Seu pé direito nas melhores faculdades

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1 Seu pé direito nas melhores faculdades FUVEST 2 a Fase 10/janeiro/2011 conhecimentos gerais 01. a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9? b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5? c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4? a) Se arranjarmos os 6 algarismos 4 a 4, temos: A 6,4 = 6! = 360 ( 6-4)! b) Para que o número seja divisível por 5, basta que o último algarismo seja 5. Então, se arranjarmos os 5 algarismos restantes 3 a 3, temos: A 5;3 = 5! ! =... = 60 ( 5 3)! 2! c) Para que o número seja divisível por 4, bastam que os dois últimos algarismos formem um número divisível por 4. Assim eles devem terminar em 16, 36, 56, 68 ou 96. Para os 2 primeiros algarismos, temos o arranjo de 4 algarismos 2 a 2, resultando em: 5 x A 4,2 = 5. 4! = 60 ( 4-2)! 1

2 2 FUVEST 10/01/2011 Seu pé direito nas melhores Faculdades 02. No plano cartesiano Oxy, considere a parábola P de equação y = 4x 2 + 8x + 12 e a reta r de equação y = 3x + 6. Determine: a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado Ox, bem como o vértice V da parábola P. b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r. c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V. a) Os pontos A e B estão sobre as raízes da equação 4x 2 + 8x + 12 = 0. Temos: Δ = (8) 2 4 ( 4) (12) = 256 x = 8 ± 16 Þ x = 3 ou x = 1 2 ( 4) O ponto V é o vértice da parábola. Daí: x v = b = 8 2a 2 ( 4) = 1 e y v = = 256 4a 4( 4) = 16 Ou seja, A (3; 0) e B ( 1; 0) ou A ( 1; 0) e B (3; 0) e V (1; 16) b) Para encontrarmos o ponto C, basta resolvermos o sistema: y = 4x 2 + 8x + 12 y = 3x + 6 Donde vem x = 2 e y = 12 ou x = e y = Para abscissa positiva, temos C = (2; 12). c) Colocando os pontos A, B, C e V no plano cartesiano, temos: y 16 V 12 C A D E B x Para calcularmos a área da região pedida, podemos separar em 2 triângulos (ADV e CBE) e 1 trapézio (DECV). Então, a área pedida será: A = ( ) ( 12) A = 36

3 Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST 10/01/ Um automóvel consome, em média, um litro de gasolina para percorrer, em região urbana, uma distância de 10 km. Esse automóvel é do tipo conhecido como flex, ou seja, pode utilizar, como combustível, gasolina e/ou álcool, com as propriedades fornecidas na tabela abaixo. Com base nas informações dadas, determine: a) Os valores das energias E G e E A liberadas pela combustão de um litro de gasolina e de um litro de álcool, respectivamente. b) A distância d A percorrida, em média, pelo automóvel com 1 litro de álcool. c) O preço máximo P m de um litro de álcool, acima do qual não seria conveniente, do ponto de vista financeiro, utilizar esse combustível, caso o litro de gasolina custasse R$ 2,40. d) O gasto médio G com combustível, por quilômetro rodado pelo automóvel, em região urbana, usando exclusivamente álcool, se o litro desse combustível custar R$ 1,60. NOTE E ADOTE poder calorífico (kcal/kg) densidade (g/cm 3 ) gasolina 1,0 x ,7 álcool 7,0 x ,8 A distância percorrida pelo automóvel é diretamente proporcional à energia liberada pelo combustível consumido. a) 1L de gasolina: V = 1L = 1000 cm 3 densidade: 0,7 g/cm 3 (a partir da tabela) d = m V Þ 0,7 = m Þ m = 700 g = 0,7 kg 1000 poder calorífico: 1, kcal/kg (a partir da tabela) 1 kg 1, kcal 0,7 kg E G Þ E G = 0, kcal Þ E G = 7000 kcal 1 L de álcool: V = 1 L = 1000 cm 3 m densidade: 0,8 = Þ m = 800 g = 0,8 kg 1000 poder calorífico: 7, kcal/kg (a partir da tabela) 1 kg 7, kcal 0,8 kg E A Þ E A = 5, kcal Þ E A = 5600 kcal b) Segundo o enunciado, o automóvel consome 1L de gasolina para percorrer 10 km e a distância percorrida é proporcional à energia liberada pelo combustível. Do item a, temos: 1 L (gasolina) E G = 7000 kcal 1L (álcool) E A = 5600 kcal Assim, 7000 kcal 10 km 5600 kcal d A Þ d A = 8km c) Com 1L de álcool é possível percorrer 8 km. O preço máximo do litro de álcool é aquele em que seu custo se equivale ao da gasolina, ou seja, que permita percorrer 10 km com R$ 2,40: 10 km R$ 2,40 8 km P m P m = R$ 1,92 d) Com 1 L de álcool é possível percorrer 8 km: 1L x 8 km 1km Þ x = 1 L (de álcool para cada quilômetro rodado) 8 1 L de álcool custa R$ 1,60 1 L R$ 1,60 1 L 8 G Þ G = R$ 0,20 fuv112fjan CPV

