Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade"

Transcrição

1 Investigação Operacional rogramação Linear (arte II) Licenciatura em ngenharia ivil Licenciatura em ngenharia do Território Licenciatura em ngenharia e rquitectura Naval / Nuno Moreira/milcar rantes/ui Marques/Marta Gomes nálise de Sensibilidade análise de sensibilidade permite: / studar a robustez da solução óptima obtida stimar a validade da solução quando os dados foram obtidos por estimativa ou eiste incerteza quanto ao seu valor eacto ctualizar solução após correcção dos dados studar a viabilidade económica de aumento dos recursos disponíveis...

2 / nálise de Sensibilidade ermite estudar a alteração sofrida pela solução óptima: ao alterar os coeficientes c j da função objectivo (lucro obtido por cada unidade produzida) ao alterar os termos independentes das restrições b i (limitação aos recursos disponíveis - número de horas semanais de processamento de cada máquina) ao introduzir novas restrições (e: incluir restrições não previstas no modelo inicial) ao introduzir novas variáveis (e: lançamento de um novo produto) ao alterar os coeficientes técnicos a ij (tempo de processamento que cada produto necessita em cada máquina - rendimento) nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO / Solução óptima definida pelas restrições activas ( e ). Função objectivo: Ma LX X apresenta um declive m F -/ solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m -./.-/ ; m -./.-. nálise de sensibilidade ao lucro unitário do produto LX X m F -/ m m F m - m F -/ > - -/ -/ > L o alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deiar de ser óptima

3 nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Uma alteração c i no coeficiente da variável X i propaga-se pelas diferentes iterações do simple. nálise de sensibilidade ao lucro unitário do produto Ma L X c X X ( c ) X c c. X. X F. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F.. F.. F. -L c / F X X F F F TI nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO F.. /. F.. /. F. /. -L c ma /. - / X X X F F F /.6 -. F /. F X X F F F. / -L c -. - ma 6 TI TI i i 6

4 nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO /. X X X -. F /. X. /. - -L c -. - ma X X -.. X -.. /. F X / -L c F F F F F F TI 6 TI - i 6/-. uadro com a solução óptima (sem alteração do coeficiente c ; c e c ) nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO solução continuará a ser óptima se ao maimizar/minimizar a função objectivo as suas derivadas em função das variáveis não básicas se mantiverem negativas/positivas ou nulas F -.. X c c c - > > - c c c c / -L -L X X X -.. c F -. F c c F TI - -- c

5 nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO / Solução óptima definida pelas restrições activas ( e ). Função objectivo: Ma LX X apresenta um declive m F -/ solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m -./.-/ ; m -./.-. nálise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos ( e ) L X X m F - / m m F m - m F -/ > - - / -/ > / e > L o alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deiar de ser óptima nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO nálise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos ( e ) Lc X c X > c c c c - c - c c.6 c c -.. c -.. c -.6 c c c > > -.. c c c.c c c / -L -L X F -.. X c c X F X F c -.6 c -. c.6 c F TI c - c

6 nálise de Sensibilidade Termos Independentes o alterar o termo independente de uma restrição, a optimabilidade da solução não é alterada, mas a solução pode deiar de ser possível. ) Se a alteração ocorrer numa restrição não activa (c/ variável de folga > ), a solução óptima mantém-se inalterada: Sempre que a alteração seja no sentido de aumentar a folga da restrição. alteração não esgote a folga dessa restrição. aso contrário a solução deia de ser possível. ) Se a alteração ocorrer numa restrição activa, o valor da solução (e das variáveis básicas) é sempre alterado. No entanto, a base mantém-se desde que a alteração não torne activa outra restrição anteriormente não activa. / nálise de Sensibilidade Termos Independentes rocedimentos: ) em restrições não activas Verificar se com a alteração do termo independente (b i ) a restrição é satisfeita ) em restrições activas ecalcular a solução (com a mesma base e restrições activas) e verificar se os novos valores satisfazem as outras restrições Verifica as restrições? Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMLX ual / 6

7 nálise de Sensibilidade Termos Independentes / lteração ao termo independente b da restrição activa L Limite à alteração de b mantendo a mesma solução básica óptima (conjunto de variávei básicas) Novos valores das variáveis básicas em função da variação do termo independente b nálise de Sensibilidade Termos Independentes O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas etraordinárias. ual o efeito dessa variação na solução do problema? Ma L X X. X. X F b. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F / Solução Óptima ossível? ase {X, X, F } F F b b b.. X. X b. X. X. X F X. -.b X b F. -.b b. L 66.6.b solução é possível se as variáveis básicas forem

8 nálise de Sensibilidade Termos Independentes O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas etraordinárias. ual o efeito dessa variação na solução do problema? Intervalo para o número de horas de trabalho da máquina M (a base mantém-se): / b. Sendo L 66.6.b Intervalo para a variação do número de horas de trabalho da máquina M (a base mantém-se): - b. b b Sendo L. b / nálise de Sensibilidade reços Sombra O preço sombra do recurso i (representado pela restrição i) é uma medida do valor marginal deste recurso, ou seja, a taa a que a função objectivo cresce se esse recurso sofrer um aumento unitário (desde que a base da solução óptima não se altere) O preço sombra do recurso i é medido pelo simétrico do coeficiente da variável de folga do recurso (F i ) na função objectivo quando definida em função das variáveis não básicas. reço sombra nulo significa que o recurso correspondente não está saturado, ou seja, que a restrição tem folga (restrição não activa) 6

