POSICIONAMENTO OTIMIZADO DE AMBULÂNCIAS DA CUIDAR EMERGÊNCIAS MÉDICAS NO RIO DE JANEIRO

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1 POSICIONAMENTO OTIMIZADO DE AMBULÂNCIAS DA CUIDAR EMERGÊNCIAS MÉDICAS NO RIO DE JANEIRO Ricardo Brandão Costa Guilherme Raposo Thompson Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia de Produção da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: Lino Guimarães Marujo, D.Sc. Rio de Janeiro Agosto de 2014

2 POSICIONAMENTO OTIMIZADO DE AMBULÂNCIAS DA CUIDAR EMERGÊNCIAS MÉDICAS NO RIO DE JANEIRO Ricardo Brandão Costa Guilherme Raposo Thompson PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO DE PRODUÇÃO. Examinado por: Prof. Lino Guimarães Marujo, D.Sc. Prof. Samuel Jurkiewicz, D.Sc. Prof. José Miguel Bendrao Saldanha, M.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL AGOSTO de 2014

3 Costa, Ricardo Brandão Thompson, Guilherme Raposo Posicionamento otimizado de ambulâncias da Cuidar Emergências Médicas [Rio no de Rio Janeiro, de Janeiro 2012] / Ricardo Brandão Costa e Guilherme Raposo Thompson. Rio de Janeiro: UFRJ/ ESCOLA POLITÉCNICA, XII, (DEI-POLI/UFRJ, 56 p.: il.; 29,7 cm. Engenharia de Produção, 2012) Orientador: Lino Guimarães Marujo Projeto de Graduação UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia de Produção, p. XXX x 29,7 cm Referências Bibliográficas: p Pesquisa Operacional. 2.Simulação em eventos discretos. 3.Posicionamento otimizado de ambulâncias. I. Marujo, Lino Guimarães. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia de Produção. III. Posicionamento otimizado de ambulâncias da Cuidar Emergências Médicas no Rio de Janeiro. iii

4 Agradecimentos Primeiramente gostaríamos de dedicar nossos agradecimentos mais sinceros ao nosso professor e orientador Lino Guimarães Marujo por sua dedicação e falicidade em lidar com a dupla. Agradecemos também aos demais professores do Curso de Engenharia de Produção (CEP) da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que contribuíram direta ou indireatamente para nossa formação. Destacamos aqueles que nos prestigiaram disponibilizando-se para formar a banca desse trabalho: os professores Samuel Jurkiewicz e José Miguel Brendrao Saldanha. Ainda, nosso sincero agradecimento à atual coordenadora do CEP, professora Maria Alice Ferruccio Rocha, que nunca nos faltou dentro da UFRJ. Nosso agradecimento especial às nossas famílias, que nos apoiaram incodicionalmente em nossos projetos, com muito amor e paciência. Às namoradas, Fernanda e Julia, agradecemos o apoio e a carinho de todos os dias. Aos nossos amigos que fizemos nesses anos de faculdade e aqueles que trouxemos de outras jornadas, obrigado pelos momentos de descontração tão necessários para realização de qualquer trabalho. Ainda, agradecemos a médica Sandra Lumer, e à equipe da Cuidar Emergências Médicas, que nos receberam de modo caloroso. O contato com a empresa foi fundamental para realização deste trabalho, abrindo a nossa visão do tema e expandindo nossa perspectiva sobre o tema: Engenharia de Produção e Saúde. Por fim, agradecemos a todos que, de alguma maneira, se fizeram presentes durante o desenvolvimento desse trabalho. iv

5 Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro de Produção. Posicionamento otimizado de ambulâncias da Cuidar Emergências Médicas no Rio de Janeiro Guilherme Raposo Thompson Ricardo Brandão Costa Agosto/2014 Orientador: Lino Guimarães Marujo Curso: Engenharia de Produção O presente trabalho se encaixa em um contexto da Engenharia de Produção procurando novos campos a serem estudados. Serviços altamente efetivos e eficientes tem sido a fronteira das organizações de saúde onde esses conceitos se traduzem em dar saúde e dignidade às pessoas. Nosso desafio foi a otimização do posicionamento de ambulâncias de emergência aplicado à frota da Cuidar Emergências Médicas no Rio de Janeiro. Por meio da formulação de um Problema de Programação Linear Inteira, produzem-se soluções ótimas. Essas soluções, determinística, são submetidas a experimentos aleatórios e análise de sensibilidade em um modelo de Simulação em eventos discretos. A partir desses experimentos, é possível refletir sobre o funcionamento do sistema e propor novas soluções. Espera-se assim poder melhorar a responsividade do sistema e melhorar vidas. Palavras-chave: Pesquisa Operacional. Simulação em eventos discretos. Posicionamento otimizado de ambulâncias. v

6 Abstract of Undergraduate Project presumed to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Industrial Engineer. Optimized positioning of Cuidar Emergências Médicas ambulances in Rio de Janeiro Guilherme Raposo Thompson Ricardo Brandão Costa August/2014 Advisor: Lino Guimarães Marujo Course: Industrial Engineering This work fits in the context of Industrial Engineering looking for new fields to be studied. Highly effective and efficient services have been the frontier of healthcare organizations where these concepts translate into health and people dignity. Our challenge was to optimize positioning of emergency ambulance fleet focused on Cuidar Emergências Médicas in Rio de Janeiro. Through the formulation of a Problem of Linear Mixed Integer Programming, are produced optimal solutions. These solutions, deterministic, are subjected to randomized experiments and sensitivity analysis on a model for discrete event simulation. From these experiments, it is possible to reflect on the functioning of the system and propose new solutions. Thus expected to be able to improve the responsiveness of the system and improve lives. Keywords: Operational Research. Discrete event simulation. Optimal ambulances positioning. vi

7 Sumário 1 Introdução Apresentação Objeto Objetivo Objetivo Geral Objetivo Específico Justificativa Método Revisão bibliográfica Pesquisa Operacional Breve introdução ao tema Programação Linear Simulação Otimização de ambulâncias Breve introdução Otimização Modelo preliminar Conjuntos Variáveis de decisão Dados Função objetivo Restrições Capacidade computacional necessária Outras funções objetivo Min(Máx) Min(Max) - alternativa vii

8 3.2.3 Áreas não equiprováveis de gerar uma demanda Dupla cobertura Posicionamento dinâmico Minimizar o custo Maximizar a área coberta Outras restrições Frota específica por tipo de emergência Bases com mais de uma ambulância Otimização por turno Erros e Limitações Granularidade do modelo A disponibilidade de dados Simulação em eventos discretos Descrição do modelo Indicadores de performance Dados do modelo Regras de gestão Modelo estático Modelo dupla cobertura Modelo reposicionamento dinâmico Otimização de ambulâncias no Rio de Janeiro Modelagem da Cuidar no Rio de Janeiro Distância entre os pontos de interesse Resultados Curva custo x probabilidade de sobrevivência Conclusão Bibliografia viii

9 8 Apêndices Apêndice I Modelos do Xpress-mp Modelo Estático Modelo Dupla Cobertura Reposicionamento dinâmico Apêndice II Modelos do Arena Modelos Estático e Dupla Cobertura Modelo Reposicionamento Dinâmico Apêndice III Bairros do Rio de Janeiro Anexos Anexo I Mapa das Regiões Administrativas do Rio de Janeiro ix

10 Lista de Figuras Figura 1 Logo da Cuidar Emergências Médicas... 2 Figura 2 Óbitos na cidade do Rio de Janeiro entre 2010 e Figura 3 Eventos discretos x contínuos... 7 Figura 4 Região de funcionamento da otimização no Xpress estudantil Figura 5 Distribuição percentual dos chamados por área de Detroit, Figura 6 Probabilidade de sobrevivência durante um ataque cardíaco Figura 7 Resultado simulação modelo estático Figura 8 Resultado simulação modelo dupla cobertura Figura 9 Diferença de resultado entre modelos (2) (1) Figura 10 Resultado simulação modelo reposicionamento dinâmico Figura 11 Diferença de resultado entre modelos (3) (2) Figura 12 Zoneamento da cidade do Rio de Janeiro Figura 13 Gráfico da função da probabilidade acumuladapor bairro Figura 14 Alocação das ambulâncias otimizadas Figura 15 Simulação Modelo Estático e Dupla Cobertura Figura 16 Simulação modelo reposicionamento dinâmico Figura 17 Regiões administrativas do Rio de Janeiro x

11 Lista de Tabelas Tabela 1 Matriz das distâncias na cidade hipotética em minutos Tabela 2 Definição das zonas e número de recursos Tabela 3 Resultados da simulação final Tabela 4 Lista dos posicionamentos otimizados xi

