COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9. ANO MARCELLO CRIVELLA PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

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2 MARCELLO CRIVELLA PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CÉSAR DE QUEIROZ BENJAMIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO, ESPORTES E LAZER JUREMA HOLPERIN SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MARIA DE FÁTIMA CUNHA GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL DALTON DO NASCIMENTO BORBA ELABORAÇÃO SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO EDIGRÁFICA IMPRESSÃO

3 PÁGINA 2 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU Um pouco da história da Matemática... Anos antes do nascimento de Cristo, os babilônios, egípcios e gregos utilizavam técnicas capazes de resolver equações de 2. grau. Bhaskara x = b ± b2 4ac 2a = b 2 4ac Os gregos conseguiam resolver as equações, realizando associações com a Geometria. Os matemáticos indianos Sridhara, Bragmagupta e Bhaskara também forneceram importantes contribuições, estabelecendo uma fórmula matemática capaz de resolver as equações de 2. grau. x = b ± 2a Com o francês Viéte, o método resolutivo das equações de 2. grau ganhou as letras como símbolos. Mais tarde, esse trabalho foi aprimorado por René Descartes. Atualmente, a expressão matemática, através da qual são resolvidas as equações de 2. grau, é atribuída ao matemático indiano Bhaskara. Porém, a História nos mostra que vários estudiosos contribuíram para o desenvolvimento dessa fórmula.

4 PÁGINA 3 EQUAÇÃO DE 2. GRAU Leia, atentamente, a situação-problema apresentada a seguir: Uma fábrica comprou o terreno retangular representado na figura ao lado. Ele será gramado. Há duas informações sobre o terreno: 1.ª) o comprimento tem 10 metros a mais que a largura; 2.ª) a área total do terreno é de 75 m². Para determinar as dimensões (comprimento e largura) do terreno, precisamos considerar que a largura será x e o comprimento x Como a área de um retângulo é o produto das medidas da largura e do comprimento, teremos: Terreno a ser gramado x (x + 10) = 75 x² + 10x 75 = 0 ou Observe que a equação obtida, x² + 10x 75 = 0, apresenta uma só incógnita (a letra x) cujo maior expoente é 2. Ela é um exemplo de equação de 2.º grau com uma incógnita. Esse é o assunto que vamos estudar!!!

5 PÁGINA 4 Definição Uma equação de 2.º grau com uma incógnita possui, como forma: ax² + bx + c = 0 (a 0) Sendo: x a incógnita, a, b e c números reais, chamados coeficientes. Leia com atenção: a representa o coeficiente de x² b representa o coeficiente de x c representa o termo independente E se o a for igual a zero? Exemplos: FIQUE LIGADO!!! Se o a = 0, então 0. x² = 0. Logo: 0. x² + bx + c = 0 implicará em 0 + bx + c = 0 bx + c = 0 Entendi!! Se o x² é anulado, a equação não será mais de 2. grau, vira uma equação de 1. grau. Se o a for igual a zero, o x² é anulado. a) 3x² + 5x + 2 = 0, onde a = 3, b = 5 e c = 2. b) 2x² x + 7= 0, onde a = 2, b = 1 e c = 7. c) 4x² 2x = 0, onde a = 4, b = 2 e c = 0. d) 5x² + 10 = 0, onde a = 5, b = 0 e c = 10. e) x² = 0, onde a = 1, b = 0 e c = 0.

6 PÁGINA 5 AGORA, É COM VOCÊ!!! 1- Marque um (X) nas equações que são de 2.º grau: a) x² 3x + 7 = 0 ( ) b) 4x + 9 = ( ) c) 2x³ + 5x² 10= 0 ( ) d) 5x + x² + 6 = 0 ( ) e) 3x² 27= 0 ( ) f) 2x 1 = 0 ( ) 2- Determine os valores dos coeficientes a, b, e c nas seguintes equações: a) 2x² x + 6= 0 a =, b = e c =. b) x² + 6x + 9 = 0 a =, b = e c =. c) 3x + 2x² 10 = 0 a =, b = e c =. d) x² x = 0 a =, b = e c =. e) 3x² 9 = 0 a =, b = e c =. 3- Forme as equações de 2.º grau quando a) a = 3, b = 6 e c = 9 Solução: 3x² + 6x + 9 = 0 b) a = 2, b = 6 e c = 5 c) a = 1, b = 4 e c = 6 d) a = 5, b = 0 e c = 0 e) a = 3, b = 2 e c = 0 f) a = 1, b = 1 e c = 8 g) a = 2, b = 0 e c = 8 h) a = 8, b = 1 e c = 1 i) a = 1, b = 7 e c = 2

7 PÁGINA 6 4- Organize as seguintes equações de 2.º grau para que fiquem na forma ax² + bx + c = 0: e) 3(2x 5) = x(4 x) a) 3x² + x = 12 f) (x + 5)(x + 2) = 10 b) 4x + 2x² = x 5 g) (x + 1)(x 1) = x c) x² + x + 7 = x + 4 d) x(x + 3) 5 = 0 h) (x + 1)² = 4x

