Extração de características de imagens do olho humano

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1 Extração de características de imagens do olho humano ANTONIO VALERIO NETTO OSVALDO CESAR PINHEIRO DE ALMEIDA JOÃO DO ESPÍRITO SANTO BATISTA NETO MARIA CRISTINA FERREIRA DE OLIVEIRA (Orientadora) Instituto de Ciências Matemática e de Computação ICMC Universidade de São Paulo USP Campus São Carlos Caixa Postal 668 CEP São Carlos, SP Brasil. Resumo: Nesse artigo são apresentados os resultados do desenvolvimento do módulo de extração de características de um sistema computacional projetado para interpretar e medir os vícios de refrativos oculares (astigmatismo, hipermetropia e miopia) a partir de imagens funcionais do olho humano. O módulo de extração tem a finalidade de reduzir a quantidade de dados de entrada para o módulo de análise do sistema em questão, o qual utiliza técnicas de aprendizado de máquina para produzir o diagnóstico do erro refrativo. Foram implementadas e comparadas três técnicas diferentes para o processo de extração de características, a saber, Análise de Componente Principal, Transformada Wavelet de Daubechies e Transformada Wavelet de Gabor). Palavras-chave: Entendimento/Interpretação de imagens, processamento de imagens, extração de características, transformadas wavelets, análise da componente principal, aprendizado de máquina, máquinas de vetores suporte, sistemas inteligentes. 1. Introdução Este trabalho se insere no contexto da investigação de uma nova metodologia que emprega técnicas de Aprendizado de Máquina (máquinas de vetores suporte e redes neurais) para a medição dos vícios de refração ocular, particularmente astigmatismo, hipermetropia e miopia [Valerio Netto, 2002]. O Aprendizado de Máquina (AM) é uma linha de pesquisa em Inteligência Computacional que estuda métodos capazes de extrair conceitos (conhecimento) a partir de amostras de dados [Mitchell, 1997]. No âmbito deste trabalho foi definido um sistema funcional capaz de, inicialmente, processar imagens do olho humano fornecidas por uma técnica de aquisição de dados do olho conhecida como Hartmann-Shack (HS) [Liang, 1994]. Vetores de características são extraídos das imagens geradas por essa técnica e, posteriormente, analisados pelo módulo de AM, que é capaz de formular um diagnóstico dos possíveis vícios refrativos presentes no globo ocular sob exame. A abordagem de análise das imagens utilizando redes neurais e máquinas de vetores suporte foi motivada pelo enorme progresso em pesquisa e aplicações práticas verificado nos últimos anos, que certificam a sua eficiência em extrair conceitos a partir de amostras de dados. Essa abordagem oferece um leque de possibilidades em termos de pesquisa acadêmica e do desenvolvimento de produtos acabados voltados à interpretação de informações de um globo ocular. O reconhecimento e análise das características pertinentes ao globo ocular permite diagnosticar não apenas os vícios de refração como também obter outras informações sobre a saúde do globo ocular visando, no futuro, um mapeamento completo do olho humano por um único aparelho [Valerio Netto, 2001a]. Além disso, a abordagem pode ser aplicada a imagens obtidas por outras técnicas utilizadas em Optometria, como Fluorescein, Retro-illumination e Optical scatter map [Thibos, 2001].