12 Lista de Abreviaturas Cuidar Cuidar Emergências Médicas MCLP Maximal Covering Location Problem LSCM Location Set Covering Model PL PLI PO PPL SAEM SAMU Programação Linear Programação Linear Inteira Pesquisa Operacional Problema de Programação Linear Serviço de Atendimento de Emergências Médicas Service d'aide Médicale Urgente (Serviço de Atendimento Médico de Urgência xii

13 1 INTRODUÇÃO 1.1 Apresentação Este estudo pretende compilar os conhecimentos das disciplinas de métodos quantitativos do Curso de Engenharia de Produção, com destaque à Pesquisa Operacional (PO) e à Simulação, aplicando-os à otimização da alocação de recursos. Além delas, outras áreas do conhecimento como a Logística, Probabilidade e Estatística também serão fundamentais para o desenvolvimento desse projeto. O estudo do posicionamento otimizado de ambulâncias para Serviços de Atendimento de Emergências Médicas (SAEM) faz parte do planejamento de grandes centros há anos. Na cidade do Rio de Janeiro, o Corpo de Bombeiros Militar do Estado do Rio de Janeiro controla as operações do Serviço de Atendimento Movél de Urgência (SAMU, do francês: Service d'aide Médicale Urgente), público e sem custos diretos ao usuário. No entanto, há ainda SAEMs que se mantém com planos de assinaturas, como são os casos das redes Cuidar Emergências Médicas 1 (Cuidar) e Vida Emergências Médicas 2. Devido à dificuldade de obtenção de dados junto ao SAMU, optou-se por buscar a iniciativa privada. Assim, a Cuidar nos forneceu alguns dos dados necessários para a execução desse projeto. 1.2 Objeto O Objeto de estudo é a análise do posicionamento das ambulâncias do SAEM da Cuidar na cidade do Rio de Janeiro. A Cuidar é uma empresa privada de saúde, que funciona com o modelo de assinatura do serviço de remoção de pacientes em crise. Fora isso, ela oferece ainda 1 Cuidar Emergências Médicas Rua Professora Esther de Mello, 175 Benfica Rio de Janeiro 2 Vida Emergências Médicas Rua São Luiz Gonzaga, 630 São Cristóvão Rio de Janeiro 1

14 aluguel de ambulâncias e postos de saúde, remoções inter-hospitalares, cobertura de eventos e gerenciamento de pacientes crônicos. Hoje, em sua frota a Cuidar possui 30 ambulâncias (5 unidades básicas do tipo B e 25 unidades avançadas do tipo D) 3, localizadas em 4 pontos pela cidade (Benfica, Copacabana, Santa Cruz e Barra da Tijuca), com diversos equipamentos para atendimento de múltiplas emergências médicas de seus associados. Figura 1 Logo da Cuidar Emergências Médicas Fonte: [1] 1.3 Objetivo Objetivo Geral O objetivo geral desse trabalho é aplicar as técnicas de Pesquisa Operacional e de Simulação no estudo do posicionamento otimizado de das ambulâncias do SAEM da Cuidar na cidade do Rio de Janeiro para aprimorar suas efetividade Objetivo Específico Como objetivo específico, desse modo, esse trabalho busca minimizar o tempo de resposta do sistema por meio de modelos de Programção Linear (PL) e Simulação. 1.4 Justificativa Segundo as estatísticas da secretaria estadual de saúde [2], entre 2010 e 2013 (inclusive) mais da metade das mortes na cidade do Rio de Janeiro foram em decorrência de doenças cujo tempo de intervenção é crítico. Essas doenças são: doenças dos aparelho circulatório, doenças hipertensivas, doenças isquêmicas, insuficiência cardíaca ou doenças cerebrovasculares. 3 Cf. Ministério da Saúde. Portaria nº 2.048, de 05 de novembro de

15 Milhares Isso posto, fica evidente que os SAEMs da cidade do Rio de Janeiro precisam ser pensados e planejados para a realidade da cidade Anos Doenças citadas Outras Figura 2 Óbitos na cidade do Rio de Janeiro entre 2010 e 2013 Fonte: adaptado de [2] 1.5 Método Esse projeto iniciará por uma pequena introdução aos campos do conhecimento envolvidos e uma revisão bibliográfica do tema. Posteriormente, será formalizado um modelo preliminar em um Problema de Programação Linear (PPL), de uma localidade controlada. Serão estudadas ainda variações possíveis desse modelo. A solução proposta pela resolução do PPL será, então, submetida a um modelo de simulação em eventos discretos. A partir da análise do funcionamento e do resultado da simulação, o PPL e o modelo de simulação serão sucessivamente revistos até encontrar um modelo teórico ideal. A partir desse modelo teórico e das informações cedidas pela empresa, foi construído um modelo aplicado à cidade do Rio de Janeiro, cuja solução é o cerne deste trabalho. Para resolução do PPL, foi utilizado o programa FICO Xpress Optimization Suite [Xpress-IVE ]. O software foi escolhido pela sua interface intuitiva e facilidade dos autores com a linguagem utilizada. O modelo de simulação será construído no Arena Simulation Software [Arena ], software de referência 3

16 no assunto. Para análise dos resultados obtidos e criação de gráficos, será utilizado o Microsoft Office Excel TM 2010 [ (32-bit)] 4

17 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Esta seção tem como objetivo introduzir uma revisão bibliográfica que inclui principais campos do conhecimento que norteiam esse projeto e um histórico do problema de otimização de ambulâncias. 2.1 Pesquisa Operacional Breve introdução ao tema A Pesquisa Operacional consolidou-se durante a Segunda Guerra Mundial, devido à necessidade de adequar as operações executadas aos novos armamentos desenvolvidos. As palavras Pesquisa e Operacional refletem a ideia de integrar um caráter teórico e aplicado na resolução de problemas. A complexificação da guerra exigiu o planejamento integrado na indústria bélica. Assim, atividades secundárias tiveram seu escopo revisto e ganharam importância nas organizações. Um grupo de cientistas foi convocado pela força aérea americana para avaliar a viabilidade de aplicar técnicas matemáticas ao planejamento militar. Dentro desse grupo, um dos membros, George Dantizig, já havia proposto que as inter-relações entre as atividades de uma grande organização fossem vistas como um modelo de PL, cuja solução ótima seria encontrada por meio de uma função objetivo linear. Após a guerra, no verão de 1947, a equipe de Dantzig desenvolveu não apenas um modelo matemático generalizado de PL, mas também um método de solução que foi denominado método Simplex [3] Programação Linear A PL é o principal campo de estudo da PO e caracteriza-se por utilizar métodos de cálculo baseados na execução repetida de operações relativamente simples, beneficiando-se do advento do computador [4]. O interesse na Programação Linear foi impulsionado por dois movimentos intelectuais quase concomitantes. De um lado, John Neuman publicou o teorema central 5

18 da Teoria dos Jogos, que posteriormente foi reformulada através da PL e interpretada à luz da teoria da dualidade. De outro lado, a análise insumo-produto (input-ouput) foi proposta por Leontief em 1936 e posteriormente foi utilizado sob a forma de um problema de PL. De maneira simplificada, pode-se descrever a utilização de modelos de PPL em três etapas: formulação, resolução e validação dos resultados. A primeira é a mais importante e corresponde a representação matemática do problema modelado. Assim, todo problema contém três tipos de elementos: Variáveis de Decisão: são as variáveis consideradas relevantes ao problema. Função Objetivo: é uma função linear, soma do produto dos coeficientes pelas variáveis de decisão, que se deseja otimizar (maximizar ou minimizar); Restrições: correspondem aos elementos restritivos que todo problema tem como limitações de recursos ou capital para investimento. Por sua vez, a Programação Linear Inteira (PLI) estuda os problemas nos quais uma ou mais variáveis devem ter valores inteiros (ou binários). PLI puros são chamados os problemas que envolvem apenas variáveis inteiras e PLI misto envolvem pelo menos uma variável não inteira. A otimização de PLI tem um forte inconveniente de demandar um esforço computacional muito maior com o aumento do número de variáveis inteiras no modelo. O posicionamento otimizado de ambulâncias é um caso de PLI puro ou misto, dependendo da abordagem utilizada. 2.2 Simulação A simulação é um termo amplo, mas pode ser definido como o processo de elaboração de um modelo de um sistema (real ou hipotético) e a experimentação, buscando o entendimento do comportamento do sistema ou/e avaliação a sua operação [5]. 6