9 / nálise de Sensibilidade reços Sombra É possível realizar horas etraordinárias com uma das máquinas. m qual das máquinas as horas etraordinárias são mais rentáveis? Ma L X X. X. X F. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F X -.. X F Uma hora etraordinária na máquina {M,M,M } provocará um aumento na função objectivo de {.,.6, } se a base da solução óptima se mantiver. esposta: as horas etraordinárias deverão ser efectuadas na máquina M porque é a que apresenta um valor marginal mais elevado. -L X X F F F TI - Simétrico dos preços sombra / nálise de Sensibilidade reços Sombra m qual das máquinas a utilização de horas etraordinárias conduz a um maior incremento do lucro (mantendo a mesma base)? (cada hora etraordinária tem um custo de.) Ma L X X. X. X F. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F nálise da máquina : esposta: apesar do preço sombra ser inferior em M é possível um aumento maior da FO (para a mesma base) se utilizarmos as horas etraordinárias em M. b ma. h L ma ( b ). b -. b -.. nálise da máquina : b ma h L ma ( b ).6 b -. b - nálise da máquina : b ma não definido L ma ( b ) b -. b (há prejuízo para b > )

10 / nálise de Sensibilidade Novas estrições o introduzir uma nova restrição, a optimalidade da solução não é alterada, mas a solução pode deiar de ser possível. rocedimentos: Verificar se a solução óptima verifica a nova restrição Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMLX ual nálise de Sensibilidade Novas estrições / pós os produtos passarem pelas máquinas M, M e M, estes devem ser inspeccionados por um operário que tem uma capacidade de inspeccionar produtos por semana. Ma L X X. X. X F. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F L Solução Óptima (L) X X F F F Nova estrição X X X X solução é impossível. É necessário resolver o problema desde o princípio ou aplicar o algoritmo Simple ual.

11 / asos articulares de L O Sr. José, industrial agrícola produtor de tomates, realizou contratos de venda num total toneladas das toneladas de tomate produzidas nas suas duas quintas (t na uinta da lfarroba e t na uinta da eterraba). e acordo com os contratos, tem que entregar t no armazém da cadeia de supermercados ronto, t na fábrica de enlatados uelata e t na fábrica de sumos essumo. Sabendo que os custos de transporte entre cada quinta e os locais de entrega são os apresentados no quadro, qual o plano de transportes que sugere. [ /ton] Formulação efinição das variáveis: ij quantidade de tomate, em toneladas, a transportar da quinta i (,) para o cliente j (,,) [ton] F custo global de transporte da colheita [ ] Função objectivo: Min F estrições: / ij ij F F

12 / roblema de Transportes Formulação efinição das variáveis: c ij custo unitário de transporte de i para j ij quantidade a transportar de i para j F custo global do transporte Função objectivo: Min F estrições: j i ij i j ij ij O c ij ij i j roblema com: m origens n destinos (m n) variáveis (m n ) restrições linearmente independentes (m n ) variáveis básicas roblema de Transportes esolução pelo simple Factor multiplicativo -F -F c c -u -v c c -u -v Se ij é variável não básica então / X n c in c n -u -v n c c -u -v c -u -v Se ij é variável básica então c ij -u i -v j n c n c n -u -v n m c m c m -u m -v m c m c m -u m -v c ij c ij -u i -v j > c ij ij então a solução é óptima mn c mn c mn -u m -v n TI O O O m n u u u m v v v n

13 lgoritmo dos Transportes º - quilibrar o roblema [ /ton] t t t t t t t / lgoritmo dos Transportes º a) - ncontrar uma solução inicial possível linhas colunas Método do anto Noroeste. Seleccionar a variável livre do canto superior esquerdo. tribuir o máimo possível a essa variável. Se eistirem variáveis livres voltar ao passo.. Verificar o número de variáveis básicas e definir variáveis básicas nulas se necessário variáveis - variáveis básicas / t t t t t t t F ij c ij 6

14 lgoritmo dos Transportes º b) - ncontrar uma solução inicial possível linhas colunas Método dos ustos mínimos. Seleccionar a variável livre com custo unitário mais baiov. tribuir o máimo possível a essa variável. Se eistirem variáveis livres voltar ao passo.. Verificar o número de variáveis básicas e definir variáveis básicas nulas se necessário variáveis - variáveis básicas / t t t t t t t F lgoritmo dos Transportes º alcular u i e v j se ij é variável básica tal que c ij -u i -v j. rbitrar um valor qualquer para uma das constantes do conjunto {u i ;v j }. ara uma constante u i definida, procurar uma variável básica ij na linha i cuja constante v j ainda não esteja definida ou para uma constante v i definida, procurar uma variável básica ij na coluna j cuja constante u j ainda não esteja definida. alcular a constante ainda não definida através da epressão c ij -u i -v j. Voltar ao passo. até definir todas as constantes u i e v j / t t t t v v v v F t t t u u -6

