simples e eficaz: a mão. Ela foi utilizada por diferentes civilizações e até hoje é útil para a contagem dos números e a efetuação de contas simples, sendo utilizada de várias formas, por exemplo: iniciando com os dedos estendidos e abaixando-os de acordo com a contagem ou efetuando o contrário, começando por um dedo ou outro. Além disso, também podemos utilizar as articulações, falanges e juntas, assim como era feito antigamente para contar os vinte e oito anos do ciclo solar ou os dezenove anos do ciclo lunar. A partir dessa máquina surgiram outras que são construídas com materiais simples (em geral papel) e executam funções semelhantes. Nesse capítulo serão apresentadas e construídas algumas delas, mostrando suas contribuições para o ensino de matemática. 1.1 Cartões binários com pontos Nos computadores, o sistema numérico utilizado é o binário, no qual palavras, símbolos, imagens e sons são representados por uma série de zeros e uns. Essa atividade desenvolverá conceitos relacionados ao sistema de base 2, da mesma forma como são utilizados nos computadores, com o auxílio de cartões com pontos. Materiais Figura 2: Cartões Binários Tesoura Cola Nível Escolar: 6º ano do Ensino Fundamental em diante Atividade Recorte, dobre e cole os cinco cartões abaixo, com pontos em um dos lados e sem pontos do outro. 12

13 Figura 1: Cartões binários com pontos. Coloque-os sobre a carteira começando da esquerda para a direita, com o lado dos pontos virado para cima e obedecendo a ordem decrescente, ou seja, iniciando com os cartões de 16 pontos, depois 8 e assim por diante. Quando o cartão estiver virado, mostrando o lado sem pontos, ele representa o número 0 no sistema binário; quando mostrar o lado com os pontos, representa o número 1. Por exemplo, para representar o número 9, basta ordenar os cartões da seguinte forma: =9 Figura 2: Representação do número 9 em binário, utilizando os cartões. 1. O que é possível notar sobre o número de pontos nos cartões? Se continuássemos colocando cartões novos à esquerda, quantos pontos o próximo cartão teria? E o seguinte? 2. Forme o número binário Qual é esse número no sistema decimal? Como seriam os números 3, 12, 19, 23 no sistema binário? 13

14 3. Existe mais de uma maneira para formar qualquer número? Qual é o maior número que se poderia formar com os cinco cartões recortados? Qual seria o menor? Existe algum número que não possa ser formado entre o maior e o menor número? Aplicação da Atividade A atividade foi aplicada com alunos do 8º do Ensino Fundamental, onde primeiramente comentei sobre o sistema usual, ou seja, o sistema de base decimal, e posteriormente sobre o sistema binário, lembrando que o mesmo utiliza apenas 0 e 1 na representação dos números e que é muito utilizado pelos computadores. Em seguida, apresentei os cartões binários e defini que quando o cartão estiver virado mostrando o lado sem pontos ele representa o número 0 no sistema binário, quando mostrar o lado com os pontos ele representa o número 1. Exemplifiquei com a representação do o número 9, onde também relacionei os cartões com as potências de 2. Por fim os alunos fizeram a folha de atividade, que continham as questões levantadas acima, em grupo e com bastante empenho. 1.2 Computador Ecológico A atividade a seguir ensina como construir uma máquina, com a qual é possível efetuar a contagem de 0 a 31 em números binários, somente com o auxílio dos dedos. Materiais Figura 3: Computador Digital Ecológico Binário Tesoura Barbante Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental Atividade Recorte a figura abaixo no contorno e nos círculos tracejados, nos quais os dedos devem ser inseridos. Faça um pequeno furo no círculo menor que se encontra no topo da figura e insira um barbante. 14

15 Figura 3: Computador Digital Ecológico Binário. Insira os dedos da mão esquerda e manuseando o barbante com a mão direita, enlace os dedos da outra mão. Os dedos não enlaçados correspondem ao algarismo 0 e os dedos enlaçados ao algarismo 1. A partir desse processo, obtenha todos os números de 0 a 31, assim como mostra o exemplo, que representa o número 14 no sistema binário: Figura 4: Representação do número 14 com o Computador Ecológico. 1.3 Adivinhação do Aniversário Assim como nas duas atividades anteriores, esta também desenvolverá o conceito de números binários, porém com uma mágica que trabalhará com potências de 2 para adivinhar o dia do aniversário de uma pessoa. Materiais Figura 6: Calendários Mágicos Papel Cartão Série: A partir do 1º ano do Ensino Fundamental 15

16 Atividade Monte calendários assim como os da figura abaixo: Figura 5: Calendários Mágicos. O mágico deverá escolher uma pessoa e perguntar em quais calendários o dia do seu aniversário está destacado, para que seja possível descobrí-lo. Nos calendários, nos quais o dia o aniversário estiver em vermelho deverão ser somados os primeiros números grifados; com isso, o valor da soma será o dia do aniversário da pessoa. Por exemplo, suponha que a pessoa, a qual se adivinhará o aniversário, faça no dia 18. Ela deverá falar para o mágico que o dia está grifado no segundo e no último calendários e que não está grifado nos calendários restantes. Assim, o mágico somará o primeiro número grifado nos dois calendários, ou seja, = 18 e, consequentemente, adivinhará o dia do aniversário. 16

17 O truque só é possível porque os primeiros números do calendário são potências de 2, ou seja, 2º = 1; 2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8 e 24 = 16. Cada número natural pode ser decomposto de forma única como soma de potências de 2. No primeiro calendário os números destacados são os que utilizam a potência de 2º = 1 ao serem decompostos. Já o segundo destaca os números que utilizam 2¹ = 2 na sua decomposição em potência de 2. O terceiro, quarto e quinto calendários mostram, grifados, os números que utilizam as potências 4, 8 e 16, respectivamente, na sua decomposição. Aplicação da Atividade A regência foi aplicada com alunos do 8º ano do Ensino Fundamental e para introduzir adivinhei o aniversário de uma aluna, com isso, os alunos queriam saber como consegui, solicitavam que adivinhasse o seu aniversário e davam sugestões de qual era o truque. Introduzir a aula com a aplicação da mágica foi interessante, uma vez que chamou muito a atenção dos educandos e os manteve atentos durante a mesma. Pedia para o aluno indicar, olhando nos calendários, em quais calendários o dia do seu aniversário aparecia destacado em vermelho, com isso descobria a data. Após realizar a mágica com vários alunos, revelei o mistério que envolvia os calendários e expliquei como conseguia adivinhar o dia do aniversário. Notei que os alunos gostaram da atividade, uma vez que queriam dar continuidade as adivinhações. 1.4 Cartões Binários Perfurados Continuando com atividades relacionadas à contagem de números binários, nesta proposta, será efetuada a contagem dos números de 0 a 31 em binários, mas agora com o auxílio de cartões perfurados. Materiais Figura 7: Cartões Binários Perfurados Cartolina Tesoura Palito Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental Atividade 17