19 A simulação é um substituto imperfeito de experimentos reais ou soluções analíticas. Modela-se o sistema por meio de eventos, regras e funções matemáticas, tendo de simplificar o sistema, geralmente com menos graus de liberdade do que o sistema modelado. Ainda assim é uma ferramenta extremamente poderosa nos casos em que experimentos reais são impossíveis ou inviáveis, ou sistema é demasiadamente complexo para soluções analíticas. Segundo taxonomia proposta em [6], a simulação pode ser classificada em três categorias: simulação de Monte Carlo, simulação contínua e simulação de eventos discretos. A simulação Monte Carlo é usada para solução de problemas não probabilísticos por meio de processos estocásticos. Nesta, não há uma representação explícita do tempo. Tanto a simulação contínua quanto a simulação de eventos discretos modelam sistemas que variam no tempo. Modelos contínuos utilizam equações diferenciais para descrever os estados ao longo do tempo. Um exemplo de modelos contínuos é a descrição de dinâmicas populacionais ou de uma xícara de chá quente resfriando. Em modelos discretos, o estado sistema muda somete no instante em que ocorre um evento; em todos os demais instantes de tempo, nada muda no sistema. Esses modelos tem como grande campo de aplicação a gestão dos processos produtivos. O conceito fundamental por trás desse tipo de simulação é a teoria das filas. Figura 3 Eventos discretos x contínuos Fonte: [7] 7

20 Há uma sinergia entre a PL e a Simulação. Enquanto soluções ótimas de PL pressupõem um mundo determinístico, a simulação permite confrontar essas soluções com eventos estocásticos e, por meio de looping entre a reformulação do PPL e o do modelo de simulação, pode-se chegar a soluções melhores. Como descrito em [4], esse processo baseia-se na análise de sensiblidade de variáveis, melhorando a seleção das dimensões analisadas. 2.3 Otimização de ambulâncias Breve introdução Na revisão bibliográfica, [8] [10] fazem um apanhado geral da tecnologia de gestão de SAEMs que usam modelos PO. Em seu artigo, Goldberg enumera e contextualiza a história dessa tecnologia, aborda questões relativas ao estado da técnica e da arte (em 2004) e elucida direções de trabalhos futuros. Por sua vez, Hale e Moberg levatam os artigos mais relevantes dos principais tópicos relacionados ao tema. Ainda, destaca-se o trabalho de Brotcopela et al. que traz extensa revisão da evolução dos modelos de otimização da localização de SAEMs. O estudo da otimização de instalações de socorros, i.e. centros de ambulâncias e estações dos bombeiros, deu seus primeiros passos no final do anos 60. Estudo assim foi realizado em New York [11], no qual era, inclusive, proposta uma análise de custo-benefício do investimento em saúde pública, justificando gastos da aquisição de novas ambulâncias para o hospital local e seu satélite de ambulâncias. Logo depois, o problema de localização de ambulâncias, começou a ser estudado à luz de técnicas mais elaboradas de PO, e modelos primitivos começaram a ser desenvolvidos. Os dois modelos primitivos que tiveram maior repercussão foram o Location Set Covering Model (LSCM) [12] e Maximal Covering Location Problem (MCLP) [13]. Toregas et al. tentavam minimizar o número de ambulâncias necessárias para que todas as demandas na área de cobertura do serviço fossem atendidas. Por sua vez, Church e ReVelle tentavam, utilizando um número fixo de ambulâncias, maximizar a cobertura do serviço por meio da localização dos veículos [9]. 8

21 Foram encontrados trabalhos similares a este aplicados em outras cidades do país como Belo Horizonte [14], Campinas [15] e nas estradas do estado de São Paulo [16]. Por fim, [17], trouxeram para esse trabalho ainda a ideia de trabalhar com variáveis que se alteram no tempo. Infelizmente, nosso trabalho não será aprofundado nesse nível, mas a ideia é inspiração para futuros projetos. 9

22 3 OTIMIZAÇÃO Esta seção tem como objetivo principal apresentar a riqueza do PPL de otimização da localização de SAEMs. Será apresentado um modelo preliminar e serão expostas as variações desse modelo básico que foram encontradas na literatura ou composto de ideias originais dos autores. Não há, porém, a preocupação de expor de maneira exaustiva todas as combinações possíveis entre as variações. Ao final da seção, será dedicado um espaço para discutir os erros e as limitações do PPL. 3.1 Modelo preliminar O modelo preliminar formula um problema com os seguintes pressupostos: I. As ambulâncias estão posicionadas em bases; II. III. IV. As ambulâncias estão sempre disponíveis; Os tempos operacionais (tempo de recebimento da chamada, tempo de alocação da ambulância, tempo de deslocamento a pé dos paramédicos etc.) são desprezíveis; A cidade é dividida em áreas equiprováveis de gerar uma demanda por ambulância 4 ; V. As bases, se ativadas, podem receber apenas uma ambulância; VI. VII. Cada ponto de demanda é coberto por uma e apenas uma ambulância; Os parâmetros não se alteram ao longo do tempo. Os pressupostos I, II, III são necessários para a formulação de um Problema de Programação Linear e por isso são inerentes a todos os modelos. Os pressupostos IV, V, VI e VII por outro lado, podem ser relaxados, assim como será descrito mais a frente. 4 e 10

23 3.1.1 Conjuntos I: Conjunto das bases de ambulâncias; J: Conjunto dos pontos de demanda. É relevante destacar que os autores optaram por inverter a representação clássica da literatura do tema. O motivo principal é que normalmente as distâncias são representadas da base para o ponto de alguma demanda, sendo representadas na literatura como. Essa notação é não intuitiva e pode levar a erros se a matriz for assimétrica Variáveis de decisão : Variável binária de utilização ou não da base i; : Variável binária de alocação ou não da ambulância na base i para atender a chamadas do ponto de demanda j Dados : Matriz de distâncias reais de i para j em minutos, representando o tempo de deslocamento entre os pontos; : Número de ambulâncias disponíveis Função objetivo posicionamento: A função objetivo é a minimização o tempo total de resposta dado pelo { } Restrições (1) (2) (3) 11

24 (4) (5) As restrições (1) e (2) formalizam que as variáveis de decisão são binárias. A restrição (3) garante que cada ponto de demanda há uma e apenas uma ambulância alocada (pressuposto V). A restrição (4) relaciona das duas variáveis de decisões, impedindo que aos pontos de demanda sejam alocadas bases sem ambulância. A restrição (5) garante que sejam alocadas apenas a quantidade de ambulâncias disponíveis Capacidade computacional necessária A capacidade computacional do software é função do número de zonas em que a cidade é quebrada igual ao tamanho do conjunto J ( ) e o número de base consideradas ( ) ( ) A título de exemplo, para a cidade de Belo Horizonte, são considerados 72 pontos de demanda e 22 bases, assim a capacidade computacional necessária é de variáveis e restrições [14]. Em nosso estudo, a versão estudantil do Xpress só permite um número de restrições menor ou igual a 400, o que restringe os modelos a função abaixo: 12

25 Conjunto dos pontos de demanda (n_j) Região de funcionamento Conjunto das bases de ambulâncias (n_i) Figura 4 Região de funcionamento da otimização no Xpress estudantil Fonte: os autores 3.2 Outras funções objetivo Min(Máx) A minimização do tempo total proporciona o melhor global do sistema, mas pode ser que para tal alguma área seja desprezada e tenha um tempo de resposta absurdamente alto. Nesse caso, a solução não seria democrática por apresentar resultados muito distantes da média. Há duas maneiras de contornar esse problema. A maneira tradicional é mudar a função objetivo para a forma Min(Máx): Essa função objetivo, porém, não é linear e deve ser linearizada pela introdução de uma nova variável de decisão auxiliar e um conjunto de restrições: 13

26 Variável de decisão: : Variável de linearização do problema Função objetivo: Restrições: Min(Máx) - alternativa A maneira alternativa não torna necessária a alterar da função objetivo. Para tal, seria adicionado um conjunto de restrição estabelecendo um teto para o tempo de reposta, sem alterar a função objetivo Dados: : tempo máximo de resposta máximo aceitável Restrições: Áreas não equiprováveis de gerar uma demanda O pressuposto IV (a cidade é dividida em áreas equiprováveis de gerar uma demanda por ambulância) pode ser relaxado de maneira a descrever uma cidade mais real. Um estudo em Detroit segmentou a cidade em 55 regiões isodemográficas (~12 mil habitantes em cada), posteriormente localizaram a os chamados nas regiões e descobriram áreas mais prováveis que outras. A ilustração presente no artigo ilustra bem o descrito: 14