4 4 FUVEST 10/01/2011 Seu pé direito nas melhores Faculdades 04. Um menino puxa, com uma corda, na direção horizontal, um cachorro de brinquedo formado por duas partes, A e B, ligadas entre si por uma mola, como ilustra a figura abaixo. As partes A e B têm, respectivamente, massas m A = 0,5 kg e m B = 1 kg, sendo μ = 0,3 o coeficiente de atrito cinético entre cada parte e o piso. A constante elástica da mola é k = 10 N/m e, na posição relaxada, seu comprimento é x 0 = 10 cm. O conjunto se move com velocidade constante v = 0,1 m/s. Nessas condições, determine: a) Distribuindo as forças nos corpos, temos: N A N B Fel A B Fat A Fel Fat B P A P B T P A = m A. g = 0,5. 10 = 5N Þ P A = N A = 5N P B = m B. g = = 10N Þ P B = N B = 10N Sabendo que o sistema está com velocidade constante, temos: F RES = 0 F RES = 0 a) O módulo T da força exercida pelo menino sobre a parte B. b) O trabalho W realizado pela força que o menino faz para puxar o brinquedo por 2 minutos. c) O módulo F da força exercida pela mola sobre a parte A. d) O comprimento x da mola, com o brinquedo em movimento. NOTE E ADOTE Aceleração da gravidade no local: g = 10 m/s 2 Despreze a massa da mola. Fel = Fat A T = Fel + Fat B Fel = N A. μ T = 1,5 + N B. μ Fel = 5. 0,3 T = 1, ,3 Fel = 1,5 N T = 1,5 + 3 Þ T = 4,5 N b) W = F. d W = T. (V x Δt) W = 4,5. (0,1 x 2 x 60) W = 4,5. 12 W = 54 J c) Como visto no item a), Fel = 1,5 N d) Fel = k. Δx Fel = k. (x x 0 ) 1,5 = 10. (x 0,1) 0,15 = x 0,1 x = 0,25 x = 25 cm

