UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA, ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA, ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA, ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL APLICAÇÃO DO POLINÔMIO DE HERMITE- CAOS PARA A DETERMINAÇÃO DA CARGA DE INSTABILIDADE PARAMÉTRICA DE CASCAS CILÍNDRICAS COM INCERTEZA NOS PARÂMETROS FÍSICOS E GEOMÉTRICOS AUGUSTA FINOTTI BRAZÃO D87E4 GOIÂNIA 4

2 AUGUSTA FINOTTI BRAZÃO APLICAÇÃO DO POLINÔMIO DE HERMITE-CAOS PARA A DETERMINAÇÃO DA CARGA DE INSTABILIDADE PARAMÉTRICA DE CASCAS CILÍNDRICAS COM INCERTEZA NOS PARÂMETROS FÍSICOS E GEOMÉTRICOS Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Geotecnia, Estruturas e Construção Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Área de Concentração: Mecânica das Estruturas Orientador: Frederico Martins Alves da Silva D87E4 GOIÂNIA 4

3

4

5

6 AGRADECIMENTOS Primeiramente, gostaria de agradecer à Deus, por ter me proporcionado oportunidades em que pude ver os verdadeiros valores da vida. Aos meus pais Márcio e Cláudia, por todo apoio, amor, dedicação e carinho que me motivaram e ajudaram a seguir meu caminho independente dos obstáculos. A minha filha Maria Fernanda por ser a razão da minha vida. Ao meu marido Delcides Netto, pelo companheirismo, atenção, amor, dedicação e por todo conforto que me proporcionou para que eu pudesse concluir essa nova etapa. A todos meus familiares que sempre me apoiaram e contribuíram para esta conquista, entre eles: Matheus, Leonardo, Vonice, Terezinha, Lutel, Márcia, Antônio e Catarina. Ao meu orientador, Professor Frederico, que me acompanhou e muito ensinou tanto na iniciação científica quanto no trabalho de conclusão de curso, e agora no mestrado. Muito obrigada por sua dedicação e paciência ao longo desses anos. Aos meus professores, Sylvia Regina e Zenon pela motivação e apoio desde a faculdade. À todos os meus professores pela dedicação e pelo aprendizado que me proporcionaram, que me fez chegar até aqui. Aos meus amigos que fizeram parte desta jornada e que sempre tiveram comigo, tanto nos bons quanto nos maus momentos. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo apoio financeiro. A. F. Brazão

7 RESUMO O presente trabalho tem como objetivo investigar a influência de incertezas nos parâmetros físicos e geométricos para a determinação da carga de instabilidade paramétrica da casca cilíndrica, utilizando o método de Galerkin Estocástico juntamente com o polinômio de Hermite-Caos. As equações não-lineares de movimento da casca cilíndrica são deduzidas a partir de seus funcionais de energia considerando o campo de deformações proposto pela teoria não linear de Donnell para cascas esbeltas. As incertezas são consideradas como parâmetros aleatórios com função de densidade de probabilidade conhecida na equação diferencial parcial de movimento da casca cilíndrica, que passa a ser uma equação diferencial parcial estocástica devido à presença da aleatoriedade. Primeiramente, faz-se a discretização do problema estocástico utilizando o método de Galerkin Estocástico juntamente com o polinômio de Hermite-Caos, para transformar a equação diferencial parcial estocástica em um conjunto de equações diferenciais parciais determinísticas equivalentes, que levem em consideração a aleatoriedade do sistema. Em seguida, apresenta-se a discretização do campo de deslocamentos laterais através do Método da Perturbação, indicando os modos não-lineares de vibração que se acoplam ao modo linear de vibração, para que o conjunto de equações diferenciais parciais determinísticas seja transformado em um sistema de equações ordinárias determinísticas de segunda ordem no tempo. A incerteza é considerada inicialmente em apenas um de seus parâmetros: no módulo de elasticidade, na espessura e na amplitude da imperfeição geométrica inicial. Em seguida, analisa-se a influência de aleatoriedades em dois parâmetros simultaneamente, sendo eles: a espessura e o módulo de elasticidade. Uma vez obtido o sistema de equações diferenciais ordinárias determinísticas que contêm as aleatoriedades dos parâmetros, a integração ao longo do tempo do sistema discretizado é feita a partir do método de Runge-Kutta de quarta ordem, obtendo-se resultados como resposta no tempo, diagramas de bifurcação e fronteiras de instabilidade, que são comparados com análises determinísticas, indicando que o polinômio de Hermite-Caos é uma boa ferramenta numérica para prever a carga de instabilidade paramétrica sem a necessidade de se realizar um processo de amostragens. Palavras-chave: Cascas cilíndricas. Método da perturbação. Parâmetros aleatórios. Método de Galerkin Estocástico. Polinômio de Hermite-Caos. Análise não-linear. A. F. Brazão

8 ABSTRACT The present study aims to investigate the influence of uncertainties in physical and geometric parameters to obtain the load parametric instability of cylindrical shell, using the Galerkin method with the stochastic polynomial Hermite-Caos. The nonlinear equations of motion of the cylindrical shell are deduced from their functional power considering the strain field proposed by Donnell s nonlinear shallow shell theory. The uncertainties are considered as random parameters with probability density function known in the partial differential equation of motion of the cylindrical shell, which it becomes a stochastic partial differential equation due to the presence of randomness. First, the discretization of the stochastic problem is performed using the stochastic Galerkin method together with polynomial Hermite-Chaos, to transform the stochastic partial differential equation into a set of equivalent deterministic partial differential equations, which take into account the randomness of the system. Then, the discretization of the lateral field displacement is made by a perturbation procedure, indicating the nonlinear vibration modes which couple to the linear vibration mode. The set of partial differential equations is transformed into a deterministic system of equations deterministic ordinary second order in time. Uncertainty is considered in one of its parameters: the Young modulus, thickness and amplitude of initial geometric imperfection. Then we analyze the influence of randomness in two parameters simultaneously: the thickness and the Young modulus. Once obtained the system of ordinary differential equations deterministic containing the randomness of the parameters, the integration over discrete time system is made from the Runge- Kutta fourth order to obtain results as the time response, bifurcation diagrams and boundaries of instability which are compared with deterministic analysis, indicating that polynomial Hermite-Chaos is a good numerical tool for predicting the load parametric instability without the need to perform a process of sampling. Keywords: Cylindrical Shells. Perturbation techniques. Random parameters. Stochastic Galerkin method. Hermite-Chaos polynomials. Nonlinear analysis. A. F. Brazão

9 LISTA DE FIGURAS Figura. Exemplos de estruturas em forma de cascas esbeltas: (a) Aviões; (b) Tanques de dessalinização do petróleo bruto; (c) Silos de armazenamento; (d) Torres de resfriamentos em usinas nucleares. Fonte: a) b) c) d) Figura. Casca cilíndrica. (a) Geometria e campo de deslocamentos da casca cilíndrica. (b) Detalhamento da seção transversal da casca cilíndrica Figura. Convenção de sinais adotada na definição dos esforços. Fonte: Del Prado () Figura.3 Representação do carregamento aplicado à casca cilíndrica... 4 Figura 3. Função da distribuição de probabilidade gaussiana Figura 3. Pseudo-código do método de Galerkin Estocástico associado ao método de Galerkin Figura 3.3 Resposta no tempo comparando a média da solução estocástica com a média das respostas no tempo de amostras determinísticas Figura 4. Modo de vibração (m, n) correspondente a menor frequência natural da casca cilíndrica Figura 4. Caminho pós-crítico da casca cilíndrica. trecho estável e --- trecho instável Figura 4.3 Influência do desvio padrão do módulo de elasticidade no modo de vibração da casca cilíndrica Figura 4.4 Curvas das fronteiras de instabilidade paramétrica considerando a incerteza no módulo de elasticidade. Γ, Figura 4.5 Diagramas de bifurcação determinísticos com o módulo de elasticidade como parâmetro de controle e resposta no tempo não determinística da casca cilíndrica. Γ, Figura 4.6 Resposta no tempo determinística para análise da incerteza em E. Γ, Figura 4.7 Influência do desvio padrão da espessura no modo de vibração da casca cilíndrica A. F. Brazão

10 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... Figura 4.8 Curvas das fronteiras de instabilidade paramétrica considerando a incerteza na espessura. Γ, Figura 4.9 Diagramas de bifurcação determinísticos com a espessura como parâmetro de controle e resposta no tempo não determinística da casca cilíndrica. Γ, Figura 4. Resposta no tempo determinística para análise da incerteza em h. Γ, Figura 4. Resposta no tempo não determinística considerando desvio nominal em relação a espessura de 6,67%. Γ, Figura 4. Curvas das fronteiras de instabilidade paramétrica considerando a incerteza na amplitude da imperfeição geométrica inicial. Γ, Figura 4.3 Diagramas de bifurcação determinísticos com a amplitude da imperfeição geométrica inicial como parâmetro de controle e resposta no tempo não-determinística da casca cilíndrica. Γ Figura 4.4 Resposta no tempo determinística para análise da incerteza na amplitude da imperfeição geométrica inicial. Γ, Figura 4.5 Resposta no tempo não determinística considerando os cinco primeiros termos do polinômio de Hermite-Caos. Γ, Figura 4.6 Curvas das fronteiras de instabilidade paramétrica considerando a incerteza no módulo de elasticidade e na espessura. Γ, Figura 4.7 Mapeamento das respostas no tempo determinísticas para diversas combinações do módulo de elasticidade e da espessura e respostas no tempo não determinísticas. Γ, Figura 4.8 Resposta no tempo determinística considerando Ω f,3, Γ, e Γ, Figura 4.9 Curvas das fronteiras de instabilidade paramétrica considerando a incerteza no módulo de elasticidade e na espessura. Γ, A. F. Brazão Lista de figuras

11 LISTA DE TABELAS Tabela 3. - Tipos de polinômios de caos da família de Askey-Wiener e suas correspondentes variáveis aleatórias. Fonte: Xiu e Karniadakis () A. F. Brazão

12 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS EDPE EQDD Equação diferencial parcial estocástica. Equação diferencial parcial determinística. EQDOD Equação diferencial ordinária determinística. NVA Número de variáveis aleatórias Gaussianas independentes. A. F. Brazão