8 PÁGINA 7 5- Observe o tampo da mesa: x x x Leia o texto e observe a figura: Na imagem abaixo, estão indicadas as áreas de três retângulos que formam uma figura em uma mesma unidade de área. 3x x² 3x + 9 Área do tampo da mesa: 120 dm² Qual a equação que representa a área dessa figura retangular, em relação a x? Responda: a) Quais as medidas dos lados de cada um dos retângulos? b) Qual a medida dos lados da figura formada pelos três retângulos? c) Qual a expressão que representa a área total dessa figura? d) Podemos afirmar que a figura formada pelos três retângulos é um

9 PÁGINA 8 EQUAÇÕES COMPLETAS E EQUAÇÕES INCOMPLETAS Considerando a equação ax² + bx + c = 0, (a 0), chamamos de Equações completas: aquelas em que todos os coeficientes são diferentes de zero. Exemplos: a) 3x² + 5x 6 = 0 (a = 3, b = 5, c = 6) Equações incompletas: aquelas que possuem os coeficientes b ou c, ou ambos nulos. Exemplos: a) 3x² + 1x = 0 (a = 3, b = 1, c = 0) b) x² x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1) b) x² 5 = 0 (a = 1, b = 0, c = 5) c) 2x² + 3x 5= 0 (a = 2, b = 3 e c = 5) c) 2x² = 0 (a = 2, b = 0, c = 0) Basta verificar os coeficientes (b e c): se um deles for zero, a equação será incompleta!!! Assim ficou fácil diferenciar as equações completas das incompletas.

10 Freepik.com MATEMÁTICA 9. ANO PÁGINA 9 AGORA, É COM VOCÊ!!! 2- Durante a aula de Matemática, o professor de Luana fez a seguinte afirmação: 1- Leia o que Luana está pensando. Se equações de 2.º grau são aquelas que podem ser escritas na forma ax² + bx + c = 0, com a 0, então 3x² 7 = 0 não é uma equação de 2.º grau. a) Você concorda com a Luana? a) Com base no que disse o professor, o que podemos concluir sobre o pensamento de Luana? b) Quais os coeficientes da equação 10x² 6x = 0?

11 PÁGINA 10 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS EM IR Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções verdadeiras. 1.º caso: Equações da forma ax² + bx = 0, sendo c = 0. Resolução da primeira equação de 2.º grau!!! Propriedade: Para que um produto seja nulo, é preciso que, pelo menos, um dos fatores seja zero. Exemplos: Resolver as equações, sendo U = IR: a) x² + 5x = 0 Fatorando: x (x + 5) = 0 b) x² 7x = 0 Fatorando: x (x 7) = 0 c) 2x² 6x = 0 Fatorando: 2x (x 3) = 0 x = 0 ou x + 5 = 0 Logo: V = { 0, - 5} x = - 5 x = 0 ou x 7 = 0 Logo: V = { 0, 7} x = 7 x = 0 ou x 3 = 0 Logo: V = { 0, 3 } x = 3

12 PÁGINA 11 AGORA, É COM VOCÊ!!! c) x² x = 0 1- Classifique as equações abaixo como completas ou incompletas: a) x² - 2x + 5 = 0 d) 2x² 6x = 0 b) 2x² 3x = 0 c) x² + 3 = 0 d) x² x + 1= 0 e) 2x² + x = 0 e) x² 5 = 0 f) x x² = 0 f) 3x² 9x = 0 2- Resolva as seguintes equações de 2.º grau, sendo U = IR: a) x² 5x = 0 g) 2x² + 2x = 0 b) x² + 3x = 0

13 PÁGINA caso: Equações da forma ax² + c = 0, sendo b = 0. Exemplos: Resolver as equações, sendo U = IR: Lembre-se: o simétrico de 3 é 3; o simétrico de 7 é 7. a) x² 9 = 0 b) x² 3 = 0 x² = 9 x = ± 9 x' = + 3 ou x = 3 Se a resposta não for uma raiz exata, é só usar o simétrico da raiz no Conjunto Verdade. x² = 3 x = ± 3 x' = + 3 ou x = 3 FIQUE LIGADO!!! No conjunto dos IR, não existe raiz par para números negativos. Logo: V = { 3, 3} c) 2x² 32 = 0 Logo: V = { 3, 3} d) x² + 9 = 0 Leia: Qual o número que elevado ao quadrado resultará 49? 2x² = 32 x² = 9 ( 7)² = 49 x² = 32 2 x = ± 9 7² = 49 x² = 16 x = ± 16 Não existe, no conjunto dos IR, raiz quadrada de número negativo. Logo, nenhum número em IR elevado ao quadrado resultará 49. x' = +4 ou x = 4 Logo: V = { } Logo: V = { 4, 4}

