MODELOS MATEMÁTICOS DE REFRACÇÃO DAS ONDAS DE ENGENHARIA COSTEIRA

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1 MODELOS MATEMÁTICOS DE REFRACÇÃO DAS ONDAS DE ENGENHARIA COSTEIRA RESUMO Apresenta-se um modelo matemático do fenómeno da refracção das ondas de gravidade, apoiado num programa de cálculo automático bastante aperfeiçoado e enquadrado por uma técnica de utlização prática que permite a resolução rápida dos problemas inerentes ao cálculo de um conjunto de diagramas de refracção e à análise, elaboração e interpretação de resultados correspondentes. A primeira parte do trabalho que engloba os Caps. 1 e 2 constitui a introdução. No Cap. 1 tecem-se algumas considerações sumárias sobre o método de estabelecimento do programa de cálculo automático base do modelo matemático e apresenta-se uma breve história de modelação matemática determinística em engenharia costeira. No Cap. 2 refere-se a necessidade de um modelo matemático da refracção e dão-se indicações de custos dos diagramas de refracção. Os Caps. 3 e 8 são dedicados ao estudo do fenómeno da refracção das ondas de gravidade e seu tratamento numérico e constituem a segunda parte do trabalho. No Cap. 3 indicam-se, de forma muito sintética, os fundamentos da teoria das ondas de pequena amplitude sendo deduzidas as principais expressões utlizadas no estudo da refracção. É apresentada a teoria da refracção de uma onda sinusoidal, sendo abordado um conjunto de problemas tais como os aspectos energético e geométrico da refracção, as soluções analíticas para fundos algébricos, as zonas de convergência e cáusticas, a refracção por efeito de correntes, e as aproximações da teoria da refracção. Por último criticam-se os métodos gráficos habituais de cálculo de planos de ondulação. No Cap. 4 são deduzidas as equações de base do modelo matemático da refracção e indicam-se as condições fronteira respectivas. No Cap. 5 são apresentadas as diferentes técnicas de cálculo e de interpolação das principais grandezas directamente ligadas à obtenção de uma ortogonal e dos sucessivos valores da amplitude relativa da onda. São indicados os métodos numéricos de integração das equações diferenciais do raio de onda e do coeficiente de afastamento de ortogonais. É feita referência a técnicas de alisamento da batimetria. Em todos os casos são apresentados os métodos utlizados no LNEC assim como outros referidos na bibliografia. São indicadas, para os vários programas preparados no LNEC, as técnicas de cálculo e de interpolação e os métodos numéricos de integração usados. No Cap. 6 são apresentadas, de forma exaustiva, todas as verificações dos programas levadas a cabo após o seu estabelecimento, designadamente a verificação analítica e a comparação dos resultados obtidos com os métodos numéricos e gráficos para

2 fundos irregulares. É ainda feita referência a estudos efectuados por outros autores, designadamente observações na natureza, ensaios em modelo reduzido e validações dos modelos matemáticos realizadas em gabinete. Referem-se ainda os estudos com aplicação conjugada deste modelo matemático e de modelos físicos de agitação, realizados para as zonas marítimas adjacentes a Praia de Alcalá e ao Porto de Sines. Estes estudos, embora correspondendo a trabalhos concretos de aplicação realizados por contrato pelo LNEC para entidades exteriores ao Laboratório, contribuiram para a validação complementar efectiva do programa de base do modelo matemático da refracção seleccionado para exploração comercial. No Cap. 7 apresentam-se outros modelos matemáticos de refracção apoiados na teoria linear, designadamente o modelo de refracção por efeito do fundo que entra com a dissipação de energia por atrito e por percolação no fundo, os modelos de refracção por efeito de fundo e de correntes, o modelo de refracção por efeito do fundo que entra com o efeito de esfericidade da Terra e o modelo de refracção de ondas irregulares. No Cap. 8 apresentam-se os modelos de refracção pura apoiados em teorias não-lineares. Após breve passagem em revista dos fundamentos teóricos e tratamentos matemáticos relativos à propagação de ondas não- lineares são referidos o modelo de Chu (1975), o modelo de ondas cnoidais de 1ª ordem e o modelo de ondas vocoidais. A terceira parte é consagrada à análise do actual programa base do modelo matemático da refracção do LNEC. Assim, no Cap. 9 indicam-se, em linhas muito gerais, o tipo de dados a fornecer, as hipóteses de exploração do programa e o seu modo de funcionamento; é ainda feita uma análise da estrutura do programa, relativamente pormenorizada. O Cap. 10 é consagrado à descrição da forma de utilização prática do programa incluindo as técnicas de pré-processamento dos dados e de processamento dos resultados dos cálculos. É apresentado um exemplo de aplicação do programa, ilustrado com os dados e resultados respectivos. Referem-se as técnicas de processamento dos resultados dos cálculos dos diagramas de refracção seguidas no LNEC e as recentemente desenvolvidas na Holanda e de que o LNEC não tem, por enquanto, experiência. No Cap. 11 referem-se os estudos concretos efectuados com o modelo matemático da refracção do LNEC. A quarta e última parte é consagrada às melhorias das técnicas de modelação e simulação matemática da refracção. Assim no Cap. 12 passam-se em revista os problemas em aberto no LNEC indicando-se quais os aperfeiçoamentos possíveis das técnicas actualmente usadas no Laboratório e o modo de os implementar. No Cap. 13 analisam-se os problemas em aberto no estado de conhecimento actual e o modo de os resolver.