13 LISTA DE SÍMBOLOS SÍMBOLOS ROMANOS a i B i B ij B C Ĉ D Dˆ E amplitudes dos modos aleatórios i-ésima amplitude do modo de vibração determinístico amplitudes do modo de vibração aleatórios Média da solução estocástica correspondente ao primeiro modo de vibração Rigidez de membrana Rigidez de membrana aleatória Rigidez à flexão Rigidez de membrana aleatória Módulo de elasticidade do material da casca cilíndrica E Valor nominal do módulo de elasticidade da casca cilíndrica f Ê Módulo de elasticidade aleatório Função de tensão de Airy f H Solução homogênea da função de tensão f P Solução particular da função de tensão f(φ) g Função de densidade de probabilidade da distribuição Gaussiana Parâmetro com incerteza g Valor nominal do parâmetro g h Espessura da casca cilíndrica h Valor nominal da espessura da casca cilíndrica A. F. Brazão

14 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... ĥ Espessura aleatória H n Polinômio de Hermite-Caos de ordem n k L L Variável aleatória com distribuição Gaussiana Comprimento da casca cilíndrica Função de Lagrange m M Número de semiondas longitudinais Vetor dos modos de vibração determinístico M x Componente axial dos esforços internos de flexão M xθ Componente de torção dos esforços internos de flexão M θ Componente circunferencial dos esforços internos de flexão Mˆ x Componente axial dos esforços internos de flexão aleatória Mˆ xθ Componente de torção dos esforços internos de flexão aleatória Mˆ θ Componente circunferencial dos esforços internos de flexão aleatória n Número de ondas circunferenciais N x Componente axial dos esforços internos de membrana N xθ Componente cisalhante dos esforços internos de membrana N θ Componente circunferencial dos esforços internos de membrana Nˆ x Componente axial dos esforços internos de membrana Nˆ xθ Componente cisalhante dos esforços internos de membrana Nˆ θ Componente circunferencial dos esforços internos de membrana A. F. Brazão Lista de símbolos

15 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... p Maior ordem do polinômio Φ P CR Carga crítica axial da casca cilíndrica P(t) Carga axial harmônico P Parcela estática do carregamento axial da casca cilíndrica P Amplitude da parcela harmônica dependente do tempo do carregamento axial da casca cilíndrica q R Parâmetro adimensional do número de semiondas longitudinais Raio da casca cilíndrica R e Trabalho das forças de dissipação t T u U U Tempo Energia cinética Componente axial do campo de deslocamentos da casca cilíndrica Energia de deformação interna Vetor do campo de deslocamentos da casca cilíndrica U b Energia de flexão U i i-ésima amplitude modal da expansão para o deslocamento axial derivada dos driven modes c U i i-ésima amplitude modal da expansão para o deslocamento axial derivada dos companions modes U m Energia de membrana v V Componente circunferencial do campo de deslocamentos da casca cilíndrica Trabalho da pressão radial A. F. Brazão Lista de símbolos

16 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... V i i-ésima amplitude modal da expansão para o deslocamento circunferencial derivada dos driven modes c V i i-ésima amplitude modal da expansão para o deslocamento circunferencial derivada dos companions modes w Componente radial do campo de deslocamentos da casca cilíndrica ( x t) w,θ, Expansão modal do deslocamento transversal determinística ( x t) w,θ, Expansão modal do deslocamento transversal não-determinística w cilíndrica Componente radial que descreve a imperfeição geométrica inicial da casca W Amplitude do driven mode W i i-ésima amplitude modal da expansão para o deslocamento radial derivada dos driven modes W ij (t) As amplitudes dos driven modes (i, j) Wα + As amplitudes dos driven modes (α, +6β) W c ( 6β )( t) ( 6β )( t) α + As amplitudes dos companions modes (α, +6β) W c ij (t) As amplitudes dos companions modes (i, j) W(ξ) x X(φ) Função peso da distribuição Gaussiana Coordenada na direção axial Processo aleatório de segunda ordem ˆX Amplitude de imperfeição geométrica inicial aleatória z Coordenada na direção radial SÍMBOLOS GREGOS A. F. Brazão Lista de símbolos

17 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... β β γ xθ Parâmetro de amortecimento viscoso Parâmetro de amortecimento do material Deformação específica angular de um ponto da superfície média da casca cilíndrica γ x θ Deformação específica angular de um ponto qualquer da casca cilíndrica Γ MÍN Carregamento mínimo pós-crítico Γ Parcela adimensional do pré-carregamento estático Γ CR Pré-carregamento crítico estático do carregamento axial da casca cilíndrica Γ cilíndrica δ δ ij ε ε x ε x Amplitude adimensional da parcela harmônica do carregamento axial da casca Parâmetro de perturbação Delta de Kronecker Vetor de deformação de um ponto qualquer ao longo da espessura da casca cilíndrica Deformação específica axial de um ponto da superfície média da casca cilíndrica Deformação específica axial de um ponto qualquer da casca cilíndrica ε θ ε θ Deformação específica circunferencial de um ponto da superfície média da casca cilíndrica Deformação específica circunferencial de um ponto qualquer da casca cilíndrica η η θ Coeficiente de amortecimento viscoso Coeficiente de amortecimento do material Coordenada na direção circunferencial A. F. Brazão Lista de símbolos

18 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... ν ξ ξ ξ ι ρ σ g σ σ x Coeficiente de Poisson do material da casca cilíndrica Coordenada axial adimensional Vetor com n variáveis Gaussianas independentes Variáveis aleatórias Gaussianas Densidade do material da casca cilíndrica Desvio do valor nominal do parâmetro g Vetor de tensões de um ponto qualquer ao longo da espessura da casca cilíndrica Tensão axial de um ponto qualquer da casca cilíndrica σ θ Tensão circunferencial de um ponto qualquer da casca cilíndrica τ Parâmetro adimensional do tempo τ x θ Tensão cisalhante de um ponto qualquer da casca cilíndrica φ Variável aleatória com distribuição Gaussiana de média zero e desvio padrão igual a um Φ j χ x χ xθ χ θ ψ j ω ω f j-ésimo termo do polinômio de caos Mudança de curvatura axial de um ponto da superfície média da casca cilíndrica Mudança de curvatura angular de um ponto da superfície média da casca cilíndrica Mudança de curvatura circunferencial de um ponto da superfície média da casca cilíndrica Base polinomial de Hermite-Caos Frequência natural da casca cilíndrica Frequência de excitação da parcela harmônica dependente do tempo do carregamento axial da casca cilíndrica A. F. Brazão Lista de símbolos

19 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... Ω f Parâmetro adimensional da frequência de excitação SÍMBOLOS MATEMÁTICOS 4 D ( ) D ( ) Operador bi harmônico Operador diferencial não linear que dá origem aos termos quadráticos Operador diferencial não linear que dá origem aos termos cúbicos E[ ] Valor esperado ou esperança L( ) Operador diferencial linear, Produto interno Var[ ] Variância A. F. Brazão Lista de símbolos

20 SUMÁRIO. CAPÍTULO INTRODUÇÃO..... OBJETIVOS ORGANIZAÇÃO DO TEXTO CAPÍTULO MODELAGEM DA CASCA CILÍNDRICA ESBELTA CAMPO DE DEFORMAÇÕES DA CASCA CILÍNDRICA ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NA CASCA CILÍNDRICA FUNCIONAIS DE ENERGIA DA CASCA CILÍNDRICA SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE MOVIMENTO CAPÍTULO 3 DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL ESTOCÁSTICA POLINÔMIO DE HERMITE-CAOS DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE DESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL ESTOCÁSTICA DE MOVIMENTO DA CASCA CILÍNDRICA CAPÍTULO 4 DETERMINAÇÃO DA CARGA DE INSTABILIDADE PARAMÉTRICA INCERTEZA NO MÓDULO DE ELASTICIDADE INCERTEZA NA ESPESSURA INCERTEZA NA IMPERFEIÇÃO GEOMÉTRICA INICIAL INCERTEZA SIMULTÂNEA E NÃO CORRELACIONADA NA ESPESSURA E NO MÓDULO DE ELASTICIDADE CAPÍTULO 5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS A. F. Brazão

21 CAPÍTULO INTRODUÇÃO A engenharia estrutural vem passando ultimamente por grandes avanços e aperfeiçoamentos que englobam desde os materiais empregados na construção até os procedimentos de análise dos elementos. Pode-se, então, obter elementos estruturais cada vez mais esbeltos e leves que, por sua vez, tornam a construção mais econômica. No entanto, as estruturas esbeltas estão mais suscetíveis à perda de estabilidade quando sujeitas a carregamentos estáticos e dinâmicos. Figura. Exemplos de estruturas em forma de cascas esbeltas: (a) Aviões; (b) Tanques de dessalinização do petróleo bruto; (c) Silos de armazenamento; (d) Torres de resfriamentos em usinas nucleares.. (a) (b) (c) (d) A. F. Brazão Fontes: a) b) c) d) Um bom exemplo dessas estruturas são as cascas, um elemento cuja espessura é significativamente menor do que as outras dimensões. Devido à combinação de sua simples geometria e da sua eficiência para suportar carregamentos axiais e pressões laterais, a casca

22 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... cilíndrica é uma das geometrias mais comuns entre as geometrias de cascas, tanto em aplicações industriais quanto na natureza. Existem diversas aplicações de cascas cilíndricas nas mais variadas áreas da engenharia como, por exemplo, a engenharia aeronáutica, a petrolífera, a mecânica e a civil, que tem suas aplicações em coberturas, reservatórios, silos, dentre outras, como apresentado na Figura.. Apesar de ter uma forma geométrica simples, uma casca cilíndrica pode apresentar um complexo comportamento não linear quando submetida a uma excitação externa. Esse comportamento ainda não está totalmente compreendido e um grande conjunto de novos fenômenos não lineares ainda está sendo descoberto. Devido aos avanços teóricos e numéricos, a dinâmica não linear de cascas tem apresentado notáveis progressos. Uma das principais motivações para o estudo do comportamento estático e dinâmico dessas estruturas é a grande diferença encontrada entre os resultados teóricos e os experimentais reportados na literatura. De acordo com a teoria linear de vibração, as frequências naturais da estrutura e seus respectivos modos de vibração são independentes da amplitude de vibração à qual está submetida. Como as cascas cilíndricas esbeltas apresentam grandes deslocamentos, a não linearidade passa a ter importância no problema, de modo que não é possível a aplicação da teoria linear de vibração. Portanto, para cascas cilíndricas que apresentam grandes deslocamentos, ou seja, os deslocamentos são da ordem de grandeza da espessura de suas paredes, torna-se necessária a utilização da teoria não linear de vibração, uma vez que os modos de vibração dependerão da amplitude de vibração, como apresentado nos trabalhos pioneiros de Reissner (955 apud AMABILI; PAÏDOUSSIS, 3). A não linearidade no problema pode surgir por diversas causas como, por exemplo, pelo material, pela geometria e pelos carregamentos. Neste trabalho, apenas a não linearidade geométrica é considerada, sendo essa representada através das relações não lineares entre as deformações e os deslocamentos da estrutura. Uma revisão da literatura sobre as vibrações não lineares de estruturas com formato de casca é feita por Moussaoui e Benamar (), sendo considerada um complemento dos trabalhos de REISSNER, E. Nonlinear effects in vibrations of cylindrical shells. Ramo-Wooldridge Corporation Report AM5-6. A. F. Brazão Capítulo