15 lgoritmo dos Transportes º alcular ij e verificar se a solução é óptima. ara as variáveis não básicas calcular c ij através da epressão: c ij c ij -u i -v j. solução é óptima se ao minimizar/maimizar todos os coeficientes c ij forem positivos/negativos ou nulos / c c -u -v -- - c c -u -v -(-6)- c F c F -u -v F -(-6)- 6 t v t v t v t v F c < > solução não é óptima t t t u u -6 lgoritmo dos Transportes º alcular nova solução. Seleccionar a variável não básica cujo c ij é o mais negativo/positivo para entrar na base. dicionar à variável que entra na base. Subtrair e adicionar às outras variáveis básicas para respeitar as restrições. efinir como o maior valor possível tal que todas as variáveis sejam positivas ou nulas. variável que definiu o valor de será a variável a sair da base.6 Substituir o valor de, calcular a nova solução e voltar ao º passo ma / t v - t - v t v t v F t t t u u -6

16 / lgoritmo dos Transportes º alcular u i e v j tal que c ij -u i -v j se ij é variável básica º alcular c ij c ij -u i -v j e verificar se a solução é óptima t v c c -u -v -- c c -u -v -(-)- 6 c F c F -u -v F -(-)- t v t v t v F solução óptima t t t F u u - lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade istem dúvidas quanto ao custo unitário de transporte entre a uinta da eterraba e a fábrica de enlatados uelata. ara que valores desse custo a solução encontrada se mantém óptima? / t v c t v c c c -u -v --c - -c c c -u -v -(-)- 6 c F c F -u -v F -(-)- t v t v F t t t u u - solução é óptima se: c 6

17 lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade evido à queda de uma ponte não é possível efectuar a ligação entre a uinta da lfarroba e a fábrica da essumo. solução mantém-se? ual a nova solução? tenção: o colocar um custo unitário igual a M, a respectiva variável deve ser nula na solução óptima (método do ig M para anular variáveis) caso contrário não eiste solução possível / t v t v M c c -u -v ---M -M < c c -u -v -(-M)- M-6 c F c F -u -v F -(-M)- M- M t v M t v F t t t u u -M solução não é óptima, deve entrar para a base lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade colheita da uinta da eterraba ainda não foi realizada sendo as t uma estimativa. ara que valores da produção da uinta da eterraba a solução básica se mantém óptima? tenção: Os valores de u i, v j e c ij não se alteram pelo que a solução continuará a ser óptima enquanto a solução for possível / - F t v t v - t v t t t t v F u u - solução possível enquanto - t O t F (- )( )( ) ( - )

18 / asos articulares de L orrida de arros O ndré, o ernardo, o arlos, o aniel e o duardo formam uma equipa que vai fazer uma corrida de carros em etapas em que cada um eecuta uma das etapas. urante os treinos, os tempos obtidos por cada um em cada uma das etapas foram os representados no quadro seguinte. ual a etapa que cada um deve eecutar de forma a obter o menor tempo de corrida para a equipa? tapa 6 tapa 6 tapa tapa tapa duardo aniel arlos ernardo ndré / 6 Formulação efinição das variáveis: ij variável binária de afectação da etapa i (,,,,) ao elemento da equipa j (,,,,) ( o elemento j eecuta a etapa i; o elemento j não realiza a etapa i) F tempo da equipa para realizar a corrida Função objectivo: estrições: Min F 6 6 { } ; ij

19 / roblema de fectação Formulação efinição das variáveis: c ij custo de eecução da tarefa i pelo elemento j ij variável binária ( tarefa i eecutada por j; tarefa i não é eecutada por j) F custo total da afectação Função objectivo: roblema com: n tarefas Min F c ij ij i j n elementos estrições: (n n) variáveis ij esolução j i ij ij { ; } Simple lgoritmo Transportes lgoritmo Húngaro

Análise de Sensibilidade. Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO. Análise de Sensibilidade

Análise de Sensibilidade. Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO. Análise de Sensibilidade nálise de Sensibilidade Investigação Operacional rogramação Linear (arte II) 2/2 Nuno Moreira/milcar rantes/ui Marques/Marta Gomes Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território

Leia mais

Casos Particulares de PL. Formulação

Casos Particulares de PL. Formulação asos articulares de L O Sr. José, industrial agrícola produtor de tomates, realizou contratos de venda num total toneladas das toneladas de tomate produzidas nas suas duas quintas (t na uinta da lfarroba

Leia mais

Método do Big M. Análise de Sensibilidade

Método do Big M. Análise de Sensibilidade A 5 =A 4 +C 5 B 5 =B 3 +C 5 C 5 =C 4 /2 E 5 =E 4 +C 5 Método do Big M.5.5 4 -.5.5 6 -.5.5 2 -G.5.5 2 i 2/- 4/- 4/2=2 max = 2 Nuno Moreira - 22/23 x 2 R 3 5 G=2 R 2 R 5 x 3 Análise de Sensibilidade Nuno

Leia mais

Modelos de Apoio à Decisão. Programação Linear. Rui Cunha Marques

Modelos de Apoio à Decisão. Programação Linear. Rui Cunha Marques Modelos de Apoio à Decisão Programação Linear Rui Cunha Marques / Metodologia: Análise Sistémica Modelo: representação adequada (face aos objectivos do estudo) do sistema em análise que sendo passível

