Equipe de Matemática

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1 Lista - O.M. I ( límpiada de Matemática do Integral )-015 Série: 1º ano Questões: Equipe de Matemática 1. Em um ginásio de esportes, uma quadra retangular está situada no interior de uma pista de corridas circular, como mostra a figura. A área interior à pista, excedente à da quadra retangular, em a) 50π 48 b) 5π 48 c) 5π 4 d) 5 4 π e) 10π 30 m, é. No quadrado ABCD de lado x, representado na figura a seguir, os pontos R e S são pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente, e O é o encontro das duas diagonais. A razão entre a área do quadrado pequeno (pintado) e a área do quadrado ABCD é: a) 1 16 b) 1 1

2 c) 1 10 d) 1 8 e) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado igual a 16 cm. Os segmentos AF e BE medem, respectivamente, 1 e 10 cm. A área do triângulo CEF, em cm, é igual a : a) 54 b) 80 c) 108 d) Um campo de futebol tem o formato de um retângulo de comprimento (x 0) metros e largura (x 45) metros, conforme a figura ao lado. Sabendo que a área desse campo é de 8500m, assinale a alternativa que indica CORRETAMENTE a medida do raio do círculo central: a) 10m b) 15m c) 0m

3 d) 5m e) 30m 5. Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de R$5,00 e mais R$,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da quantidade total (x) de quilômetros percorridos e calculado por meio da função R(x) ax b, em que a é o preço cobrado por quilômetro e b, a soma de todas as taxas fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou R$ 410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida, foi de : a) 14 b) 16 c) 18 d) 0 6. Seja a uma função afim f(x), cuja forma é f(x) ax b, com a e b números reais. Se f( 3) 3 e f(3) 1, os valores de a e b, são respectivamente: a) e 9 b) 1 e 4 c) 1 3 e 3 5 d) e 7 e) e ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de passeio que cobra uma tarifa diária de R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido, em carros de categoria A. AluCar é uma outra empresa que cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 mais R$,00 por quilômetro percorrido, para a mesma categoria de carros. a) Represente graficamente, em um mesmo plano cartesiano, as funções que determinam as tarifas diárias cobradas pelas duas empresas de carros da categoria A que percorrem, no máximo, 70 quilômetros. b) Determine a quantidade de quilômetros percorridos para a qual o valor cobrado é o mesmo. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados. 8. Um economista observa os lucros das empresas A e B do primeiro ao quarto mês de atividades e chega à conclusão que, para este período, as equações que relacionam o lucro, em reais, e o tempo, em meses, são L A (t) 3t 1 e L B(t) t 9. Considerando-se que essas equações também são válidas para o período do quinto ao vigésimo quarto mês de atividades, o mês em que as empresas terão o mesmo lucro será o a) vigésimo. b) décimo sétimo. c) décimo terceiro. d) décimo. 9. A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em milímetros por dia (mm/dia) durante o último verão em Campinas. Se a precipitação ultrapassar 30 mm/dia, há um

4 determinado risco de alagamentos na região. De acordo com o gráfico, quantos dias Campinas teve este risco de alagamento? a) dias. b) 4 dias. c) 6 dias. d) 10 dias. 10. Grande parte da arrecadação da Coroa Portuguesa, no século XVIII, provinha de Minas Gerais devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas (Revista de História da Biblioteca Nacional). Desses impostos, o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor. E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias (secos e molhados, entre outros) que entravam em Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente, 1,15 contos de réis por arroba de peso. O gráfico a seguir mostra o rendimento das entradas e do dízimo, na capitania, durante o século XVIII. Com base nessas informações, em 1760, na capitania de Minas Gerais, o total de arrobas de mercadorias, sobre as quais foram cobradas entradas, foi de aproximadamente:

5 a) b) c) d) e) Um satélite orbita a km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede km. a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( θ) 3 / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. 1. a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: ; ; b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm, e 16 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 13. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

6 Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária. Supondo que AB m, BC 00 m, BÂP = 0º e CBN ˆ 50, é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 70 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m 14. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30, e o vale 105, como mostra a figura: a) 1,5. b) 1,5. c) 5,0. d) 5,0. e) 35, A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

7 A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45 e o ângulo C mede 75. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é a) b) 4 6 c) 8 3 d) 8( 3) e) 6 3

8 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Resposta da questão : [D] Como O é o centro do quadrado e R é o ponto médio do lado AB, segue-se que RO é a x diagonal do quadrado pintado e, portanto, temos RO. O resultado pedido é dado por RO x 1 1. AB x 8 Resposta da questão 3: [C] Resposta da questão 4: [A] Resposta da questão 5: [C] Resposta da questão 6: [E] Resposta da questão 7: a) Sejam f,g : [0, 70], representados na figura abaixo. com f(x) 1,5x 160 e g(x) x 146, cujos gráficos estão b) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem f(x) g(x). Logo, segue que 1,5x 160 x 146 x 8km. Resposta da questão 8: [D] L A(t) L B(t) 3t 1 t 9 t 10. Portanto, no décimo mês as empresas A e B terão o mesmo lucro. Resposta da questão 9: [B] Resposta da questão 10: [D] Resposta da questão 11: a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra.

9 R 1 cosα α 60 R R Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por: π R π π km b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d R (R).R.R.cosθ d 5R 4.R.(3/4) d.r d R d km Resposta da questão 1: O perímetro das figuras será dado por P = , = 1,. b) Não. Resposta da questão 13: [A] Resposta da questão 14: [B] Resposta da questão 15: [B]