FONTE SENOIDAL. Onde: v - tensão induzida [V] N - número de espiras φ - fluxo magnético [Wb]

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1 1. Geraçã d Sinal Senidal MNSÉO DA EDUCAÇÃO SECEAA DE EDUCAÇÃO POSSONA E ECNOÓGCA NSUO EDEA DE EDUCAÇÃO, CÊNCA E ECNOOGA DE SANA CAANA ENGENHAA DE EECOMUNCAÇÕES Área de Cnheciment: Eletricidade e nstrumentaçã Prf. Pedr Armand da Silva Jr. ONE SENODA A frma de nda senidal (u sinusidal) crre naturalmente na natureza, cm se de bservar nas ndas d mar, na ragaçã d sm e da luz, n mviment de um êndul etc. e também é a frma mais eficiente de geraçã, transmissã e distribuiçã de energia elétrica. Nas duas últimas décadas d sécul XX us de crrente cntínua em sistemas de tência era defendid r hmas Edisn, enquant a crrente alternada era rsta r Nikla esla e Gerge Westinghuse Jr. Uma funçã senidal é facilmente btida ara geraçã energia elétrica. Uma bbina sujeita a um cam magnétic variável rduz em seus terminais uma tensã elétrica segund a seguinte equaçã (ei de araday): dφ( dt) Onde: v - tensã induzida [] v( t) N dt N - númer de esiras φ - flux magnétic [Wb] A estrutura a seguir aresenta esquematicamente a geraçã de um sinal senidal a artir da mvimentaçã d eix de uma bbina submetida a cam magnétic de dis imãs ermanentes. igura 1 Geraçã de um sinal senidal. Uma fnte de tensã u crrente senidal varia cm tem e de ser reresentada r uma senide em funçã de sua frequência angular (wt) u em funçã d tem (t). As frmas de ndas sen e cssen dem ser bservadas na figura abaix. igura - rmas de ndas sen e cssen. 1

2 . Exressã Matemática d Sinal Senidal d sinal elétric senidal de ter seu cmrtament descrit de md gráfic u analític, através de uma funçã matemática senidal, eriódica, e variante cm tem. Adta-se ara a reresentaçã ds sinais de tensã e de crrente alternada senidal as seguintes exressões gerais: v ω t) sen( ωt + θ ) ( v i ω t) sen( ωt + θ ) ( i Onde: e - valres im, de ic u amlitude ω - frequência angular elétrica θ - ângul de fase Na igura 3 estã aresentads graficamente s rinciais arâmetrs d sinal senidal e, na sequência, suas definições. 8 ensã [] / / 3/ - -8 Cicl em [s] igura 3 Parâmentrs d sinal senidal. alr im, de ic u amlitude -., u A: é valr extrem alcançad el sinal. Períd - [s] : é tem decrrid na realizaçã de um cicl cmlet. requência - f [Hz] : é númer de cicls realizads, na unidade de tem, btid r: 1 Onde: 1 Hz 1 cicl / segund f [ Hz] requência angular elétrica - ω [rad/s]: É a raidez de variaçã d sinal. Ou seja, é a velcidade cm que sinal realiza um cicl de variaçã, que equivale realizar, num círcul, um arc de π radians u 36º. Ângul de fase - θ [ ] : É a siçã relativa, exressa em grau, d sinal em relaçã a uma referência u a utr sinal Seu valr de ser: θ > (sitiv) - sinal adiantad θ - sinal em fase θ < (negativ) - sinal atrasad t t t θ (em fase) θ +9 (adiantad) θ -9 (atrasad)

3 Defasagem: É a diferença de fase entre dis sinais (A e B). Ou seja, é a medida d adiantament, u d atras, de um sinal (A ) em relaçã a utr sinal de referência (B) Pr exeml: Se Entã a defasagem entre A e B é: v θ AB θ A θ B u θ BA θ B θ A 1 sen (t + 3 ) [ ] e v 1 sen(t 5 ) [ ] A B + θ AB θ θ A B 3 5 Nte que sinal mens significa dizer que A está atrasad de B de alr médi - méd u méd : É a média ds valres d sinal em um eríd. Esta média crresnde à área abaix da curva d sinal dividida el seu eríd e é exressa r: 1 méd v( t) dt Existem duas situações ráticas a serem cnsideradas: a) Sinal CA ur b) Sinal CA + CC v v A1 CC A t t A1 A A1 A méd alr médi é nul. sinal méd ca + cc méd CA + méd CC + cc O valr médi é a rória cmnente CC d sinal alr eficaz: Cm a frma de nda senidal é ulsante sua energia nã é transmitida de frma cnstante cm acntece em crrente cntínua. Para tensões variantes n tem se de bter um valr efetiv equivalente a valr médi de uma fnte CC que demandaria a mesma tência elétrica. O alr Eficaz ( u MS - rt mean square ) de uma funçã eriódica é definid cm a raiz quadrada d valr médi da funçã a quadrad, u em frma algébrica: ef 1 t + t v Para uma nda senidal de ser demnstrad que valr eficaz equivale a: dt ef m 3