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Investigação Operacional Programação Linear Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território Problema Uma firma fabrica dois produtos P e P em três máquinas M, M e M. P é processado

Leia mais

O Problema de Transportes

O Problema de Transportes Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 8 O Problema de Transportes O problema geral de transportes consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem que está disponível

Leia mais

Problemas de Transportes V 1.2, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008

Problemas de Transportes V 1.2, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008 V., V.Lobo, / IGI, 8 Problema de transportes Problemas de transportes aso particular de programação linear Permite uma solução particular mais simples que o caso geral de PL mbora se chame problema de

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Análise de Sensibilidade, Formulação Dual (Mestrado) Engenharia Industrial http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas Uma das tarefas mais delicadas no

Leia mais

Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade

Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade 24-25 Junho 2014 Metodologias de apoio à decisão nas Ciências Agrárias Eemplo: Formulação Um agricultor pretende cultivar 80 ha de terra

Leia mais

Problemas de Transportes e de Afectação

Problemas de Transportes e de Afectação CAPÍTULO 6 Problemas de Transportes e de Afectação 1. Problema de Transporte Este problema, que é um dos particulares de PL, consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem disponível, em

Leia mais

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos RESOLUÇÂO DO PROBLEMA Nº 19 Determinado problema de Programação Linear depois de formulado permitiu obter as seguintes expressões: Max L = 4x 1-2x 2 + 2x 3 -x 4 s.a. R 1: x 1 - x 2 + 2x 3 +x 4 10 R 2:

Leia mais

Optimização/Matemática II (Eco)

Optimização/Matemática II (Eco) Optimização/Matemática II (Eco) Frequência/ Exame 1ª Época 1º Ano 2º Semestre 2013 / 2014 Licenciaturas em Gestão, Finanças e Contabilidade, Gestão de Marketing e Economia 02-06-2014 Duração da Frequência:

Leia mais

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E A N Á L I S E P Ó S - O P T I M A L I D A D E Recordemos o exercício apresentado para ilustrar a aplicação do Algoritmo Simplex Revisto: Consideremos o

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. IV Modelo Dual António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. IV - Modelo Dual - Exercícios IV. Modelo Problema Dual 1. Apresente o

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Investigação Operacional Introdução à Investigação Operacional Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território 22/23 Nuno Moreira Como nasceu a Investigação Operacional? No teatro

Leia mais

Vânio Correia Domingos Massala

Vânio Correia Domingos Massala Optimização e Decisão 06/0/008 Método do Simplex Vânio Correia - 5567 Domingos Massala - 58849 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Generalidades do Método do Simplex Procedimento algébrico iterativo para resolver

Leia mais

X - D U A L I D A D E

X - D U A L I D A D E X - D U A L I D A D E 1 - Introdução. Regras de transformação "Primal - Dual" Consideremos os dois problemas P1 e P2 de Programação Linear seguintes: P1 : n Maximizar F = Σ ck. Xk k = 1 n Σ aik. Xk bi

Leia mais

Problemas de Fluxos em Redes

Problemas de Fluxos em Redes Investigação Operacional Problemas de Fluxos em Redes Slide Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de fluxos em redes Rede: Conjunto de pontos (vértices) ligados por linhas ou

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Investigação Operacional Licenciatura em Gestão 3.º Ano Ano Lectivo 2013/14 Programação Linear Texto elaborado por: Maria João Cortinhal (Coordenadora) Anabela Costa Maria João Lopes Ana Catarina Nunes

Leia mais

Simplex. Investigação Operacional José António Oliveira Simplex

Simplex. Investigação Operacional José António Oliveira Simplex 18 Considere um problema de maximização de lucro relacionado com duas actividades e três recursos. Na tabela seguinte são dados os consumos unitários de cada recurso (A, B e C) por actividade (1 e 2),

Leia mais

Optimização em Redes e Não Linear

Optimização em Redes e Não Linear Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro Optimização em Redes e Não Linear Ano Lectivo 005/006, o semestre Folha - Optimização em Redes - Árvores de Suporte. Suponha que uma dada companhia

Leia mais

Problema de designação

Problema de designação Departamento de Engenharia de Produção UFPR 48 Problema de designação Imagine, que em uma gráfica eiste uma única máquina e um único operador apto a operá-la. Como você empregaria o trabalhador? Sua resposta

Leia mais

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Revisão Método Simplex Solução básica factível: xˆ xˆ, xˆ N em que xˆ N 0 1 xˆ b 0 Solução geral

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 15. Dualidade Interpretação económica. Problema dual: preços sombra e perdas de oportunidade. Propriedade dos desvios complementares 2 Formulação do Problema de PL em termos

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Métodos de Programação Linear: Big M, Fases, S Dual (Licenciatura) Tecnologias e Sistemas de Informação http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Simplex

Leia mais

Resolução de PL usando o método Simplex

Resolução de PL usando o método Simplex V., V.Lobo, EN / ISEGI, 28 Resolução de PL usando o método Simplex Método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 947 Muito utilizado Facilmente implementado como

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. VII Interpretação económica do modelo de PL António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. VII - Interpretação económica do modelo de