18 Construa cartões, feitos de cartolina, como os da figura abaixo. Recorte os cartões, perfure-os e corte as suas fendas. 18

19 Figura 6: Cartões Binários Perfurados. Cada buraco representará o número 0 e cada fenda, o número 1. Faça um maço com os cartões, sendo que ao colocar um palito por alguns dos buracos e levantá-los, alguns cartões cairão e outros ficarão presos. Assim, repetindo organizadamente este procedimento, poderá realizar várias operações com os números binários de 0 a 31. Veja alguns modos de separar as cartas: Para separar os cartões pares dos ímpares, basta colocar o palito no primeiro furo à direita (casa das unidades) e levantá-los. Com isso, todos os cartões com números ímpares cairão. Com somente 5 colocações e levantamento do palito é possível colocar os cartões de 0 a 31 em ordem crescente. Para isso, é necessário embaralhá-los e começar colocando o palito no primeiro buraco da direita (casa das unidades) e levantar o maço deixando os cartões caiarem, mas mantendo a ordem. Em seguida, deve-se posicionar os cartões 19

20 que caíram atrás dos demais e repetir o mesmo procedimento para todos os outros 4 buracos, sempre mantendo a ordem. Ao terminar, os cartões estarão em ordem crescente. Pode-se localizar qualquer número de 0 a 31 colocando o palito e levantando o maço 5 vezes. Isso, deve-se ao fato de que qualquer número natural tem representação única na base 2. Veja como você pode fazer para localizar a cartão 18: Primeiramente, coloque o palito na casa das unidades (20), levante o maço e pegue os que ficaram presos. Em seguida, coloque no buraco 21, levante e pegue os que caíram. Prossiga, colocando o palito na casa 22 e pegando os cartões que ficaram presos. Coloque-o na casa 23, levante e pegue os cartões que ficaram presos. Para finalizar coloque-o na casa 2 4, levante o maço, assim, o cartão que cair será o 18. Figura 7: Como localizar a cartão 18. Responda: 1. Se os cartões tiverem 6 buracos, ao invés de 5, quantos números diferentes seriam possíveis obter? 2. Qual é o número mínimo de buracos que os cartões deveriam ter para representar os números de 0 até 127? 3. Pensando na atividade anterior Adivinhação do aniversário, descreva uma maneira de adivinhar o aniversário de uma pessoa usando os cartões perfurados. 20

21 2. MÁQUINAS QUE CALCULAM No início do século XVII, ocorreu um grande avanço na área da matemática em relação ao que já se havia descoberto nos séculos anteriores. O progresso do cálculo levou a duas vias diferentes: a primeira, baseada nos logaritmos inventados por John Napier, acarretou o desenvolvimento das réguas de cálculo, a segunda, conduziu ao desenvolvimento precoce de máquinas de calcular. Com isso, esse capítulo, abordará algumas réguas deslizantes e máquinas de calcular, começando desde a mais antiga, que é o ábaco, até algumas máquinas de eletricidade. 2.1 Multiplicação com as mãos As mãos também nos ajudam a efetuar multiplicações. Essa atividade trabalhará com esse artifício com o intuito de cativar os alunos, que em geral, não gostam de memorizar a tabuada. Com esse método é possível obter os resultados das multiplicações de números entre 5 e 10, apenas movendo os dedos e com simples operações. Material Mãos Nível Escolar: A partir do 4º ano do Ensino Fundamental Atividade Para facilitar a visualização e, com isso, a compreensão, o método será apresentado por meio de um exemplo: 7 x 8. Figura 8: Representação com as mãos; 7 x 8. Primeiro, estenda as duas mãos abertas e com as palmas viradas para cima. Agora, abaixe em uma das mãos o número de dedos que o 7 passa do 5, ou seja, 2 dedos. Na outra mão, o número de dedos que o 8 passa do 5, que equivale a 3 dedos. Agora, some os números 21

22 abaixados para obter o valor da casa das dezenas, que no nosso caso é = 5, e multiplique os dedos levantados para obter a quantidade das unidades, ou seja, 3 x 2 = 6. Com isso, obtemos o resultado da multiplicação, que no caso em questão resultou em 7 x 8 = 56. É importante lembrar que quando a multiplicação dos dedos levantados for maior do que 10, deverá ir um na casa das dezenas. Por exemplo, quando é multiplicado 7 por 6, obtém-se 3 dedos levantados em uma mão e 4 na outra, o que resulta 3 x 4 = 12. Assim obtém-se o número 2 na casa das unidades e vai um para a casa das dezenas. Com essa estratégia, é possível multiplicar dois números x e y compreendidos entre 5 e 10. Desse modo, deve-se dobrar em uma mão o número de dedos que satisfaça a relação (x 5) e na outra mão o número de dedos que satisfaça a relação (y 5). O número de dedos estendidos na primeira mão é igual a 5 (x 5) e na outra mão 5 (y 5). Para se obter o resultado da multiplicação, deve-se multiplicar por 10 o número total de dedos dobrados em ambas as mãos e acrescentar o produto dos dedos levantados de uma mão pela outra, ou seja, 10. [(x 5) + (y 5)] + [ (5 (x 5)). ( 5 (y 5))] = xy 2.2 Ábaco Ao contrário do que muitos pensam, o ábaco não é apenas um brinquedo, ele constituise de uma máquina de contar e calcular muito antiga, a qual a história aponta que tenha sido largamente utilizada pelos chineses, egípcios e outros. Possui diferentes configurações e a sua origem é desconhecida. Acredita-se que possa ter surgido por meio de seixos que eram movidos em linhas desenhadas no chão. Apesar de facilitar a realização das operações, não é muito utilizado atualmente. Materiais 4 palitos de picolé de madeira 4 palitos de churrasco Canudinhos de refrigerante Tesoura e cola Nível Escolar: A partir do 2º ano do Ensino Fundamental 22

