Algumas aplicações das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

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1 Algumas aplicações das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem Rebello Out/1999 (rev. Mar/2015, Ago/2015) - Modelamento - Crescimento e decrescimento Admitindo que uma quantidade Q de uma substância ( ou população ) cresce ou decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente, então: dq dt k. Q onde k é a constante de proporcionalidade. Obs: Como a função Q(t) é diferenciável (contínua no tempo). Os problemas de população por trabalharem com realidade discreta não se adaptam totalmente a este modelo, embora dê uma boa aproximação. Este mesmo conceito pode ser usado para decaimento de uma massa radioativa: dm dt k. M, onde M é massa Pode ser usada para datação de fóssil, neste caso, o carbono 14 - carbono 12 - (estável). (instável) decai para Explicando melhor: O carbono 14 é produzido constantemente na atmosfera por interação de raios cósmicos que são bombardeados nas altas camadas. Existe um equilibrio entre sua formação e seu decaimento, com isso, a relação entre é sempre constante. Os seres vivos apresentam também a mesma relação. Com a morte, a fonte de é cortada, e assim, essa relação começa reduzir por conta do seu decaimento. A meia vida do é de 5730.

2 Ex.: A amostra do uma ossada de uma criança, localizada na Etiópia, foi enviada para laboratório e revelou a presença de carbono 14 com percentual de 62 % em relação ao carbono 14 encontrada normalmente em seres vivos. Sabendo que a vida média do carbono 14 é de 5730 anos, estime a idade do achado ( tempo estimado da morte da criança).

3 Vamos agora verificar uma evolução do modelo anterior: Modelo de crescimento com restrição ou crescimento logistico Considere a evolução de uma epidemia num universo (fechado) com L pessoas. Podemos adotar as hipóteses: * Se pessoas estão infectadas, então,, não estão infectadas; ** A variação é proporcional a e simultaneamente., onde: { Obs.: Este mesmo modelo apresenta sua aplicação na química. Considere num processo quimico onde uma substância é transformada, quando em contado de um reagente que apresenta uma quantidade limitada. A reação será rápida no inicio, porém, perderá sua intensidade por falta de reagente. O mesmo se aplica a corrosão de depende de uma superfície exposta ao ar. A evolução de pessoas que pretendem assistir um evento (show, futebol) Propagação de uma notícia bombastica na internet, enfim... Obs.: É lógico que o modelo acima, pode sofrer alguma variáriação para atender determinado evento. O resultado gráfico típico é mostrado abaixo. Chamada de curva logistica

4 Ex.: Num vilarejo, foi verificado o aumento de uma doença, a princípio, provocada por algum tipo de rotavirus. Segundo relato do lider comunitário tinha começado a 5 dias atras com 2 pessoas, e no momento já se tinha notícia de 8 indivíduos infectados. Por precaução, foi feito o total isolamento desta comunidade composta por 400 individuos. Sabendo que a taxa de crescimento de infectados, é simultaneamente proporcional ao número de indivíduos contaminados e aos números dos não contaminados, dê a estimativa para o número de infectados no decorrer de 30 dias. Considere o tempo a partir do inicio da doença. Para integrar o termo da esquerda será inevitável o uso de franções parciais. Logo:, isso para qualquer valor de. Solução: Reescrevendo a equação acima de integrando, temos: Ou ainda: Usando propriedade de logaritmo *. / + ( )

5 Aplicando exponencial, temos:, Veja que estamos diante uma equação modular e para continuarmos, precisamos fazer algumas considerações isso para : Claro que nossa condição será a segunda e faremos Agora sim, podemos seguir: { solução geral } Aplicando as condições dadas:. / Finalmente, temos a solução particular: Assim, para