Leia mais

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade CAPÍTULO 4 1. Introdução Uma dos conceitos mais importantes em programação linear é o de dualidade. Qualquer problema de PL tem associado um outro problema de PL, chamado o Dual. Neste contexto, o problema

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 8 : O método Simplex. Casos particulares. Empate no critério de entrada. Óptimo não finito. Soluções óptimas alternativas. Degenerescência. INÍCIO Forma Padrão Faculdade

Leia mais

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008 .,.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método Simplex Resolução de PL usando o método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 97 Muito utilizado Facilmente implementado como programa

Leia mais

Transparências de apoio à lecionação de aulas teóricas. c 2012, 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Transparências de apoio à lecionação de aulas teóricas. c 2012, 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear Transparências de apoio à lecionação de aulas teóricas Versão 4 c 2012, 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear Problema de planeamento

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Análise de Sensibilidade Algébrica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril - 016 1 Análise de Sensibilidade Algébrica Variações do Lado Direito Variações na Função Objetivo

Leia mais

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT).

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT). Prof. Geraldo Nunes Silva (Revisado por Socorro Rangel) Estas notas de aula são Baseadas no livro: Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, a ed., 9 Agradeço a Professora

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional nvestigação Operacional Optimização em Redes e rafos Licenciatura em ngenharia ivil Licenciatura em ngenharia do Território Licenciatura em ngenharia e rquitectura Naval / ntrodução à Teoria dos rafos

Leia mais

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Dualidade A eoria da Dualidade é um dos mais importantes tópicos da Programação Linear (PL). Estudos

Leia mais

CAPÍTULO 3. Método Simplex

CAPÍTULO 3. Método Simplex CAPÍTULO 3 1. Soluções Básicas Admissíveis Considere um problema de PL representado nas suas formas padrão e matricial. Uma base é um conjunto de m variáveis, tais que a matriz dos coeficientes do sistema

Leia mais

Dualidade e Análise de Sensibilidade

Dualidade e Análise de Sensibilidade Dualidade e Análise de Sensibilidade 33. Considere o seguinte problema de programação linear: Min Z = 4x 1 + 3x 2 + 6x 3 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 4 3x 1 + x 2 + 3x 3 3 x 1, x 2, x 3 0 a) Escreva o dual associado

Leia mais

PROGRAMAÇÃO LINEAR. Tipo de problemas: cálculo do plano óptimo de distribuição de mercadorias; minimiação de desperdícios no corte de materiais;

PROGRAMAÇÃO LINEAR. Tipo de problemas: cálculo do plano óptimo de distribuição de mercadorias; minimiação de desperdícios no corte de materiais; PROGRAMAÇÃO LINEAR Atribuição de recursos limitados a actividades concorrentes de modo a atingir-se um objectivo. Tipo de problemas: estrutura ideal das fabricações atendendo ao equipamento, mão de obra,

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica.

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Ano lectivo: 2008/2009; Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Cursos: Economia 1. Formule o problema

Leia mais

2. Soluções do sistema de equações da forma-padrão. A mudança de base Considere-se o seguinte modelo de PL: Max f(x) = 6x 1 + 8x 2 + 0F 1 + 0F 2

2. Soluções do sistema de equações da forma-padrão. A mudança de base Considere-se o seguinte modelo de PL: Max f(x) = 6x 1 + 8x 2 + 0F 1 + 0F 2 Método do Simple V. MÉTODO DO SIMPLEX. Introdução No capítulo III foram apresentadas as bases teóricas do método do Simple sendo de interesse recordar o seguinte: a solução óptima do PPL (quando eiste)

Leia mais

Programação Linear M É T O D O S : E S T A T Í S T I C A E M A T E M Á T I C A A P L I C A D A S D e 1 1 d e m a r ç o a 2 9 d e a b r i l d e

Programação Linear M É T O D O S : E S T A T Í S T I C A E M A T E M Á T I C A A P L I C A D A S D e 1 1 d e m a r ç o a 2 9 d e a b r i l d e Programação Linear A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Existe um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Casos Especiais do Método Simplex e Gráfica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG setembro - 2015 1 Casos Especiais do Método Simplex Degeneração Múltiplas soluções ótimas

Leia mais

TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Algoritmo Dual Simplex. Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil

TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Algoritmo Dual Simplex. Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Algoritmo Dual Simplex Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil Algoritmo Dual Simplex Motivação max sa Z = cx Ax = b x 0 escolhida uma base viável max sa Z = c B x B

Leia mais

Exemplo de um problema de transporte, com 3 fontes e 3 destinos. Custos unitários de transporte para o exemplo de problema de transporte

Exemplo de um problema de transporte, com 3 fontes e 3 destinos. Custos unitários de transporte para o exemplo de problema de transporte TRANSPORTE 6 Um problema bastante comum que muitas vezes pode ser modelado como um problema de programação linear é o problema de transporte. Este problema envolve o transporte de alguma carga de diversas

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional Recurso 2004.02.09 Duração: 2 horas Nome: Teórica Responda a cada afirmação com (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Por cada

Leia mais

Programação Linear. Rosa Canelas 2010

Programação Linear. Rosa Canelas 2010 Programação Linear Rosa Canelas 2010 Problemas de Optimização São problemas em que se procura a melhor solução (a que dá menor prejuízo, maior lucro, a que é mais eficiente, etc.) Alguns destes problemas

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 10: Método Simplex Técnica das variáveis artificias Método das penalidades ( Big M ). Método das duas fases. 2 Modificando o Exemplo Protótipo. Suponha-se que é modificado

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº4 Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº4 Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Ano lectivo: 2008/2009 Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº4 Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Cursos: Gestão e Economia 1.