23 Atividade As unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar serão representadas por palitos de churrasco. Os palitos de picolé servirão como base para apoiar os palitos de churrasco e os canudinhos deverão ser cortados em pedaços pequenos, sendo inseridos nos palitos de churrasco, no qual cada pedaço representará uma unidade e sendo que: 10 unidades = 1 dezena 10 dezenas = 1 centena 10 centenas = 1 unidade de milhar Escreva na madeira, em cima de cada palito, a letra inicial da casa que ele representa. A figura abaixo ilustra o ábaco construído e representando o número Figura 9: Representação do número 1849 no ábaco. Sugestões de atividades: Represente, no ábaco, outros números com o intuito de aprender a manuseá-lo. É possível, também realizar operações de adição e subtração. Por exemplo, para efetuar a adição teríamos a seguinte configuração: Figura 10: Representação de 92, que corresponde a E a subtração 67 25: 23

24 Figura 11: Representação do número 42, que corresponde a Réguas deslizantes Outros materiais, possíveis de se utilizar são as réguas deslizantes que, assim como o ábaco,são úteis para efetuar alguns cálculos. Elas foram criadas, em 1638, por Willian Oughtred, o qual se baseou na máquina de calcular logaritmos de John Napier, e foram muito utilizadas até a criação da calculadora. Construa réguas com a configuração das figuras abaixo, de forma que a fileira do meio consiga deslizar sobre a folha para obter a soma ou a multiplicação dos números das duas parcelas, como por exemplo, = 9, 2 x 2 = 4, etc Régua de Adição Materiais Figura 12: Tabela para adição Figura 13: Fita para deslizar na tabela para adição Tesoura Nível Escolar: 2º ano do Ensino Fundamental em diante Atividade Com as duas figuras abaixo será possível construir a régua da adição. Recorte, na figura 13, as duas retas paralelas do meio e insira a fita na tabela para a adição. 24

25 Figura 12: Tabela para adição. Figura 13: Fita para deslizar na tabela da adição. A configuração deverá ficar como a da figura abaixo. Ao somar a primeira parcela com a segunda obtém-se o resultado da operação na coluna do meio; por exemplo, 6 + 6=12. Figura 14: Exemplo para a tabela da adição. 25

26 2.3.2 Régua de Multiplicação Materiais Figura 15: Tabela para multiplicação Figura 16: Fita para deslizar na tabela para multiplicação Tesoura Nível Escolar: 2º ano do Ensino Fundamental em diante Atividade Com as duas figuras abaixo será possível construir a régua da multiplicação. Recorte, na figura 16, as duas retas paralelas do meio e insira a fita na tabela para a multiplicação. Figura 15: Tabela para a multiplicação. Figura 16: Fita para deslizar na tabela da multiplicação. Assim, a régua deverá ter a configuração como da figura abaixo, na qual a primeira coluna multiplicada com a segunda resulta na coluna do meio; por exemplo, 3 x 3 = 9. 26

27 Figura 17: Exemplo para a tabela da multiplicação Régua para Radiciação Materiais Figura 18: Tabela para a radiciação Figura 19: Fita com os números para deslizar Tesoura Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental Atividade Recorte, na figura 18, as duas linhas pretas, para que seja possível inserir a tira com os números abaixo. Ao deslizar a régua, será possível obter as raízes quadradas de determinados valores. 27

28 Figura 18: Tabela para a Radiciação. Figura 19: Fita com os números para deslizar. Assim como mostra a figura abaixo: Figura 20: Exemplo da Régua da Radiciação. 2.4 Tabuada com CD Essa atividade mostrará como construir um aparato que forneça as tabuadas do 1 ao 10 de modo prático, com apenas um CD, fora de uso, e as figuras 21 e 22. Materiais 1 CD com a caixinha 28

29 Figura 21: Círculo para a tabuada com CD Figura 22: Capa para o CD Tesoura Cola Nível Escolar: A partir do 2º ano do Ensino Fundamental Atividade Recorte a figura abaixo de forma que o tamanho do círculo seja equivalente ao tamanho do CD, e em seguida cole-a no mesmo. Figura 21: Círculo para a tabuada com CD. Em seguida, faça um buraco na borda da caixinha do CD para que, com o dedo, consiga girá-lo. Coloque a figura na capa da caixinha, mas antes recorte pequenos quadradinhos nos asteriscos da figura. Figura 22: Capa para o CD. 29

30 Desse modo, será possível obter os resultados das multiplicações, apenas girando o CD, assim como mostra a figura abaixo da multiplicação 6 x 4= 24. Figura 23: Exemplo da Tabuada com CD 2.5 Calculadora de Napier John Napier ( ), muito reconhecido por seus trabalhos com logaritmos, desenvolveu esquemas para facilitar os mecanismos da aritmética. Um desses métodos é conhecido como Ossos de Napier, que podem ser confeccionados com tiras de papel, contendo cada uma as colunas de multiplicação do 0 ao 9. Figura 24: Ossos de Napier Método da Gelosia Materiais Papel Lápis 30

31 Figura 24: Ossos de Napier Nível Escolar: A partir do 3º ano do Ensino Fundamental Atividade O método consiste em construir uma matriz, colocando os dígitos do multiplicando no topo da matriz e os dígitos do multiplicador ao lado direito. Em seguida, faça cada multiplicação e some os números das diagonais. O resultado é obtido a partir do canto superior esquerdo. A multiplicação de 361 x 297, por exemplo, ocorreria da seguinte forma: Figura 25: Multiplicação de 361 por 297, utilizando o método da Gelosia. O resultado obtido nesse caso seria Ossos de Napier Materiais Figura 24: Ossos de Napier Nível Escolar: 3º ano do Ensino Fundamental em diante Atividade Os Ossos de Napier foram criados com o objetivo de facilitar a multiplicação, pois com seu auxilio é possível efetuar as operações colocando as tiras ao lado, somando as diagonais de cada tira e por fim somando os resultados obtidos, bem como mostra o exemplo (361 x 297): 31

32 Figura 26: Multiplicação de 361 por 297, utilizando os Ossos de Napier. Resultado: 361 x 297 = = Máquina de Genaille - Lucas Henri Genaille e Edouard Lucas foram dois franceses que desenvolveram, no final do século XIX, réguas para a multiplicação e para a divisão, nas quais não eram necessário efetuar a soma das diagonais, como nos Ossos de Napier. Essa máquina ficou conhecida como Máquina de Genaille-Lucas. Material Figura 27: Réguas da Divisão de Genaille - Lucas Figura 30: Réguas da Multiplicação de Genaille - Lucas Nível Escolar: A partir do 3º ano do Ensino Fundamental Atividade Com a régua de Genaille - Lucas é possível obter a multiplicação ou a divisão de duas parcelas. Abaixo, segue a configuração da régua para a multiplicação e o método para se obter o produto. 32