27 Figura 5 Distribuição percentual dos chamados por área de Detroit, 1973 Fonte:[18] Dados: : percentual de chamadas da cidade que acontecem na área j, onde: Função objetivo: { } 15

28 3.2.4 Dupla cobertura Algo que limita o bom desempenho da solução proposta pelo modelo preliminar é que uma chamada de emergência pode acontecer enquanto a ambulância alocada àquela região está em operação. Na vida real, sabe-se que seria enviada a segunda ambulância mais próxima. Entretanto, o posicionamento dessa segunda ambulância não é otimizada. Foi necessário pressupor que isso não aconteceria para poder descrever o problema de PLI (pressuposto II). Para contornar o pressuposto II, relaxaremos o pressuposto VI (os pontos de demanda são cobertos por uma e apenas uma ambulância). Haverá uma dupla cobertura: todo ponto de demanda será coberto por uma ambulância prioritária e uma ambulância secundária. Note que não há nada que impeça de fazer uma tripla ou maior cobertura a não ser o esforço adicional do projetista, mas os autores se limitaram a descrever apenas a segunda cobertura Variável de decisão: : Variável binária de alocação ou não da ambulância prioritária na base i para atender a chamadas do ponto de demanda j. : Variável binária de alocação ou não da ambulância secundária na base i para atender a chamadas do ponto de demanda j Função objetivo: Para otimizar os dois posicionamentos simultaneamente é necessário utilizar uma função multiobjetivo como descrito abaixo. { [ ] ( ) [ ]} O parâmetro representa o quanto se está disposto a abrir mão da otimização da alocação prioritária em prol da alocação secundária. Na prática é a frequência com que a alocação prioritária é acionada e ( ) é a frequência com que a alocação secundária é acionada. Após a realização das simulações, percebeu-se que varia de 16

29 acordo com as regras de gestão da simulação e com o modelo de programação linear inteira utilizado, mas mostrou-se um valor razoável Restrições: (1 ) (2 ) (3 ) As restrições (1 ) e (2 ) são derivações diretas da restrição (3) do modelo preliminar. A restrição (3 ) é derivada da restrição (4), mas contém uma informação a mais: uma base de ambulância não pode ser utilizada simultaneamente tanto como alocação prioritária e alocação secundária para atender a demanda de j Posicionamento dinâmico Outro artifício possível para contornar a limitação do modelo preliminar descrito na seção de Dupla Cobertura é enxergar a solução como dinâmica: se ambulâncias estão em operação, as ambulâncias se reposicionam de modo a assumir a solução otimizada de ambulâncias disponíveis. Na prática, isso não é variação da função objetivo nem do modelo preliminar, mas uma mudança da regra de gestão. Mesmo assim, os autores decidiram colocar nessa seção pela semelhança com o modelo de dupla cobertura Restrições: Minimizar o custo Um dois primeiros modelos propostos na literatura, Location Set Covering Model (LSCM) [12] busca determinar o número mínimo de ambulâncias que sejam capazes de atender a todos os chamados. Assim, já é possível perceber a possível relação desde campo de pesquisa e a análise dos custos. 17

30 Contudo, não foi encontrado nenhum na literatura que tenha o cuidado de colocar custos operacionais (OPEX) e investimentos (CAPEX) em um denominador comum. Os autores sugerem que esses custos sejam normalizado pelo método do Valor Presente Líquido. Não será descrita aqui uma função objetiva genérica como foi feito nos outros casos, pois depende muito dos custos considerados. Apresentamos apenas uma possível (mas não obrigatória) adição de restrição ao modelo preliminar de modo a assegurar que o serviço responda a um pré-requisito de mínimo de nível de serviço Dados: : tempo máximo de resposta aceitável Restrições: Assim como podemos transformar a função objetivo do modelo preliminar em uma restrição, podemos transformar a função objetivo de minimização de custo em uma restrição orçamentária. Pode-se ainda utilizar uma função multiobjetivo que minimiza tanto o custo quanto o tempo de resposta. Essa estratégia, porém, tem a limitação de que os pesos devem ser definidos a priori e o ideal é que a escolha seja feita a posterior, após as simulações. Esse aspecto multicritério da decisão em posicionamentos otimizados é bem interessante e será discutido mais ao fim deste projeto Maximizar a área coberta Um dos modelos mais estudados da literatura é o Maximal Covering Location Problem (MCLP) [19]. Esse modelo é ideal para regiões com baixa densidade populacional onde os pontos de demanda são mais espaçados entre si. Nesse caso é inevitável que as ambulâncias fiquem longes entre si, então, tenta se garantir apenas que cada ambulância tenha um raio de cobertura de minutos. Assim, segundo o modelo clássico [13]: 18

31 Variáveis de decisão: : variável binária determina se um ponto de demanda é coberto ou não por uma ambulância em uma distância menor ou igual a minutos Dados: : Número de habitantes da cidade que residem no ponto de demanda ; : Número total de bases Função objetivo: { } Restrições: É interessante salientar que o MCLP pode ser modificado para atender outras solicitações. Recentemente, alguns trabalhos usaram o MCLP para modelar: clusterização, classificação estatística de famílias e processo cognitivo, como reportado em [20]. 3.3 Outras restrições Frota específica por tipo de emergência Pode ser interessante para o decisor otimizar todas as frotas simultaneamente ao invés de tratá-las como subconjuntos independentes. Esse caso acontece quando o decisor está considerando custos e capacidades no seu modelo. 19

32 Conjuntos: : conjunto de tipos de emergência Dados: : número de ambulância do tipo disponíveis Variáveis de decisão: : Variável binária de alocação ou não da ambulância do tipo de emergência na base para atender chamadas do ponto de demanda emergência na base : Variável binária de alocação ou não da ambulância do tipo de Restrições: As outras restrições são devidamente alteradas para contemplar as modificações nas variáveis de decisão Bases com mais de uma ambulância O pressuposto VI (as bases têm uma e apenas uma ambulância) foi considerado no modelo preliminar para simplificar a formulação do problema, pois intuitivamente a solução otimizada nunca teria duas ambulâncias na mesma base. Entretanto, variações do modelo preliminar (custo ou diferenciação da frota por tipo de emergência) podem exigir o relaxamento desse pressuposto Dados: : quantidade ambulâncias que podem ser alocadas na base i Variáveis de decisão: : quantidade de ambulâncias alocadas na base i 20

33 Restrições: (1 ) (2 ) A restrição (1 ) é uma restrição nova e (2 ) é uma variação da restrição (5) do modelo preliminar Otimização por turno O modelo preliminar e as restrições descritas até aqui incorporam uma visão mais sistêmica e não necessariamente incorpora restrições operacionais. Todos os modelos já apresentados respeitam o pressuposto VII (Os parâmetros não se alteram ao longo do tempo). Algumas restrições operacionais encontradas na literatura incluem: Otimização por horário (madrugada, manhã, tarde e noite) [14]; Otimização por dia semana. 3.4 Erros e Limitações A análise dos erros causados pelas simplificações dos problemas complexos é estudada há anos nos projetos de posicionamento otimizado de SAEMs. Em [8] as possíveis fontes de erros são categorizados em 3 grandes grupos de problemas na modelagem: Granularidade do modelo; A disponibilidade de dados; Validade do modelo Granularidade do modelo A questão da granularidade surge a partir do agrupamento de dados. Quando um ponto de dimensões desprezíveis agrega as informações de uma área de dimensões relevantes para o modelo, a granularidade começa a afetar os resultados. Segundo [8], 21

34 [21], essa questão foi levantada pela primeira vez em [22], onde foram definidos três tipos de fonte erros: A - erros na medição da distância para a chamada uma vez que o local original da chamada é aproximado pela localização das chamadas de agregados; B - erros na medição da distância devido a não saber a verdadeira localização quando um veículo ou instalação está localizada em uma zona agregada. C - erros no envio devido a não saber a distância correta de veículos ou bases para chamadas em zonas agregadas. Para eliminação dessas fontes de erro, vários métodos tem sido estudados. Em [23], são apresentadas técnicas para eliminação dos tipo A e B, que são testadas em dados reais. Ainda em Segundo [8], [21] são apresentados diversos outros artigos que propões soluções para o problema de agregação de informações. Nota-se que, conforme a capacidade computacional vem crescendo, esse tipo de erro tende a ser mitigado pelas novas técnicas de otimização e simulação. Essa questão só será tratada na etapa Simulação. O erro de otimização será desprezado pelos autores A disponibilidade de dados A falta de acessos às informações primárias da Cuidar para realização desse trabalho trouxe problemas que não foram de fácil solução. As distâncias utilizadas no PL e na Simulação devem ser a distância real em metros. Esse tempo pode ser estimado pela distância euclidiana (no caso da cidade do Rio de Janeiro, é respeitada a geodésica para nos cálculos): ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) Onde é o raio médio da Terra, é a latitude do ponto em radiano e é a longitude do ponto em radiano. 22