4 Pela equaçã anterir nte que valr eficaz nã deende da frequência nem d ângul de fase, smente da amlitude d sinal. Assim, r exeml, na rede elétrica lcal, é uma tensã eficaz, referente à tensã alternada senidal em 6 Hz de valr de ic 311,13. A reresentaçã matemática deste sinal é: v sen( t + ) ω 311,13 ω v ( ωt) 311,13 sen(377t + θ v w πf π rad / s ) θ v esclhid 3. essta senidal d resistr Em crrente cntínua vims que, n resistr, a tensã e a crrente se relacinam na frma: u Em crrente alternada senidal a relaçã é dada r: Partind-se de: i v( t) Substituind v(t) tem-se: i( t) Ou: i( t) sen ( ω t +θv ) sen ( ω t +θv ) Cm n resistr a tensã e crrente estã em fase: Graficamente: v, i v ω t) sen( ωt + θ ) v v ( v u i sen( ω t + θi ) i M M t Cnsiderand seus resectivs valres eficazes a relaçã fica: ef ef

5 Em crrente alternada, cm a tensã e a crrente se relacina que em CC, a se adtar valres eficazes as equações da tência elétrica sã as mesmas. P ef ef u P ef u ef P N tem tem-se a seguinte equaçã: ( t) v( t) i( t) sen ( wt) A tência dissiada n resistr será semre sitiva, cm de ser bservad n gráfic a seguir: igura ensã, crrente e tência em um resistr.. Elements armazenadres de energia Alguns elements de circuits elétrics dem armazenar energia em frma de cam elétric u magnétic.1. Caacitância O caacitr é um element de circuit que ssui a característica de cnservar energia através d cam elétric estabelecid entre suas lacas, tendend manter cnstante a tensã entre s seus terminais. O caacitr é reresentad ela letra C e tem cm unidade arad []. C + + A (+Q) B (-Q) Em circuits CC caacitr funcina cm um circuit abert. Prém, em CA caacitr exerce siçã à variaçã de tensã, fenômen denminad reatância caacitiva, designada r X C, medida em hm [Ω] e exressa r: X c 1 π f C [ Ω] Para uma fnte senidal a tensã n caacitr é exressa r: sen ( wt) c 5

6 A crrente n caacitr será: dc i c C C w cs( wt) C w sen( wt + 9 dt O caacitr atrasa a tensã em relaçã à crrente, cnfrme de ser vist ela ilustraçã abaix: ) igura 5 ensã e crrente em um caacitr. Em um circuit uramente caacitiv nã há dissiaçã de tência ativa. Cm se de bservar na figura a seguir, em um eríd da rede elétrica, valr médi da tência n caacitr é nul. O caacitr armazena energia n rimeir semi-cicl da rede devlvend esta mesma energia n segund. igura 6 ensã, crrente e tência em um caacitr.. ndutância O indutr é um element de circuit que ssui a característica de cnservar energia através d cam magnétic entre sua bbina, tendend manter cnstante a crrente entre s seus terminais. O indutr é reresentad ela letra e tem cm unidade Henry [H] 6

7 Em circuits CC indutr funcina cm um circuit fechad (fi cndutr). Prém, em CA caacitr exerce siçã à variaçã de crrente, fenômen denminad reatância indutiva, designada r X, medida em hm [Ω] e exressa r: X π f [ Ω] Para uma fnte senidal a crrente n indutr é exressa r: A tensã n indutr será: i sen ( wt) di v w cs( wt) w sen( wt + 9 dt O indutr atrasa a crrente em relaçã à tensã, cnfrme de ser vist ela ilustraçã abaix: ) igura 7 ensã e crrente em um indutr. Assim cm num circuit uramente caacitiv, n indutiv nã há dissiaçã de tência ativa. Cm se de bservar na figura a seguir, em um eríd da rede elétrica, valr médi da tência n indutr é nul. O indutr armazena energia n rimeir semi-cicl da rede devlvend esta mesma energia n segund. igura 8 ensã, crrente e tência em um indutr..3. medância Os circuits de crrente alternada raramente sã aenas resistivs, indutivs u caacitivs. Na mairia das vezes, s mesms aresentam as duas reatâncias, u uma delas, cmbinada cm a resistência. A resistência ttal d circuit, neste cas, assa a ser denminada de imedância, designada r Z e medida em hm [Ω]. Neste cas a ei de Ohm assa a ser exressa r: Z 7