33 Figura 27: Réguas da Multiplicação de Genaille- Lucas. A multiplicação de 567 x 9, por exemplo, ocorre da seguinte forma: Primeiro dispomos as réguas 567. Figura 28: Réguas 5, 6 e 7. Observe a linha 9. Como 7 x 9 = 63, obtém-se o número 3 na casa das unidades e o 6 fica guardado, esperando a próxima conta, para somar na casa das dezenas. 33

34 Tendo 6 x 9 = 54, junta-se com o 6 que ficou esperando (a dezena de 63), e obtém-se 60. Assim a casa das dezenas deve ficar preenchida com 0 e o 6 fica esperando a conta na casa das centenas. Para finalizar tem-se que 5 x 9 = 45. Somando ao 6 que ficou esperando, tem-se o resultado = 51. Desse modo, a casa das centenas deve ser preenchida com 1 e a casa dos milhares com 5. Assim, o resultado da multiplicação 567 x 9 = 5103, o que também pode ser obtido seguindo as flechas. Agora veja como ocorre a multiplicação 567 x 13. Figura 29: Réguas 5, 6 e 7. Inicialmente faça a multiplicação de 567 x 3 e, posteriormente a de 567 x 1, assim, somaremos os resultados para obter o produto da multiplicação 567 x 13. Analisando a linha 3, como 567 x 3 = 21, então temos 1 na casa das unidades e o 2 que fica aguardando a conta da casa das dezenas. 34

35 Já que 6 x 3 = 18, ao adicionar o 2 que ficou esperando (dezena de 21), obtém-se que = 20. Assim, tem-se 0 na casa das dezenas e 2 que ficará esperando para ir à casa das centenas. Como 5 x 3 = 15, que somando ao 2 que ficou esperando, obtém-se = 17, resultando em 7 na casa das centenas e o 1 que vai para casa do milhar. Para 567 x 1, obtém-se que 7 x 1 = 7, resultando em 7 na casa das dezenas. Já 6 x 1 = 6 que ficará na casa das centenas e 5 x 1 = 5 que ficará na casa do milhar. Agora somando os números de cada casa obtemos que na casa das unidades temos 1. Na casa das dezenas temos = 7 e na casa das centenas temos = 13, resultando em 3 na casa das centenas e o 1 fica na espera para ir à casa do milhar. Na casa do milhar temos = 7. Assim, 567 x 13 = 7371, o que poderia ser obtido somente seguindo as flechas. A figura abaixo mostra a tabela utilizada para o processo da divisão: Figura 30: Réguas para a divisão de Genaille Lucas. Temos a coluna do quociente (Q), dos divisores (D) e dos restos (R). Por exemplo, veja a divisão 890 : 5. Disponha as réguas que correspondem aos valores 8,9,0, as réguas dos divisores e do resto como no modelo abaixo. 35

36 Figura 31: Fitas 8, 9 e 0. Observe a linha do divisor 5. Nela temos que 8 : 5 = 1 e resta 3, mas como o número 8 está na casa da centena temos 1 centena e 3 centenas como resultado da divisão e resto, respectivamente. Temos que 9 : 5 = 1 resto 4, mas ainda há as 30 dezenas (que são equivalentes as 3 centenas que restou acima). Portanto, 30 : 5 = 6 resto 0. Ou seja, temos = 7 dezenas. Para concluir temos 0 : 5 = 0, mas ainda há as 40 unidades = 4 dezenas, então, 40 : 5 = 8. Desse modo, temos que 890 : 5 = 178, com resto 0. Olhando as setas observamos que 8 : 5 = 1 no quociente, assim concluímos que o número 1 leva no 7, o número 7 leva no 8 e, finalmente, o 8 leva no resto Rudimentos de eletricidade: uma máquina de cálculo binário A atividade a seguir apresenta a construção de uma máquina que utiliza rudimentos de eletricidade (os circuitos) para realizar algumas operações com binários, de modo que para obter os resultados basta interpretá-la. Materiais 2 lâmpadas 1 pilha 4 chaves 36

37 Nível Escolar: A partir do 7º ano do Ensino Fundamental em diante Atividade Para se obter uma máquina binária com rudimentos da eletricidade basta construir o circuito elétrico abaixo: Figura 32: Circuito elétrico para máquina binária. Fonte: Malagutti (2008) As setas indicam as chaves, sendo que a chave A e a chave B são as mais importantes no momento. As linhas pontilhadas mostram que as chaves estão interligadas, ou seja, se uma mudar a posição a outra também deverá mudar. As lâmpadas L 1 e L2 apresentam o resultado da operação, sendo que a L1 indica o resultado da casa da unidade e a L2 indica a casa das dezenas. Assim, se a lâmpada L1 estiver apagada deve-se ter o número 0 na casa das unidades, e se estiver acesa deve-se ter o número 1. O mesmo ocorre com a lâmpada L2, mas agora em relação à casa das dezenas. Quando as duas lâmpadas estão apagadas (como no circuito acima) temos que = 00. Dada a configuração do circuito: 37

38 Figura 33: Circuito que fornece 01 em binário. Fonte: Malagutti (2008) Observe que agora a lâmpada L1 está acesa, como indica o circuito em vermelho, de modo que A=1 e B=0, o que resulta na soma 1 + 0= 01 (na base 2). Além desse, podemos ter outro circuito: Figura 34: Outro circuito que fornece 01 em binário. Fonte: Malagutti (2008) Nesse caso, a lâmpada L2 está acessa, portanto A=0 e B=1, resultando em = 01 (na base 2). Para finalizar seja a última configuração: 38

39 Figura 35: Circuito que fornece 10 em binário. Fonte: Malagutti (2008) Agora A=1 e B=1, o que fornece = 10 (na base 2). 39

40 3. MÁQUINAS QUE APRENDEM Esse capítulo mostrará como construir máquinas que conseguem aprender. Muitos questionamentos têm sido feitos acerca dessa aprendizagem, pois o computador mantém armazenadas várias estratégias que facilitam a sua vitória. O capítulo mostrará que a programação de uma máquina segue os princípios da teoria da evolução descrita por Charles Darwin, a qual afirma que o indivíduo se adapta para sobreviver no meio em que está. Partindo desse pressuposto, a máquina se adaptará para sempre ganhar. 3.1 Jogo de Xadrez Essa máquina aprende a ganhar um simples jogo de xadrez de um adversário humano. Inicialmente, ela executará algumas jogadas que serão consideradas errôneas, mas, por meio de recompensas e castigos, depois de um tempo a vitória será garantida. Materiais 37 caixinhas de fósforos vazias Canudinhos de quatro cores diferentes Figura 38: Possíveis jogadas Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental Atividade O jogo será realizado com a utilização de um tabuleiro como da figura abaixo: Figura 36: Tabuleiro do Jogo. Fonte: Malagutti (2008) Inicialmente as peças deverão ocupar as posições de acordo com a figura 36. Cada ficha poderá ser deslocada com os mesmos movimentos de um jogo de xadrez, ou seja, poderá andar para uma casa da frente (se a mesma estiver vazia) ou poderá mover-se na diagonal, capturando uma peça do adversário. 40