14 PÁGINA 13 AGORA, É COM VOCÊ!!! e) 3x² 3 = 0 1- Resolva as seguintes equações de 2.º grau, sendo U = IR: a) x² 9 = 0 f) 5x² 10 = 0 b) x² 25 = 0 g) 3x² + 3 = 0 c) 3x² 12 = 0 h) 9x² 4 = 0 d) 5x² + 20 = 0

15 PÁGINA 14 FÓRMULA DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS EM IR Sendo a equação ax² + bx + c = 0, (a 0), teremos: Aplicando essa fórmula, poderemos resolver a equação de 2.º grau que quisermos. x = b ± b2 4ac 2a Fórmula de Bhaskara Notas: Esta fórmula permite encontrar as raízes de qualquer equação de 2.º grau, completa ou incompleta. A expressão b² - 4ac chama-se discriminante e é indicada pela letra grega (lê-se: delta). Então, se 0, podemos calcular as raízes da equação: = b 2 4ac x = b ± 2a Se < 0, a equação não apresenta raízes reais.

16 PÁGINA 15 Exemplos: Resolvendo as seguintes equações de 2.º grau, sendo U = IR: A) 3x² 7x + 2 = 0 Solução: a = 3 b = ( 7) c = 2 Dica: Se o número for negativo, coloque-o entre parênteses. Calculando o : = b 2 4ac = ( 7)² = = 25 Lembre-se de que, no campo dos IR, qualquer número, diferente de zero, elevado ao quadrado, terá resultado positivo! ( 7)² = 49 Substituindo na fórmula: Se o resultado for fracionário, ele deverá, quando possível, ser simplificado. x = x = b ± 2a ( 7) ± = 7 ± 5 6 = x = x = = 12 6 = 2 = 2 6 = 1 3 Logo: V = 2, 1 3

17 PÁGINA 16 B) x² + 4x 4 = 0 FIQUE LIGADO!!! Solução: a = ( 1) b = 4 c = ( 4) Dica: Se o número for negativo, coloque-o entre parênteses. Calculando o : = b 2 4ac = 4² 4 ( 1) ( 4) = = 0 Lembre-se das regras de sinais: ( ) ( ) = + ( ) ( ) ( ) = Regra de sinais Na adição e na subtração: - sinais iguais, adicionamos os valores absolutos dos números e repetimos o sinal; - sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos dos números e repetimos o sinal do número com maior valor absoluto. x = 4 ± 0 2 ( 1) = 4 ± 0 = 2 Substituindo na fórmula: x = b ± 2a x = x = Logo: V = 2 = 4 2 = 2 = 4 2 = 2 Na multiplicação e na divisão: - sinais iguais, o resultado ficará positivo; - sinais diferentes, o resultado será negativo. Se o (delta) for um número muito grande, lembre-se do que estudamos no bimestre passado: para calcular sua raiz quadrada, basta decompor em fatores primos e agrupar, de dois em dois, os fatores iguais. MULTIRIO Seu caderno do 1. bimestre é muito importante neste momento!

18 PÁGINA 17 C) 5x² + 6x + 2 = 0 Solução: a = 5 b = 6 c = 2 Calculando o : = b 2 4ac = 6² = = 4 Lembre-se de que, em IR, não existe raiz quadrada de números negativos!!! Substituindo na fórmula: x = b ± 2a Observe que, em todos os exemplos, a fórmula está sendo repetida. Isso serve para auxiliá-lo. Na hora de iniciar as atividades, faça o mesmo: repita a fórmula! x = 6 ± Quando a raiz quadrada for de um número negativo, não haverá resultado em IR. Conjunto vazio. Logo: V =

19 PÁGINA 18 AGORA, É COM VOCÊ!!! b) 2x² 10x + 12 = 0 1- Determine o CONJUNTO VERDADE de cada uma das equações de 2.º grau, sendo U = IR: a) x² 4x + 3 = 0 c) x² 5x 14 = 0

20 PÁGINA 19 d) x² + 6x + 9 = 0 f) x² x + 20 = 0 e) x² 12x + 35 = 0 g) 5x² + 9x 2 = 0

21 PÁGINA 20 h) x² + 3x + 5= 0 j) x² + 4x 5 = 0 i) 6x² 4x 2 = 0 k) x² + x 3 = 0

22 PÁGINA Indique se a equação apresentada, tem, como raiz, o número 5? a) x² 5x + 10 = 0 3- Leia, atentamente, o problema e responda: Luana e Bruno tinham um enigma para resolver. O quadrado de um número real é igual ao seu triplo. b) x² 5x = 0 Já sei! O número pode ser 0 ou 3! Eu discordo! Pode ser 0 ou 2! c) x² 3x 10 = 0 Quem acertou o enigma?

23 PÁGINA Determine as dimensões do retângulo, sabendo que sua área é de 108 m²: 5- Um engenheiro precisa construir, em um clube, uma piscina retangular. No entanto, precisa atender a duas exigências: x 3 Área = 108 m² x 1.ª) o comprimento da piscina terá que ser 5 metros maior que a largura (considerar as bordas internas); 2.ª) a área da piscina deverá ser de 150 m². Responda: Quais devem ser as dimensões dessa piscina?