2 O sistema de análise e diagnóstico opera em três fases distintas. Inicialmente, as imagens oftalmológicas são adquiridas por meio da técnica de Hartmann-Shack, utilizando um equipamento denominado Aberrometer de HS. No caso deste trabalho, essa etapa foi realizada na Universidade de Indiana (EUA). A etapa seguinte do processo (Fase 1) consiste no pré-processamento e extração de características das imagens adquiridas na etapa anterior, o que é feito pelo módulo de extração de características. Finalmente, os vetores de características são processados pelas técnicas de aprendizado de máquina implementadas no módulo de análise (Fase 2). Esse módulo, após uma etapa inicial de treinamento, deve recebe como entrada o vetor de características de uma imagem, devendo gerar como saída uma classe que caracteriza o tipo de erro refrativo (miopia, hipermetropia e astigmatismo) e as medidas de erro correspondentes, com precisão de 0.25 Dioptrias. Neste artigo é apresentado particularmente o módulo de extração de características, cujo objetivo é diminuir a quantidade de dados a serem posteriormente fornecidos como entrada para o módulo de análise, abstraindo as características das imagens relevantes para o processo de análise. Foram implementadas e comparadas três técnicas distintas de extração de características, Análise de Componente Principal, Transformada Wavelet de Daubechies e Transformada Wavelet de Gabor. Para comparar o desempenho dessas técnicas foi realizado um experimento com um conjunto de 426 imagens do olho humano, que após passarem pela fase de extração de características foram analisadas por Máquinas de Vetores Suporte (SVM Support Vector Machines) para detecção e medida dos erros refrativos. Do conjunto de imagens 80% (340 imagens) foram utilizadas na etapa de treinamento da SVM, e 20% (86 imagens) foram utilizadas para os testes. Os testes foram realizados com o objetivo de identificar a técnica mais adequada para extração de características no contexto desse domínio de aplicação para análise pelas SVMs. Na Seção 2 são apresentadas as técnicas de extração de características investigadas para aplicação neste trabalho. Na Seção 3 são introduzidas as SVMs, e a Seção 4 apresenta o processo de aquisição de imagens do olho e as operações de pré-processamento aplicadas às mesmas. Na seção 5 são apresentados o desenvolvimento do módulo de extração de características e os resultados da comparação entre as três técnicas. A Seção 6 contém as considerações finais sobre esta etapa do trabalho. 2. Técnicas de extração de características Nessa seção são introduzidas as técnicas de extração de características das imagens do olho humano, aplicadas após uma etapa de pré-processamento, com o objetivo de abstrair as informações relevantes contidas em cada imagem. O processo de extração de características é fundamental diminuir a quantidade de dados de entrada para o módulo de análise do sistema de diagnóstico. Três técnicas de dois métodos diferentes foram implementadas, testadas e comparadas. Do método de análise multivariada foi implementada a análise de componente principal, e do método de Transformada de Wavelet foram implementadas a transformada de Daubechies para compressão de imagens e a transformada de Gabor para extração de características. Noções sobre análise multivariada e análise de componente principal são apresentadas na Seção 2.1, e as transformadas de Wavelet são introduzidas na Seção Análise multivariada A análise multivariada é o ramo da Estatística responsável por examinar como variáveis dependentes relacionam-se em um determinado conjunto de dados. Para isso, deve ser considerado um conjunto de n observações, cada qual contendo valores para p variáveis [Johnson, 1982]. O objetivo comum das técnicas de análise multivariada é a redução e simplificação da complexidade do problema em questão. Do ponto de vista teórico, essas técnicas podem reduzir a dimensionalidade dos dados, ainda que acarretem a perda de algumas informações. Na prática, elas podem reduzir o número de variáveis a serem computadas, ou eliminar variáveis difíceis de serem observadas ou medidas, garantindo, ainda assim, que informação relevante não seja perdida. Dentre os objetivos da análise multivariada, pode-se citar: o Redução de dados Com a finalidade de facilitar a interpretação dos dados, estes são reduzidos para a forma mais simples possível, sem sacrificar informações relevantes. Isso pode ser feito, por exemplo, transformando um conjunto de variáveis interdependentes em variáveis independentes, ou reduzindo a dimensionalidade do conjunto de dados em questão. o Agrupamento dos dados Grupos de variáveis ou objetos similares são criados, baseando-se em medidas de características.