35 Porém, utilizando o sistema de coordenadas UTM (Universal Transverse Mercator), o problema se reduz a equação abaixo, sem grande perda de propriedade para regiões pequenas. ( ) ( ) Os modelos simulação que trabalham com tempos e distâncias necessitam de alguns dados sobre velocidade de movimentação dos veículos, que são bem difíceis de serem obtidos principalmente pelas múltiplas variáveis envolvidas. Assim, é proposto em [21] um modelo simplificado para estimativa de tempo de chegada dos SAEMs, baseado no número de ambulâncias disponíveis para aquela região. Outro ponto destacável é a falta de dados quanto à origem da demanda. Em, [24], é proposto um modelo para determinar o número de chamados de uma região, com ajustado, que usa apenas quatro variáveis: a população local, a taxa de emprego, a população branca e casada e o número de casas por metro quadrado. Em [25], por sua vez, concluí que esse número está associado à fração da população local com mais de 65 anos e a fração de pessoas vivendo abaixo da linha pobreza na região. Ainda, em [26], essa questão é explorada no cerne da idade da população de Dallas, Texas, devido ao envelhecimento da população. Os autores, contudo, não julgaram válido utilizar nenhuma das técnicas de previsão de demanda, por não concordarem com o dado apresentado pelos nos trabalhos citados, além de serem pouco úteis pelas restrições de informações. 23

36 4 SIMULAÇÃO EM EVENTOS DISCRETOS Os modelos de PL utilizados nessa seção estão devidamente descritos no Apêndice I Modelos na linguagem do Xpress-mp. Nessa seção será apresentada a modelagem do problema em simulação em eventos discretos. Inicialmente, serão expostos os indicadores de performance, os dados utilizados e as regras de gestão. Posteriormente, serão descritos os primeiros resultados da simulação em uma cidade hipotética para compreensão do sistema e calibragem do modelo. 4.1 Descrição do modelo Indicadores de performance O objetivo deste estudo é melhorar a efetividade dos SAEMs realizado por ambulâncias. Assim, o melhor indicador de performance que podemos selecionar é a taxa de sobrevivência. Se focarmos apenas em taxa de sobrevivência, a solução ideal seria colocar uma ambulância em cada esquina da cidade, uma solução inviável financeiramente. Há um trade-off em jogo: o decisor não está interessado apenas em maximizar a sua taxa de sobrevivência, mas também em controlar o seu orçamento. Contundo, pensando mais globalmente, deve-se considerar ainda que o serviço de emergência é apenas um dos serviços de saúde. O decisor não deve se limitar a controlar o seu orçamento (restrição), mas em minimizá-lo (função objetivo), garantindo a eficiência da utilização dos recursos no sistema global. Por termos mais de um critério a ser otimizado, o processo de seleção da solução é relevante. Com o intuito de racionalizar esse processo decisório, pode-se implementar uma análise multicriteria. 24

37 Primeiro, é necessário garantir que a solução é eficiente pelo método de Paretto. Uma solução é eficiente de Paretto se somente se não há nenhuma outra solução que é superior a esta em pelo menos um critério. O resultado desta primeira etapa será representado graficamente na forma de uma curva custo x taxa de sobrevivência. A segunda etapa é a escolha propriamente dita. Utilizar-se-á o método da média ponderada por ser o mais simples e mais difundido. Os pesos dados a cada critério são interpretados como a taxa marginal de substituição entre os critérios, ou seja, quanto se está disposto a investir a mais para aumentar a probabilidade de maneira a salvar uma vida. Uma crítica possível a esse pensamento é de que se deseja quantificar o valor de uma vida, algo de valor inestimável. De fato, uma vida não tem valor quantificável, mas o serviço de saúde para salvar uma vida tem um custo e não é possível investir todo o PIB de um país para impedir que todos morram. A ideia essencial é que todos os serviços devem prezar pela otimização dos seus recursos e apresentar uma taxa marginal de substituição entre custos e taxa de sobrevivência equivalente, assegurando a homogeneidade de investimento dos serviços de saúde. Nessa seção, porém, nos limitaremos a estudar o modelo usando apenas a taxa de sobrevivência como indicador de performance, pois só faz sentido comparar os custos com a taxa de sobrevivência se os parâmetros de custos estiverem suficientemente bem definidos. Assim, essa temática será aprofundada somente na próxima seção Dados do modelo Para a modelagem do problema, os dados necessários foram: Distâncias; Taxa de sobrevivência de uma parada cardíaca em função do tempo; Número de ambulâncias (NA); Taxa de geração de chamadas (λ); 25

38 Distribuição espacial das chamadas Distâncias Foi suposto inicialmente que o conjunto I (bases de ambulâncias disponíveis) coincide com o conjunto J (pontos de demanda) por questões de simplificação. Assim, a cidade hipotética foi descrita por uma matriz 10 x 10 assimétrica (Tabela 1 Matriz das distâncias na cidade hipotética em minutos). Tabela 1 Matriz das distâncias na cidade hipotética em minutos Fonte: os autores Zona Outra suposição é que os hospitais eram suficiente bem distribuídas de modo o tempo gasto pela ambulância desde a chegada ao ponto da demanda até o retorno à base era de 10 minutos. Evitou-se assim incluir os hospitais entre os dados do modelos Taxa de sobrevivência de uma parada cardíaca em função do tempo A referência mais prática encontrada para a taxa de sobrevivência de uma parada cardíaca em função do tempo foi do Guia Nacional de Referência dos Bombeiros da França: 26

39 Figura 6 Probabilidade de sobrevivência durante um ataque cardíaco. Fonte: [27] No modelo, ela foi modelada for uma função matemática a partir dos pontos da curva. A função utilizada foi: ( ) ( ) função de t. { Onde t é o tempo em minutos e P(t) é a probabilidade de sobrevivência em Número de ambulâncias (NA) Preferiu-se não atribuir a NA um valor fixo e estudar o impacto da sua variação nos resultados do modelo. Assim, variou-se o NA tanto no PL quanto na simulação Tempo médio entre chamadas (λ) Pode-se supor que as chamadas de emergência são independentes entre si de maneira que não apresentem memória: o tempo decorrido desde a última emergência não impacta a probabilidade de surgir uma chamada naquele instante. Por isso, modelamos o tempo entre as gerações de chamadas por uma distribuição exponencial. 27

40 Assim como NA, o tempo médio entre chamadas (λ) não foi fixado e foi estudado o impacto da sua variação no modelo. É importante destacar que a natureza probabilística das chamadas é o principal fator que não foi possível incluir no PL. O resultado desse confronto modelo determinístico x simulação probabilística que nos permite de melhorar o modelo Distribuição espacial das chamadas Assim como foi suposto no modelo preliminar, os pontos de demanda são supostos equiprováveis. Sendo 10 zonas, cada zona tem a probabilidade 10% de gerar chamadas de emergência Regras de gestão A simulação tem dois fluxos auxiliares de rotinas de leitura: inicializa-se a matriz de distâncias e o vetor de alocação (solução do PL). No fluxo principal, uma entidade (chamada) é criada segundo uma lei exponencial de taxa λ e lhe é atribuída uma zona (ponto de demanda), onde todas as zonas são equiprováveis. O recurso correspondente a zona, dado pelo vetor de alocação, é acionado e, caso esteja disponível, a ambulância se desloca a zona correspondente. O tempo gasto é determinístico e dado pela matriz de distâncias. Caso a ambulância não esteja disponível, aguarda-se até que ela esteja para que ela possa se deslocar a zona correspondente. Calcula-se o tempo que demorou desde a geração da chamada até a chegada o local e gera-se um evento de bernoulli cujo paramêtro é a probabilidade de sobrevivência em função do tempo (P(t)) descrita anteriormente. Os sobreviventes e não sobreviventes são devidamente contabilizados e a ambulância gasta 10 minutos conduzindo-os ao hospital e retornando à base. A modelagem desses processos no Arena foi feito utilizando as bibliotecas Basic Process, Advanced Process e Advanced Transfer. Foi necessário também utilizar a biblioteca Elements para definir as ambulâncias (recursos) por um índice. O modelo em Arena consta no Apêndice II Modelos do Arena. 28