24 PÁGINA 23 Outros exemplos: Resolvendo as seguintes equações de 2.º grau, sendo U = IR: a) x(x 5) + 6 = 0 x(x 5) + 6 = 0 x² 5x + 6 = 0 Solução: a = 1 b = ( 5) c = 6 Substituindo na fórmula: = b² 4ac = ( 5)² = = 1 x = b ± 2a x = ( 5) ± x = 5 ± 1 2 Logo: V = 2, 3 Multiplicação distributiva x = x = = 6 2 = 3 = 4 2 = 2 b) (x + 1)² = 3x + 13 x² + 2x + 1 3x 13 = 0 x² x 12 = 0 Solução: a = 1 b = ( 1) c = ( 12) Substituindo na fórmula: = b² 4ac = ( 1)² 4 1 ( 12) = = 49 x = b ± 2a x = ( 1) ± x = 1 ± 7 2 Produtos Notáveis: Quadrado da soma (x + 1)² = (x)² + 2(x)(1) + (1)² x = = 8 2 = 4 x = (x + 1)² = x² + 2x + 1 Lembre-se de que, para resolver, temos que igualar a zero o 2.º membro da equação e deixá-la na forma reduzida. Nestas atividades, temos que arrumar a equação antes de resolvê-la. = 6 2 = 3 Logo: V = 3, 4

25 PÁGINA 24 Em seu caderno, resolva as equações de 2.º grau, sendo U = IR. Depois, escreva, aqui, o CONJUNTO VERDADE (V) de cada equação: a) x(x + 2) 35 = 0 V = f) 4x² 2x = 2x 1 g) x(x + 4) 10 = 5 V = V = b) x(x 6) + 10 = 2 V = h) (x + 5)(x 1) = 7 V = c) x(x 5) = 8 V = i) (2x 4)² = 0 V = OBMEP NÍVEL 2 d) (x + 5)(x 5) = 0 V = Determine todas as soluções da equação x = x 2, sendo U = IR. e) 3x(x 2) 4 = 2x 5 V =

26 PÁGINA 25 RELAÇÃO ENTRE AS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO E O DISCRIMINANTE Veja como é fácil! Como podemos observar, as raízes de uma equação de 2.º grau dependem do discriminante ( - delta). Quando > 0, a equação apresenta duas raízes reais e diferentes. Quando = 0, a equação apresenta duas raízes reais e iguais. Exemplo: x² + 3x 10 = 0 = b 2 4ac = 3² = = 49 Δ > 0 x = 3 ± 7 2 x = x = = 4 2 = 2 = 10 2 = 5 Exemplo: x² 4x + 4 = 0 = b 2 4ac = ( 4)² = = 0 Δ = 0 x = 4 ± 0 2 x = x = = 4 2 = 2 = 4 2 = 2 Logo, a equação possui duas raízes reais e diferentes. Logo, a equação possui duas raízes reais e iguais. Quando < 0, a equação não apresenta raízes reais. Exemplo: x² + 2x + 5 = 0 = b 2 4ac = 2² = 4 20 = 16 Δ < 0 A raiz quadrada de -16 não é um número REAL. Se Δ > 0 (positivo): duas raízes reais e diferentes. Se Δ = 0: duas raízes reais e iguais. Se Δ < 0 (negativo): não possui raízes reais. Logo, a equação não possui raízes reais.

27 PÁGINA 26 AGORA, É COM VOCÊ!!! d) x² + x + 4 = 0 1- Calculando somente o discriminante ( ), determine a existência e a quantidade de raízes que cada equação possui: a) x² 5x + 4 = 0 e) 3x² + 6x + 3 = 0 b) 2x² 5x + 2 = 0 f) 4x² + 16 = 0 c) 2x² 2x = 0 g) x² 4x + 3 = 0

28 PÁGINA (UFJF / MG- Adaptada) As raízes da equação x² 12x + 35 = 0 são (A) 6 e 6 (B) 2 e 6 (C) 3 e 9 (D) 5 e 7 1- A menor das raízes da equação x² 10x + 21 = 0 é (A) 0 (B) 3 (C) 5 (D) 7 2- A forma reduzida da equação x² - 5x + 7 = 3x - 4 é (A) x² 2x + 11 = 0 (C) x² 8x + 11 = 0 (B) x² 2x + 3 = 0 (D) x² 8x + 3 = 0 6- Podemos afirmar que 1 é raiz da equação (A) x² 5x + 11 = 0 (C) x² 4x + 4 = 0 (B) x² 2x + 1 = 0 (D) 2x² 8x + 7 = 0 7- (CESGRANRIO / RJ) A maior raiz da equação - 2x² + 3x + 5 = 0 vale (A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 2,5 3- Os coeficientes da equação 4x² + 6-7x = 0 são (A) a = 4, b = - 7 e c = 6 (C) a = 4, b = 6 e c = - 7 (B) a = 6, b = - 7 e c = 4 (D) a = 4, b = 6 e c = 7 4- Podemos afirmar que a única opção que representa uma equação de 2.º grau é 8- (UC / SP- Adaptada) As raízes da equação 2x² x = 0 são (A) { 5, 1}. (B) { 1, 5}. (C) {1, 5}. (D) {2, 3}. 9) A equação x² - 3x = -2 admite, como raiz, (A) 5. (B) 2. (C) 2. (D) 4. (A) x(x + 2) + 11 = 0 (C) x 4 8x + 11 = x² - 3 (B) x² 2x + 3 = x² + 3 (D) x² 8x + 3 > 0