5 Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST 10/01/ Em um laboratório, há dois frascos com soluções aquosas diferentes: Ácido acético de concentração 1,0 mol/l; Ácido clorídrico de concentração 4,2 x 10 3 mol/l. Fazendo dois testes, em condições iguais para as duas soluções, observou-se que, ao mergulhar, nas soluções, os eletrodos de um aparelho para medir a condutibilidade elétrica, a intensidade da luz da lâmpada do aparelho era a mesma para as duas soluções; ao adicionar a mesma quantidade de indicador universal para ácidos e bases a amostras de mesmo volume das duas soluções, a coloração final observada era a mesma. a) Explique por que duas soluções tão diferentes exibem comportamentos tão semelhantes. b) Considerando os valores fornecidos nesta questão, calcule a constante de dissociação iônica do ácido acético. Mostre os cálculos. a) A condutibilidade elétrica e a coloração, sob presença de indicador, das duas soluções estão diretamente relacionadas às concentrações dos íons presentes. Sabendo-se que o ácido acético é um eletrólito fraco e o ácido clorídrico é um eletrólito forte, a maior concentração do ácido fraco (1 mol/l) é compensada pela menor concentração do ácido forte (4, mol/l), o que traduz-se por semelhantes concentrações de íons nas duas soluções. b) Genericamente: HA H + + A (Mα) (Mα) M: concentração molar (mol/l) α: grau de ionização HC H + + C 4, mol/l 4, mol/l (considerando α = 1) HAc H + + Ac (1 α HAC ) mol/l (1 α HAC ) mol/l (Ac : íon acetato) Conforme assumido no item a, as concentrações dos íons nas duas soluções são praticamente iguais. Logo: α = 4, Ki (HAC) = M HAC. α 2 HAC 1 αhac = 1. (4, ) 2 = 17, , Observação: a constante acima refere-se à ionização do ácido; não há sentido em se dizer constante de dissociação iônica para ácidos, como citado no enunciado. fuv112fjan CPV

6 6 FUVEST 10/01/2011 Seu pé direito nas melhores Faculdades 06. Em 1921, E. Rutherford e J. Chadwick relataram que, ao bombardear átomos de nitrogênio ( 14 7N) com partículas alfa (núcleos de 4 2He), ocorria a liberação de prótons. Posteriormente, eles afirmaram: Não há informação sobre o destino final da partícula alfa... É possível que ela se ligue, de alguma maneira, ao núcleo residual. Certamente ela não é reemitida pois, se assim fosse, poderíamos detectá-la. Anos mais tarde, P. Blackett demonstrou que, na experiência relatada por Rutherford e Chadwick, havia apenas a formação de um próton e de outro núcleo X. Também lembrou que, na colisão da partícula alfa com o átomo de nitrogênio, deveria haver conservação de massa e de carga nuclear. a) Com base nas informações acima, escreva a equação nuclear representativa da transformação que ocorre ao se bombardear átomos de nitrogênio com partículas alfa. b) O núcleo X formado na experiência descrita é um isótopo de nitrogênio? Explique sua resposta. a) 14 7 N α 17 8 X P b) Não, pois possui número atômico 8 (oxigênio). Para ser um isótopo do nitrogênio, deveria possuir o número atômico igual a 7.

7 Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST 10/01/ A solução de azul de bromotimol atua como indicador de ph. Em meio ácido, sua cor fica amarela e, em meio básico, azul. Para valores de ph entre 6 e 7, a solução fica verde. Considere um aquário de água doce, iluminado e montado com peixes e plantas aquáticas. Retirouse uma amostra de água desse aquário (amostra 1) e a ela adicionou-se solução de azul de bromotimol (indicador de ph), observando-se a cor verde. a) O aquário foi mantido, por certo tempo, em ambiente escuro. Nova amostra de água foi retirada (amostra 2) e, ao se adicionar o indicador de ph, a coloração foi diferente da observada na amostra 1. Explique o que provocou a diferença de ph entre as amostras 1 e 2. b) A adição excessiva de ração para peixes levou ao aumento da população de decompositores no aquário. Que coloração é esperada ao se adicionar o indicador de ph a uma amostra de água do aquário (amostra 3)? Justifique sua resposta. a) Em ambiente escuro as plantas aquáticas não realizam fotossíntese, portanto não há fixação de carbono, e todo o CO 2 produzido, em processos biológicos, como a respiração celular, permanece dissolvido em água, podendo formar ácido carbono e reduzir o ph, o que justifica a mudança de coloração da amostra 2. CO 2 + H 2 O H 2 CO 3 b) O indicador de ph na amostra 3 deve mostrar a cor amarela. Em ambiente aeróbico, a decompisição produz CO 2. O excesso de organismos decompositores portanto leva ao aumento da concentração de CO 2 e redução do ph. fuv112fjan CPV