23 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... Evensen (974 ), Leissa (973 3, ), Sathyamoorthy e Pandalai (97 5, ), Qatu (99 7 ), Liew et al. (997 8 ) apud Moussaoui e Benamar () e Amabili et al. (998, 999). Os autores apresentam 75 referências a trabalhos organizados em ordem cronológica que abrangem diversos temas como, por exemplo, os efeitos da não linearidade geométrica e as dificuldades encontradas nas análises não lineares de estruturas no formato de cascas. Além disso, eles abordam os métodos de modelagem mais comuns, os efeitos complexos de anisotropia do material, a interação fluido-estrutura, base elástica e deformação cisalhante transversal. A primeira pesquisa sobre os efeitos da não linearidade nas vibrações foi introduzida por Reissner (955 9 apud AMABILI; PAÏDOUSSIS, 3). Em seu estudo, o autor, através da teoria não linear de Donnell para cascas abatidas, isola uma única semi-onda do modo de vibração de forma a analisar seu comportamento para uma casca simplesmente apoiada. Observou-se que a não linearidade pode ser tanto do tipo hardening, quando a estrutura pode ganhar rigidez (ocorre devido ao aumento da frequência não linear à medida que se aumenta a amplitude de vibração), ou do tipo softening, quando a estrutura pode perder rigidez (a frequência não linear de vibração diminui com o incremento da amplitude de vibração). O tipo de não linearidade é dependente apenas da geometria e do modo de vibração utilizados. Diversos trabalhos seguem a mesma abordagem estudada por Reissner. Porém, em outras aplicações, como o trabalho de Chu (96), que estendeu o estudo a cascas cilíndricas, seus resultados apresentavam comportamento do tipo hardening. Posteriormente, Nowinski (963) fez uma análise semelhante à de Chu (96), porém aplicada a uma casca cilíndrica ortotrópica e obteve o mesmo resultado de Chu (96). Em seqüência, apareceram estudos que contestaram esses resultados, como o de Evensen (963), que observou, através de EVENSEN, D. A. Non-linear vibrations of circular cylindrical shells. Thin Walled Structures: Theory, Experiment and Desing, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, p , LEISSA, A. W. Vibration of Shells. NASA SP-88, reprinted 993 by the Acoustical Society of America, [s. l.], LEISSA, A. W. Non-linear analysis of plates and shell vibrations. Proceedings of the Second International Conference on Recent Advances in Structure Dynamics, [s. l.], p. 6-7, SATHYAMOORTHY, M.; PADALAI, K. A. V. Large amplitude vibrations of certain deformable bodies. Part I: disc, membranes and rings. Journal of the Aeronautical Society of India, [s. l.], v. 4, p , SATHYAMOORTHY, M.; PADALAI, K. A. V. Large amplitude vibrations of certain deformable bodies. Part I: plates and shells. Journal of the Aeronautical Society of India, [s. l.], v. 5, p. -, QATU, M. S. Review of shallow shell vibration research. Shock Vibration Digest, [s. l.], v. 4, p. 3-5, LIEW, K. M.; LIM, C. W.; KITIPORNCHAI, S. Vibration of shallow shells: a review with bibliography. Applied Mechanics Reviews, [s. l.], v. 5, p , REISSNER, E. Nonlinear effects in vibrations of cylindrical shells. Ramo-Wooldridge Corporation Report AM5-6. A. F. Brazão Capítulo

24 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 3 resultados experimentais para grandes amplitudes de vibração, que o comportamento não linear da casca cilíndrica era do tipo softening, sendo que suas conclusões foram confirmadas mais tarde por Olson (965). Para uma casca cilíndrica sujeita a uma excitação periódica, a resposta esperada é uma onda permanente e simétrica ao respectivo ponto de aplicação, chamada de driven mode, no caso de vibrações lineares. Quando se têm grandes amplitudes de vibração nota-se a propagação de ondas circunferenciais na resposta da casca, sendo que essa propagação aparece quando uma segunda onda permanente é adicionada ao driven mode. A presença desse segundo modo, chamado de companion mode, surge devido à simetria circunferencial da casca (AMABILI et al., 998; AMABILI; PAÏDOUSSIS, 3). O companion mode apresenta a mesma freqüência de vibração linear e os mesmos valores do número de semi-ondas longitudinais e do número de ondas circunferenciais que o driven mode (EVENSEN, 967). Evensen (967) mostra a importância de se utilizar dois ou mais modos na expansão modal do deslocamento ao analisar a vibração de cascas esbeltas. Esse fato foi observado em estudos sobre a vibração não linear de placas circulares, em que se notou a importância do companion mode. O autor percebeu que, em análises não lineares de casca cilíndrica em vibração livre, o driven mode era suficiente para descrever a expansão do deslocamento e o tipo de comportamento era softening. No entanto, quando se tratava de vibração forçada, os tipos de comportamento dependiam apenas da razão entre o número de semi-ondas longitudinais e o número de ondas circunferenciais, variando de softening (quando essa razão apresentava valores pequenos) para hardening (valores maiores da razão). Entretanto, a expansão adotada por ele não atendia a algumas condições de contorno como, por exemplo, momento nulo nas extremidades no caso de casca apoiada, tornando necessários mais estudos nessa área. Amabili et al. (998) analisam o comportamento não linear de uma casca cilíndrica simplesmente apoiada vazia ou cheia por um fluido não-viscoso e incompressível. A teoria não linear de Donnell para cascas abatidas foi utilizada para descrever o campo de deformações da casca. O método de Galerkin foi aplicado para reduzir o problema a um sistema de equações diferenciais ordinárias. A expansão do deslocamento transversal é adotada como uma expressão contendo três modos não lineares, sendo que dois deles são assimétricos (os modos driven e companion), e o outro é um modo axissimétrico. Os resultados numéricos são obtidos tanto para vibração forçada quanto para vibração livre. A. F. Brazão Capítulo

25 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 4 Através da relação frequência-amplitude, observa-se que a consideração do companion mode é fundamental quando se compara o modelo que contém apenas o driven mode com o modelo que tem adicionado na expansão modal o companion mode. Em concordância com os resultados obtidos por Olson (965) e Evensen (967), os resultados mostram um comportamento não linear do tipo softening. Observa-se que a consideração de um modo a mais na expansão do deslocamento transversal afeta a resposta do sistema. Sabendo disso, diversos estudos surgiram tentando descrever a expansão modal que melhor representa o comportamento da não linear da estrutura. Um dos métodos para a determinação da expansão modal dos deslocamentos da casca cilíndrica é aplicado nos trabalhos de Gonçalves e Batista (988), Gonçalves et al. (8), Gonçalves et al. (), Del Prado (), Gonçalves e Del Prado (5), Silva et al. () e Rodrigues et al. (4), que utilizam o método da perturbação para a obtenção de forma sistemática dos modos não lineares que descrevem os deslocamentos da casca cilíndrica e que se acoplam ao modo linear. Portanto, no desenvolvimento desta dissertação, a solução modal que será utilizada para a discretização espacial da casca cilíndrica levará em consideração a participação do companion mode e será deduzida a partir da aplicação do método da perturbação. A partir dos resultados teóricos e experimentais encontrados na literatura é possível observar que as cascas cilíndricas submetidas a cargas estáticas, como compressão axial, pressão radial externa e torção, são suscetíveis à flambagem e podem apresentar uma capacidade de carga muito menor do que a carga crítica teórica. Essa diferença pode ser devido à incerteza em algumas de suas propriedades físicas e geométricas ou ainda no carregamento. A aleatoriedade pode ocorrer no processo de fabricação, quando se trata das propriedades físicas e geométricas, ou no momento do uso dessas estruturas, quando é relativa ao carregamento. Um exemplo dessa aleatoriedade é na fabricação de uma casca cilíndrica, onde a espessura não é fabricada conforme a especificação do projeto de modo que sua dimensão passa a ter um valor diferente do valor nominal do projeto. A influência das aleatoriedades poderá ser intensificada em função do tipo de análise utilizada para descrever o comportamento do sistema. Portanto, o tratamento e a modelagem das aleatoriedades do sistema constituem no presente momento uma nova linha de investigação científica. A. F. Brazão Capítulo

26 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 5 Grigoriu () propõe uma classificação para os problemas físicos em função da natureza do sistema e da excitação: i) Sistema e excitação determinísticos; ii) iii) iv) Sistema determinístico e excitação estocástica; Sistema estocástico e excitação determinística; Sistema e excitação estocásticos. Observa-se que a primeira classe de problemas trata da situação mais comum encontrada nos projetos estruturais, onde não se assume nenhuma existência de variabilidade de natureza estocástica. Já a segunda classe de problemas tem sido mais estudada ultimamente, onde o sistema não apresenta nenhuma incerteza, sendo que esta aparece só nos termos de excitação, ou seja, em algum tipo de carregamento. Pode-se citar o trabalho de Pavlovic et al. (), que aplica o método direto de Lyapunov para analisar a estabilidade de um sistema composto por duas vigas paralelas ligadas por uma camada elástica de Winkler e sujeita a um carregamento de compressão axial estocástico. Essa é a classe mais simples de problemas, existindo diversos métodos analíticos e numéricos para obtenção da solução. A terceira classe de problemas ocorre quando o sistema em si apresenta alguma incerteza em seus parâmetros físicos ou geométricos. A solução desses problemas ainda necessita de muitos estudos, visto que as soluções analíticas existentes são para poucos tipos de problemas, de modo que ainda não existe um método geral para obtenção de soluções exatas. Algumas das alternativas são os métodos baseados na simulação ou em técnicas de perturbação. Já a quarta classificação trata de problemas com incertezas tanto no sistema quanto no carregamento, podendo ser resolvidos com auxílio dos métodos utilizados tanto na segunda quanto na terceira classe (GRIGORIU, ). Em problemas estocásticos aplicados à análise de sistemas estruturais, a técnica pioneira utilizada foi o método de simulação de Monte Carlo. Para a aplicação do método de Monte Carlo em problemas estocásticos é necessário discretizar a variável aleatória, para em seguida gerar as amostras a serem analisadas. Aplica-se cada uma das amostras obtidas no modelo matemático a ser estudado de modo a obter um conjunto de resultados. Com o conjunto de resultados obtido é possível determinar os momentos estatísticos da solução. A. F. Brazão Capítulo