6 Ainda na linha de crescimento restringido, podemos imaginar um produto P que é transformado pela mistura de duas substâncias A e B. Como exemplo, digamos que para forma um grama de usamos Escrevendo a equação, usando como massa de, temos Obs.: como no caso anterior, a integração envolverá frações parciais. Variação de temperatura A lei da variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Sendo T a temperatura do corpo e Ta a temperatura do meio ambiente, podemos formular como: dt dt k.( T Ta) onde k é uma constante de proporcionalidade. Fluxo térmico por condução ( regime estacionário ) Considerando um corpo homogêneo, em virtude da diferença de temperatura entre as faces opostas, um fluxo térmico se estabelece através da seção transversal. Dizemos que o fluxo térmico está em regime estacionário quando ele é igual em qualquer seção transversal do corpo, em outras palavras, não há mais variação térmica em função do tempo. Assim podemos dizer que o fluxo térmico é proporcional a área A e ao gradiente térmico estabelecido numa distância longitudinal Obs: O sentido do fluxo será adotado como perpendicular às faces (seção transversal) com sentido da menor temperatura ( contrário ao gradiente térmico ). Assim podemos fazer a seguinte formulação: Onde k é a condutividade térmica com unidade usual no SI ( J s.m.k ).

7 Problema da difusão ( Lei de Fick ) Considere uma célula de volume V constante exposta a um meio contendo um soluto com concentração Co constante. Se dentro desta célula a concentração de soluto for diferente da concentração externa, espera-se um fluxo de moléculas através da membrana celular. A lei de Fick, expressa que a taxa de variação de massa, de soluto em relação ao tempo, é proporcional a área da membrana e à diferença de concentração entre o lado interno e o lado externo da membrana celular. Matematicamente:, { Como Substituindo na EDO acima temos:

8 Queda de corpos Supondo um corpo de Massa em queda livre, portanto sujeito à gravidade e à resistência do ar. Sabe-se que a força de atrito de um corpo é proporcional à velocidade, quando pequena e proporcional ao quadrado da velocidade, quando elevada. Usando a 2º lei de Newton para o movimento e considerando o sentido para baixo como positivo, podemos montar a equação: Newton propos que a taxa da quantidade de movimento ( ) é igual a força: Então: Considerando constante temos Simplificando a equação para ou ainda Sabe-se que Fr mg kv dv a e que a força resultante é o peso do corpo menos a força de atrito ou seja, dt dv m dt mg kv ou Obs: Para altas velocidades costuma-se usar a força de atrito proporcional a velocidade ao quadrado ( fat = k.v² ), que implicaria numa EDO de 1 ordem não linear. Para uma situação mais real: Onde:

9 Diluição Considerando um tanque contendo um volume inicial Vo de uma solução com uma concentração Co de um produto. Despeja-se no tanque outra solução do mesmo produto, agora com concentração Ce a uma vazão Qe, no mesmo instante há um escoamento da solução bem misturada com uma vazão Qs. Através de um modelamento adequado, podemos determinar a quantidade M do produto presente no Tanque para qualquer instante. A taxa de variação dm dt pode ser definida pela quantidade do produto que entra menos a quantidade do produto que sai por unidade de tempo, isto é: dm dt M ( t) Ce. Qe. Qs V ( t) Lembrando: concentração x vazão = quantidade de produto por unidade de tempo. Para determinação do volume da solução presente no tanque para qualquer instante pode ser feita considerando o volume inicial mais o volume que entra menos o volume que sai, ficando: V ( t) Vo Qet. Qst. Lembrando que vazão x tempo = volume. Substituindo na equação diferencial, vem: Q e.t dm dt M ( t) Ce. Qe. Qs Vo ( Qe Qs) t Vo Q s.t

10 Circuito Elétrico ( RL ) O circuito RL representa uma unidade básica para construção de diversos sistemas elétricos. Pela lei de Kirchoff, num circuito elétrico fechado, a tensão aplicada é igual à soma das quedas de tensão dos componentes. Então, vamos entender a quantificação da queda de tensão em cada componente: Obs.: Usaremos I(t) no lugar de i(t) para não confundir com a unidade imaginária. Resistor No resistor, a queda de tensão é proporcional à intensidade da corrente. Em simbologia matemática fica:, onde = Resistência elétrica ( - Ohm ) Indutor No indutor, a queda da tensão é proporcional à taxa de variação da corrente em função do tempo. Matematicamente pode ser representada por:, onde Indutância ( H Henry ) Pela Lei de Kirchoff : Portanto, finalmente a EDO :