8 5. is de tência Em virtude da ssibilidade da assciaçã ds elements resistr, caacitr e indutr a tência elétrica em um circuit de ser de três tis: Ptência ativa: a tência dissiada r resistres, exressa em watt (W). P [ W ] Ptência reativa: tência que retrna ds indutres e caacitres, exressa em vlt amere reativ (Ar). A equaçã é similar, trcand smente a resistência ela reatância (caacitiva u indutiva). Q X [ Ar] A tência reativa de ser sitiva, rveniente ds circuits indutivs (X > ), u negativa, rveniente ds circuits caacitivs (X < ). g, a cmbinaçã de indutres e caacitres ermite que um absrva a tência reativa d utr. Ptência aarente: a tência ativa e reativa cmbinada, exressa em lt Amère (A). O módul da tência aarente é a multilicaçã ds móduls da tensã e crrente: 5.1. riângul de Ptências S [A] As três tências se relacinam ela seguinte exressã: E el triângul: S P + Q igura 9 riângul de tências. O ângul da tência aarente será mesm ângul da imedância. As tências ativa e reativa dem ser calculadas a artir deste ângul: 5.. atr de Ptência P S csϕ csϕ Q S senϕ senϕ atr de tência é a fraçã da tência aarente que realiza trabalh. É uma grandeza adimensinal, que atinge valr de n im a unidade. A tência reativa faz circular crrente el circuit sem que haja cnsum, aquecend s alimentadres e sbrecarregand s circuits. O fatr de tência é cssen d ângul d triângul de tências, u ângul de defasagem entre as frma de nda da tensã e da crrente: S P ϕ cs Percebe-se que um fatr de tência baix é sinal de um alt reativ, u seja, a energia nã está send devidamente arveitada. Um fatr de tência unitári significa que circuit é resistiv, u seja, tda a tência está send dissiada. Um fatr de tência indutiv é dit atrasad, enquant caacitiv é adiantad. Ns grandes cnsumidres fatr de tência é uma medida imrtante, is ele é tarifad se atingir valres inferires a,9. 8

9 EXECÍCOS 1. Aresente a funçã matemática das frmas de nda abaix. ensã [] ensã [] em [ms] 1.a -1 em [ms] 1.b ensã [] ensã [] em [ms] -1 em [ms] 1.c 1.d 6 6 ensã [] ensã [] em [ms] -6 em [ms] 1.e 1.f ensã [] ensã [] em [ms] 1.g -5 em [ms] 1.h 9

10 . Aresente as frmas de nda das seguintes funções matemáticas:.1) ( wt) Sen( wt + 5 ).) ( wt) Sen( wt 9 ) Para s circuits abaix determine: - A tensã de ic e eficaz da fnte; - A frequência d sinal; - A crrente eficaz ttal d circuit; - A tência ttal d circuit; - As crrentes eficazes e de ic ns resistres. 3.1) 5 Sen(31,16t ) [] 3.) 1 Sen(377t) (t) Ω 1 5Ω (t) Ω 1 1Ω 5Ω 3 1

11 . A tensã de ic de uma nda senidal é de 179,6. Calcule a tensã instantânea em, 3º, 5º, 6º, 9º, 135º, 18º, 5º e 7º. Qual seu valr eficaz? 5. Um frn elétric cnsme 7,5 A de uma fnte de alimentaçã CC de 1. Qual valr im de uma tensã alternada caaz de rduzir mesm efeit térmic na resistência deste frn? Calcule a tência deste frn em CA. 6. Para uma fnte de tensã exressa r 311,13 Sen(377t) [] alicada ns circuits abaix determine: - O valr da imedância; - A crrente d circuit; - As tências ativa, reativa e aarente. 1Ω mh m Para uma fnte de tensã exressa r 311,13 Sen(377t) [] alicada n circuit abaix determine: - O triângul de tências; - A crrente eficaz frnecida ela fnte. 1Ω mh m 8. Seja uma carga sb tensã de e cm tência ativa de 1 kw. Calcule a tência aarente e a crrente quand seu fatr de tência fr igual a,5 e a Em uma rede de um reatr de uma luminária flurescente tem fatr de tência de,9, nde circula um crrente de,7 A. Para este reatr calcule as tências ativa e aarente. 11