27 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 6 Na análise dinâmica não linear de sistemas estruturais é comum a necessidade de vários estudos da resposta no tempo que, por sua vez, deve utilizar alguma técnica numérica para a integração no tempo. Então, nesse tipo de análise, o método de Monte Carlo demanda um tempo de processamento dispendioso, visto que o número de amostras para se obter uma resposta estatística minimamente representativa é elevado, implicando na realização de uma integração no tempo para cada amostra. Assim, este trabalho sugere um método de análise que não esteja baseado em amostragens. Além do método de Monte Carlo para solução de problemas estocásticos, têm-se também outros métodos, como a série de Neuman, que pode ser consultado no trabalho de Yamazaki et al. (988), o método da perturbação que foi aplicado no trabalho de Ramu e Ganesan (993), o método de Galerkin Estocástico, utilizado no trabalho de Silva Júnior (4), Silva Jr. e Beck (, ), entre outros. No desenvolvimento desta dissertação será utilizado o método de Galerkin Estocástico que é aplicado aos problemas não-determinísticos, ou seja, em que pelo menos algum dos parâmetros de entrada possui alguma incerteza. Por existir aleatoriedade nos parâmetros de entrada do problema sua solução também será aleatória, tornando-se necessário adaptar as técnicas numéricas padrão, que resolvem os problemas determinísticos, para resolver agora os problemas estocásticos. O método de Galerkin Estocástico oferece essa adaptação das técnicas numéricas de modo a propagar as incertezas nos parâmetros de entrada, e quantificar as mesmas na solução do sistema. A escolha desse método se deve ao fato de as características estatísticas da resposta aleatória, como média e variância, serem determinadas sem a necessidade de se realizar um conjunto de amostragem. O método consiste em transformar uma equação estocástica em um sistema de equações determinísticas. Para isso, o método de Galerkin Estocástico propõe que os parâmetros estocásticos do sistema sejam descritos através da representação espectral da variabilidade aleatória (função de densidade de probabilidade) e a solução seja obtida em um espaço gerado pelos polinômios de caos (XIU; KARNIADAKIS, ; SILVA JÚNIOR, 4; SILVA JR.; BECK,, ). Primeiramente, o polinômio de caos surgiu com Wiener (938), que define o caos homogêneo como sendo um espaço de funções polinomiais de Hermite para variáveis aleatórias com distribuição de probabilidade Gaussiana. Quando se tratava de outras funções de distribuição de probabilidade da variável aleatória, a convergência da solução era A. F. Brazão Capítulo

28 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 7 substancialmente menor. Observou-se então que a função peso dos polinômios de Hermite é igual à função de densidade de probabilidade das variáveis Gaussianas aleatórias e, por isso, se obtinha excelente convergência. Ao observarem isso, Xiu e Karniadakis () propuseram, então, um novo método para resolver as equações diferenciais estocásticas baseadas nas projeções de Galerkin, estendendo os conceitos do polinômio de caos de Wiener. Os autores representam os processos estocásticos com uma base experimental ideal da família de polinômios ortogonais de Askey que reduz a dimensão do sistema e lida com a convergência exponencial do erro. Esse novo método é chamado de polinômio de caos de Wiener-Askey ou expansão do polinômio de caos generalizado. Através de vários exemplos os autores mostram que diversos processos contínuos e discretos são resolvidos com maior rapidez quando comparado com as simulações de Monte Carlo para problemas estocásticos de baixa dimensão. Recentemente, é possível encontrar diversas pesquisas que versam sobre o método do polinômio de caos generalizado, sendo esse método uma técnica de não-amostragem que representa as incertezas como uma expansão que inclui a decomposição de coeficientes determinísticos em bases ortogonais aleatórias. Além disso, a expansão do polinômio de caos generalizado utiliza mais polinômios ortogonais como expansões da base em vários espaços aleatórios que não são, necessariamente, Gaussianos, como ocorrem no método do polinômio de caos clássico. A partir disso, Sepahvand et al. () fazem uma revisão dos métodos de quantificação de incerteza, apresentando a teoria e a construção do método, além de vários critérios de convergência da expansão do polinômio de caos. Os autores aplicam a expansão do polinômio de caos generalizado para identificar os parâmetros aleatórios com a função de densidade de probabilidade pré-definida. Novos conceitos de expansões ótimas e não-ótimas são definidos e é demonstrado como são desenvolvidas essas expansões para variáveis aleatórias pertencentes a diversos espaços aleatórios. O cálculo dos coeficientes polinomiais para os parâmetros aleatórios é feito utilizando diversos procedimentos como, por exemplo, a projeção de Galerkin, o método da colocação e o método do momento. Os autores discutem, para diversas variáveis aleatórias e processos aleatórios, a compreensão do erro e das análises precisas do método do polinômio de caos. O método é empregado a uma equação diferencial estocástica e observa-se precisão nos resultados obtidos e eficiência quanto ao tempo do A. F. Brazão Capítulo

29 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 8 procedimento de não-amostragem para parâmetros de incerteza do sistema estocástico em comparação com as técnicas de amostragem como, por exemplo, o método de simulação de Monte Carlo. Várias abordagens para discretizar as equações diferenciais parciais com parâmetros aleatórios são baseadas na expansão do polinômio de caos generalizado de variáveis aleatórias. Ernst et al. () estudam as condições das medidas de probabilidade não Gaussianas que implicam na convergência da variância da expansão do polinômio de caos generalizado e seus limites corretos. Exemplos mostram que a expansão do polinômio de caos generalizado apresenta convergência mais acelerada que a expansão do polinômio de caos clássico no contexto da aproximação do método de Galerkin Estocástico. Diversos trabalhos encontrados na literatura utilizam o polinômio de caos juntamente com o método de Galerkin Estocástico para resolver diversos problemas estocásticos como Silva Jr. e Beck () que utilizam o método de Galerkin Estocástico juntamente com o esquema de Askey-Wiener para obter soluções aproximadas da resposta do deslocamento estocástico de placas de Kirchhoff sob fundações de Winkler, sendo que as incertezas são analisadas na rigidez da placa e, posteriormente, na rigidez da fundação de Winkler. As incertezas são modeladas utilizando os polinômios de Legendre indexados na forma de variáveis aleatórias uniformes e apresentam uma correlação espacial com o plano da placa. Soluções aproximadas do método de Galerkin Estocástico são comparadas com os resultados obtidos a partir do método de simulação de Monte Carlo, em termos dos momentos de primeira e de segunda ordem e em termos dos histogramas das respostas do deslocamento. Observou-se uma rápida convergência da solução para a solução exata com ótima precisão. Os autores concluem que o método de Galerkin Estocástico em conjunto com o esquema de Askey-Wiener desenvolvido é apto a reproduzir o histograma da resposta do deslocamento. Novamente, Silva Jr. e Beck () utilizam o método de Galerkin Estocástico e o polinômio de caos para obter as soluções aproximadas do campo de deslocamentos transversais e angulares aleatórios de uma viga de Timoshenko. São analisados dois exemplos, sendo que o primeiro possui incerteza no módulo de elasticidade enquanto no segundo exemplo a incerteza está inserida na altura da seção transversal da viga, ambas as incertezas apresentam uma correlação espacial ao longo do comprimento da viga. O esquema numérico é construído respeitando as condições teóricas para existência e singularidade da solução. Além disso, o A. F. Brazão Capítulo

30 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 9 esquema desenvolvido nesse artigo aproxima com exatidão a função de distribuição acumulada completa das respostas dos deslocamentos, de modo que os resultados numéricos apresentam uma rápida convergência para a solução exata. Os autores concluem que o método de Galerkin, juntamente com o polinômio de caos desenvolvido no trabalho, é um método teoricamente sólido e eficiente para solução de problemas estocásticos na engenharia. Existem também trabalhos que utilizam o método de Galerkin juntamente com o polinômio de caos aplicados a problemas dinâmicos diversos, como Sepahvand et al. () que aplicam a expansão do polinômio de caos generalizado na análise estrutural modal estocástica com parâmetros aleatórios. Os autores revisam a teoria do polinômio de caos e apresentam uma formulação geral para representar os problemas modais através da expansão do polinômio de caos. Isso mostra que as frequências e as formas modais são influenciadas pelos parâmetros com incertezas. As principais questões que surgem na simulação do polinômio de caos da análise modal são discutidas no artigo através de dois exemplos, sendo o primeiro um sistema dinâmico discreto com dois graus de liberdade e o segundo uma analise modal de um microsensor. Em ambos os casos, a expansão do polinômio de caos é usada na aproximação dos parâmetros aleatórios, dos autovalores e dos autovetores. Observa-se a precisão e a eficiência quanto ao tempo do método na estimativa das respostas modais estocásticas quando comparado com as técnicas de amostragem, como o método de simulação de Monte Carlo. É possível encontrar na literatura trabalhos que tratam de problemas estocásticos estáticos não lineares aplicados a cascas cilíndricas, como é o caso do trabalho de Schenk e Schueller (3), que estuda o efeito das imperfeições geométricas aleatórias na carga limite de uma casca cilíndrica esbelta e isotrópica sob compressão axial determinística. O método dos elementos finitos é aplicado para a determinação do limite da carga. Já a técnica de simulação direta de Monte Carlo é usada para prever a dispersão do limite da carga observada nos experimentos físicos. As imperfeições geométricas aleatórias são modeladas como sendo bidimensionais e seguindo um processo estocástico Gaussiano, com características de momento de segunda ordem prescrita e baseada em um banco de dados de medições de imperfeições. Além disso, as imperfeições geométricas são representadas em termos da decomposição de Karhunen-Loéve. Schenk e Schueller (3) realizam uma análise não linear estática para a determinação do limite da carga, sendo que as previsões estatísticas no limite de carga coincidem A. F. Brazão Capítulo

