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1 Fluxo em grafos

2 Introdução Grafos valorados: algum tipo de valor associados aos vértices ou às ligações. Grafo representando mapa rodoviário Aresta distância de uma cidade à outra; Vértice altitude da cidade; Há muitas possibilidades de valorar um grafo dependerá do modelo com o qual se trabalha. Característica da valoração até agora estática. Outro tipo de valoração dinâmico.

3 Introdução Outro tipo de valoração dinâmico. N de veículos que passam numa determinada avenida; Estimativa de quantos veículos passam por hora (unidades de tempo) fluxo

4 Fluxo Algo que se move ao longo das ligações do grafo.

5 Introdução Teremos algum tipo de recurso Veículo Carga Mensagem Documentos Pessoas Utilização de uma via, parte de um sistema a ser estudado. Grafo base deste modelo.

6 Introdução O que queremos ao construir um modelo de fluxo? Pode-se observar que, em geral, estes modelos traduzem situações nas quais se transporta algo (recurso)

7 Pergunta Qual a maior quantidade de fluxo que pode passar por um dado grafo? Qual o menor custo associado a uma dada quantidade de fluxo? Onde teríamos de intervir no problema, para podermos aumentar o trânsito de fluxo, ou para corrigir alguma falha?

8 Introdução Considerar as valorações dos grafos com fluxo como inteiras.

9 Exemplo Malha rodoviária a (60) b s (50) (70) (30) capacidade t (40) (50) c (60) d Número máximo de veículos que podem passar pelos arcos numa determinada unidade de tempo

10 De quais fluxos estaremos falando? Número de situações é grande e variado.

11 Exemplo Um túnel de 100 metros Entrada engarrafada (4 carros por minuto) Depois de 60 metros trafégo mais organizado velocidade aumenta Saída 40 carros por minuto. Ou Um túnel a 60 km/h 40 carros por min Quase na saída motorista lento 40 km/h Acúmulo de carros 4 por min. Fluxo não linear (valor muda ao longo do percurso)

12 Fluxos lineares Hipótese adicionar fluxo ao valor que passa por uma dada ligação: Somar fluxos que venham de várias ligações para um vértice Multiplicar um fluxo por uma constante, sem alterar o comportamento do fluxo.

13 Fluxos lineares Ideia: estudo de fluxos que possam ser mantidos constantes durante um período significativo para o objeto visado; Fluxos conservativos não aparece nem desaparece fluxo. Exemplo: Transporte de 1000 toneladas de arroz/dia- usina de beneficiamento 10% de perda do peso (cascas) Enlatar óleo caminhos de 100 toneladas/dia Cada garrafa de 1 litro 135 gramas Caixa para 24 garrafas 450 gramas Cada litro densidade 0,965 Acréscimo de peso a ser transportado

14 Fluxos lineares Deve ser de um único produto Um fluxo múltiplo (multifluxo) pode até ser linear resolução mais complexa Não devem existir restrições condicionais (vincular o valor do fluxo em um arco, ao valor do fluxo em outro arco)

15 Exemplo Uma empresa entrega habitualmente um certo número de unidades de um produto, usando caminhões (geladeira, grãos, pequenos pacotes) Capacidade do caminhão Condição de transporte constante Caminhões não interferem uns com os outros, cada dia um trafega: elimina a não linearidade

16 Formalização Um grafo com fluxo é representado por uma tripla G=(V,A,f) orientada, na qual,à notação habitual de um grafo, acrescentou-se um vetor f de dimensão m+1, sendo m o número de arcos do grafo: f= (f0, f1,..., fm) Deve possuir um único vértice fonte s (de onde sai o fluxo - raiz) e sumidouro t (ao qual o fluxo se dirige). De s posso atingir todo o grafo De qualquer vértice do grafo deve ser possível atingir o sumidouro.

17 Exemplo Um caminhão tanque chega com litros de óleo Da instalação de enlatamento saem garrafas de 1 litro devidamente embaladas em caixas Não há perda desprezível. Todo óleo que chega á instalação (vértice) sai de lá Vários caminhões de diferentes direções Saída: soma dos valores de chegada Propriedade: todo fluxo que chega a um vértice do grafo sai dele.

18 Problemas de fluxo Problema de fazer circular determinado produto através dos vértices e arestas de uma rede. Associa aos componentes de um grafo o elemento fluxo. Associados às varias situações reais de distribuição de água, eletricidade, produtos industriais, movimentação de veículos e outros.

19 Rede Uma rede é um grafo direcionado e sem laços que possui exatamente uma raiz e um sumidouro, atravessado por um fluxo

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