Geometria e Natureza. Rui Pacheco - MPT2013-UBI

Transcrição

1 Geometria e Natureza Rui Pacheco - MPT2013-UBI

2 Geo (Terra) + Metria (Medida) Ramo da Matemática que estuda a forma, medida, estrutura e posição relativa de figuras no espaço Geometria e Natureza 1) Como a história da Geometria tem sido moldada pelas formas observadas... na natureza? 2) Como a Geometria tem contribuído para o conhecimento e descoberta das formas escondidas?

3 As formas na geometria euclidiana A lua cheia tem a forma de uma circunferência As margens do rio correm paralelamente Os raios de luz propagam-se em linha recta e as árvores crescem perpendicularmente ao solo

4 Os Elementos de Euclides (IV a.c.- III a.c.) 1) Apresentam uma vasta colecção de resultados geométricos conhecidos à data. 2) Estabelecem o paradigma axiomático-dedutivo que viria a marcar, ao longo dos tempos e até hoje, o desenvolvimento da Matemática.

5 Porque a nossa intuição às vezes engana-nos...

6 Porque os nossos sentidos às vezes enganam-nos...

7 Não significa isto que a Matemática se resuma ao fastidioso processo de axiomatização e dedução formal de teoremas essa é a última etapa! A intuição e... uma boa figura são essenciais.

8 Aplicações da Geometria de Euclides Eratóstenes (III a.c.- II a.c.) estimou o raio da Terra com notável precisão. A óptica geométrica.

9 Latitude de um ponto sobre a superfície terrestre.

10 Geometria Projectiva A forma percepcionada dos objectos depende do ponto de observação.

11 Teoria da perspectiva: cada ponto no espaço define com o ponto de observação uma recta; esta recta intersecta a tela num ponto.

12 A forma e o tamanho variam com a posição do plano de incidência. A Geometria Projectiva estuda as propriedades que, pelo contrário, são preservadas quando se varia a posição do plano de incidência (Girard Desargues ).

13 Secções Cónicas Teorema de Desargues

14 Geometria Diferencial Curvas na Natureza.

15 A Ciclóide É a solução para os problemas da Tautócrona (C. Huygens ) e da Braquistrócrona (J. Bernoulli ).

16 Pêndulo de Huygens A evoluta de uma ciclóide é uma ciclóide

17 Superfícies na natureza: películas de sabão (superfícies mínimas).

18 A Geometria Diferencial (C. Gauss ) usa técnicas do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral para estudar problemas sobre curvas e superfícies Por exemplo, dados dois pontos sobre uma superfície, qual é o caminho mais curto (geodésica) sobre a superfície que une esses dois pontos?

19 Vivemos num espaço euclidiano (curvatura nula) tridimensional? A forma como medimos ângulos e comprimentos é a mais indicada? B. Riemann ( ) intuiu a importância de generalizar a Geometria Diferencial das curvas e superfícies para espaços ambiente com procedimentos bem diversos de medição de ângulos e distâncias: a Geometria Riemanniana.

20 A Relatividade de Einstein Albert Einstein ( ) ensinou-nos que a relação entre o espaço e o tempo é bem mais subtil do que julgávamos.

21 A Relatividade de Einstein Vivemos num mundo a quatro dimensões curvado por acção do campo gravítico!

22 Cristalografia Os átomos ou moléculas num cristal organizam-se em estruturas periódicas.

23 Cristalografia Cloreto de Sódio Imagem por difracção de raio-x do cloreto de Sódio E. Fedorov ( ) e A. Schoeflies ( ) provaram que existem essencialmente 17 padrões periódicos planares e 219 padrões periódicos espaciais possíveis.

24 Um padrão planar periódico.

25 Quase-Cristalografia Em 1982, D. Shechtman (Prémio Nobel da Química em 2011) observou padrões de difracção com centros de simetria de ordem 10.

26 Quase-Cristalografia Tais padrões não podem ser gerados por estruturas periódicas, e portanto não correspondem a cristais: os quase-cristais. Numa estrutura periódica, existe uma distância mínima a separar quaisquer dois centros de simetria de ordem igual.

27 Quase-Cristalografia Roger Penrose, em 1974, descobriu uma pavimentação do plano exibindo um (e necessariamente único) centro de simetria de ordem 5.

28 Pavimentação de Penrose Compreender as estruturas aperiódicas geradas por um número finito de peças e que exibem um grande número de (quase)simetrias.

29 Quase-Cristalografia Padrões semelhantes podem ser encontrados na arte medieval islâmica.