3 o Investigação de dependência entre variáveis É estabelecida a natureza do relacionamento entre as variáveis, isto é, se as variáveis são mutuamente independentes ou se existem uma ou mais variáveis que dependem de outras. o Previsão Os relacionamentos entre as variáveis devem ser determinados com a finalidade de prever os valores de uma ou mais variáveis de interesse. A análise de componentes principais (PCA Principal Component Analysis), também conhecida como Transformada de Hotelling ou Transformada de Karhunen-Loève, é uma técnica analítica que transforma um grupo de variáveis correlacionadas em um grupo de variáveis não correlacionadas. A PCA é um dos métodos estatísticos multivariados mais simples. Basicamente, dadas p variáveis X1, X2,..., Xp, ela procura encontrar combinações lineares destas para produzir índices Z1, Z2,..., Zp que sejam não correlacionados. Deve ser enfatizado que a PCA nem sempre reduz um grande número de variáveis originais a um pequeno número de variáveis transformadas. De fato, se as variáveis originais não são correlacionadas, a PCA não produz efeito algum. Os melhores resultados são obtidos quando as variáveis originais são altamente correlacionadas, positivamente ou negativamente. Nesse caso, por exemplo, 20 ou 30 variáveis originais podem perfeitamente ser representadas por duas ou três componentes principais, deixando clara a existência de grande redundância nas variáveis originais, sendo que muitas destas medem características similares. A PCA é uma das abordagens mais populares para o problema de reconhecimento de faces e uma das mais adequada para extração de características. 2.2 Transformada de Wavelet Wavelets são funções que satisfazem requisitos matemáticos utilizados na representação de dados ou outras funções. A idéia de utilizar funções para representar outras não é nova, e existe desde que Fourier descobriu que senos e cosenos podem ser utilizados para representar outras funções. Porém, na análise de Wavelets a escala possui um papel importante no processamento dos dados. Essas funções podem ser processadas utilizando diferentes escalas ou resoluções. Quando um sinal é observado em uma grande janela de tempo, suas características observadas serão mais grosseiras, e quando for utilizada uma pequena janela de tempo, suas características observadas serão mais detalhadas. Dessa forma, é possível observar tanto características mais aparentes quanto as menos perceptíveis. Wavelets têm sido aplicadas em vários segmentos da ciência como, astronomia, engenharia, musica, matemática, processamento de sinais e processamento de imagens. No caso de processamento de imagens, um dos pontos fortes das transformadas Wavelets vem da possibilidade de representar uma imagem completa (em uma escala menor) com uma quantidade mínima de valores. Esses valores podem ser aproveitados na criação de um vetor de características capaz de representar uma imagem. Esse fato motivou a utilização da transformada de wavelets para a extração de características das imagens oftalmológicas, sendo que foram utilizadas duas transformadas, Daubechies e Gabor. A transformada de Daubechies reduz uma imagem preservando as características que permitem reconhecê-la. Já a transformada de Gabor extrai um vetor de características relevantes da imagem. A transformada Wavelet de Daubechies produz imagens com dimensões reduzidas em relação às originais. O processo de Daubechies requer um único parâmetro de entrada, o número de níveis, que determina quantas vezes a dimensão da imagem será reduzida. A imagem resultante do processo terá resolução equivalente a J x J, em que J = N / (2 ^ nível); sendo N a resolução da imagem original. Dessa forma, para uma imagem de 400 x 400 pixels e 2 níveis, a imagem resultante terá resolução de 100 x 100 pixels. A figura 1 ilustra uma imagem que passou por esse processo. No processamento do primeiro nível são geradas quatro imagens, cada qual com ¼ do tamanho da imagem original, sendo que a imagem do primeiro quadrante (superior esquerdo) armazena grande parte da informação original. No segundo nível, a imagem do primeiro quadrante passa pelo mesmo processo, gerando outras novas quatro imagens com ¼ do seu tamanho. Novamente, das quatro imagens resultantes no segundo nível, a que armazena a maior parte da informação original é a que está no primeiro quadrante. A transformada de Gabor, por outro lado, requer dois parâmetros de entrada: orientação e escala. Esses dois parâmetros permitem determinar o número de características finais que se deseja obter de uma dada imagem, seguindo a expressão: (orientação * escala * 2). Dessa forma, para valores de orientação e escala iguais a 10 obtémse um vetor com 200 características relevantes da imagem processada. Mais informações sobre as transformadas de Daubechies e de Gabor podem ser encontradas em [Daubechies, 1990], [Daubechies, 1992], e em [Chang, 1993] e [Manjunath, 1996], respectivamente.