41 Taxa de sobrevivência (%) Foram realizados três testes iniciais. O primeiro segue o modelo preliminar e as chamadas aguardam até que a ambulância esteja disponível para que elas possam ser deslocadas ao ponto de demanda (modelo estático). Depois foram utilizados modelos mais elaborados: o modelo de dupla cobertura e o modelo do reposicionamento dinâmico, ambos descritos na seção Otimização. Em todos os casos, foram realizadas 100 simulações de 50 chamadas para combinações do par (λ, NA). Todos os resultados são apresentados em um intervalo de confiança de 95% Modelo estático 1. Modelo estático Taxa de sobrevivência em função de NA e λ Número de ambulâncias 10 minutos 20 minutos 30 minutos 60 minutos 120 minutos Figura 7 Resultado simulação modelo estático Fonte: os autores Percebe-se que a cada nova ambulância introduzida no sistema há ganhos positivos decrescentes (primeira derivada é positiva, segunda derivada é negativa). A partir de um 7 ambulâncias se torna um pouco indiferente a adicionar mais ambulâncias ao sistema ou selecionar um o λ menor. 29

42 É importante ainda perceber como a curva 10 minutos destoa das outras. Obviamente, é um caso extremo para a cidade hipotética, mas evidencia que a cidade é maior do que se pensava e por isso torna necessária uma granularidade maior das zonas. Fica a nota de que o número de zonas deve ser escolhido em função do tempo médio entre chamadas (λ). Quando o número de ambulâncias era igual a 6, houve um comportamento atípico com ganhos muito pequenos em relação a NA igual a 5, mas que aconteceu de maneira igualitária a todas as curvas. Não foi encontrado nenhum erro que levasse a essa anomalia Modelo dupla cobertura Conforme descrito na seção otimização, para o modelo dupla cobertura foi utilizado (ponderação) igual a 99%. Foi adicionada uma regra de gestão que, caso a ambulância prioritária não esteja disponível, verifica-se a viabilidade de se acionar a ambulância secundária (verifica-se se o tempo até o retorno da ambulância prioritária é menor que a diferença de distância da ambulância prioritária e a distância secundária para o ponto de demanda). Caso valha a pena, a segunda ambulância é acionada, caso contrário é enviada a primeira ambulância. O modelo Arena utilizado no modelo estático e no modelo de dupla cobertura foi o mesmo parametrizado de maneira a poder mudar rapidamente de um para o outro, como pode ser visto no apêndice: Modelos Estático e Dupla Cobertura. 30

43 Taxa de sobrevivência 2. Modelo dupla cobertura Taxa de sobrevivência em função de NA e λ 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Número de ambulâncias 10 minutos 20 minutos 30 minutos 60 minutos 120 minutos Figura 8 Resultado simulação modelo dupla cobertura Fonte: os autores Percebe-se claramente melhoras em relação ao modelo estático devido a utilização mais eficiente dos recursos. Assim a partir de 6 ambulâncias, o resultado fica quase indiferente a novas ambulâncias ou a uma maior frequência de chamadas. Pelo número de ambulâncias, não se vê a necessidade de implementar uma terceira cobertura, mas em modelos maiores pode ser necessário. No gráfico da diferença de taxa de sobrevivência entre os modelos, o intervalo de confiança foi removido por dificultar a visualização. 31

44 Taxa de sobrevivência (%) Dupla cobertura (2) - estático (1) Diferença da taxa de sobrevivência em função de NA e λ 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Número de ambulâncias 10 minutos 20 minutos 30 minutos 60 minutos 120 minutos Figura 9 Diferença de resultado entre modelos (2) (1) Fonte: os autores Modelo reposicionamento dinâmico Para o modelo de reposicionamento dinâmico, foi adicionada uma regra de gestão que cada vez que uma ambulância é acionada, todas as outras ambulâncias se reposicionam otimizando o posicionamento para aquele número de ambulâncias. Supõese que os deslocamentos entre as bases são instantâneos. Isso foi feito julgando todas as ambulâncias indiferentes, enquanto nos outros modelos cada ambulância tinha um índice único. Assim, a alocação é obtida por um vetor de duas dimensões: zona da demanda e número de ambulâncias disponíveis. 32

45 Figura 10 Resultado simulação modelo reposicionamento dinâmico Fonte: os autores Há uma clara melhora em relação ao modelo estático, mas é necessário mais detalhes para comparar a diferença com o modelo de dupla cobertura. No gráfico da diferença de taxa de sobrevivência entre os modelos, o intervalo de confiança foi removido por dificultar a visualização. 33

46 Taxa de sobrevivência (%) Resposicionamento dinâmico (3) - Dupla cobertura (2) Diferença da taxa de sobrevivência em função de NA e λ Número de ambulâncias 10 minutos 20 minutos 30 minutos 60 minutos 120 minutos Figura 11 Diferença de resultado entre modelos (3) (2) Fonte: os autores Para um número de ambulâncias pequeno e frequência grande de chamadas o resultado do reposicionamento dinâmico é bem superior ao modelo de dupla cobertura. Contudo, nesses casos, a suposição de que o reposicionamento é instantâneo é falha. Se há apenas duas ambulâncias, o trajeto do reposicionamento é muito grande e na prática é bem provável que ela seja chamada antes que alcance a nova base. Fora isso, se as chamadas acontecem com tempo médio de 10 minutos ou 20 minutos, os novos reposicionamentos dificilmente teriam tempo de serem completamente alcançadas. Outro inconveniente é a dificuldade das equipes das ambulâncias em suportarem uma jornada de trabalho em eterno movimento e o custo de todos esses deslocamentos. Isso coloca em dúvida a viabilidade de tal modelo. 34

47 5 OTIMIZAÇÃO DE AMBULÂNCIAS NO RIO DE JANEIRO 5.1 Modelagem da Cuidar no Rio de Janeiro Rio de Janeiro é a segunda maior metrópole do Brasil com aproximadamente 6,5 milhões de habitantes em uma área de cerca de km². O município se divide em 34 regiões administrativas, com 160 bairros de tamanhos e configurações bastante heterogêneos. Os bairros estão descrito no Apêndice III Bairros do Rio de Janeiro. A Cuidar tem 30 ambulâncias disponíveis. Os tipos de ambulâncias (unidade avançada ou básica) são ignorados para simplificação do modelo. Ela conta ainda com 6 bases localizadas em Benfica, Barra da Tijuca, Copacabana, Santa Cruz, Niterói e São João de Meriti, mas na prática as ambulâncias podem também ficar perto de hospitais ou mesmo em trânsito. Para este trabalho, consideramos a alocação total de seus recursos nas operações na cidade, excluindo assim as bases de São João de Meriti e Niterói. As limitações de capacidade computacional dos softwares estudantis obrigam a tomada de algumas decisões de projeto. Diante da impossibilidade de modelar a cidade inteira no PL, dividiu-se a cidade em 7 zonas (Zona Sul, Centro, Barra, Oeste, Ilha, Norte1 e Norte2) e otimizou-se o posicionamento nesses subsistemas, supondo-os independentes. Os pontos de demanda e as bases são escolhidos como os centros geográficos dos bairros, [28]. O número de bases, porém, tem que ser reduzido a fim de respeitar a inequação de capacidade computacional. A distribuição das ambulâncias entre os bairros tem uma restrição: o número de ambulâncias atribuído àquela zona é menor ou igual ao número de bases menos dois. Nas zonas em que o número de bases foi maior que cinco, distribui-se as ambulâncias respeitando a proporção populacional. 35

48 Figura 12 Zoneamento da cidade do Rio de Janeiro. Fonte: os autores, adaptado de [29] Tabela 2 Definição das zonas e número de recursos Fonte: os autores Zona NA Sul Barra Centro Ilha Norte Norte Oeste Há dois parâmetros principais da simulação. A distribuição espacial foi dada pela proporção de habitantes do bairro. O tempo médio foi parametrizada a partir da simulação da situação atual de maneira a reproduzir o indicador de tempo de respostas médio (28 minutos). 36