29 PÁGINA 28 PROPRIEDADES DAS RAÍZES A equação ax² + bx + c = 0 (a 0), sendo Δ 0, tem, como raízes reais: x = b+ 2a e x = b Vamos, agora, determinar a soma (S) e o produto (P) das raízes: 2a PRODUTOS NOTÁVEIS: produto da soma pela diferença. a) Soma das raízes: x + x = b + 2a x + x = + b 2a b + b 2a x + x = 2b 2a x + x = b a S = x + x = b a Você observou como o resultado final é bem simples? b) Produto das raízes: x x = b + 2a b 2a x x b² ( ) = 4a² x x = b² b2 + 4ac 4a² x x = c a = b 2 ( )² 4a² = b² (b2 4ac) 4a² P = x x = c a = 4ac 4a²

30 PÁGINA 29 Exemplos: Determinar a soma e o produto das raízes da equação 2x² 8x + 6 = 0: 1.ª solução Resolvendo a equação: a = 2 b = ( 8) c = 6 Δ = ( 8)² Δ = Δ = 16 x = 8 ± ª solução Usando as fórmulas: a = 2 b = ( 8) c = 6 S = b a = ( 8) 2 P = c a = 6 2 = 3 = 8 2 = 4 x = x = 3 x = 8 ± 4 4 x = x = 1 Qual das duas soluções parece ser mais simples? Utilizando as fórmulas de soma e produto, os cálculos se tornam bem mais rápidos e simples! S = x + x = = 4 P = x x = 3 1 = 3

31 PÁGINA 30 AGORA, É COM VOCÊ!!! d) x² + x 2 = 0 1- Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das equações, sem precisar resolvê-las: a) x² 7x + 12 = 0 Solução: a = 1 b = ( 7) c = 12 S = b a = ( 7) 1 P = c a = 12 1 = 12 = 7 e) 2x² + 8x + 3 = 0 b) 2x² 10x + 8 = 0 f) 3x² 5 = 0 c) 3x² 3x = 0 g) x² 9x + 45 = 0

32 PÁGINA 31 Seja a equação ax² + bx + c = 0 (a 0). Dividindo-a por a, temos: COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2.º GRAU x² + b a x + c a = 0 Sendo S = x + x = b a e P = x x = c a Temos que Então, podemos escrever x² b a x + c Cuidado com o sinal de S a = 0 (soma das raízes): Por causa do sinal negativo, o número que a representa será sempre o oposto, quando escrevemos a equação. x² Sx + P = 0 Exemplos: Compor a equação de 2.º grau a partir das seguintes raízes: a) x = 5 e x = 6 Solução: S = x + x = = 11 P = x x = 5 6 = 30 x² 11x + 30 = 0 O resultado da soma das raízes será sempre o oposto do número encontrado. b) x = 5 e x = 3 Solução: S = x + x = ( 5) + 3 = 2 P = x x = ( 5) 3 = 15 x² + 2x 15 = 0 O resultado da soma das raízes será sempre o oposto do número encontrado.

33 PÁGINA 32 AGORA, É COM VOCÊ!!! d) 1 e 5: 1) Determine a equação cujas raízes sejam a) 3 e 5: Solução: S = x + x = = 8 P = x x = 3 5 = 15 Resposta: x² 8x + 15 = 0 e) 3 e 3: b) 1 e 6: f) 0 e 7: c) 2 e 5: g) 4 e 4:

34 PÁGINA 33 PROBLEMAS DE 2.º GRAU Um problema é chamado de 2.º grau quando pode ser resolvido por meio de uma equação de 2.º grau. Para resolver esses problemas, devemos: 1.º) escrever o problema em linguagem matemática; 2.º) resolver a equação; 3.º) interpretar as raízes obtidas e dar resposta ao problema. A leitura atenta é muito importante na hora de transformar o que se lê em linguagem matemática. Exemplo 1- A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 35. Qual é esse número? 1.º) tradução: x² 2x = 35 x² 2x = 35 x² 2x 35 = 0 2.º) resolução: a = 1 b = ( 2) c = ( 35) = = = 144 x = ( 2) ± = 2 ± 12 2 x = x = = 14 2 = = 10 2 = º) interpretação e resposta: Como não existe restrição quanto ao resultado, as duas respostas adequadas ao problema. Resposta: O número é 5 ou 7.