41 Figura 37: Movimentos do jogo. Fonte: Malagutti (2008) Três situações caracterizam vitória: 1- Se uma peça atingir o lado oposto do tabuleiro. 2- Se todas as peças adversárias forem capturadas. 3- Se todas as peças do adversário não puderem mais ser movimentadas segundo as regras. 41

42 Figura 38: Jogadas possíveis. Fonte: Malagutti (2008) 42

43 Cada caixinha representa uma situação do jogo com as possíveis jogadas, sendo indicadas pelas setas coloridas. Assim, é necessário recortar todas as situações e colá-las uma em cada caixinha. Dentro de cada caixinha de fósforo encontram-se 3 pedaços de canudinhos com a mesma cor das setinhas, ou seja, azul, verde e vermelho. Quando chega a vez do computador jogar ele escolhe aleatoriamente uma cor de canudinho, realizando a jogada na qual a seta é corresponde à cor do canudinho retirado. Se a mesma gerar uma derrota, o canudinho responsável é retirado da caixa. Se o lance for vitorioso e o computador ganhar, então a caixinha recebe mais um canudinho dessa cor. Note que cada caixinha possui uma posição e a sua simétrica, para diminuir o número de caixinhas utilizadas. Um exemplo de como poderiam ser as jogadas segue abaixo: Figura 39: Exemplo de jogo. E assim, com o lance da setinha vermelha tem-se que as bolinhas pretas ganham o jogo, pois conseguem alcançar o lado do adversário. 3.2 NIM com palitos O jogo NIM foi o primeiro analisado e estudado nos aspectos da matemática, sendo que o primeiro matemático a desenvolver trabalhos foi Charles Bouton, nos quais apresentou uma estratégia para vitória que se baseava na aritmética dos números naturais no sistema binário de numeração (RODRIGUES e SILVA, pág. 3). Além disso, Charles Bouton afirmou que a origem do jogo seria chinesa, o que não foi comprovado mediante a possibilidade de origem inglesa. Materiais 18 caixinhas de fósforos vazias Pedaços de papel de três cores: azul, verde e vermelho Figura 42: Possíveis Jogadas 43

44 Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental Atividade O jogo do NIM é constituído por uma quantidade de peças, dispostas em uma superfície plana ou no espaço e deve ser realizado por dois participantes, denominados de A e B. Sobre uma mesa deve haver três fileiras de palitos, dispostos como mostra a figura abaixo: Figura 40: Configuração dos palitos. Cada jogador deve retirar uma quantidade de palitos na sua vez, de modo que só podem ser retirados palitos da mesma linha. Perde o jogo quem ficar com o último palito. Assim como na atividade anterior, cada caixinha conterá as possíveis jogadas. Dentro da caixa de fósforos haverá uma quantidade de cartões das cores dos palitos e numerados com 1, 2 ou 3 indicando quantos palitos podem ser retirados naquela caixa. Por exemplo, Figura 41: Exemplo de como serão as caixinhas do jogo. Fonte: Malagutti (2008) Se o computador realizar uma jogada que faça com que ele perca, então será retirado o último cartão que direcionou esse fato. Caso ele ganhe, será recompensado com o acréscimo de todas as fichas que proporcionaram a vitória, em suas respectivas caixas. As possíveis jogadas para um jogo com configuração 3 x 3 são: 44

45 Figura 42: Possíveis Jogadas Fonte: Malagutti (2008) 3.3. Uma variação do NIM: com Envelopes Assim como o Jogo de Xadrez e o NIM de Palitos, existe uma versão com envelopes para o NIM que também é uma máquina que aprende a jogar e, principalmente, a ganhar. Materiais 20 envelopes pequenos e enumerados de 1 a fichas com o número 1 30 fichas com o número 2 30 fichas com o número 3 20 palitos de qualquer tamanho Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental 45

46 Atividade Escolha um número entre 10 e 20, colocando o mesmo número de palitos na mesa. O primeiro jogador deverá retirar 1, 2 ou 3 palitos. O segundo, também deverá retirar uma das três quantidades. Assim, sucessivamente, até ser retirado o último (ou últimos) palitos. Por exemplo, um jogo iniciando com 12 palitos: Para montar o computador recorte os envelopes e fichas abaixo: 46

47 Figura 43: Envelopes para montar o NIM. Fonte: Malagutti(2008) Monte e coloque em cada envelope uma ficha com o número 1, uma com o número 2 e uma com o número 3, sabendo que cada ficha corresponde ao número de palitos que deverão ser retirados da mesa. O número correspondente do cartão representa o número de palitos na mesa. A seguir, apresenta-se um exemplo de como jogar com um computador: Suponha que o número 12 seja escolhido. Selecione o envelope com o número 12. Assuma que o computador seja o primeiro jogador. Assim escolhe-se, sem olhar, uma ficha do envelope. Suponha que seja a ficha com o número 3. Desse modo, deve-se retirar 3 palitos da mesa, restando 9 palitos. Em seguida, o jogador humano retira 3 palitos também, totalizando 6 palitos na mesa. Novamente, é a vez do computador que sorteia e retira a ficha com o número 2 do envelope 6, restando 4 palitos na mesa. Assim, sucessivamente, até acabar os palitos das mesas. Se o computador ganhar será recompensado com o acréscimo de uma ficha em cada envelope, repetindo o caminho que o levou à vitória. Com isso, a probabilidade de fazer um 47

