Aula 4 Ângulos externos de um triângulo
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- João Victor Natal Bugalho
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1 MÓULO 1 - UL 4 ula 4 Ângulos externos de um triângulo Objetivos Introduzir o teorema do ângulo externo. presentar algumas conseqüências do teorema do ângulo externo. Introdução omeçaremos esta aula definindo o que chamamos ponto médio de um segmento. efinição 10 (Ponto médio) Ponto médio de um segmento é um ponto que divide o segmento em duas partes congruentes. Nesse caso, a medida de cada parte é metade da medida total do segmento dividido. proposição a seguir é bastante natural e admitiremos como verdadeira nesta aula. onvido você no entanto a, assim que tiver uma folguinha, consultar e aprender sua demonstração que está no pêndice. Proposição 2 Todo segmento possui um único ponto médio (Veja a figura 57). M Fig. 57: Ponto médio do segmento. ssim como o ponto médio de um segmento o divide em duas partes iguais, dado um ângulo  qualquer, pode-se também provar que existe uma semi-reta que divide  em duas partes iguais. Tal semi-reta recebe o nome de bissetriz do ângulo Â. 45 EERJ
2 Proposição 3 Todo ângulo possui uma única bissetriz. Seja o ângulo  como mostrado na figura 58. ssinale pontos e sobre lados distintos do ângulo, de modo que. Em seguida, trace o segmento. Seja o ponto médio de e trace (veja figura 58). Fig. 58: issetriz de ângulo. omo o segmento é comum aos triângulos e, segue por L.L.L. que. onseqüentemente,  Â, ou seja, a semi-reta divide o ângulo  em dois ângulos congruentes. Está provada a existência da bissetriz. É evidente que a semi-reta é a única que tem a propriedade de dividir o ângulo em dois ângulos de mesma medida. Tente considerar uma outra possibilidade de bissetriz, e encontre que os ângulos obtidos não tem a mesma medida. proposição 3. essa forma, provamos a Ângulos externos de um triângulo efiniremos, a seguir, um conceito muito importante associado aos triângulos. efinição 11 hamamos de ângulo externo de um triângulo um ângulo formado por um lado de e pelo prolongamento de outro lado. EERJ 46
3 MÓULO 1 - UL 4 Note que cada triângulo possui seis ângulos externos, como você pode observar na figura 59. São eles: Â, EÂ, ˆF, G ˆ, ĈH e ĈI. Marque esses ângulos na figura. Observe que F ˆG não é um ângulo externo. Identifique outros ângulos na figura que não são ângulos externos do triângulo. E F G H I Lembre-se de que... izemos que dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90 o. izemos que são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180 o. Fig. 59: Ângulos externos de. Os ângulos  e E são congruentes, pois ambos são suplementares adjacentes ao mesmo ângulo interno Â. ssim também ˆF G ˆ e ĈH ĈI. Nota: Ângulos como  e EÂ, da figura 59, são ditos opostos pelo vértice. Um ângulo é dito oposto a outro ângulo pelo vértice se as semi-retas que o formam são opostas às semi-retas que formam o outro ângulo. Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Mas, voltemos aos ângulos externos. ada ângulo externo possui dois ângulos internos que não lhe são adjacentes. Por exemplo,  e Ĉ são ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo ˆF (e também a G ˆ). O próximo resultado que veremos é conhecido como teorema do ângulo externo. Teorema do Ângulo Externo Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo interno que não lhe seja adjacente. prendendo um pouco mais... Teorema é uma proposição que se deduz de axiomas e de proposições já conhecidas. O cojunto de raciocínios feitos para concluir o que o teorema diz constitui a demonstração do teorema. onsulte: /matematica/arq13-2.htm Sejam um triângulo e um ponto tal que esteja entre e. Provaremos que o ângulo externo Ĉ é maior que cada um dos ângulos internos  e ˆ. Para isso, tome M, o ponto médio de, e trace M. Identifique o ponto E da semi-reta M tal que E 2M. Ligue a E, como na figura EERJ