4 Figura 1: Imagem processada pela transformada de Daubechies em dois níveis. 3. Máquinas de vetores suporte No decorrer do desenvolvimento das técnicas de aprendizado de máquina, pesquisadores se inspiraram em sistemas biológicos para desenvolver as redes neurais artificiais, cujos conceitos são baseados nos mecanismos de aprendizado cerebrais, e os algoritmos genéticos, que têm seus conceitos inspirados no processo de evolução natural e na genética. No campo de aprendizado simbólico têm-se as árvores de decisão, e inspirados nos processos cognitivos foram desenvolvidos os sistemas de raciocínio baseado em casos. As máquinas de vetores suporte, por sua vez, fundamentam-se em teorias estatísticas [Lorena, 2002]. As SVMs (Support Vector Machines) constituem uma família de algoritmos de aprendizado que vem recebendo grande atenção nos últimos anos [Schölkopf, 1998]. Elas foram desenvolvidas a partir de 1992 pela equipe do pesquisador Vladimir Vapnik [Vapnik, 1992] e é baseada na teoria de aprendizagem estatística, por meio do princípio de Minimização do Risco Estrutural (Structural Risk Minimization SRM). A SVM pode ser considerada como uma máquina de aprendizagem com apenas uma camada escondida, treinada por um algoritmo supervisionado. O treinamento de uma SVM é relativamente simples, e envolve a resolução de um problema quadrático, dependente dos vetores de treinamento e de alguns parâmetros especificados pelo usuário. A SVM realiza um mapeamento nãolinear dos dados em um espaço de dimensão elevada no qual um hiperplano ótimo (com a maior margem de separação possível) possa ser construído, permitindo a separação das classes positivas e negativas ou a utilização da máquina para regressão. A SVM possibilita a abordagem dos problemas de duas formas. Na primeira, não são considerados erros de classificação, ou seja, padrões que porventura estejam fora dos valores típicos de sua classe irão desviar o hiperplano de separação de forma que este padrão (incorreto) seja classificado como correto. Na segunda, são estabelecidas variáveis de folga, de forma que padrões fora dos valores típicos da sua classe podem ser desconsiderados, dependendo da quantidade de folga que se use, diminuindo assim a probabilidade de erro de classificação. Algumas das principais características das SVMs são:

5 o Boa capacidade de generalização os classificadores gerados por uma SVM em geral alcançam bons resultados em termo de generalização. Essa capacidade é medida por sua eficiência na classificação de dados que não pertençam ao conjunto utilizado em seu treinamento, portanto, é evitado o overfitting. o Robustez em grandes dimensões as SVMs são robustas diante de objetos de grandes dimensões, como por exemplo, imagens. Comumente há a ocorrência de overfitting nos classificadores gerados por outros métodos inteligentes sobre esses tipos de dados. o Teoria bem definida as SVMs possuem uma base teórica bem estabelecida dentro da Matemática e Estatística. Sem dúvida, o destaque das SVMs está na sua capacidade de generalização, que é resultado direto do emprego do princípio da teoria de aprendizado estatístico apresentado na década de 60 e 70 por Vapnik e Chernovenkis [Vapnik, 1968]. Apesar da teoria ser relativamente antiga, as principais aplicações práticas são recentes e datam da década de 90. As SVMs têm sido aplicadas na solução de diversos tipos de problemas. Seus resultados podem ser comparados aos obtidos por outros algoritmos de aprendizado, como redes neurais, sendo que em algumas tarefas elas têm se mostrado superiores, como é o caso de reconhecimento de caracteres [Lecun, 1995] [Dummais, 1998] e detecção de faces de pessoas nas imagens [Osuna, 1998] [Fernadez, 1999]. 4. Aquisição e pré-processamento das imagens O projeto principal contou com um banco de aproximadamente 600 imagens oftalmológicas, adquiridas por um equipamento chamado Aberrometer construído na School of Optometry da Indiana University, que opera segundo os princípios de Hartmann-Shack [Valerio Netto, 2001 b ]. Essas imagens foram adquiridas dos olhos de 100 pacientes, cujas pupilas foram dilatadas e a acomodação paralisada por meio da aplicação de cyclopentalate 0.5%, uma gota, sendo três imagens do olho direito (OD) e três imagens do olho esquerdo (OS), totalizando seis imagens por paciente (600 exemplares) [Thibos, 2002]. Associado a cada imagem há um conjunto de valores que especificam os erros refrativos do olho imageado e suas medidas: medidas Esférica (S) (miopia e hipermetropia), Cilíndrica (C) (astigmatismo) e Eixo (A) (eixo do astigmatismo). Tais medidas caracterizam as medições, isto é, fornecem as informações que permitirão treinar e validar as SVMs para que possam classificar/medir corretamente as imagens oftalmológicas pelo processo de treinamento supervisionado. Os erros refrativos foram determinados com precisão de 0.25 Dioptrias 1 (D) para esférica e cilíndrica (miopia, hipermetropia e astigmatismo) e cinco graus para o eixo do astigmatismo [Thibos, 2002]. O espectro de valores das medidas associadas às imagens da base, levando em consideração a resolução de 0.25 D, varia entre D e D para esférica (S); entre 0.0 D e 1.25 D para cilíndrica (C), e entre 0º e 180º para o eixo (A) com resolução de 5 o. O Aberrometer não gera imagens em um padrão que permita a sua utilização direta no sistema de análise, sendo que foi necessário uniformizá-las e, posteriormente, retirar ruídos e imperfeições que poderiam distorcer os resultados do processo de extração de características. As imagens foram processadas por métodos computacionais baseados nos métodos de análise de histograma e que utilizam informação espacial e geométrica do domínio da aplicação [Gonzalez, 1992] [Sonka, 1999]. A figura 2 apresenta uma imagem já pré-processada e pronta para utilização pelos algoritmos de extração de características. 1 Unidade de medida do poder refrativo de uma lente; equivale ao poder refrativo de uma lente com distância focal de um metro. O número de dioptrias de uma lente corresponde ao inverso da distância focal em metros. Assim, uma lente de três dioptrias tem uma distância focal de 1/3 de metro [Michaelis, 2000].