48 jogo vitorioso aumenta. Entretanto, se o computador perder, retira-se do envelope a última ficha que o levou à derrota. 3.4 Jogo da velha com cinco instruções O jogo da velha é um jogo simples, muito conhecido e fácil de ser realizado, pois com pequenas jogadas já é possível obter um vencedor. Essa atividade mostrará como é possível vencer sempre o jogo da velha apenas seguindo as instruções. Materiais Folha de papel Lápis Instruções Nível Escolar: A partir do 3º ano do Ensino Fundamental Atividade Para realizar o jogo serão necessários dois participantes. Deve-se construir, no papel, um jogo da velha com configuração 3 x 3, de maneira que cada participante seja representado pelo símbolo x ou o. Seguindo as instruções abaixo, o primeiro jogador nunca perderá: 1- O jogador 1 deverá marcar o seu símbolo em um canto. 2- Se o outro jogador não marcar, o jogador 1 deverá marcar o canto oposto ao do movimento 1, caso contrário deverá marcar um canto livre. 3- Se existe um espaço livre em uma reta unindo dois x, o primeiro jogador deverá ir para este espaço. Em oposição, se houver um espaço em uma reta determinada por dois o, então deverá ir para este espaço. Caso contrário, deverá marcar um canto livre. Repetir esse movimento quantas vezes for necessário. 4- Ir para o espaço livre. 3.5 Jogo da velha 3D Esse jogo apresenta a configuração do jogo da velha, mas em 3 dimensões. Materiais 3 placas de plástico transparentes 4 pedaços de canudinhos 48

49 Nível Escolar: A partir do 3º ano do Ensino Fundamental Atividade Para construir o jogo é necessário desenhar um jogo da velha com configuração 3 x 3 nas três placas de plástico. Feito isso, faça furinhos em todos os cantos das placas, visando colocar os canudinhos ligando as placas. Obtendo a seguinte configuração: Figura 44: Configuração do Jogo da Velha em 3D. O jogador que alinhar três dos seus símbolos em uma reta qualquer marca um ponto. Abaixo, um exemplo: Figura 45: Configuração de uma jogada que marca ponto. Entretanto, apenas essa atitude não define o vencedor do jogo; sua função é marcar pontos. Ganha o jogador que marcar o maior número de pontos. 49

50 4. MÁQUINAS QUE REALIZAM OPERAÇÕES LÓGICAS O hardware de um computador se baseia na lógica, que é caracterizada pelas portas lógicas. Esse capítulo desenvolverá algumas máquinas que realizam operações lógicas e, ou e não, com o uso de dominós, palitos e elásticos, polias e correias e cartões com janelas. Além disso, apresentará, de forma ilustrativa, algumas máquinas antigas de lógica. 4.1 Dominós Com os dominós posicionados em pé, essa atividade simulará as portas lógicas e, ou e não. Material Dominós Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental Atividade Construa as seguintes configurações com os dominós para obter as portas lógicas. Figura 46: Porta lógica ou Figura 47: Porta lógica e Fonte: Malagutti (2008) Fonte: Malagutti (2008) Note que apesar da configuração dos dominós ser a mesma, a saída é diferente. Isso deve - se ao fato dos 1 s e 0 s da entrada estarem invertidos. 50

51 Figura 48: Porta lógica não Fonte: Malagutti (2008) 4. 2 Palitos e Elásticos Assim como fizemos com os dominós podemos usar palitos para obter as portas lógicas e, ou e não. Materiais Palitos Elásticos Blocos Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental Atividade Construa aparatos como os das figuras abaixo, sendo que em todas as construções um elástico liga a figura em forma de T com o bloco. Figura 49: Porta lógica ou. Fonte: Malagutti (2008) 51

52 Para a construção abaixo, verifica-se que o elástico une os palitos ao bloco. Figura 50: Porta lógica e. Fonte: Malagutti (2008) O movimento para a direita será identificado como 1 e para a esquerda como 0. Esse aparato inverte o sentido do movimento. Figura 51: Porta lógica não. Fonte: Malagutti (2008) 4.3 Gardner A lógica teve um grande avanço no século XIX. Com isso, muitas máquinas de lógica foram desenvolvidas, como, por exemplo, a máquina de Pastore, de Stanhope, de Jevons, de Marquand e cartões com janela. As máquinas serão apresentadas apenas de forma ilustrativa, demonstrando sua importância e engenhosidade para a época. 52

53 4.3.1 Máquina de Pastore A máquina de Pastore busca traduzir a estrutura do raciocínio silogístico em movimento físico assemelhando-se à forma de um computador analógico. Consiste em um arranjo triangular com três círculos, sendo que cada um deles equivale às afirmações e conclusão do silogismo. Por exemplo, para as premissas: Todo A é B Nenhum B é C Logo nenhum A é C O arranjo de Pastore seria equivalente à figura 52: Figura 52: Arranjo de Pastore. Figura 53: Representação de Venn. Fonte: Gardner Como A é B, as duas polias estão girando para o sentido horário, então as linhas que as ligam são paralelas. Como B não é C, as polias estão se movimentando em sentido contrário, então as linhas que as unem se cruzam. Com isso, A e C também girarão em sentido oposto, resultando no cruzamento das linhas que as ligam. Com o mesmo raciocínio, Pastore desenvolveu 256 máquinas que representavam diferentes silogismos. Algumas delas estão ilustradas na figura abaixo: 53

54 Figura 54: Representação por Pastore de diferentes silogismos. Fonte: Gardner Máquinha de Stanhope Stanhope foi o primeiro a desenvolver uma máquina para estudar a lógica formal. Esta, além de ser utilizada para desenvolver silogismos tradicionais por meio de um método muito parecido ao diagrama de Venn, desenvolve silogismos numéricos e elementares probabilidades. As figuras abaixo ilustram a máquina: Figura 55: Máquina de Stanhope. Fonte: Gardner 54

55 4.3.3 Máquinha de Jevons William Stanley Jevons produziu uma máquina de lógica que ficou conhecida historicamente por ser a primeira a resolver rapidamente problemas complicados. Ela se assemelha a um piano em miniatura, como mostra a figura abaixo: Figura 56: Máquina de Jevons. Fonte: Gardner Na frente possui 16 combinações de quatro letras e suas negações. O teclado possui 21 teclas e cada lado (direito e esquerdo) possui oito letras chaves. As outras cinco chaves são chamadas chaves de operação, de modo que a chave do meio serve para indicar o sinal de igualdade conectando o lado esquerdo e direito da equação. O full stop é acionado quando a equação completa alimenta a máquina. Para operar a máquina basta digitar as teclas de acordo com a ordem da equação. Por exemplo, para a equação AB = B digite A e B no lado esquerdo. Em seguida, digite cópula e digite B no lado direito. Assim, as combinações incompatíveis com a proposição serão eliminadas Máquina de Marquand Em 1881, Allan Marquand ( ) desenvolveu uma máquina que representou um avanço em relação à máquina de Jevons. Esse trabalho foi apresentado em um artigo intitulado Máquina A New Logic. A máquina de Marquand é melhor que a de Jevons por não utilizar as equações embaraçosas que este utilizava. Desse modo, foi possível reduzir a quantidade de chaves. O teclado é composto por dez teclas nomeadas como representado na figura