35 PÁGINA 34 Exemplo 2- Qual o número positivo, que somado ao seu quadrado, resulta 56? 1.º) tradução: x + x² = 56 2.º) resolução: a = 1 b = 1 c = ( 56) x + x² = 56 = 1² = = 225 x² + x 56 = 0 É muito importante ler novamente o problema, após resolver a equação, para poder responder adequadamente. Nesse caso, a palavra positivo sinalizava que qualquer resultado negativo não poderia ser utilizado como resposta. Só pra recordar: se o número for negativo, coloque-o entre parênteses. x = 1 ± = 1 ± 15 2 x = x = = 14 2 = = 16 2 = º) interpretação e resposta: Como o problema pede que seja um número positivo, teremos apenas o 7 como resposta. Resposta: O número é 7.

36 PÁGINA 35 AGORA, É COM VOCÊ!!! 3- O quadrado de um número, menos o seu triplo, é igual a 4. Qual é esse número? 1- A soma de um número com seu quadrado é 12. Qual é esse número? 4- Qual é o número positivo que, somado ao seu quadrado, resulta 72? 2- O quadrado, menos o dobro de um número, é igual a 3. Qual é esse número?

37 PÁGINA O quadrado da idade de Dênis, menos o triplo de sua idade, é igual a 108. Quantos anos Denis tem? 7- O pátio de uma empresa, com dimensões de 11 m por 20 m, foi ampliado em duas faixas de mesma largura, ficando com a área de 322 m². Qual a medida da largura da faixa de ampliação? x x 11 m 11 m 20 m x 20 m x 6- A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o seu triplo é 35. Qual é esse número?

38 PÁGINA 37 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RELEMBRANDO... O triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto. A TRIÂNGULO RETÂNGULO cateto hipotenusa Já foi estudado nos anos anteriores. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa. E os outros lados, cateto. ÂNGULO RETO B cateto C ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO Seja o triângulo retângulo ABC: c B n a A h H m b C Os elementos são: a medida da hipotenusa BC b medida do cateto AC c medida do cateto AB h medida da altura AH n medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC m medida da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa BC

39 PÁGINA 38 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Seja o triângulo retângulo ABC: c A h b Se partirmos esse triângulo pelo segmento AH, formaremos dois novos triângulos retângulos. B n a H m C Ao traçar a altura relativa à hipotenusa do triângulo ABC, obteremos dois outros triângulos retângulos. Veja: A A A c h h b B H C B n H H m C Os triângulos ABC, ABH e AHC são semelhantes (seus ângulos correspondentes são congruentes). Então, tendo por base essa relação de semelhança, estudaremos, nas próximas páginas, as relações métricas no triângulo retângulo.

40 PÁGINA 39 1.ª relação A medida de um cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto. Exemplos: Calcular o valor de x nas figuras apresentadas a seguir: Solução: x x² = 16 4 x² = x = 64 x = 8 Solução: x² = Sejam os ACB ~ HAB a c = c n semelhante c² = a n x x² = 400 x = 400 Sejam os ABC ~ HAC a b = b m b² = a m x = 20 (cateto)² = (hipotenusa) (projeção do cateto)

41 PÁGINA 40 2.ª relação A medida da altura ao quadrado é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos. Exemplos: Calcular o valor de x nas figuras apresentadas a seguir: Solução: x 4 9 x² = 4 9 x² = 36 x = 36 x = 6 Sejam os ABH ~ CAH h m = n h h² = m n Solução: 8² = 4 x semelhante (altura)² = (projeção do cateto maior) (projeção do cateto menor) 8 4 x 4x = 64 x = 64 4 x = 16

42 PÁGINA 41 3.ª relação O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura. Exemplos: Calcular o valor de x nas figuras apresentadas a seguir: Solução: 3 4 x = 5. x 5x = 12 x = 12 5 x = 2,4 Sejam os ABC ~ ABH b h = a c b c = a h Solução: semelhante (cateto maior) (cateto menor) = (hipotenusa) (altura) x x = x = x = x = 30

43 PÁGINA 42 AGORA, É COM VOCÊ!!! c) 1- Determine o valor dos elementos desconhecidos em cada um dos triângulos retângulos: h a) c d) 15 b 12 b) e) a 9 24 n 6

44 PÁGINA 43 4.ª relação TEOREMA DE PITÁGORAS O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. A Exemplos: Calcular o valor de x nas figuras apresentadas a seguir: Solução: B Pela primeira relação, sabemos que e. Somando essas igualdades, membro a membro, temos: b² + c² = a² a² = b² + c² c c² = a n b² = a m n b 2 + c 2 = a n + a m b 2 + c 2 = a n + m b² + c² = a a a H h m b C c² = a n b² = a m Relembrando... Fatoração (matéria do 8.º Ano): Fator comum Lembre-se de que a hipotenusa é igual à soma das duas projeções. Logo: m + n = a 9 x 15 Como o x se encontra em um dos catetos, é mais simples usar b² + c² = a² 3 4 x Como o x se encontra na hipotenusa, é mais simples usar a² = b² + c² 9² + x² = 15² 81 + x² = 225 x² = x² = 144 x = 144 x = 12 Solução: x² = 3² + 4² x² = x² = 25 x = 25 x = 5