49 Campo Grande Jacarepaguá Senador Camará Vila Isabel Rocinha Brás de Pina Flamengo Leblon Rocha Miranda Cachambi Centro Tanque Pechincha Jardim Guanabara Ricardo de Albuquerque Engenho da Rainha Jardim América Anil Tomás Coelho Freguesia Jardim Botânico Cavalcanti Vaz Lobo Gericinó Vidigal Pitangueiras Deodoro Alto da Boa Vista Vista Alegre Moneró Barra de Guaratiba Camorim Função de probabilidade acumulada - F(x) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Bairros (em ordem descrescente de habitantes) Figura 13 Gráfico da função da probabilidade acumulada por bairro. Fonte: os autores O gráfico de probabilidade sobrevivência em função do tempo foi desconsiderado porque os tempos são grandes demais para que ele tenha um sentido prático. 5.2 Distância entre os pontos de interesse A distância entre os pontos foi calculada baseada no método utilizado por [14]. Foi calculada a distância euclidiana das coordenadas de todos os bairros da cidade, respeitando a geodésica, multiplicada por um fator de área urbana. Esse fator foi estimado a partir do tempo médio de resposta das ambulâncias da Cuidar: 28 minutos. O fator ( ) foi de 1,37. Utiliza-se também a suposição de velocidade das ambulâncias como em [14]. A velocidade de 00:00 às 06:00 é 55 km/h, de 06:00 as 18:00 é 32 km/h e de 18:00 a 00:00 42 km/h. Como os modelos não são tempo-dependentes, utilizou-se a média ponderada para estimar o valor médio da velocidade em 34,5 km/h, ou 0,575 km/min. 37

50 ( ) Onde: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) Onde é a velocidade da ambulância no período e é o raio médio da Terra. O valor ( ) é expresso em alguma unidade de tempo, i.e. minuto. 5.3 Resultados O resultado das simulações se encontram na Tabela 3 Resultados da simulação final. A situação atual da Cuidar independe da frequência de chamadas, pois nas bases há ambulâncias disponíveis. Para comparação, segundo informações da Cuidar, o tempo médio de resposta de ambulâncias padrão nas grandes cidades europeias é de 5 minutos. Tabela 3 Resultados da simulação final Fonte: os autores Λ 30 min 60 min 120 min 240 min Situação atual Situação otimizada Os resultados surpreendem com a simples distribuição espacial das ambulâncias reduzindo metade do tempo de resposta. Fica implícito a importância de que o processo de decisão de alocação de recursos priorize modelos formais ao contrário da prática atual da Cuidar. 38

51 Figura 14 Alocação das ambulâncias otimizadas. Fonte: os autores Na figura 14, cada tipo pin é a representação gráfico dos pins iguais significam ambulâncias alocadas iguais. positivos, onde Tabela 4 Lista dos posicionamentos otimizados Fonte: os autores Brás de Pina Água Santa Barros Filho Barra de Guaratiba Benfica Bento Ribeiro Cidade de Deus Campo dos Cachambi Afonsos Camorim Alto da Boa Vista Cacuia Bonsucesso Andaraí Caju Abolição Anchieta Campinho Acari Bangu Cascadura Bancários Anil Catumbi Centro Campo Grande Catete Botafogo Barra da Tijuca Cavalcanti 39

52 5.4 Curva custo x probabilidade de sobrevivência Vários fatores impediram que fosse possível estudar a relação custo x probabilidade de sobrevivência. Como descrito na seção Erros e Limitações, houve uma escassez de dados e dificuldade de definir uma granularidade adequada para representar a cidade do Rio de Janeiro. Por outro lado, ainda tivemos que reduzir a granularidade para encaixar o modelo nas restrições da licença estudantil dos softwares. Além disso, não obteve-se um detalhamento suficiente dos custos de operação (OPEX) e investimento (CAPEX) para que pudéssemos dar esse passo adiante na fronteira do conhecimento do problema. Para futuros trabalhos, segue a descrição de custos praticados pela Cuidar. O valor de uma ambulância foi estimado em R$ ,00 e após de dois anos de depreciação o valor cai para algo entre R$ ,00 e R$ ,00 com pouca liquidez. O custo mensal da equipe por ambulância do tipo D foi de R$ ,00. Outros custos mensais (diesel, medicamentos, equipamentos diversos,...) foram estimados em R$ ,00 por ambulância. O aluguel de cada base era de cerca de R$2.500,00. 40

53 6 CONCLUSÃO A partir da confrontação do estado da arte do tema com a realidade da cidade do Rio de Janeiro, percebeu-se que um ganho muito grande pode ser obtido sem métodos de otimização. A melhoria das vias de transportes, a diminuição dos impactos de situações meteorológicas adversas, a falta de conscientização da importância de ceder lugar para ambulâncias e a falta de comprometimento da equipe são alguns dos fatores levantados como críticos para a melhoria da efetividade do serviço. O desafio é multidisciplinar e a discussão sobre tal tema deve se tornar mais relevante à medida que a população exija melhor qualidade de serviços. A prática da otimização associada à simulação não é a fronteira do tema. Os estudos mais recentes são baseados em simulações dinâmicas que não envolvem PL. Fica o desafio para os autores se aprofundarem no tema em futuras publicações. Mesmo assim, os autores esperam ter contribuído para a evolução do tema com algumas propostas. A primeira foi a sugestão dos métodos da dupla cobertura e reposicionamento dinâmico que não foram encontrados na literatura de forma semelhante. Além disso, é importante destacar a necessidade de colocar OPEX e CAPEX em denominadores comuns pelo método do Valor Presente Líquido, o que percebemos como falha na literatura encontrada. Acredita-se que a última, e mais importante contribuição, tenha sido a interpretação do processo decisório como um trade-off de custo e probabilidade de sobrevivência que poderia ter sido explorado pela análise multicriteria. Disso vem a possibilidade da operação das ambulâncias ser fator determinístico da precificação dos seguros de saúde para particulares e/ou reflexo das políticas públicas de saúde. Por fim, o trabalho com um assunto tão sensível, possibilitou maior aprofundamento numa área de interesse acadêmico e científico dos autores. 41

54 7 BIBLIOGRAFIA [1] Instituto Nacional de Propriedade Industrial, Marcas, Revista da Propriedade Industrial, vol. 2211, no. Seção II. Instituto Nacional de Propriedade Industrial, Brasília, p. 1242, [2] Secretaria de Estado de Saúde do Rio de Janeiro, Indicadores de morbidade hospitalar, mortalidade e incidência de doenças transmissíveis Rio de Janeiro, Informações de Saúde, [Online]. Available: [Accessed: 15-Jul-2014]. [3] G. B. Dantzig, Origins of the Simplex Method, in A History of Scientific Computing, S. G. Nash, Ed. New York, NY, USA: ACM, 1987, p. 13. [4] M. P. E. Lins and G. M. Calôba, Programação Linear - com aplicações em teoria dos jogos e avaliação de desempenho, 1 a ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2006, p [5] R. E. Shannon, Systems simulation: the art and science, 1 a ed. Prentice Hall, 1975, p [6] R. E. Nance, A history of discrete event simulation programming languages, in History of Programming languages---ii, 1 a ed., T. J. Bergin Jr. and R. G. Gibson Jr., Eds. New York: ACM, 1996, pp [7] L. Chwif, Redução de Modelos de Simulação de eventos Discretos na sua Convepção: Uma Aboardagem Causal, Universidade de São Paulo, [8] J. Goldberg, Operations research models for the deployment of emergency services vehicles, EMS Manag. J., vol. 1, no. 1, pp , [9] L. Brotcorne, G. Laporte, and F. Semet, Ambulance location and relocation models, Eur. J. Oper. Res., vol. 147, no. 3, pp , Jun [10] T. Hale and C. Moberg, Location Science Research: A Review, Ann. Oper. Res., vol. 123, no. 1 4, pp , [11] E. S. Savas, Simulation and Cost-Effectiveness Analysis of New York s Emergency Ambulance Service, Manage. Sci., vol. 15, no. 12, p. B 608 B 627, Aug [12] C. Toregas, R. Swain, C. ReVelle, and L. Bergman, The Location of Emergency Service Facilities, Oper. Res., vol. 19, no. 6, pp , Oct [13] R. Church and C. ReVelle, THE MAXIMAL COVERING LOCATION PROBLEM, Pap. Reg. Sci., vol. 32, no. 1, pp , Jan