12 1. Um circuit C série ligad a rede de /6 Hz dissia 1. W, cm fatr de tência de,8. Determine: - A tência aarente d circuit; - A crrente d circuit; - A tência reativa d circuit - O valr da resistência e da caacitância 11. Um frn de induçã de 15 ka e fatr de tência de,85 era hras r dia a lng de td an. Cnsiderand uma tarifa de $,35 /kwh calcule cust da energia deste frn a mês. 1. A tência ativa de uma instalaçã elétrica é de.5w. Se a tensã de alimentaçã é de eficaz calcular a tência aarente e a crrente circulante quand: 1.1) P,95 1.) P,6 13. Em um circuit estã cnectadas as cargas listadas abaix em aralel. Calcule as tências ativa, reativa e aarente ttais e fatr de tência deste circuit. - Um aquecedr resistiv de 1,5 kw; - Dez lâmadas flurescentes ttalizand W, P de,85 indutiv; - Um mtr de induçã de 1,5 cv (1 cv,736 kw), P de,9 indutiv e rendiment de 9 % (a tência nminal d mtr é relativa a entregue em seu eix. Prtant, deve-se levar em cnta rendiment da máquina ara a determinaçã da tência de entrada d mesm). 1. N circuit abaix a leitura ds instruments é, 55 A e P1 kw. Calcular a tência aarente e fatr de tência d circuit. 15. Duas cargas estã ligadas em aralel sujeitas a uma tensã de 66 MS. Ambas absrvem uma tência média ttal de 5.8 W cm um fatr de tência de,8 adiantad. Uma das cargas absrve ka, cm fatr de tência atrasad de,96. Determine a crrente ttal d circuit. Qual é fatr de tência da utra carga? esstas: - 5 (169,7; 9W) - 6 (1Ω; A; 8,kW; 8,kA; Ar) / (,75Ω; 91,78A; W; 6,19kA; 6,19kAr) / (1,3Ω; 165,87A; W; 36,9kA; 36,9kAr) - 7 (8,kW; 55,77kA; 7,7kAr; 53,8A) - 8 (9,91A; ka - 5,5A; 1kA) - 9 (15,73W; 158,A) - 1 (1,5kA; 6,81A; 9Ar; 5,87Ω; 136,68µ) - 11 ($3.13,) - 1 (.631,58A; 11,96A -.166,67A; 18,9A) - 13 (3.1W; 89,8Ar; 3.8,95A; P,97 ind.) - 1 (1,1kA; P,83 ind.) - 15 (1A; P,7 ca.) 1

13 SSEMA ÁSCO 6. ntrduçã a Sistema rifásic Circuits u sistemas nas quais as fntes em crrente alternada eram na mesma frequência, mas cm fases diferentes sã denminads lifásics. O circuit trifásic é um cas articular ds circuits lifásics que, r razões técnicas e ecnômicas trnu-se adrã em geraçã, transmissã e distribuiçã. Um sistema trifásic é rduzid em um geradr cnfrme esquema simlificad da igura 1. Os três enrlaments sã estátics e têm mesm númer de esiras, enquant rtr d geradr se mvimenta. O cam magnétic girante d rtr é rduzid a artir de uma fnte CC indeendente, u da retificaçã da rória tensã btida d geradr (aut-excitaçã). igura 1 Geradr trifásic. Nesta cnfiguraçã de enrlaments d geradr é cm huvesse três fntes de tensã cm mesma amlitude e frequência, mas defasadas entre si de 1º elétrics. Usualmente as fases sã indicadas r uma sequência de letras, cm ABC u S. A igura 11 mstra a reresentaçã ds sinais de tensã de saída d geradr n tem. igura 11 ensões de saída d geradr trifásic. As tensões induzidas ns enrlaments d geradr têm as seguintes exressões: S Sen ( wt) Sen ( wt 1 Sen ( wt ) ) [ ] [ ] [ ] Um ds terminais das bbinas d geradr sã cnectads entre si, de frma que a diferença de tencial entre eles se neutraliza, frmand terminal neutr u simlesmente neutr d circuit. Desta frma, um sistema trifásic assa a ser cnstituíd de quatr fis, send três cndutres fase e um neutr. Os sistemas trifásics ssuem a flexibilidade de der atender cargas mnfásicas, bifásicas e trifásicas sem qualquer alteraçã em sua cnfiguraçã. Na igura 1 sã aresentadas frmas de ligações das cargas. 13