Leia mais

Índice. Prefácio Os modelos de programação linear e a investigação operacional 17

Índice. Prefácio Os modelos de programação linear e a investigação operacional 17 Índice Prefácio 13 Capítulo 1 Introdução 1. Os modelos de programação linear e a investigação operacional 17 2. O problema de programação linear 18 2.1. O problema de programação linear em substituição

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 5 Modelo da Designação Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produção

Leia mais

Programação Linear/Inteira - Aula 5

Programação Linear/Inteira - Aula 5 Unidade de Matemática e Tecnologia - RC/UFG Programação Linear/Inteira - Aula 5 Prof. Thiago Alves de Queiroz Aula 5 Thiago Queiroz (IMTec) Aula 5 Aula 5 1 / 43 Análise de Sensibilidade Estudar o efeito

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Ano lectivo: /6 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Cursos: Gestão e Economia. Uma fábrica

Leia mais

UNIVERSIDADE DE ÉVORA UNIVERSIDADE DO ALGARVE

UNIVERSIDADE DE ÉVORA UNIVERSIDADE DO ALGARVE CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL FUNDAMENTOS DE INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2010/2011 1º SEMESTRE 1º ANO Exame época normal Parte I: PROGRAMAÇÃO LINEAR 9 de Fevereiro de 2011 Observações Duração desta

Leia mais

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Problema da Mistura minimizar f ( 1, 2,..., n ) = c 1 1 + c 2 2 +... + c n n Sujeito a: a 11 1

Leia mais

Optimização / Matemática II

Optimização / Matemática II Optimização / Matemática II Frequência / 1º Exame 1º Ano 2º Semestre 2012 / 2013 Licenciaturas de Gestão, Finanças e Contabilidade, Gestão do Marketing, Gestão e Engenharia Industrial e Economia 27-05-2013

Leia mais

Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081. PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR

Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081. PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR E-mail: ivo.junior@ufjf.edu.br Aula Número: 07 Programação Linear Últimas

Leia mais

Introdução à Programação Linear

Introdução à Programação Linear Introdução à Programação inear Caracterização É um subitem da programação matemática É um dos modelos utilizados em pesquisa operacional. É um modelo de otimização. Tem como objetivo: "Alocar recursos

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios INVESTIGÇÃO OPERIONL Prograação Linear Exercícios ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização ntónio arlos Morais da Silva Professor de I.O. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) i ap. VI nálise de

Leia mais

Complementos de Investigação Operacional. Folha nº 2 Programação Multiobjectivo 2006/07

Complementos de Investigação Operacional. Folha nº 2 Programação Multiobjectivo 2006/07 Complementos de Investigação Operacional Folha nº 2 Programação Multiobjectivo 2006/07 1- x2 D(7,6) C(4,5) E(11,5) F(12,4) B(2,3) X G(13,2) A(1,1) H(10,1) max f 1 (x) = x 1 max f 2 (x) = x 2 (a) Represente

Leia mais

Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1

Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1 Problema de Designação Fernando Nogueira Problema de Designação 1 O Problema de Designação é um caso específico de um Problema de Transporte, que por sua vez é um caso específico de um Problema de Programação

Leia mais

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Simplex Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exercícios de Optimização em Redes 1

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exercícios de Optimização em Redes 1 INVSTIGÇÃO OPRIONL xercícios de Optimização em Redes x. ada a seguinte rede: 0 0 0 0 a) etermine uma árvore de suporte de custo mínimo utilizando o algoritmo de Kruskal. b) etermine uma árvore de suporte

Leia mais

DISCIPLINA: Investigação Operacional ANO LECTIVO 2009/2010

DISCIPLINA: Investigação Operacional ANO LECTIVO 2009/2010 DISCIPLINA: Investigação Operacional ANO LECTIVO 2009/2010 Exame de Recurso Dep. Econ. Gestão e Engª Industrial 14 de Julho de 2010 duração: 2h30 (80) 1. Considere o modelo seguinte, de Programação Linear

Leia mais

NOTAS DE AULA 1 METAHEURÍSTICA 13/10/2016

NOTAS DE AULA 1 METAHEURÍSTICA 13/10/2016 NOTAS DE AULA 1 METAHEURÍSTICA 13/10/2016 Metaheurística: São técnicas de soluções que gerenciam uma interação entre técnicas de busca local e as estratégias de nível superior para criar um processo de

Leia mais

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr.

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr. Programação Linear São problemas complexos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades.