55 [14] L. C. Nogueira, L. R. Pinto, and P. M. S. Silva, Reducing Emergency Medical Service response time via the reallocation of ambulance bases., Health Care Manag. Sci., pp. 1 12, Apr [15] R. Takeda, J. Widmer, and R. Morabito, Aplicação do modelo hipercubo de filas para avaliar a descentralização de ambulâncias em um sistema urbano de atendimento médico de urgência, Pesqui. Operacional, vol. 24, no. 1, pp , [16] A. P. Iannoni and R. Morabito, Otimização da localização das bases de ambulâncias e do dimensionamento das suas regiões de cobertura em rodovias, Produção, vol. 18, no. 1, pp , [17] V. Schmid and K. F. Doerner, Ambulance location and relocation problems with time-dependent travel times., Eur. J. Oper. Res., vol. 207, no. 3, pp , Dec [18] C. Swoveland, D. Uyeno, I. Vertinsky, and R. Vickson, Ambulance Location: A Probabilistic Enumeration Approach, Manage. Sci., vol. 20, no. 4-part-ii, pp , Dec [19] O. Berman and D. Krass, The generalized maximal covering location problem, Comput. Oper. Res., vol. 29, no. 6, pp , May [20] C. Chung, Recent Applications of the Maximal Covering Location Planning ( M. C. L. P.) Model, vol. 37, no. 8, pp , [21] R. L. Francis, T. J. Lowe, M. B. Rayco, and A. Tamir, Aggregation error for location models: survey and analysis, Ann. Oper. Res., vol. 167, no. 1, pp , Apr [22] E. Lo Hillsman and R. Rhoda, Errors in measuring distances from populations to service centers, Ann. Reg. Sci., vol. 12, no. 3, pp , Nov [23] J. R. Current and D. A. Schilling, Elimination of Source A and B Errors in p- Median Location Problems, Geogr. Anal., vol. 19, no. 2, pp , Sep [24] R. D. Kamenetzky, L. J. Shuman, and H. Wolfe, Estimating need and demand for prehospital care, Oper. Res., vol. 30, no. 6, pp , [25] R. T. Cadigan and C. E. Bugarin, Predicting demand for emergency ambulance service, Ann. Emerg. Med., vol. 18, no. 6, pp , Jun [26] C. E. McConnel and R. W. Wilson, The demand for prehospital emergency services in an aging society, Soc. Sci. Med., vol. 46, no. 8, pp , Apr [27] Ministère de l Intérieur, Référentiel national - premiers secours en équipe de niveau 1 (PSE 1), 3rd ed. 2007, p

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57 8 APÊNDICES 8.1 Apêndice I Modelos do Xpress-mp Modelo Estático model Estatico uses "mmxprs"! ! PG - Ricardo Costa, Guilherme Thompson!! Modelo 1 - Estatico!! ! Definição de parâmetros parameters Ni = 10 Nj = 10 NA = 10 end-parameters!declaração de dados e variáveis de decisão declarations Dij: array(1..ni,1..nj) of integer yi: array(1..ni) of mpvar xij : array(1..ni,1..nj) of mpvar z : mpvar end-declarations initializations from "MatrizDistancias.dat" Dij end-initializations! Declaramos as variaveis como binarias forall(i in 1..Ni) yi(i) is_binary forall(i in 1..Ni,j in 1..Nj) xij(i,j) is_binary! Função objetivo Objetivo := z! Restrição de respeito do número de ambulâncias Restricao1 := sum(i in 1..Ni) yi(i) <= NA 45

58 !Cada ponto de demanda é afetado exatamente por uma ambulância forall(j in 1..Nj) Restricao2(j) := sum(i in 1..Ni) xij(i, j) = 1! Uma ambulância só pode ser alocada a uma zona com uma base ativa forall(i in 1..Ni, j in 1..Nj) Restricao3(i,j) := xij(i, j) <= yi(i)! Restrição de linearização do problema!!!!!!!!!!!! Min(Max)!forall(j in 1..Nj)! Restricao4(j):= sum(i in 1..NbPoints) (w * Dij(i, j)*x1ij(i, j) + (1-w) * Dij(i, j)*x2ij(i, j)) <= z!!!!!!!!!!!! Min(Total) Restricao4:= sum(i in 1..Ni,j in 1..Nj) Dij(i, j)*xij(i, j) = z writeln("begin running model") setparam("xprs_verbose", true) minimize(objetivo) fopen('alocacao_1e.txt',f_output) forall (i in 1..Ni,j in 1..Nj) if (getsol(xij(i,j))<>0) then writeln(j," ",i) end-if fclose(f_output) end-model Modelo Dupla Cobertura! Uma base não pode receber simultaneamente a ambulância model DuplaCobertura uses "mmxprs"! ! PG - Ricardo Costa, Guilherme Thompson!! Modelo 2 - Dupla Cobertura!! ! Definição de parâmetros parameters Ni = 10 Nj = 10 46

59 NA = 10 w = 0.99!Parâmetro de ponderação end-parameters!declaração de dados e variáveis de decisão declarations Dij: array(1..ni,1..nj) of integer yi: array(1..ni) of mpvar x1ij : array(1..ni,1..nj) of mpvar!ambulância prioritária x2ij : array(1..ni,1..nj) of mpvar!ambulância secundária z : mpvar end-declarations initializations from "MatrizDistancias.dat" Dij end-initializations! Declaramos as variaveis como binarias forall(i in 1..Ni) yi(i) is_binary forall(i in 1..Ni,j in 1..Nj) x1ij(i,j) is_binary forall(i in 1..Ni,j in 1..Nj) x2ij(i,j) is_binary! Função objetivo Objetivo := z! Restrição de respeito do número de ambulâncias Restricao1 := sum(i in 1..Ni) yi(i) <= NA!Cada ponto de demanda é afetado exatamente por duas ambulâncias: uma prioritária, outra secundária forall(j in 1..Nj) Restricao21(j) := sum(i in 1..Ni) x1ij(i, j) = 1 forall(j in 1..Nj) Restricao22(j) := sum(i in 1..Ni) x2ij(i, j) = 1! Uma ambulância só pode ser alocada a uma zona com uma base ativa! Uma base não pode receber simultaneamente a ambulância prioritária e secundária forall(i in 1..Ni, j in 1..Nj) Restricao3(i,j) := x1ij(i, j) + x2ij(i, j) <= yi(i)! Restricao de linearização do problema!!!!!!!!!!!! Min(Max) 47

60 !forall(j in 1..Nj)! Restricao4(j):= sum(i in 1..Ni) (w * Dij(i, j)*x1ij(i, j) + (1-w) * Dij(i, j)*x2ij(i, j)) <= z!!!!!!!!!!!! Min(Total) Restricao4:= sum(i in 1..Ni,j in 1..Nj) (w * Dij(i, j)*x1ij(i, j) + (1-w) * Dij(i, j)*x2ij(i, j)) = z writeln("begin running model") setparam("xprs_verbose", true) minimize(objetivo) fopen('alocacao_2dp.txt',f_output) forall (i in 1..Ni,k in 1..Ni,j in 1..Nj) if (getsol(x1ij(i,j))<>0) and (getsol(x2ij(k,j))<>0) then writeln(j," ",i," ",k) end-if fclose(f_output) end-model Reposicionamento dinâmico model ReposicionamentoDinamico uses "mmxprs"! ! PG - Ricardo Costa, Guilherme Thompson!! Modelo 3 - Reposicionamento Dinâmico!! ! Definição de parâmetros parameters Ni = 10 Nj = 10 NA = 10 end-parameters!reiniciliza o arquivo texto fopen('alocacao_3rd.txt',f_output) fclose(f_output)!declaração de dados e variáveis de decisão declarations Dij: array(1..ni,1..nj) of integer yi: array(1..ni) of mpvar xij : array(1..ni,1..nj) of mpvar 48

61 z : mpvar end-declarations initializations from "MatrizDistancias.dat" Dij end-initializations!fazemos um looping para resolver o PLI para cada Número de Ambulancia while (NA>0) do! Declaramos as variaveis como binarias forall(i in 1..Ni) yi(i) is_binary forall(i in 1..Ni,j in 1..Nj) xij(i,j) is_binary! Função objetivo Objetivo := z! Restrição de respeito do número de ambulâncias Restricao1 := sum(i in 1..Ni) yi(i) <= NA!Cada ponto de demanda é afetado exatamente por uma ambulância forall(j in 1..Nj) Restricao2(j) := sum(i in 1..Ni) xij(i, j) = 1! Uma ambulância só pode ser alocada a uma zona com uma base ativa forall(i in 1..Ni, j in 1..Nj) Restricao3(i,j) := xij(i, j) <= yi(i)! Restrição de linearização do problema Restricao4:= sum(i in 1..Ni,j in 1..Nj) Dij(i, j)*xij(i, j) = z writeln("begin running model") setparam("xprs_verbose", true) minimize(objetivo) fopen('alocacao_3rd.txt',f_append) forall (i in 1..Ni,j in 1..Nj) if (getsol(xij(i,j))<>0) then writeln(j," ",i," ",NA) end-if fclose(f_output) NA=NA-1 end-do end-model 49

62 8.2 Apêndice II Modelos do Arena Modelos Estático e Dupla Cobertura Figura 15 Simulação Modelos Estático e Dupla Cobertura Fonte: os autores 50

63 8.2.2 Modelo Reposicionamento Dinâmico Figura 16 Simulação modelo reposicionamento dinâmico Fonte: os autores 51

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