56 Figura 57: Máquina de Marquand (A figura do lado esquerdo mostra a máquina vista de frente e a do lado direito mostra como é o interior da máquina). Fonte: Gardner Figura 58: Teclado da Máquina de Marquand. Fonte: Gardner As dezesseis possíveis combinações de verdadeiro ou falso são representadas pelos dezesseis ponteiros giratórios. Cada ponteiro pode ser elevado a uma posição horizontal, apontando para a esquerda e mostrando que a afirmação é verdadeira. Ou pode ser posicionado verticalmente, apontando para baixo e mostrando que a afirmação é falsa. 4.4 Lógica em Binários A lógica das premissas pode ser verificada assim como nas tabelas verdades, mas agora quando tivermos algo verdadeiro indicamos por 1 e quando tivermos algo falso colocamos 0. Figura 59: Lógica em Binário. 56

57 Sejam as proposições A e B. Se A equivale a B, obtém-se o valor Assim, a primeira e a última colunas são verdadeiras e a segunda e a terceira colunas são falsas. Quando fizer A ou B, A e B ou A implica B, obtém-se, respectivamente, os resultados em binário: 0111, 0001 e Para fazer a negação de uma sentença basta trocar 0 por 1 e o 1 por 0. Por exemplo: A é verdadeira se, e somente se, B for verdadeira. A é verdadeira. Então B é verdadeiro, pois = Cartões com janela Todas as máquinas vistas acima preocupavam-se com as premissas e a conclusão, mas é possível elabora uma que só que considere a conclusão. Martin Gardner desenvolveu para cada premissa, cartões perfurados, de maneira que quando eles são sobrepostos, apresentam a conclusão do silogismo. Silogismos equivalentes foram considerados em um único cartão, tais como: Alguns A são B e Alguns B são A. Figura 60: Cartões com janelas. Fonte: Gardner A parte do cartão riscada estará perfurada. Quando se coloca um cartão sobre o outro, deve-se ter um quadrado completamente preto para obter uma conclusão válida. Por exemplo, considere as premissas All P is M e All M is S, que correspondem, respectivamente, a 57

58 Todo P é M e Todo M é S. Ao se sobrepor os cartões, obtém-se o quadrado da premissa Some S in P em preto, que corresponde a Alguns S são P, o que é válido. 58

59 5. REPRODUÇÃO DAS MÁQUINAS Este capítulo abordará o assunto: reprodução das máquinas, especificamente em um programa de computador que pode fazer uma cópia de si mesmo. Algumas questões que envolvem a auto-reprodução de máquinas serão levantadas por meio do Jogo da vida. 5.1 Jogo da vida Esse jogo lidará, de forma fictícia, com uma população de indivíduos que se reproduz, evolui e se extingui, sendo um modelo de autômato celular. Materiais Figura 61: Tabuleiro Fichas pretas e cinza Nível Escolar: A partir do 9º ano do Ensino Fundamental Atividade Para começar deve-se introduzir uma população inicial no tabuleiro abaixo: Figura 61: Tabuleiro. Fonte: Malagutti (2008) Cada indivíduo da população será representado por bolinhas, sendo que as pretas representaram as células vivas e, as cinzas, as células mortas. 59

60 Figura 62: População. Fonte: Malagutti (2008) A cada instante t do tempo a população inicial se modificará. Cada célula poderá ter oito vizinhos: dois na horizontal, dois na vertical e quatro na diagonal. As regras do jogo são as seguintes: 1. Se a célula estiver viva no instante t, ela permanecerá viva no instante t+1, desde que tenha dois ou três vizinhos, morrendo se tiver menos que dois ou mais que três vizinhos. 2. Se a célula estiver morta no tempo t, continuará nesse estado até ter três vizinhos vivos. Por exemplo, uma configuração de um jogo: Figura 63: Um exemplo de jogo Fonte: Malagutti (2008) 60

61 A primeira figura de todas as gerações representa a população inicial. A segunda figura mostra a população inicial com o número de células que nasceram e, a terceira, a população com as células que nasceram e sem as células que morreram. Note que, no jogo, todas as figuras 2 e 3 das gerações ocorreriam simultaneamente. Observe que a partir da 4ª geração o número da população se repete, mudando apenas a disposição no plano. Assim, como ocorre à reprodução da população pode-se pensar na reprodução de máquinas. 61

62 6. MÁQUINAS QUE ESCONDEM A COMUNICAÇÃO Esse capítulo apresentará algumas máquinas que possuem construções simples e que podem ser utilizadas para codificar e decifrar mensagens secretas. O uso de envio de mensagens secretas é muito antigo e atualmente, tem sido amplamente utilizado em transações bancárias. 6.1 Máquinas feitas de papel Réguas Deslizantes Material Figura 63 Nível Escolar: A partir do 5º ano do Ensino Fundamental Júlio César, general do Império Romano, foi o responsável por um dos primeiros sistemas de criptografia utilizado, que era baseado na seguinte regra: transforma cada letra do alfabeto em número e, em seguida, substitui cada letra pela terceira letra que a segue no alfabeto. Obtendo assim: A=0 I=8 Q=16 Y=24 B=1 J=9 R=17 Z=25 C=2 K=10 S=18 D=3 L=11 T=19 E=4 M=12 U=20 F=5 N=13 V=21 G=6 O=14 W=22 H=7 P=15 X=23 Figura 64: Sistema de criptografia de Júlio César. Fonte: Malagutti (2008) A palavra ESCOLA, por exemplo, ficaria GVFROD. Para facilitar, podemos construir a régua deslizante. Dadas as figuras abaixo: Figura 65: Régua deslizante. Fonte: Malagutti (2008) 62

63 Corte os dois riscos da primeira régua e passe a segunda régua por eles, obtendo a seguinte configuração: Figura 66: Exemplo da configuração da régua deslizante. Fonte: Malagutti Outra forma, ainda mais segura, de codificar mensagens foi utilizada pelos espartanos na Antiga Grécia. Consiste em dois tubos iguais (um deve ficar com quem envia a mensagem e outro com quem recebe) e uma fita de papel. Quem vai enviar a mensagem deve enrolar a fita no tubo e escrever a mensagem Assim, quando desenrolar a fita, as letras ficarão com as letras bagunçadas. A figura abaixo dá um exemplo de como deve ser feito: Figura 67: Outra forma de criptografia. Fonte: Malagutti (2008) 6.2 Códigos corretores de erros Mágica Com o armazenamento e a transmissão, os dados podem sofrer algumas modificações acidentalmente. Por isso, os computadores precisam de métodos para detectar e corrigir os dados danificados. Essa atividade, mostrará como realizar uma mágica que detecta um erro e corrigí-lo. Materiais 25 cartas idênticas feitas de papel Tesoura Cola Nível Escolar: A partir do 7º ano do Ensino Fundamental Atividades 63