45 PÁGINA 44 A AGORA, É COM VOCÊ!!! c) 15 x 1- Determine o valor da incógnita em cada um dos triângulos retângulos: a) B 12 C 9 12 d) A 3x B x 4x 20 C b) e) A x B x C

46 PÁGINA 45 2 Determinar o valor desconhecido em cada um dos triângulos apresentados abaixo. d) a) 30 x 40 x b) x e) 6 3 x 12 9 c) f) 5 x 6 4 x 13

47 Freepik.com Clip art MATEMÁTICA 9. ANO PÁGINA A figura, apresentada abaixo, mostra uma escada encostada no topo de um prédio. Sabendo-se que o pé da escada está distante 8 metros do prédio e o comprimento dela é de 17 metros, qual é a altura do prédio? 5- Calcule a medida da diagonal de um retângulo de dimensões 16 cm e 12 cm. 12 cm 17 m 16 cm 8 m 6- Determine a medida do lado do losango que tem suas diagonais medindo 24 cm e 18 cm. 4- Qual o comprimento mínimo do cabo de aço que prende uma antena de rádio de 24 m, se ele está fixado a 18 m da base da antena? 18 cm 24 cm OBMEP NÍVEL 2 Atenção às medidas dadas. Elas se referem à totalidade da diagonal. 7- Na figura, O é o centro do círculo e AB = 5 cm. Qual é o diâmetro desse círculo? 18 m O 5 B A 4 C

48 PÁGINA O quadrado maior tem 14 cm de lado. O perímetro do quadrado menor é (A) 14 cm Na figura, o valor de x é (B) 28 cm. 8 6 (A) 10. (B) x (C) 40 cm. (D) 56 cm. 6 8 (C) 10. 3x 8 6 (D) (PUC-SP) Num triângulo retângulo, cujos catetos medem 3 e 4, a hipotenusa mede (A) 5. (B) 7. (C) 8. (D) A diagonal de um quadrado de lado 3 cm é (A) 3 cm. (B) 3 cm. (C) 3 2 cm. (D) 6 cm. 5- A figura, apresentada abaixo, mostra um muro que possui 3 m de altura. Sabendo-se que o pé da escada está a 4 m do muro, o comprimento da escada é de (A) 5 m. (B) 7 m. (C) 10 m. (D) 14 m.

49 PÁGINA Os dois lados menores de um triângulo retângulo medem 8 cm e 15 cm. O perímetro desse triângulo é (A) 23 cm. (B) 32 cm. (C) 40 cm. (D) 43 cm. 8- Qual o valor de x nessa figura? x + 1 x 7- Um fio foi esticado do topo de um prédio de 34 m de altura até o muro lateral com 10 m de altura. (Observe a figura.) x + 2 (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) m Lembre-se de retirar a medida da altura do muro. 9- O perímetro do polígono, apresentado abaixo, é 9 m 12 m 12 m (A) 33 m. (B) 48 m. (C) 57 m. (D) 60 m. O comprimento desse fio é de (A) 24 m. (B) 30 m. (C) 36 m. (D) 40 m. 10- Qual é o perímetro do quadrado em que a diagonal mede 4 2 m? (A) 4 m. (B) 8 m. (C) 16 m. (D) 16 2 m.

50 LUCRO (em bilhões de reais) LUCRO (em bilhões de reais) MATEMÁTICA 9. ANO PÁGINA Este gráfico de colunas se refere à lucratividade de empresas brasileiras no período de 2008 a Leia as informações contidas nele com bastante atenção: Lucro de algumas empresas brasileiras (em bilhões de reais) Agora, responda: a) Em que ano o lucro das empresas brasileiras foi maior? b) Em que ano o lucro das empresas brasileiras foi mais baixo? ,6 15, ,5 8,1 8, ANO c) Construa um gráfico de linhas equivalente ao gráfico ao lado: ANO

51 PÁGINA (Prova da Rede 1. Bimestre/ 2016) Os alunos do 9.º Ano fizeram uma estimativa para 200 pessoas, com base no estudo apresentado a seguir: HÁBITOS SAUDÁVEIS E LONGEVIDADE O peso dos fatores que fazem uma pessoa viver além dos 65 anos. 53% 10% 17% Assistência médica Genética Meio ambiente 20% Estilo de vida Que gráfico de barras melhor representa esse estudo? (A) (B) (C) (D)

52 QUILOWATTS / HORA MATEMÁTICA 9. ANO PÁGINA (CPII RJ) Abaixo, estão apresentados dois gráficos relacionados ao consumo de energia elétrica na casa da senhora Nathália, nos meses de julho a setembro de A partir dos gráficos, responda às perguntas: Consumo mensal de energia, em kwh (medição feita a cada 30 dias) ferro: 10% outros: 7% chuveiro: 25% TV: 8% julho agosto setembro lâmpadas: 20% geladeira: 30% MESES a) Qual foi a energia consumida, em média, a cada dia de setembro de 2010? b) Com base nos gráficos, qual foi o consumo do ferro no mês de agosto? b) Com base nos gráficos, qual foi o consumo da geladeira no mês de julho?