6 Figura 2: Imagem do olho proveniente da aquisição pela técnica de Hartmann-Shack, já pré-processada. 5. Módulo de extração de características A primeira abordagem para extração de características foi a PCA, que foi inicialmente aplicada às colunas de cada imagem. As imagens geradas após a etapa de pré-processamento tinham resolução de 400x400 ( ) pixels. A figura 3 ilustra o esquema de aplicação da PCA, que reduz as imagens para uma matriz de 16x400 ou atributos, a ser utilizada como entrada no módulo de análise. Diferentes configurações da PCA foram testadas nos experimentos, variando a quantidade de colunas geradas como saída. Foram verificadas saídas com 35 colunas (gerando atributos) e com 70 colunas ( atributos). Os resultados obtidos demonstraram que a melhor opção, considerando a quantidade de dados de entrada versus os resultados obtidos no módulo de análise foi a de dados. Figura 3: Aplicação da PCA às colunas da imagem. Posteriormente, foi investigado o desempenho de técnicas Transformada de Wavelets para redução de dados e extração de características, comparando-se os resultados do módulo de análise operando com essas novas entradas aos obtidos com as entradas geradas pela PCA. Essa comparação foi realizada analisando os resultados do módulo de análise baseado em SVM utilizando como entradas os diferentes vetores de características gerados por cada uma das técnicas citadas. Foi averiguada a transformada Wavelet de Daubechies, adotando como parâmetro dois níveis de processamento. A entrada do módulo de análise consistiu em um vetor com o conteúdo da imagem do primeiro quadrante do

7 segundo nível de processamento, contendo os valores (tons de cinza) de pixels (100 x 100). Conseqüentemente, foram apresentadas entradas para o módulo de análise, ao invés das da PCA. A outra alternativa investigada foi a transformada de Gabor, que requer dois parâmetros de entrada: orientação e escala. Foram adotadas orientação e escala iguais a 10, gerando um vetor de 200 características relevantes da imagem original. Dessa forma, com esta alternativa são fornecidas 200 entradas para o módulo de análise. Para comparar o desempenho do módulo de análise para as entradas geradas pelas diferentes técnicas de redução de dimensionalidade/extração de características, foi montado um experimento utilizando um conjunto de 426 imagens. Dessas, 80% foram utilizadas para o treinamento da SVM (340 imagens) e 20% para teste (86 imagens). Os resultados dos experimentos foram analisados considerando a propagação do erro de aquisição, ou seja, foi considerada uma tolerância de 0.25 Dioptrias para S (miopia e hipermetropia) e C (astigmatismo), nos resultados obtidos com a SVM. Dessa forma, valores de S e C que ficaram 0.25 Dioptrias abaixo ou acima do valor esperado, foram considerados corretos. O experimento não foi realizado para o parâmetro A (eixo do astigmatismo). A Tabela 1 apresenta o percentual de acerto associado a cada uma das técnicas de extração de características utilizadas para identificar os dados de S e C. Técnica de extração de características S (miopia e hipermetropia) C (astigmatismo) PCA 67,86 % 87,20 % Daubechies 75,61 % 80,72 % Gabor 81,71 % 86,75 % Tabela 1: Resultados dos experimentos. Os resultados indicam que a transformada Wavelet de Gabor apresentou um desempenho médio superior às outras duas técnicas. Contudo, são necessários testes adicionais para confirmar a superioridade da extração de características por Gabor para a base de dados em questão, e para esse tipo de imagens em particular. Mesmo trabalhando apenas com Gabor, seria importante realizar experimentos para verificar qual o melhor valor para os parâmetros orientação e escala, pois o impacto da variação desses parâmetros não foi investigado. Na figura 4 é ilustrada a interface principal do aplicativo, após uma imagem original ter passado por todos os processos necessários para a obtenção dos valores do vício refrativo. Figura 4: Visão da interface do aplicativo apresentando o resultado da medição da imagem.