64 Prepare um conjunto de 25 cartas idênticas com um dos lados colorido. Para realizar a mágica coloque-as aleatoriamente formando um quadrado de 5 x 5, como na figura abaixo: Figura 68: Configuração inicial das cartas Acrescente outra coluna de cartas verticalmente e outra linha horizontalmente, obtendo uma configuração 6 x 6. Figura 69: Configuração das cartas com acréscimo de uma fileira horizontal e vertical Ao colocar as novas cartas deve-se obter um número par de cartas pretas em cada coluna. Quando alguém virar uma carta, uma fileira vertical e uma fileira horizontal, estarão com um número ímpar de cartas coloridas. Assim, a carta que estiver em ambas as fileiras, será a carta virada. 64

65 7. COMPUTADORES ANALÓGICOS Os computadores analógicos funcionam por comparação de procedimentos contínuos. Por muito tempo foram utilizados para medir o tempo, resolver equações diferenciais e eram considerados mais velozes do que os computadores digitais. Atualmente, devido à tecnologia, não são muito utilizados. Os computadores digitais realizam os processos com quantidades discretas que mudam passo a passo, e assim, são mais precisos. Porém, esse capítulo mostrará como computadores analógicos são eficientes para ordenar números naturais e encontrar a menor distância entre duas cidades. 7.1 Computador com varetas Nessa atividade serão utilizadas apenas varetas para colocar em ordem decrescente números naturais. Material Varetas Nível Escolar: A partir do 4ª ano do Ensino Fundamental Atividade Dada a seqüência 4, 9, 2, 8, 7, 6, 13, 5, 18, basta pegarmos 9 varetas e cortá-las no tamanho (em centímetros) dos números das seqüência, para colocá-la em ordem decrescente. Assim, podemos juntar todas as varetas apoiadas em uma mesa e determinar qual é a maior delas. Em seguida, pegamos o restante das varetas e fazemos o mesmo procedimento para obter a maior delas. Assim, sucessivamente, até ordenar todos os números de forma decrescente. 7.2 Como economizar combustível usando barbantes Essa atividade mostrará como obter a menor rota, dentre várias ligadas por rodovias, apenas com a utilização de um barbante. Materiais Barbante Mapa com as rotas das cidades 65

66 Nível Escolar: A partir do 5º ano do Ensino Fundamental Atividade Com o intuito de fazer uma viagem mais curta, busca-se encontrar a rota que possui a menor distância entre as duas cidades, obtendo, por meio de um mapa, todas as possíveis rotas. Suponha que o número de rotas seja grande, desse modo, podemos analisar os possíveis caminhos com o auxílio de um barbante com nós, em que cada um representará uma cidade e a distância entre dois representará uma estrada. Esticando o barbante e segurando o nó da cidade de origem e chegada, obtemos o menor caminho. 7.3 CD Trigonometria Essa atividade construirá um instrumento que facilita a obtenção dos valores trigonométricos dos ângulos de 30º, 45º, 60º. Materiais CD com a capa Figura 70: Círculo para o Cd Figura 71: Círculo Trigonométrico Tesoura Cola Nível Escolar: A partir do 1º ano do Ensino Médio Atividades Recorte a figura 70 de forma que o tamanho do círculo seja equivalente ao tamanho do CD e em seguida cole-a no mesmo. 66

67 Figura 70: Círculo para o CD de trigonometria. Posteriormente, faça um buraco na borda da caixinha do CD para que, com o dedo, consiga girá-lo. Coloque o círculo trigonométrico na capa da caixinha. Figura 71: Círculo Trigonométrico. 67

68 8. CARDIAC CARDIAC (A cardboard illustrative aid to computation) é um acrônimo de papelão, que apesar de não ser um computador, ilustra as operações que são executadas pelo mesmo, sendo então muito útil à compreensão da programação de computadores. Todos os seus elementos estão em correspondência com os elementos do computador. Para facilitar, o CARDIAC trabalha com números decimais ao invés de binários como o computador. Materiais Figura 72: Capa da frente do CARDIAC Figura 73: Capa de trás do CARDIAC Figura 74: Monitor do CARDIAC Figura 75: Marcador Figura 76: Memória do CARDIAC Figura 77: Cartão de entrada e saída e fitas para deslizar e dar as instruções Figura 78: Fita com instruções Tesoura e cola Fita adesiva Nível Escolar: A partir do 1º ano do Ensino Médio Atividade O CARDIAC terá os mesmos elementos de um computador, exceto a fonte de energia, pois essa será a pessoa que manuseará a máquina. Abaixo, apresenta-se como será representado cada dispositivo no CARDIAC e sua função: Entrada: tem como função inserir os dados no computador para que depois eles sejam armazenados na memória. Será uma tira de papel com os números de 1 a 25. Decodificador: apresentará as instruções e também será feito com tiras deslizantes de papel, de modo que ao deslizá-las obtêm-se diferentes instruções. Memória: é utilizada para armazenar os dados. No CARDIAC, é possível armazenar apenas 100 códigos de três dígitos, que devem ser colocados a lápis nas células de memória e depois recuperados visualmente. 68

69 Acumulador: local onde ocorrem as operações (adição ou subtração) com os dados. Contador de programa: controla qual é o próximo procedimento a ser executado. No CARDIAC, ele será movido manualmente a partir de uma célula de memória para outra. Registrador de instruções: registra todos os passos das instruções. Teste do Acumulador: testa o sinal de um número do acumulador e se todos os cartões foram lidos na memória. Sequenciamento: Assim como nos computadores a seqüência de passos é muito importante. Ela é indicada pelas setas e deve ser seguida rigidamente. Controle: Compõe-se de 3 etapas que são: buscar uma instrução na memória para o registrador de instruções, levar essa instrução para o controlador para que se possa saber qual é o próximo passo e acionar o registrador de instrução para executar a próxima instrução. Enquanto o registrador executa seu processo, o controle fica em repouso. Para montá-lo recorte as figuras: Figura 72: Capa da frente do CARDIAC. Figura 73: Capa de trás do CARDIAC. 69