53 PÁGINA (Prova da Rede / 2015) Observe a figura: 1- (Prova da Rede / Adaptada) O quadrado de um número positivo menos o seu triplo é igual a 28. Qual o número positivo que é a solução desse problema? (A) 4. (B) 6. (C) 7. (D) (Prova da Rede / 2015) Qual dos números é raiz da equação x² 11x + 18 = 0? (A) 3. (B) 0. (C) 2. (D) Veja as promoções de dois supermercados: Supermercado A OBMEP NÍVEL 2 Supermercado B 6 latas de 3 litros do sorvete QUENTE Sorvete QUENTE lata de 3 litros R$ 24,00 4 latas só R$ 14,00 Joana pretende comprar 12 latas de sorvete para a festa de seu aniversário. Em qual supermercado ela deve comprar e por quê? (A) No A, pois economizará R$ 7,00 em relação ao B. (B) No A, pois economizará R$ 6,00 em relação ao B. (C) No B, pois economizará R$ 8,00 em relação ao A. (D) No B, pois economizará R$ 6,00 em relação ao A. (E) Tanto faz. O preço é o mesmo nos dois supermercados. Qual a equação que melhor representa o cálculo da área dessa figura? (A) 2x + 32 = 0. (B) x² + 2x 30 = 0. (C) x² + 2x + 28 = 0. (D) 3x 30 = (Prova da Rede / 2015) A Professora Regina escreve vários cartões com desafios para aplicar nas suas aulas. Felipe foi sorteado com o seguinte cartão: Qual é a resposta correta para esse desafio? (A) 10. (B) 12. (C) 15. (D) 35. Qual o produto das raízes da equação 2x² - 15x + 20 = 0?

54 PÁGINA (Prova da Rede / 2015) Qual a equação que será formada tendo, como raízes, 2 e 5? (A) x² 7x + 10 = 0. (B) x² 2x + 5 = 0. (C) x² + 5x 2 = 0. (D) 2x² + 7x 10 = (Prova da Rede / 2015) Observando a figura abaixo, determine o comprimento da ripa de madeira que deixará o portão com maior resistência. 8- (Prova da Rede / 2015) A figura abaixo mostra uma escada encostada no topo de um prédio. Sabendo-se que o pé da escada está distante 6 metros do prédio e o comprimento dela é de 10 metros, qual é a altura do prédio? (A) 10 m. (B) 8 m. (C) 6 m. (D) 4 m. Escada 10 m 6 m 9- (Prova da Rede / 2015) Observando o discriminante da equação x² 5x = 0, podemos afirmar que essa equação (A) 0,60 m. (B) 0,80 m. (C) 1 m. (D) 1,50 m. 80 cm 60 cm (A) não possui raízes reais. (B) possui duas raízes simétricas. (C) possui duas raízes reais e iguais. (D) possui duas raízes reais e diferentes.

55 PÁGINA (Prova Brasil) O desenho de uma escola foi realizado na seguinte escala: 1:100. A representação ficou com 10 cm de altura. Qual é a altura real, do colégio, em metros? (A) 1 m. (B) 5 m. (C) 10 m. (D) 100 m. 11- (Prova Brasil) Dada a expressão x = b+ b2 4ac a = 1, b = 7 e c = 10, o valor numérico de x é (A) - 5. (B) - 1. (C) 1. (D) 5. 2a, sendo 13- (Prova Brasil) Sendo N = ( 3)² 3², então, o valor de N é (A) 0. (B) 18. (C) 18. (D) (Prova Brasil) Ao resolver corretamente a expressão 1 ( 5) ( 3) + ( 4)³ : ( 4), o resultado correto é (A) 13. (B) 2. (C) 0. (D) (Prova Brasil - Adaptada) O número irracional 10 está entre os números (A) 2 e 3. (B) 3 e 4. (C) 6 e 8. (D) 12 e (Prova Brasil) Célia desenhou dois triângulos, sendo que o triângulo DEF é uma redução do triângulo ABC. 16- (Prova Brasil) Alguns quadriláteros estão representados nas figuras. Qual dos quadriláteros possui apenas um par de lados paralelos? (A) (B) (C) (D) Sendo assim, a medida x do lado é igual a (A) 4 m. (B) 6 m. (C) 8 m. (D) 12 m. Até o próximo bimestre!!

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