8 6. Considerações finais A PCA foi implementada inicialmente utilizando um algoritmo para a geração dos autovetores e autovalores baseado no método de Jacob [Press, 1992]. Contudo, o método mostrou-se muito lento, o processo todo requeria em torno de 100 segundos para processar uma matriz de 400x400 (Pentium III 500MHz, 512M Memória). Foi implementado um algoritmo mais eficiente, aplicando o método Householder para a redução de matrizes e o algoritmo QL para calcular os autovetores e autovalores [Press, 1992]. O ganho foi de cinco vezes, isto é, a mesma matriz passou a ser processada em apenas 25 segundos. Para obter o vetor de características de cada uma das imagens do conjunto de imagens inicial (426 imagens) foi criado um aplicativo que recebe como entrada um conjunto de imagens (no caso deste experimento, 426 imagens) já pré-processadas, e automaticamente gera como saída o conjunto de vetores de características (esse aplicativo foi implementado para as três técnicas). O tempo de processamento para a extração das características das 426 imagens utilizando a PCA foi de aproximadamente 3 horas, uma média de 25 segundos por extração. Para a Transformada de Daubechies este tempo foi em torno de 1,5 minuto por imagem, o que totalizou para as 426 imagens um pouco mais de 10 horas de processamento. Para a Transformada de Gabor o tempo médio foi de quase 4,15 minutos por imagem, totalizando quase 27 horas de processamento para as 426 imagens. O hardware utilizado é um Pentium III 500MHz, com 512M Memória. Agradecimentos Os autores agradecem ao Professor Larry Thibos da School of Optometry - Indiana University - USA, pelo auxílio com informações da área de Optometria e pela liberação do banco de imagens de Hartmann-Shack; e ao Professor André Ponce de Leon F. Carvalho do ICMC/USP pelas suas contribuições na área de redes neurais e máquinas de vetores suporte. Queremos também agradecer o suporte financeiro da FAPESP (processos: 00/ e 01/ ) e CNPq (processo: /97-5). Referências Bibliográficas [Chang, 1993] Chang, T. & Kuo, C. J. Texture Analysis and Classification with Tree-Structured - Wavelet Transform. IEEE Transaction on Image Processing, 2(4): , [Daubechies, 1990] [Daubechies, 1992] Daubechies, I. The Wavelet Transform, Time Frequency Localization, and Signal Analysis. IEEE Transactions on Information Theory, 36(5): , Daubechies, I. (1992). Ten Lectures on Wavelets. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, Rutgers University and AT&T Bell Laboratories, volume 61. [Dummais, 1998] Dummais, S. Using SVM for text categorization. IEEE Intelligence Systems, pages 21-23, [Fernadez, 1999] [Gonzalez, 1992] Fernadez, R & Viennet, E. Face identification using support vector machines, Proc. symposium on artificial neural networks, pages , Brussels, D-Facto Press, Gonzalez, R. C. & Wood, R. E. (1992). Digital image processing, Reading, Ed. Addison-Wesley. [Johnson, 1982] Johnson, R.A. & Wichern, D. Applied multivariate statistical analysis, 2 nd edition, Prentice-Hall, New Jersey, [Lecun, 1995] [Liang, 1994] Lecun. Y. A; Klein, S.; Charman, R. Comparison of learning algorithms for handwritten digit recognition. Proc. Conference on artificial neural networks, vol. 2, pp 53-60, Nanterre, France, Liang, J.; Grimm, B.; Goelz, S.; Bille, J. F. Objective measurement of wave aberrations of the human eye with the use of a Hartmann-Shack wave-front sensor. J. Opt. Soc. Am., Vol. 14, No. 11/ July, pp , 1994.

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