31 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 3 razoavelmente bem com as atuais observações, particularmente tendo em vista as limitações dos dados disponíveis que refletem nos estimadores estatísticos. Os autores afirmam que uma malha de elementos finitos mais discretizada poderia reproduzir melhor a resposta da casca, porém é muito caro computacionalmente. Concluiu-se também que as imperfeições geométricas têm influencia significativa sobre o limite de carga em cascas cilíndricas. Papadopoulos et al. (9) apresentam um método computacional eficiente na análise de flambagem de cascas com imperfeições aleatórias. A metodologia proposta é baseada na aproximação linearizada da carga limite de flambagem da casca no contexto da simulação de Monte Carlo, usada para todas as estimativas da dispersão das cargas de flambagem. O método dos elementos finitos estocástico é utilizado para a análise da casca imperfeita, que apresenta desvios aleatórios em sua geometria quando comparada com a casca perfeita. A variação no espaço do módulo de elasticidade e da espessura da casca também são modeladas como variáveis aleatórias. Os resultados mostram que o uso do método proposto reduz drasticamente o esforço computacional envolvido em cada simulação de Monte Carlo, de modo que a implementação da análise estocástica em estruturas se torne acessível. Outro trabalho que também lida com análise de elemento finito estocástico é o de Stefanou e Papadrakakis (4), no qual os autores aplicam o método dos elementos finitos estocástico em estruturas de casca com incertezas combinadas tanto nas propriedades do material quanto na geometria. Para isso, eles apresentam uma formulação estocástica do elemento de casca com faceta composta triangular, TRIC, sendo que as incertezas estão presentes no módulo de elasticidade, no coeficiente de Poisson e na espessura da casca. Foram estudadas duas cascas, uma com forma cilíndrica e outra em forma de um hiperbolóide. Os autores realizam o estudo tomando como parâmetro a variabilidade do deslocamento e da tensão. Observa-se que a variação da aleatoriedade na espessura da casca tem efeito significativo na variabilidade do deslocamento quando comparado com o efeito do módulo de elasticidade. Já quando se compara a variação da aleatoriedade no módulo de elasticidade com o coeficiente de Poisson, a curva da variabilidade do deslocamento mostra o pequeno efeito do coeficiente de Poisson nos resultados. Por fim, observa-se que a variabilidade da tensão tem seu valor máximo quando o módulo de elasticidade e a espessura da casca estão variando simultaneamente. Stefanou () estuda o efeito da combinação das incertezas nas propriedades do material (módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson) e da geometria (espessura) na variabilidade A. F. Brazão Capítulo

32 D87E4: Aplicação do polinômio de Hermite-Caos para a determinação da carga de instabilidade... 3 da resposta de cascas cilíndricas, sendo os parâmetros aleatórios considerados não- Gaussianos. Para a formulação do problema utiliza-se a análise do elemento finito estocástico, já a variabilidade da resposta é calculada através do método de Monte Carlo. Observa-se que a distribuição de probabilidade marginal e a escala de correlação dos campos estocásticos utilizados para a descrição da variabilidade da espessura e do material afeta significativamente a resposta estatística da casca. Baseado nos resultados obtidos em seu trabalho, o autor conclui que o projeto de uma casca em um quadro determinístico pode ser perigoso visto que há uma significativa probabilidade de exceder a resposta determinística mesmo que para uma ligeira variação dos parâmetros aleatórios. Pesquisas experimentais que envolvem o estudo de cascas cilíndricas com incertezas em seus parâmetros também apresentam resultados relevantes, como é o caso do trabalho de Paor et al. (), que estuda a modelagem e a caracterização estatística de cascas cilíndricas com imperfeições geométricas aleatórias através de diversos experimentos físicos. Pequenos desvios da geometria nominal da casca podem afetar a carga de flambagem teórica, sendo um desvio comum o raio da casca que não é constante, variando aleatoriamente com a posição da casca. Dessa forma, os autores apresentam extensos dados experimentais que permitem a caracterização estatística completa de defeitos dessa natureza. Os dados são obtidos a partir de medições detalhadas de 39 amostras de cascas cilíndricas em escala laboratorial. Tanto as frequências quanto as amplitudes desse tipo de imperfeição foram quantificadas. Dos resultados obtidos, a distribuição da magnitude do desvio radial mostrou ser aproximadamente Gaussiana. Observa-se também que a variação do desvio radial na direção axial é independente da variação na direção circunferencial e que cada uma pode ser representada por funções de correlação separadas. Por fim, os autores utilizam o método de Monte Carlo para simular as aleatoriedades do sistema de forma que os resultados experimentais foram validados. Em se tratando de problemas dinâmicos tem-se a necessidade de utilizar a integração ao longo do tempo, e nesse tipo de análise, o polinômio de caos generalizado apresenta uma convergência não uniforme e tende a quebrar a integração em períodos longos. Isso ocorre pelo fato da distribuição de densidade de probabilidade da solução evoluir como uma função no tempo, de forma que um conjunto de polinômios ortogonais associados a uma distribuição inicial não será ótimo após certo tempo, causando a redução da eficiência do método em integrações de longo período. Ao observarem isso, Gerritsma et al. (), propõem um novo A. F. Brazão Capítulo

Introdução ao Método de Galerkin Estocástico

Introdução ao Método de Galerkin Estocástico Introdução ao Método de Galerkin Estocástico Americo Barbosa da Cunha Junior Departamento de Engenharia Mecânica Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 1 Introdução A dinâmica de um sistema

Leia mais

Introdução ao Método de Galerkin Estocástico

Introdução ao Método de Galerkin Estocástico Introdução ao Americo Barbosa da Cunha Junior Departamento de Engenharia Mecânica Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro americo.cunhajr@gmail.com 26 de julho de 2011 1 / 27 Sumário Introdução

Leia mais

Verificação e Resolução de problemas com Vibrações Mecânicas e Modelagem Numérica

Verificação e Resolução de problemas com Vibrações Mecânicas e Modelagem Numérica Verificação e Resolução de problemas com Vibrações Mecânicas e Modelagem Numérica Marcos Geraldo S. Diretor da MGS Jánes Landre Júnior Prof. Depto. Engenharia Mecânica, PUC-Minas 1 - Introdução O setor

Leia mais

Efeitos dinâmicos do Vento em Edifícios Altos. Byl Farney Rodrigues da CUNHA JR¹; Frederico Martins Alves da SILVA²;

Efeitos dinâmicos do Vento em Edifícios Altos. Byl Farney Rodrigues da CUNHA JR¹; Frederico Martins Alves da SILVA²; Efeitos dinâmicos do Vento em Edifícios Altos Byl Farney Rodrigues da CUNHA JR¹; Frederico Martins Alves da SILVA²; 3 Zenón José Guzmán Nuñez DEL PRADO 1,2,3 Escola de Engenharia Civil UFG 1 farneyjr@hotmail.com,

Leia mais

Análise numérica de fundações diretas de aerogeradores Carlos A. Menegazzo Araujo, Dr. 1, André Puel, Msc 2, Anderson Candemil 3

Análise numérica de fundações diretas de aerogeradores Carlos A. Menegazzo Araujo, Dr. 1, André Puel, Msc 2, Anderson Candemil 3 Análise numérica de fundações diretas de aerogeradores Carlos A. Menegazzo Araujo, Dr. 1, André Puel, Msc 2, Anderson Candemil 3 1 MENEGAZZO Projeto e Consultoria Ltda / carlos.menegazzo@gmail.com 2 IFSC

Leia mais

CÁLCULO DE INCERTEZA EM ENSAIO DE TRAÇÃO COM OS MÉTODOS DE GUM CLÁSSICO E DE MONTE CARLO

CÁLCULO DE INCERTEZA EM ENSAIO DE TRAÇÃO COM OS MÉTODOS DE GUM CLÁSSICO E DE MONTE CARLO ENQUALAB-28 Congresso da Qualidade em Metrologia Rede Metrológica do Estado de São Paulo - REMESP 9 a 2 de junho de 28, São Paulo, Brasil CÁLCULO DE INCERTEZA EM ENSAIO DE TRAÇÃO COM OS MÉTODOS DE GUM

Leia mais

Como escrever um bom RELATÓRIO

Como escrever um bom RELATÓRIO Como escrever um bom RELATÓRIO Mas o que é uma EXPERIÊNCIA? e um RELATÓRIO? Profa. Ewa W. Cybulska Profa. Márcia R. D. Rodrigues Experiência Relatório Pergunta à Natureza e a procura da Resposta Divulgação

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DA ADERÊNCIA ENTRE AÇO E CONCRETO ENSAIO PULL-OUT TEST

ANÁLISE NUMÉRICA DA ADERÊNCIA ENTRE AÇO E CONCRETO ENSAIO PULL-OUT TEST ANÁLISE NUMÉRICA DA ADERÊNCIA ENTRE AÇO E CONCRETO ENSAIO PULL-OUT TEST Julia Rodrigues Faculdade de Engenharia Civil CEATEC julia.r1@puccamp.edu.br Nádia Cazarim da Silva Forti Tecnologia do Ambiente

Leia mais

1 Introdução. 1.1 Considerações gerais

1 Introdução. 1.1 Considerações gerais 1 Introdução 1.1 Considerações gerais Treliças espaciais abatidas pertencem a um grupo de estruturas comumente utilizadas para vencer grandes vãos. Estas estruturas, tais quais cascas, arcos e estruturas

Leia mais

Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Engenharia Mecânica

Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Engenharia Mecânica Analise de Tensões em Perfil Soldado Comparação de Resultados em Elementos Finitos Aluno: Rafael Salgado Telles Vorcaro Registro:

Leia mais

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras

Leia mais

1 INTRODUÇÃO. 1.1. Considerações Gerais.

1 INTRODUÇÃO. 1.1. Considerações Gerais. 1 INTRODUÇÃO. 1.1. Considerações Gerais. Uma das vantagens de utilizar as estruturas esbeltas tais como treliças, cascas ou arcos é a sua alta rigidez por unidade de peso. Assim, estes elementos estruturais

Leia mais

Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação

Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação Laboratório da Disciplina CTA-147 Controle I Análise da Resposta Transitória (Este laboratório foi uma adaptação

Leia mais

Dinâmica não-linear de placas retangulares

Dinâmica não-linear de placas retangulares Dinâmica não-linear de placas retangulares Flávio Augusto Xavier Carneiro Pinho 1,a, Frederico Martins Alves da Silva 2,b Universidade Federal de Goiás, 74605-220, Brasil a flavio_augusto1@hotmail.com,

Leia mais

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente: Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas

Leia mais

MDF: Conceitos Básicos e algumas Aplicações na Engenharia Estrutural

MDF: Conceitos Básicos e algumas Aplicações na Engenharia Estrutural Universidade Federal de São João Del-Rei MG 6 a 8 de maio de 00 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia MDF: Conceitos Básicos e algumas Aplicações na Engenharia Estrutural L. R.