14 igura 11 Exeml de ligações de cargas n sistema trifásic. As três tensões ssuem um nt de neutr, qual é definid cm referência d sistema (). Este nt é aterrad n geradr. Se uma carga mnfásica fr ligada entre nt de neutr e uma das fases ela estará sujeita a uma tensã de fase dada ela exressã já cnhecida: Sen ( wt) [ ] Uma carga cnectada entre duas fases terá uma mair diferença de tencial e sua exressã matemática será: 3 Sen ( wt 3 ) [ ] A diferença de tencial entre duas fases é denminada tensã de linha. A igura 1 ilustra resultad da diferença entre as tensões instantâneas entre as fases A e B. igura 1 Exeml de ligações de cargas n sistema trifásic. N Brasil sistema de distribuiçã secundári é realizad em dis níveis de tensã: u 38. Desta frma têm-se as seguintes relações:

15 7. igações Estrela e riângul ant geradr cm a carga trifásica dem ser ligadas em estrela u triângul, desta frma existem quatr cnexões ssíveis entre eles: Y-Y, Y-, -Y e -. igaçã triângul u delta: igura 13 igaçã triângul u delta. Neste ti de cnexã as tensões de linha sã as mesmas das fases: Já as crrentes têm as seguintes relações na ligaçã triângul: 3 igaçã estrela u Y: igura 1 igaçã estrela u Y. Na ligaçã estrela a relaçã entre as tensões é dada r: E as crrentes têm as mesmas amlitudes: 3 8. Sistema rifásic Equilibrad Um sistema trifásic de ser equilibrad u desequilibrad. Uma carga, em delta u estrela, cmsta r imedâncias iguais, é um sistema equilibrad. Neste cas, um geradr também equilibrad irá frnecer um cnjunt de três crrentes, n qual serã defasadas entre si em 1. S Sen ( wt ± ϕ ) Sen ( wt 1 Sen ( wt Onde φ é ângul da imedância da carga. Em um sistema trifásic equilibrad a sma das três crrentes n tem é zer, lg a crrente de neutr também é zer. ± ϕ ) ± ϕ ) [ A] [ A] [ A] + + [ A] N S Send cargas mnfásicas iguais cnectadas a sistema trifásic, a tência ativa ttal será a sma das tências ativas nas fases: Cm sistema é equilibrad têm-se: P P P3 P + PS + P [ W ] S φ P E a tência ativa trifásica é dada r: ef ef csϕ P3 3 csϕ [ W ] φ [ W ] 15

16 Se frem cnsideradas as tensões de linha a exressã da tência trna-se: P3 3 csϕ [ W ] φ Usand-se mesm racicíni a tência reativa e a aarente sã dadas r: Q S 3φ 3φ 3 3 senϕ u u S 3φ Q 3φ 3 3 senϕ [ Ar] [ A] EXECÍCOS 1. Um aquecedr resistiv trifásic tem uma tência de 9kW quand ligad em triângul. Sabend-se que a tensã de linha é 38, calcule a crrente de linha.. Um wattímetr ligad a uma carga trifásica, cnstituída smente de lâmadas incandescentes, indica 13,kW. A carga é equilibrada e ligada em triângul cm uma tensã de linha de. Sabend-se que em cada lâmada circula,5a, qual númer ttal de lâmadas da carga? 3. Um geradr trifásic rduz uma tensã de 17 em cada fase. A carga é equilibrada e as imedâncias sã de 1Ω cm fatr de tência unitári. O sistema encntra-se na cnfiguraçã -, cnfrme mstra a figura. Determine a tensã e a crrente de linha.. Um geradr ligad em ssui tensã de fase de 38. Este geradr deve alimentar uma carga trifásica equilibrada ligada em Y cm tência de 3,5kA. Determine a tensã e crrente de linha. 5. Um geradr ligad em Y de de fase alimenta uma carga cnectada em Y- fis, equilibrada, frmada r resistências de 5Ω. Determine a crrente e a tensã de linha e a tência ativa ttal na carga. 6. Um mtr trifásic de ser mdelad cm uma carga em Y balanceada. Este mtr tem uma tência de entrada de 5,6kW quand a tensã de linha é 38 e a crrente de linha é 1A. Determine fatr de tência deste mtr. 7. Calcule a crrente de linha necessária ara alimentar uma carga trifásica de 3kW cm fatr de tência de,95 indutiv, send que esta está cnectada a um circuit trifásic cm tensã de linha de. 16