11 Curvas Ortogonais A equação representa uma família de curvas, ou seja, temos uma curva para cada valor do parâmetro. Na engenharia, em muitas aplicações ( fluxos, trajetórias, campos eletromagnéticos, malhas para simulação numérica,...), dada uma família de curvas, temos a necessidade da determinação de outra família de curvas ortogonais a primeira, isto é, curvas cuja interseção se dá com ângulo reto. Malha usada no TCC ( IST ) Analise de escoamento em condutos forçados utilizando Maple Ruan T. Burgardt Da geometria sabemos que, dados dois ângulos : Se então Sabemos também, que a derivada de uma função f(x) contínua, representa o valor da tangente em qualquer ponto desta curva. Então, dada uma função, podemos determinar sua derivada (implicitamente) de forma a obter: ( ) Agora, usando o conceito de ortogonalidade, temos a EDO: Cuja solução, são famílias de curvas ortogonais a.

12 Ex.: Seja a função, determine as trajetórias ortogonais.. / Lembrete:, multiplicando toda equação por, temos: Note que, representa as tangentes das curvas dadas. Aplicando a condição de ortogonalidade para achar a nova família de curvas:. / Usando variáveis separáveis:, encontraremos a solução implícita: Resultado gráfico:

13 Curva de perseguição Vamos aqui, inverter o problema de perseguição de forma a torna-lo mais didático. Considere um pequeno bote ancorado a margem de um lago de água tranquila, num local sem vento. Em dado momento resolvemos puxa-lo com corda de comprimento fixo numa direção perpendicular a margem, conforme desenho. A ideia central é considerar as direções sempre tangente a curva de trajetória do bote. No esquema direito, temos a linha L tangente a trajetória a ser determinada. Com base na trigonometria básica e no conceito de derivada, podemos construir as seguintes relações: e Da primeira temos:, substituindo na segunda, vem:, para L constante Assim, o problema de perseguição, apresenta o mesmo modelo matemático. Como se o bote perseguisse a pessoa que está puxando. O problema pode ser aprimorado considerando velocidades distintas entre perseguidor e perseguido, neste caso, L não é constante, porém o problema assumiria uma EDO de 2 ordem.

14 Mecânica dos fluidos: Linhas de corrente Por definição, linha de corrente, em dado instante, é a linha tangente ao vetor velocidade, em todos os pontos do escoamento. Portanto, o conjunto de linhas de correntes não se cruzam entre si. Para um escoamento bidimensional, as linhas de correntes são governadas pela EDO: onde: são componentes da velocidade nas direções x e y respectivamente. Ex.: Dado o campo de velocidades, -. Determine a equação que representa as linhas de corrente. Resultado gráfico:

15 Escoamento de um reservatório Considere um tanque com fluido incompressível em equilíbrio, com a abertura de um orifício num ponto abaixo da superfície em repouso, dá-se o inicio ao escoamento, neste momento é desenvolvido um fluxo pelo orifício e simultaneamente a redução da coluna líquida. O modelamento deste pode ser desenvolvido de forma simples. Através da equação de Bernoulli, podemos comparar dois pontos P1 na superfície do fluido e P2 na altura do orifício. Considerando:, Concluímos que Essa aproximação é válida quando Sabemos que a coluna h decresce com a saída do fluido na base, dessa forma para garantir a continuidade podemos afirmar que:

16 Obs.: Como decresce temos, isso justifica o sinal negativo. Quando um fluido é forçado a passar por um estrangulamento, ocorre uma contração do fluxo. Esta contração é conhecida por Vena Contracta. Portanto,, onde é fator de contração, normalmente tabelado. Assim a EDO assume sua forma final: Bom estudo! Rebello