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

Estimativa de Parâmetros de Argilas Moles a partir dos Conceitos de Energia do Ensaio SPT

Estimativa de Parâmetros de Argilas Moles a partir dos Conceitos de Energia do Ensaio SPT Estimativa de Parâmetros de Argilas Moles a partir dos Conceitos de Energia do Ensaio SPT Bianca de Oliveira Lobo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre/RS, Brasil. Julia Luiza

Leia mais

Análise não-linear com elementos de interface de alvenaria de blocos de concreto à compressão

Análise não-linear com elementos de interface de alvenaria de blocos de concreto à compressão BE Encontro Nacional Betão Estrutural Guimarães 5,, 7 de Novembro de Análise não-linear com elementos de interface de alvenaria de blocos de concreto à compressão Gihad Mohamad 1 Paulo Brandão Lourenço

Leia mais

5. EXEMPLOS NUMÉRICOS: ANÁLISE ESTRUTURAL DINÂMICA

5. EXEMPLOS NUMÉRICOS: ANÁLISE ESTRUTURAL DINÂMICA 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS: ANÁLISE ESTRUTURAL DINÂMICA 5.1 INTRODUÇÃO Este capítulo apresenta a aplicação dos procedimentos numéricos apresentados no Capítulo 4 na solução de problemas de vibração livre e

Leia mais

Fábio Jorge Dias Machado. Análise e Controle Passivo das Vibrações de Placas Retangulares. Dissertação de Mestrado

Fábio Jorge Dias Machado. Análise e Controle Passivo das Vibrações de Placas Retangulares. Dissertação de Mestrado Fábio Jorge Dias Machado Análise e Controle Passivo das Vibrações de Placas Retangulares Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa

Leia mais

AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL

AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL Documento(s) Orientador(es): Programa de Física 12.º ano homologado em 21/10/2004 ENSINO SECUNDÁRIO FÍSICA 12.º ANO TEMAS/DOMÍNIOS

Leia mais

Considerações Finais. Capítulo 8. 8.1- Principais conclusões

Considerações Finais. Capítulo 8. 8.1- Principais conclusões Considerações Finais Capítulo 8 Capítulo 8 Considerações Finais 8.1- Principais conclusões Durante esta tese foram analisados diversos aspectos relativos à implementação, análise e optimização de sistema

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT CURSO DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT CURSO DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT CURSO DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO COMPUTER AIDED ENGINEERING - CAE FABIANO RAMOS DOS SANTOS SERGIO DA COSTA FERREIRA

Leia mais

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO, OBJETIVOS, JUSTIFICATIVAS E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO, OBJETIVOS, JUSTIFICATIVAS E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO, OBJETIVOS, JUSTIFICATIVAS E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 1.1 - INTRODUÇÃO Com o aumento da demanda de serviços de tecnologia e também buscando atender às necessidades atuais do progresso

Leia mais

A avaliação da incerteza do tipo B. Segundo o Guia para Expressão da Incerteza na Medição (Joint Commitee for Guides

A avaliação da incerteza do tipo B. Segundo o Guia para Expressão da Incerteza na Medição (Joint Commitee for Guides A avaliação da incerteza do tipo B Segundo o Guia para Expressão da Incerteza na Medição (Joint Commitee for Guides in Metrology, 2008a), em condições ideais, todas as incertezas em laboratório seriam

Leia mais

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO EDITAL COMPLENTAR N 001 AO EDITAL N 003/2012 UNAT A, no uso de suas atribuições legais e em cumprimento das normas previstas no artigo 37, inciso IX, da Constituição Federal, de 5 de outubro de 1988, Decreto

Leia mais

Introdução à Simulação

Introdução à Simulação Introdução à Simulação O que é simulação? Wikipedia: Simulação é a imitação de alguma coisa real ou processo. O ato de simular algo geralmente consiste em representar certas características e/ou comportamentos

Leia mais

6 Construção de Cenários

6 Construção de Cenários 6 Construção de Cenários Neste capítulo será mostrada a metodologia utilizada para mensuração dos parâmetros estocásticos (ou incertos) e construção dos cenários com respectivas probabilidades de ocorrência.

Leia mais

Processos em Engenharia: Modelagem Matemática de Sistemas Fluídicos

Processos em Engenharia: Modelagem Matemática de Sistemas Fluídicos Processos em Engenharia: Modelagem Matemática de Sistemas Fluídicos Prof. Daniel Coutinho coutinho@das.ufsc.br Departamento de Automação e Sistemas DAS Universidade Federal de Santa Catarina UFSC DAS 5101

Leia mais

Curso de Engenharia Civil. Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil CAPÍTULO 6: TORÇÃO

Curso de Engenharia Civil. Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil CAPÍTULO 6: TORÇÃO Curso de Engenharia Civil Universidade Estadual de Maringá Centro de ecnologia Departamento de Engenharia Civil CPÍULO 6: ORÇÃO Revisão de Momento orçor Convenção de Sinais: : Revisão de Momento orçor

Leia mais

Simulação Transiente

Simulação Transiente Tópicos Avançados em Avaliação de Desempenho de Sistemas Professores: Paulo Maciel Ricardo Massa Alunos: Jackson Nunes Marco Eugênio Araújo Dezembro de 2014 1 Sumário O que é Simulação? Áreas de Aplicação

Leia mais

ANÁLISE ESTRUTURAL DE CHASSIS DE VEÍCULOS PESADOS COM BASE NO EMPREGO DO PROGRAMA ANSYS

ANÁLISE ESTRUTURAL DE CHASSIS DE VEÍCULOS PESADOS COM BASE NO EMPREGO DO PROGRAMA ANSYS ANÁLISE ESTRUTURAL DE CHASSIS DE VEÍCULOS PESADOS COM BASE NO EMPREGO DO PROGRAMA ANSYS José Guilherme Santos da Silva, Francisco José da Cunha Pires Soeiro, Gustavo Severo Trigueiro, Marcello Augustus

Leia mais

11/07/2012. Professor Leonardo Gonsioroski FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA.

11/07/2012. Professor Leonardo Gonsioroski FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Aulas anteriores Tipos de Sinais (degrau, rampa, exponencial, contínuos, discretos) Transformadas de Fourier e suas

Leia mais

2 a Prova de EDI-49 Concreto Estrutural II Prof. Flávio Mendes Junho de 2012 Duração prevista: até 4 horas.

2 a Prova de EDI-49 Concreto Estrutural II Prof. Flávio Mendes Junho de 2012 Duração prevista: até 4 horas. 2 a Prova de EDI-49 Concreto Estrutural II Prof. Flávio Mendes Junho de 212 Duração prevista: até 4 horas. Esta prova tem oito (8) questões e três (3) laudas. Consulta permitida somente ao formulário básico.

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

LCAD. Introdução ao Curso de Métodos Numéricos I. LCAD - Laboratório de Computação de Alto Desempenho

LCAD. Introdução ao Curso de Métodos Numéricos I. LCAD - Laboratório de Computação de Alto Desempenho LCAD - Laboratório de Computação de Alto Desempenho LCAD Introdução ao Curso de Métodos Numéricos I Lucia Catabriga Departamento de Informática CT/UFES Processo de Solução Fenômeno Natural Modelo Matemático

Leia mais

Correlação Canônica. Outubro / 1998. Versão preliminar. Fabio Vessoni. fabio@mv2.com.br (011) 30642254. MV2 Sistemas de Informação

Correlação Canônica. Outubro / 1998. Versão preliminar. Fabio Vessoni. fabio@mv2.com.br (011) 30642254. MV2 Sistemas de Informação Correlação Canônica Outubro / 998 Versão preliminar Fabio Vessoni fabio@mv.com.br (0) 306454 MV Sistemas de Informação Introdução Existem várias formas de analisar dois conjuntos de dados. Um dos modelos

Leia mais

ANÁLISE DE TENSÕES ELASTO-PLÁSTICA DE UMA DEFORMAÇÃO PERMANENTE (MOSSA) EM UM DUTO. Fátima Maria Nogueira de Souza SOFTEC Software Technology Ltda

ANÁLISE DE TENSÕES ELASTO-PLÁSTICA DE UMA DEFORMAÇÃO PERMANENTE (MOSSA) EM UM DUTO. Fátima Maria Nogueira de Souza SOFTEC Software Technology Ltda ANÁLISE DE TENSÕES ELASTO-PLÁSTICA DE UMA DEFORMAÇÃO PERMANENTE (MOSSA) EM UM DUTO Fátima Maria Nogueira de Souza SOFTEC Software Technology Ltda Marcello Augustus Ramos Roberto SOFTEC Software Technology

Leia mais

Introdução ao Método dos Elementos Finitos Conceitos Iniciais Divisão do Domínio e Funções de Base Aplicação do Método dos Resíduos Ponderados ao

Introdução ao Método dos Elementos Finitos Conceitos Iniciais Divisão do Domínio e Funções de Base Aplicação do Método dos Resíduos Ponderados ao Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Educação Tutorial Autor: Bruno Pinho Meneses Orientadores: Janailson Rodrigues Lima Prof. Dr. Ricardo

Leia mais

FÁBRICAS DE CIMENTO. Engº Afonso Archilla Engº Sergio Stolovas

FÁBRICAS DE CIMENTO. Engº Afonso Archilla Engº Sergio Stolovas FÁBRICAS DE CIMENTO Engº Afonso Archilla Engº Sergio Stolovas FÁBRICAS DE CIMENTO 1- DADOS DE PRODUÇÃO e CONSUMO FÁBRICAS DE CIMENTO 2 FUNCIONAMENTO DE UMA FÁBRICA DE CIMENTO BRITADOR PRE HOMOGENIZAÇÃO

Leia mais

RELATÓRIO TÉCNICO ARGOPAR PARTICIPAÇÔES LTDA FUNDAÇÕES ITABORAÍ SHOPPING ITABORAÍ - RJ ÍNDICE DE REVISÕES

RELATÓRIO TÉCNICO ARGOPAR PARTICIPAÇÔES LTDA FUNDAÇÕES ITABORAÍ SHOPPING ITABORAÍ - RJ ÍNDICE DE REVISÕES CLIENTE: FOLHA 1 de 17 PROGRAMA: FUNDAÇÕES AREA: ITABORAÍ SHOPPING ITABORAÍ - RJ RESP: SILIO LIMA CREA: 2146/D-RJ Nº GEOINFRA ÍNDICE DE REVISÕES REV DESCRIÇÃO E / OU FOLHAS ATINGIDAS Emissão inicial DATA

Leia mais

AGRUPAMENTO DE CLARA DE RESENDE COD. 346 779 COD. 152 870

AGRUPAMENTO DE CLARA DE RESENDE COD. 346 779 COD. 152 870 CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE AVALIAÇÃO ( Aprovados em Conselho Pedagógico de 21 de Outubro de 2014) No caso específico da disciplina de FÍsica, do 12ºano de escolaridade, a avaliação incidirá ainda ao nível

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA Pesquisa Operacional Tópico 4 Simulação Rosana Cavalcante de Oliveira, Msc rosanacavalcante@gmail.com