3 Cada capítulo do trabalho encerra com a bibliografia relativa às matérias nele tratadas. COASTAL ENGINEERING WAVE REFRACTION MATHEMATICAL MODELS SYNOPSIS This thesis is an account of work undertaken with a view to establishing a mathematical model for water-wave refraction by means of a rather sophisticated, yet very easy to use computer program complemented by a technique of practical use which allows the quick solution of problems concerning the computation of refraction of water waves. Part one is the introduction and consists of Chapters 1 and 2. In Chapter 1 some brief considerations are presented about the technique of setting up a computer program; a short revue of the coastal engineering mathematical models is given. In Chapter 2 the usefulness of a mathematical model of wave refraction is shown; there is also a discussion of the present perspectives as far as costs of utilization are concerned. Chapters 3 to 8 are devoted to the analysis of the phenomenon of refraction of gravity waves and its numerical solution and make up the second part of the thesis. Chapter 3 deals with the fundamentals of small amplitude wave theory and the first equations of the refraction theory are deduced. The refraction theory of a sinusoidal wave is show and some problems are considered such as power transmission, analytical solutions for the refraction of waves in the case of a shoreline and offshore contours which are straight and parallel and for islands and shoals with concentric circular contours, convergence zones and caustics, refraction by currents, and wave refraction theory approximations. Finally, in this chapter, the advantages and disadvantages of graphical methods of construction of wave refraction diagrams are described. In chapter 4, two different derivations of the differential equations, concerning the solution of wave refraction as an initial value problem, are developed. Chapter 5 introduces the several computation and interpolation techniques concerning the principal physical variables directly related to the calculation of the ray path and of the wave amplitude along a ray. Methods for the numerical solution of the ray equation and of the equation of wave intensity are outlined. Reference is made to depth smoothing techniques. In all cases reference is made not only to the procedures used at LNEC but also to others procedures published elsewhere in technical papers.

4 Reference is made to the computation and interpolation techniques and to the numerical methods of integration of the differential equations described in this chapter, which are used by the different programs. In chapter 6 reference is made to mathematical model validation. Several safe ways of checking the numerical procedures have been accomplished especially for the case of the analytical solution for straight and parallel bottom contours, and for the comparison of the results produced by numerical and graphical methods over natural irregular bottoms. In connection with program checking, reference is also made to other authors results specially to model study of wave refraction, field observations and other wave refraction mathematical model s ways of checking. Two cases studies of joint application of physical model of wave action and a mathematical model of wave refraction are described with some detail. These studies Alcala Beach (Canary Islands) and Port Sines (Portugal) were done at LNEC under contract and they supplemented the checking of the techniques of computation of refraction of water waves. In chapter 7 other linear wave refraction model are briefly described, such as the model for wave refraction including the effects of bottom friction and percolation and the spherical earth, the numerical models of current depth refraction of waves, and the model for the refraction of wave spectra. Chapter 8 deals with numerical models of wave refraction of non-linear waves: the model for the wave refraction by finite amplitude wave theories Chu (1975) -, the model for the refraction of first order cnoidal waves Skovgaard e Peterson (1977) and the model for the refraction of vocoidal waves Cooper, Fleming e Crowley (1982). The third part is concerned with a detailed analysis of the LNEC s wave refraction program. In chapter 9 the different types of given quantities, the possible ways of exploitation of the program and its working are briefly described; furthermore a detailed analysis of the program s structure is given. Chapter 10 deals with a full description of the program s practical use technique. This is illustrated with one example of the program s application including all the respective given quantities (input) and some of the results (output) relative to the computer s plotter and line-printer devices. LNEC s experience concerning wave refraction results processing as well as Bouws and Battjes method, recently developed in Holland, are referred to. Chapter 11 deals with a brief description of the different program s application case studies at LNEC. The fourth and last part of the thesis is devoted to the future research studies as far as the improvement of wave refraction numerical simulation techniques is concerned. Chapter 12 deals with the improvement of those techniques at LNEC s Hydraulics Department. In Chapter 13 two non-solved problems at the state-of-the-art level are listed.

5 Each chapter of the thesis closes with the references corresponding to the first works consulted by the author and which are directly linked to the subjects treated in the chapter.