4 E M Fig. 60: Teorema do ângulo externo. Os triângulos M e ME são congruentes por L..L. (observe que os ângulos opostos pelo vértice, ˆM e ˆME são congruentes). omo conseqüência,  EĈM. omo Ĉ é maior que EĈM, segue que Ĉ é maior que Â. Fazendo uma construção como essa, usando o ponto médio de ao invés do ponto médio de, podemos também concluir que Ĉ é maior que ˆ. Q.E.. onseqüências do teorema do ângulo externo ado um triângulo, dizemos que o ângulo  é oposto ao lado (ou que  opõe-se ao lado ). nalogamente dizemos que ˆ é oposto a e Ĉ é oposto a. Se você desenhar um triângulo em que o lado é maior que o lado, você poderá verificar, com a ajuda de um transferidor, que ˆ > Ĉ, ou seja, que o ângulo oposto a é maior que o ângulo oposto a. O resultado a seguir diz que isso sempre ocorre. Proposição 4 ados dois lados de um triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Reciprocamente, dados dois ângulos de um triângulo, ao maior ângulo opõese o maior lado. Seja um triângulo tal que >, como na figura 61. O nosso objetivo é provar que Ĉ > ˆ. Para isso, marque um ponto em tal que. Pelo fato de ser um triângulo isósceles com base, temos ˆ Ĉ. Mas ˆ é um ângulo externo do triângulo não adjacente a ˆ, e o Teorema do ângulo externo afirma que ˆ > ˆ. Logo, podemos concluir que Ĉ > Ĉ ˆ > ˆ. Provamos, então que > implica que Ĉ > ˆ, que é a primeira parte da proposição. EERJ 48
5 MÓULO 1 - UL 4 Fig. 61: Maior ângulo oposto ao maior lado. Vamos provar a segunda parte. Isto é, Ĉ > ˆ implica que >. Portanto, suponha que seja um triângulo em que Ĉ > ˆ. partir do que foi dito antes, se tivéssemos >, concluiríamos que ˆ > Ĉ, o que não acontece. Se tivéssemos, seria isósceles com base, e teríamos ˆ Ĉ, o que também não acontece. <. Q.E.. omo não é maior nem congruente a, concluímos que om o intuito de simplificar a notação, usaremos daqui em diante  para indicar tanto um ângulo quanto sua medida. ssim, para indicar que a medida de  é 30o, escreveremos simplesmente  = 30o. Proposição 5 (esigualdade triangular) Em qualquer triângulo, a medida de cada lado é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados. onsidere um triângulo. Na semi-reta marque um ponto tal que esteja entre e, e seja congruente a, como na figura 62. O triângulo assim formado é isósceles de base, e portanto temos ˆ Ĉ. Fig. 62: Prova da proposição EERJ
6 omo conseqüência, no triângulo o ângulo Ĉ é maior que o ângulo ˆ, e, portanto, opõe-se a um lado maior. aí <. Por construção, temos m() = m() + m() = m() + m(). ssim, concluímos que m() < m() + m(). Essa mesma construção pode ser feita com base em qualquer lado. Q.E.. Resumo Nesta aula você aprendeu... Que todo segmento possui um único ponto médio. Que todo ângulo possui uma única bissetriz. Que um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo interno a ele não adjacente. Que, num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e vice-versa. Que cada lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois lados. Exercícios 1. É possível construir um triângulo cujas medidas sejam 3cm, 4cm e 8cm? Em caso afirmativo, diga como construí-los. 2. É possível construir um triângulo cujas medidas sejam 3cm, 4cm e 6cm? Em caso afirmativo, diga como construí-los. Perímetro de um triângulo O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Falaremos sobre perímetros de outras figuras na aula O semiperímetro de um triângulo é a metade da soma das medidas de seus lados. Por exemplo, se os lados de um triângulo medem 4cm, 6cm e 8cm, então o semiperímetro desse triângulo vale 9cm. Prove que a medida de qualquer lado de um triângulo é menor que o semiperímetro. EERJ 50
7 MÓULO 1 - UL 4 4. Seja um triângulo qualquer e seja um ponto do segmento. Prove que m() < m() ou m() < m(). 5. Na figura 63, P é um ponto interno qualquer do triângulo. Prove que m(p ) + m(p ) < m() + m(). P Fig. 63: Exercício Na figura 64, m() < m() e é bissetriz de m() < m(). Â. Prove que Fig. 64: Exercício Pode-se concluir que os triângulos e EF da figura 65 são congruentes? Justifique sua resposta. E F Fig. 65: Exercício EERJ
8 8. Observe a figura 66. E F Fig. 66: Exercício 8. etermine: a) Os ângulos menores do que o ângulo ˆ b) Os ângulos maiores do que o ângulo ˆ c) Os ângulos menores do que o ângulo ˆF Você deve ser capaz de justificar suas respostas sem usar a figura. EERJ 52
9 MÓULO 1 - UL 4 pêndice: Para saber mais... Neste apêndice apresentamos uma prova da seguinte proposição: Proposição 6 Todo segmento possui um único ponto médio. onsidere um segmento de reta. e acordo com os axiomas de medida de segmentos vistos na aula 2, existe um número real positivo que representa a medida de. hamemos esse número de c. inda de acordo com aqueles axiomas, existe um segmento de reta, que chamaremos, cuja medida é exatamente c/2. Transportando para a semi-reta, obtemos um ponto M entre e tal que M tem medida c/2 (veja a figura 65). aí, M também tem medida c/2, ou seja, M M, e M é ponto médio do segmento. M Fig. 67: Ponto médio do segmento. Tomando um outro ponto N pertencente ao segmento, temos que N está entre e M ou entre M e. Em ambos os casos a medida de N é diferente da medida de N; isto é, N não é um ponto médio de. Provamos então que o segmento possui um único ponto médio. Q.E.. 53 EERJ
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