Leia mais

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL CONCEITOS BÁSICOS APLICAÇÕES

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL CONCEITOS BÁSICOS APLICAÇÕES LUIZ CLAUDIO BENCK KEVIN WONG TAMARA CANDIDO DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL CONCEITOS BÁSICOS APLICAÇÕES Trabalho apresentado para avaliação na disciplina de Estatística e Métodos Numéricos do Curso de Administração

Leia mais

Introdução. 1. Generalidades. Para o aço estrutural. Definição

Introdução. 1. Generalidades. Para o aço estrutural. Definição Introdução Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil PGECIV - Mestrado Acadêmico Faculdade de Engenharia FEN/UERJ Disciplina: Tópicos Especiais em Estruturas (Chapa Dobrada) Professor: Luciano Rodrigues

Leia mais

ANÁLISE ESTRUTURAL DE RIPAS PARA ENGRADAMENTO METÁLICO DE COBERTURAS

ANÁLISE ESTRUTURAL DE RIPAS PARA ENGRADAMENTO METÁLICO DE COBERTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL DE RIPAS PARA ENGRADAMENTO METÁLICO DE COBERTURAS Leandro de Faria Contadini 1, Renato Bertolino Junior 2 1 Eng. Civil, UNESP-Campus de Ilha Solteira 2 Prof. Titular, Depto de Engenharia

Leia mais

3 Espectroscopia no Infravermelho 3.1. Princípios Básicos

3 Espectroscopia no Infravermelho 3.1. Princípios Básicos 3 Espectroscopia no Infravermelho 3.1. Princípios Básicos A espectroscopia estuda a interação da radiação eletromagnética com a matéria, sendo um dos seus principais objetivos o estudo dos níveis de energia

Leia mais

Figura 7.20 - Vista frontal dos vórtices da Figura 7.18. Vedovoto et al. (2006).

Figura 7.20 - Vista frontal dos vórtices da Figura 7.18. Vedovoto et al. (2006). 87 Figura 7.20 - Vista frontal dos vórtices da Figura 7.18. Vedovoto et al. (2006). Figura 7.21 - Resultado qualitativo de vórtices de ponta de asa obtidos por Craft et al. (2006). 88 A visualização do

Leia mais

MODELAGEM E SIMULAÇÃO

MODELAGEM E SIMULAÇÃO MODELAGEM E SIMULAÇÃO Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza edwin@engenharia-puro.com.br www.engenharia-puro.com.br/edwin Como Funciona a Simulação Introdução Assim como qualquer programa de computador,

Leia mais

4. Metodologia. Capítulo 4 - Metodologia

4. Metodologia. Capítulo 4 - Metodologia Capítulo 4 - Metodologia 4. Metodologia Neste capítulo é apresentada a metodologia utilizada na modelagem, estando dividida em duas seções: uma referente às tábuas de múltiplos decrementos, e outra referente

Leia mais

SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO-PROPORCIONAL NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO-PROPORCIONAL NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO-PROPORCIONAL NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA Zacarias Martin Chamberlain Pravia Professor - Faculdade de Engenharia e Arquitetura - Universidade de Passo Fundo/UFP zacarias@upf.br

Leia mais

PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE FÍSICA 12º ANO Ano lectivo 2015/2016

PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE FÍSICA 12º ANO Ano lectivo 2015/2016 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS JOSÉ BELCHIOR VIEGAS PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE FÍSICA 12º ANO Ano lectivo 2015/2016 Competências Gerais Conteúdos programáticos /Temas Objectivos Gerais Aulas Previstas (blocos

Leia mais

1 Fibra Óptica e Sistemas de transmissão ópticos

1 Fibra Óptica e Sistemas de transmissão ópticos 1 Fibra Óptica e Sistemas de transmissão ópticos 1.1 Introdução Consiste em um guia de onda cilíndrico, conforme ilustra a Figura 1, formado por núcleo de material dielétrico (em geral vidro de alta pureza),

Leia mais

CAPITULO 1 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS TÉRMICAS 1.1 CIÊNCIAS TÉRMICAS

CAPITULO 1 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS TÉRMICAS 1.1 CIÊNCIAS TÉRMICAS CAPITULO 1 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS TÉRMICAS 1.1 CIÊNCIAS TÉRMICAS Este curso se restringirá às discussões dos princípios básicos das ciências térmicas, que são normalmente constituídas pela termodinâmica,

Leia mais

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 69 Roteiro 1 Modelo Não-Linear Modelo

Leia mais

O caso estacionário em uma dimensão

O caso estacionário em uma dimensão O caso estacionário em uma dimensão A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo. objetivos verificar que, no caso de o potencial ser independente

Leia mais

ANÁLISE TRIDIMENSIONAL DA VELOCIDADE E PRESSÃO ESTATÍSCA DO AR EM SILO DE AERAÇÃO USANDO ELEMENTOS FINITOS RESUMO ABSTRACT 1.

ANÁLISE TRIDIMENSIONAL DA VELOCIDADE E PRESSÃO ESTATÍSCA DO AR EM SILO DE AERAÇÃO USANDO ELEMENTOS FINITOS RESUMO ABSTRACT 1. ANÁLISE TRIDIMENSIONAL DA VELOCIDADE E PRESSÃO ESTATÍSCA DO AR EM SILO DE AERAÇÃO USANDO ELEMENTOS FINITOS RESUMO EDUARDO VICENTE DO PRADO 1 DANIEL MARÇAL DE QUEIROZ O método de análise por elementos finitos

Leia mais

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DINÂMICA DE ROTORES FLEXÍVEIS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. Luiz Fellipe Nogueirão e Flávio Yukio Watanabe

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DINÂMICA DE ROTORES FLEXÍVEIS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. Luiz Fellipe Nogueirão e Flávio Yukio Watanabe XIX Congresso Nacional de Estudantes de Engenharia Mecânica - 13 a 17/08/2012 - São Carlos-SP Artigo CREEM2012 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DINÂMICA DE ROTORES FLEXÍVEIS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Luiz

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 4 Faraday Lenz Henry Weber Maxwell Oersted Conteúdo 4 - Capacitores e Indutores...1 4.1 - Capacitores...1 4.2 - Capacitor

Leia mais

Elementos Finitos. Professor: Evandro Parente Jr. Período: 2009/1

Elementos Finitos. Professor: Evandro Parente Jr. Período: 2009/1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL: ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL Elementos Finitos Professor: Evandro

Leia mais

Determinação dos Módulos de Armazenagem e de Perda de Materiais Viscoelásticos - Padrão ASTM

Determinação dos Módulos de Armazenagem e de Perda de Materiais Viscoelásticos - Padrão ASTM Universidade Federal de São João Del-Rei MG 6 a 8 de maio de 010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Determinação dos Módulos de Armazenagem e de Perda de Materiais Viscoelásticos

Leia mais

MIEC MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2014/2015 PROPOSTA DE TEMAS PARA DISSERTAÇÃO RAMO DE ESPECIALIZAÇÃO/ ÁREA CIENTÍFICA: ESTRUTURAS

MIEC MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2014/2015 PROPOSTA DE TEMAS PARA DISSERTAÇÃO RAMO DE ESPECIALIZAÇÃO/ ÁREA CIENTÍFICA: ESTRUTURAS 1 EST1 AVALIAÇÃO DA CAPACIDADE DE DEFORMAÇÃO DE ELEMENTOS TUBULARES EM AÇO José Miguel Castro CO Um dos passos essenciais no processo de avaliação da segurança sísmica de estruturas consiste na comparação

Leia mais

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC-Rio. CIV 1111 Sistemas Estruturais na Arquitetura I

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC-Rio. CIV 1111 Sistemas Estruturais na Arquitetura I Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC-Rio CIV 1111 Sistemas Estruturais na Arquitetura I Profa. Elisa Sotelino Prof. Luiz Fernando Martha Propriedades de Materiais sob Tração Objetivos

Leia mais

SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE VIGA UNIDIMENSIONAL VIA SOFTWARE CATIA COMPUTER SIMULATION OF ONE-DIMENSIONAL BEAM BY SOFTWARE CATIA

SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE VIGA UNIDIMENSIONAL VIA SOFTWARE CATIA COMPUTER SIMULATION OF ONE-DIMENSIONAL BEAM BY SOFTWARE CATIA SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE VIGA UNIDIMENSIONAL VIA SOFTWARE CATIA Edgar Della Giustina (1) (edgar.giustina@pr.senai.br), Luis Carlos Machado (2) (luis.machado@pr.senai.br) (1) Faculdade de Tecnologia

Leia mais

Modelagem e Simulação Material 02 Projeto de Simulação

Modelagem e Simulação Material 02 Projeto de Simulação Modelagem e Simulação Material 02 Projeto de Simulação Prof. Simão Sirineo Toscani Projeto de Simulação Revisão de conceitos básicos Processo de simulação Etapas de projeto Cuidados nos projetos de simulação

Leia mais

Universidade Federal do Paraná

Universidade Federal do Paraná Universidade Federal do Paraná Programa de pós-graduação em engenharia de recursos hídricos e ambiental TH705 Mecânica dos fluidos ambiental II Prof. Fernando Oliveira de Andrade Problema do fechamento

Leia mais

Francisco Rogério Teixeira do Nascimento CÁLCULO DE CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS COM PRECISÃO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Francisco Rogério Teixeira do Nascimento CÁLCULO DE CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS COM PRECISÃO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Francisco Rogério Teixeira do Nascimento CÁLCULO DE CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS COM PRECISÃO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dissertação submetida ao programa de Pós Graduação em Ciência e Tecnologia

Leia mais

ÍNDICE DO LIVRO CÁLCULO E DESENHO DE CONCRETO ARMADO autoria de Roberto Magnani SUMÁRIO LAJES

ÍNDICE DO LIVRO CÁLCULO E DESENHO DE CONCRETO ARMADO autoria de Roberto Magnani SUMÁRIO LAJES ÍNDICE DO LIVRO CÁLCULO E DESENHO DE CONCRETO ARMADO autoria de Roberto Magnani SUMÁRIO LAJES 2. VINCULAÇÕES DAS LAJES 3. CARREGAMENTOS DAS LAJES 3.1- Classificação das lajes retangulares 3.2- Cargas acidentais

Leia mais

3 Método de Monte Carlo

3 Método de Monte Carlo 25 3 Método de Monte Carlo 3.1 Definição Em 1946 o matemático Stanislaw Ulam durante um jogo de paciência tentou calcular as probabilidades de sucesso de uma determinada jogada utilizando a tradicional

Leia mais

Universidade Federal de Goiás (CMEC/EEC/UFG), ds.andrade@hotmail.com; 2 Professor Titular do CMEC/EEC/UFG, epazini@eec.ufg.br