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas Básicos. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina

PESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas Básicos. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina PESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas ásicos Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina Conceitos Solução Viável Solução Não Viável Região Viável Solução ásica Solução ásica Viável Solução

Leia mais

Exame Setembro 2004 Produção e Custos

Exame Setembro 2004 Produção e Custos Exame Setembro 00 rodução e Custos GRUO I - A empresa ersi-ana produz estores, de acordo com a seguinte função de produção: 0.5 0.5 em que representa a produção medida em lotes de estores, unidades de

Leia mais

Programação. Linear (PL) Exemplos Típicos de Aplicação da PL

Programação. Linear (PL) Exemplos Típicos de Aplicação da PL Programação Linear (PL) Exemplos Típicos de Aplicação da PL Planeamento de produção Problema de Transporte Programa de Investimento Programação Sequencial da Produção (Scheduling) Problema de Transexpedição

Leia mais

Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1

Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1 Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1 O Problema de Transporte consiste em determinar o menor custo (ou o maior lucro) em transportar produtos de várias origens para

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares

Sistemas de Equações Lineares Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 998/99 Sistemas de Equações Lineares PROBLEMAS Considere o seguinte sistema de equações da forma Ax = b : 3 2 3 2 2 2 2 x x

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Investigação Operacional versão 1.0 1º semestre 2006/2007 Folhas de cálculo: solver do Excel Cláudio M. Martins Alves Departamento de Produção e Sistemas tel.: 253 604765 Escola de Engenharia Universidade

Leia mais

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x 2.3. Derivadas 2.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma

Leia mais

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear e Método Simplex Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 1 c 1998 Programação Linear e Método Simplex 1 Slide 2 Toda a teoria deve ser feita para poder

Leia mais

Problemas de Afectação (PA)

Problemas de Afectação (PA) Investigação Operacional 1 Problemas de Afectação Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de Afectação (PA) Exemplo típico: Afectação de n pessoas a n tarefas. Dados:

Leia mais

Microeconomia I. 1ª Ficha de Avaliação Ano lectivo 2009/2010 Nome: Nº Aluno: Turma:

Microeconomia I. 1ª Ficha de Avaliação Ano lectivo 2009/2010 Nome: Nº Aluno: Turma: Microeconomia I 1ª Ficha de Avaliação Ano lectivo 009/0 Nome: Nº Aluno: Turma: O Gustavo, estudante de º ano da Faculdade de Economia de ordelo, vai ter dois testes no próimo fim-de-semana, um de Estatística

Leia mais

5. Problema de Transporte

5. Problema de Transporte 5. Problema de Transporte O Problema de Transporte é talvez o mais representativo dos Problemas de Programação Linear. É um problema de grande aplicação prática, tendo sido estudado por vários investigadores,

Leia mais

x 1 + b a 2 a 2 : declive da recta ;

x 1 + b a 2 a 2 : declive da recta ; - O que é a Álgebra Linear? 1 - É a Álgebra das Linhas (rectas). Equação geral das rectas no plano cartesiano R 2 : a 1 x 1 + a 2 = b Se a 2 0, = a 1 a 2 x 1 + b a 2 : m = a 1 : declive da recta ; a 2

Leia mais

A Dualidade em Programação Linear

A Dualidade em Programação Linear Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 14 A Dualidade em Programação Linear Para melhor ilustrar este conceito vamos estudar dois problemas intimamente relacionadas: o problema da dona

Leia mais

MÓDULO 3 - PROBLEMAS DE TRANSPORTE

MÓDULO 3 - PROBLEMAS DE TRANSPORTE UNESA Sistemas de Transportes Currículo 08 / 009- MÓDULO 3 - PROBLEMAS DE TRANSPORTE. PROBLEMA CLÁSSICO DE TRANSPORTE O Problema de Transporte constitui uma das principais aplicações da PL para auxiliar

Leia mais

Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29

Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29 Análise e Síntese de Algoritmos Programação Linear CLRS, Cap. 29 Conteto Algoritmos em Grafos (CLRS, Cap. 22-26)... Fluos máimos em grafos (CLRS, Cap. 26) Programação Linear (CLRS, Cap. 29) Programação

Leia mais

Frequência / Exame de 1. a Época

Frequência / Exame de 1. a Época ISCTE - Instituto Universitário de Lisboa Licenciaturas: Gestão, Finanças e Contabilidade, Gestão e Engenharia Industrial, Marketing e Economia Frequência / Exame de 1. a Época OPTIMIZAÇÃO / MATEMÁTICA

Leia mais

Métodos Quantitativos

Métodos Quantitativos UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO Escola Paulista de Política, Economia e Negócios Bacharelado em Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Prof. João Vinícius de França Carvalho jvfcarvalho@gmail.com Modelo

Leia mais

Programação linear I João Carlos Lourenço

Programação linear I João Carlos Lourenço Fundamentos de Investigação Operacional Programação linear I João Carlos Lourenço joao.lourenco@ist.utl.pt Ano lectivo 2011/2012 Leituras recomendadas: Nova, A.P., Lourenço, J.C., 2011, Apontamentos de

Leia mais

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Simplex Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 3 c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear abordagem algébrica max sujeito a: n

Leia mais

Investigação Operacional 1. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. x j - valor da variável de decisão j;

Investigação Operacional 1. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. x j - valor da variável de decisão j; Investigação Operacional 1 Programação Linear Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Maria Antónia Carravilla José Fernando Oliveira Programação Linear Modelos Slide 2 Forma geral

Leia mais

Matemática Aplicada à Economia I Lista 3 Cálculo a Várias Variáveis. 1) Use o método das fatias para esboçar os gráficos das seguintes funções:

Matemática Aplicada à Economia I Lista 3 Cálculo a Várias Variáveis. 1) Use o método das fatias para esboçar os gráficos das seguintes funções: Matemática Aplicada à Economia I Lista 3 Cálculo a Várias Variáveis 1) Use o método das fatias para esboçar os gráficos das seguintes funções: f) 2) Esboce conjuntos de nível de cada uma das seguintes

Leia mais

5 Análise de Sensibilidade

5 Análise de Sensibilidade MAC-35 - Programação Linear Primeiro semestre de 00 Prof. Marcelo Queiroz http://www.ime.usp.br/~mqz Notas de Aula 5 Análise de Sensibilidade Neste capítulo consideramos o problema de programação linear

Leia mais

Prof.: Eduardo Uchoa.

Prof.: Eduardo Uchoa. Análise de sensibilidade Prof.: Eduardo Uchoa http://www.logis.uff.br/~uchoa/poi 1 Análise de Sensibilidade Uma vez que já se tenha resolvido um PL, existem técnicas para avaliar como pequenas alterações

Leia mais

4. Tensores cartesianos em 3D simétricos

4. Tensores cartesianos em 3D simétricos 4. Tensores cartesianos em D simétricos 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais Em D não é possível deduzir as fórmulas que determinam os valores e as direcções principais na

Leia mais

Método Simplex Resolução Algébrica. Prof. Ricardo Santos

Método Simplex Resolução Algébrica. Prof. Ricardo Santos Método Simple Resolução Algébria Prof. Riardo Santos Método Simple Dada uma solução fatível: Essa solução é ótima? Caso não seja ótima omo determinar uma melhor? Considere uma solução básia fatível: em

Leia mais

Cap ıtulo 1 Exerc ıcios de Formula c ao Enunciados

Cap ıtulo 1 Exerc ıcios de Formula c ao Enunciados Capítulo 1 Exercícios de Formulação Enunciados Enunciados 2 Problema 1 Publicações Polémicas vai publicar uma autobiografia de um político controverso, e admite que a 1 a edição vai ser vendida por completo

Leia mais

ECONOMIA I. PARTE I: Fundamentos de análise económica (1,0 V)

ECONOMIA I. PARTE I: Fundamentos de análise económica (1,0 V) Nome: ISCTE Instituto Universitário de Lisboa ECONOMIA I Nº Turma 1º Semestre 2011-2012 13 Janeiro Duração: Frequência - 2h00m; EXAME 2h30 Questões adicionais EXAME : Parte II-3; Parte III-3b); Parte IV

Leia mais

à Investigação Operacional e Engenharia de Sistemas

à Investigação Operacional e Engenharia de Sistemas Introdução à Investigação Operacional e Engenharia de Sistemas (Secção de Urbanização, Transportes, Vias e Sistemas) roliv@ist.utl.pt Sistema: conjunto de entidades que interagem activamente para a realização

Leia mais

Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Solução Gráfica Análise dos Coeficientes da Função Objetivo A Análise do Lindo A análise do Excel O

Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Solução Gráfica Análise dos Coeficientes da Função Objetivo A Análise do Lindo A análise do Excel O Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Solução Gráfica Análise dos Coeficientes da Função Objetivo A Análise do Lindo A análise do Ecel O Limite dos coeficientes das Restrições Lindo Ecel Analisando

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. X Programação por Metas

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. X Programação por Metas INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. X Programação por Metas António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. X Programação por Metas - Exercícios X. Programação por Metas.

Leia mais

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO LEFT LEBL LQ LEAM LEMAT Ano Lectivo: 2006/2007 Semestre: 2 o

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO LEFT LEBL LQ LEAM LEMAT Ano Lectivo: 2006/2007 Semestre: 2 o INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO LEFT LEBL LQ LEAM LEMAT Ano Lectivo: 2006/2007 Semestre: 2 o MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Eercícios 1.1. Represente num sistema de ponto flutuante com 4 dígitos na mantissa e arredondamento

Leia mais

Algoritmo Simplex para Programação Linear I

Algoritmo Simplex para Programação Linear I EA Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Algoritmo Simple para Programação Linear I DCA-FEEC-Unicamp Modelo de Programação Linear ma c ( n ) s. a. A b A ( m n) b ( m ) c ( n) P ( R n A b} Poliedro

Leia mais

Modelos de planeamento e gestão de recursos hídricos. 19 de Novembro

Modelos de planeamento e gestão de recursos hídricos. 19 de Novembro Modelos de planeamento e gestão de recursos hídricos 19 de Novembro Metodologias de análise Sistema real vs sistema simplificado Modelação Matemática; Física; Análise de sistemas: Simulação; Optimização:

Leia mais

Conceitos e Teoremas. Tecnologia da Decisão I TP065. Profª Mariana

Conceitos e Teoremas. Tecnologia da Decisão I TP065. Profª Mariana Conceitos e Teoremas Tecnologia da Decisão I TP Profª Mariana Restrições de um PL: D= = -=J G= =I =H E=- / /= / /=A 9/ =C . ma Z s.a c a a m c a n n a mn n n n n b b m a A am a n a mn b b b m c c c n n

Leia mais