Universidade Federal de Goiás (CMEC/EEC/UFG), ds.andrade@hotmail.com; 2 Professor Titular do CMEC/EEC/UFG, epazini@eec.ufg.br CORRELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE DA ONDA ULTRASSÔNICA E A RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO E O MÓDULO DE DEFORMAÇÃO DE TESTEMUNHOS DE CONCRETO EXTRAÍDOS DE UMA ESTRUTURA DE 60 ANOS: ESTUDO DE CASO DO ESTÁDIO MARACANÃ

Leia mais

Método de Monte Carlo e ISO

Método de Monte Carlo e ISO Método de Monte Carlo e ISO GUM para cálculo l de incerteza Prof. Dr. Antonio Piratelli Filho Universidade de Brasilia (UnB) Faculdade de Tecnologia Depto. Engenharia Mecânica 1 Introdução: Erro x incerteza

Leia mais

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação BC-0005 Bases Computacionais da Ciência Aula 8 Modelagem e simulação Santo André, julho de 2010 Roteiro da Aula Modelagem O que é um modelo? Tipos de modelos Simulação O que é? Como pode ser feita? Exercício:

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

3 Configurações para realização do transformador de impedância em linha de transmissão planar 3.1.Introdução

3 Configurações para realização do transformador de impedância em linha de transmissão planar 3.1.Introdução 3 Configurações para realização do transformador de impedância em linha de 3.1.Introdução Neste capítulo serão apresentadas diversas configurações que possibil itam a realização do transformador de impedância

Leia mais

Observação do Contato Concreto-Solo da Ponta de Estacas Hélice Contínua

Observação do Contato Concreto-Solo da Ponta de Estacas Hélice Contínua Observação do Contato Concreto-Solo da Ponta de Estacas Hélice Contínua Rubenei Novais Souza Petrobras S/A Rio de Janeiro - Brasil RESUMO: O trabalho apresenta uma verificação expedita realizada em uma

Leia mais

Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Departamento de Matemática balsa@ipb.pt Mestrados em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação em Engenharia 1 o

Leia mais

MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES À ECONOMIA

MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES À ECONOMIA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES À ECONOMIA PAULO, João Pedro Antunes de Universidade Estadual de Goiás UnU de Iporá jpadepaula@hotmail.com RESUMO Esta pesquisa foi feita

Leia mais

CIRCUITO PARA MEDIÇÃO DE CORRENTES ELEVADAS

CIRCUITO PARA MEDIÇÃO DE CORRENTES ELEVADAS UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INSTRUMENTAÇÃO ELETRÔNICA PROFESSOR: LUCIANO FONTES CAVALCANTI CIRCUITO PARA MEDIÇÃO DE

Leia mais

4 Análise experimental

4 Análise experimental 4 Análise experimental No estudo do comportamento de membranas de materiais hiperelásticos há a necessidade de se escolher leis constitutivas que descrevam da melhor forma possível as propriedades do material.

Leia mais

LEI DE OHM. Professor João Luiz Cesarino Ferreira. Conceitos fundamentais

LEI DE OHM. Professor João Luiz Cesarino Ferreira. Conceitos fundamentais LEI DE OHM Conceitos fundamentais Ao adquirir energia cinética suficiente, um elétron se transforma em um elétron livre e se desloca até colidir com um átomo. Com a colisão, ele perde parte ou toda energia

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ESTRUTURAS DE MADEIRA

EXERCÍCIOS DE ESTRUTURAS DE MADEIRA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL,ARQUITETURA E URBANISMO Departamento de Estruturas EXERCÍCIOS DE ESTRUTURAS DE MADEIRA RAFAEL SIGRIST PONTES MARTINS,BRUNO FAZENDEIRO DONADON

Leia mais

Resistência dos Materiais I

Resistência dos Materiais I Resistência dos Materiais I Profa. Patrícia Habib Hallak Prof Afonso Lemonge 3º. Período de 2012 Aspectos gerais do curso Objetivos Gerais Fornecer ao aluno conhecimentos básicos das propriedades mecânicas

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas. Aula 04 Prof. Valner Brusamarello

Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas. Aula 04 Prof. Valner Brusamarello Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas Aula 04 Prof. Valner Brusamarello Incerteza - GUM O Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM) estabelece regras gerais para avaliar

Leia mais

A INTEGRAÇÃO ENTRE ESTATÍSTICA E METROLOGIA

A INTEGRAÇÃO ENTRE ESTATÍSTICA E METROLOGIA A INTEGRAÇÃO ENTRE ESTATÍSTICA E METROLOGIA João Cirilo da Silva Neto jcirilo@araxa.cefetmg.br. CEFET-MG-Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais-Campus IV, Araxá Av. Ministro Olavo Drumonnd,

Leia mais

Análise Dinâmica da Estrutura de um Estádio de Futebol

Análise Dinâmica da Estrutura de um Estádio de Futebol Análise Dinâmica da Estrutura de um Estádio de Futebol Débora Cardoso dos Santos 1, Sergio Hampshire C. Santos 2, Rodrigo G. Martins 3 1 Eng. Civil / Casagrande Engenharia/ PPE/UFRJ / deborac_santos@poli.ufrj.br

Leia mais

XII SIMPÓSIO DE RECURSOS HIDRÍCOS DO NORDESTE

XII SIMPÓSIO DE RECURSOS HIDRÍCOS DO NORDESTE XII SIMPÓSIO DE RECURSOS HIDRÍCOS DO NORDESTE ESTUDO DO COMPORTAMENTO DA LINHA D ÁGUA EM UMA SEÇÃO DE TRANSIÇÃO DE UM CANAL COM MOVIMENTO GRADUALMENTE VARIADO, EM FUNÇÃO DA DECLIVIDADE DOS TALUDES. Rejane

Leia mais

AVALIAÇÃO TEÓRICA-EXPERIMENTAL DO DESEMPENHO ESTRUTURAL DE PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO

AVALIAÇÃO TEÓRICA-EXPERIMENTAL DO DESEMPENHO ESTRUTURAL DE PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO AVALIAÇÃO TEÓRICA-EXPERIMENTAL DO DESEMPENHO ESTRUTURAL DE PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO Eduardo M. Batista (1) ; Elaine G. Vazquez (2) ; Elaine Souza dos Santos (3) (1) Programa de Engenharia Civil, COPPE,

Leia mais

Uma aplicação dos modelos de fronteira estocástica utilizando a abordagem Bayesiana

Uma aplicação dos modelos de fronteira estocástica utilizando a abordagem Bayesiana Uma aplicação dos modelos de fronteira estocástica utilizando a abordagem Bayesiana Bruna Cristina Braga 1 2 Juliana Garcia Cespedes 1 1 Introdução Os cursos de pós-graduação do Brasil são avaliados pela

Leia mais

Projeto: Formas Diferenciais Aplicadas a Problemas Eletrostáticos e Magnetostáticos

Projeto: Formas Diferenciais Aplicadas a Problemas Eletrostáticos e Magnetostáticos Área: ENGENHARIAS E CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Projeto: Formas Diferenciais Aplicadas a Problemas Eletrostáticos e Magnetostáticos Autores: NOME DO BOLSISTA: CAIO SALAZAR ALMEIDA NAZARETH - BIC/UFJF NOME DO

Leia mais

Além do Modelo de Bohr

Além do Modelo de Bohr Além do Modelo de Bor Como conseqüência do princípio de incerteza de Heisenberg, o conceito de órbita não pode ser mantido numa descrição quântica do átomo. O que podemos calcular é apenas a probabilidade

Leia mais

2 Estudo dos Acoplamentos

2 Estudo dos Acoplamentos 24 2 Estudo dos Acoplamentos Um problema acoplado é aquele em que dois ou mais sistemas físicos interagem entre si e cujo acoplamento pode ocorrer através de diferentes graus de interação (Zienkiewicz

Leia mais

Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo de campo elétrico que passa através de uma superfície fechada com a carga elétrica que

Leia mais

Capítulo 3 Propriedades Mecânicas dos Materiais

Capítulo 3 Propriedades Mecânicas dos Materiais Capítulo 3 Propriedades Mecânicas dos Materiais 3.1 O ensaio de tração e compressão A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa

Leia mais

ESTUDO DA FOLGA PRESENTE NA TRANSMISSÃO MECÂNICA DE ROBÔS COM ACIONAMENTO ELÉTRICO 1

ESTUDO DA FOLGA PRESENTE NA TRANSMISSÃO MECÂNICA DE ROBÔS COM ACIONAMENTO ELÉTRICO 1 ESTUDO DA FOLGA PRESENTE NA TRANSMISSÃO MECÂNICA DE ROBÔS COM ACIONAMENTO ELÉTRICO 1 Angelo Fernando Fiori 2, Ismael Barbieri Garlet 3, Antonio Carlos Valdiero 4, Luiz Antonio Rasia 5, Leonardo Bortolon

Leia mais

Tutorial de Viga: Ansys - Beam3

Tutorial de Viga: Ansys - Beam3 Tutorial de Viga: Ansys - Beam3 Primeiramente vamos iniciar o tutorial apresentando uma visão geral do software Ansys, ao abri-lo (click em Ansys11 e Ansys) a seguinte tela é mostrada: Nesse curso focaremos

Leia mais

Propagação de distribuições pelo método de Monte Carlo

Propagação de distribuições pelo método de Monte Carlo Sumário Propagação de distribuições pelo método de Monte Carlo João Alves e Sousa Avaliação de incertezas pelo GUM Propagação de distribuições O método de Monte Carlo Aplicação a modelos de medição por

Leia mais

COMPARAÇÃO DE CÁLCULOS ANALÍTICOS COM ELEMENTOS FINITOS DE VIGAS COMPOSTAS

COMPARAÇÃO DE CÁLCULOS ANALÍTICOS COM ELEMENTOS FINITOS DE VIGAS COMPOSTAS COMPARAÇÃO DE CÁLCULOS ANALÍTICOS COM ELEMENTOS FINITOS DE VIGAS COMPOSTAS Benedito Rabelo de Moura Junior 1, Denis da Silva Ponzo 2, Júlio César Moraes 3, Leandro Aparecido dos Santos 4, Vagner Luiz Silva

Leia mais

Ajuste dos Parâmetros de um Controlador PI em uma Coluna de Destilação Binária

Ajuste dos Parâmetros de um Controlador PI em uma Coluna de Destilação Binária Ajuste dos Parâmetros de um Controlador PI em uma Coluna de Destilação Binária Marina Roberto Martins 1*, Fernando Palú 1 (1) Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Curso de Engenharia Química. e-mail:

Leia mais