MODELOS DE CORRELAÇÕES CONDICIONAIS DINÂMICAS

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1 XIV Congresso da Sociedade Portuguesa de Estatística (006) MODELOS DE CORRELAÇÕES CONDICIONAIS DINÂMICAS Aplicação Empírica às Taxas de Retorno das Large Cap e Small Cap da Zona Euro José Neto e F. Vitorino Martins

2 OBJECTIVOS DO ESTUDO Estudo da dinâmica de correlações entre as taxas de retorno das pequenas e grandes empresas cotadas nas bolsas da zona euro Comportamento homogéneo das correlações dinâmicas em todos os países? Existirão especificidades? Utilização de Modelos de Correlações Condicionais Dinâmicas (Modelos DCC) XIV Congresso da SPE (006)

3 MOTIVAÇÃO DO ESTUDO A volatilidade e a correlação dos retornos das acções desempenham um papel crucial nas seguintes áreas das finanças: Gestão de carteiras Avaliação de activos financeiros Gestão de risco... XIV Congresso da SPE (006) 3

4 O QUE SABEMOS? A volatilidade e a correlação dos retornos : Variam ao longo do tempo, por vezes abruptamente; Os retornos estão negativamente relacionados com a volatilidade e correlação COMPORTAMENTO ASSIMÉTRICO XIV Congresso da SPE (006) 4

5 CORRELAÇÕES CONDICIONAIS. Definição de correlação condicional: r e r são os desvios em relação à média. r = ε h e r = ε h. Se, t, t, t, t, t, t então: ρ ρ E ( ε ε ) ( ) ( ε * E ε ) ( ε ε ) t, t, t, t = = Et, t, t E, t = t ( r, tr, t) ( )* ( ) E E r E r t, t t, t t, t t, t XIV Congresso da SPE (006) 5

6 CORRELAÇÕES CONDICIONAIS CONSTANTES Bollerslev (990) Propõe modelizar a matriz de variâncias e covariâncias condicional dos retornos de activos financeiros assumindo que as correlações condicionais são constantes: variância condicionada: p q lt, ω αi t i β j t j i= j= K h = + r + h l =,, k covariância condicionada: hlm, t = ρlm hl, t hm, t l, m=, K, k l m XIV Congresso da SPE (006) 6

7 CORRELAÇÕES CONDICIONAIS CONSTANTES Vantagens: Modelo pode ser facilmente estimado pelo método máxima verosimilhança mesmo para um nº de activos financeiros elevado H t é definida positiva Desvantagem: Assume correlações condicionais entre os retornos constantes! XIV Congresso da SPE (006) 7

8 MODELO DCC - Especificação Engle (00) e Engle e Sheppard (00) ( ) r I N 0, H t t t H = DRD t t t t ( ) ( ) R = Q Q Q t t t t Q Q Q p p p q ' t = αi βi + αε i t iεt i + β j t j i= i= i= j= (,, ', L, ) (,, L,, ) ( ) D = diag h h Q = diag q q Q = E ε ε t t k t t t kk t t t XIV Congresso da SPE (006) 8

9 MODELO DCC - Especificação Para dois activos i e j, num modelo DCC(,): h e h it, jt, Modelos GARCH univariados ε r = ε = h it, it, jt, j, t it, jt, r h ( ) q = α β q + αε ε + βq ij, t ij i, t j, t ij, t ρ = ij, t q ij, t q q ii, t ij, t XIV Congresso da SPE (006) 9

10 Função de verosimilhança N ' L( θ ) = exp r k / / tht rt t= H ( π ) ln L( θ) = klog ( π) + log H + r H r MODELO DCC Estimação N ' ( t t t t) t= t= ( t t t t t t t t) N ' ln L( θ) = klog ( π) + log DRD + r ( DRD ) r ln L( θ) = klog( π) + log D + log R + r D R D r N ' ( t t t t t t t) t= t ln L( θ) = klog( π) + log D + log R + ε R N ' ( t t t t εt) t= XIV Congresso da SPE (006) 0

11 MODELO DCC - Estimação Estimação em duas fases pelo método da quase máxima verosimilhança (QMV): (,, K,, ) (, ) θ = φ φ φ ψ = φ ψ ln L( θ ) = klog ( π) + log D + r D r + log R ε ε + ε R ε N ' ' ' ( t t t r t t t t t t) t= ( θ) = ( φ) + ( ψ) ln L ln L ln L k XIV Congresso da SPE (006)

12 MODELO DCC - Estimação. Na primeira fase estimam-se para cada série de retornos modelos GARCH univariados assumindo que R=I (correlações condicionais nulas) ln L( φ) = klog ( π) + log D + r D r N ' ( t t r) t= r ln L( φ) = klog ( π) + log ( h ) + N k it it t= i= hit r ln L( φ) = Nlog ( π) + log ( h ) + k N it it i= t= hit XIV Congresso da SPE (006)

13 MODELO DCC - Estimação. Após estimadas as variâncias condicionais calculamse os retornos estandardizados ε it = rit / hit e estimam-se os parâmetros das correlações condicionadas usando a função logarítmica de verosimilhança original: N ln L klog log D log R R ( ˆ) ( ( ) ˆ ) ' ψ φ = π + t + t + εt t εt t= ln L R R ( ) N ˆ ' ψφ ( log t + εt t εt) t= XIV Congresso da SPE (006) 3

14 MODELO DCC - Estimação Sob certas condições gerais, Engle e Sheppard (00) demonstraram que, apesar da incorrecta especificação da função de máxima verosimilhança, os estimadores QMV são consistentes e seguem assimptoticamente uma distribuição normal. Por forma a obter um estimador robusto para a matriz de variâncias e covariâncias dos estimadores de QMV será necessário fazer o seguinte ajustamento: V ( ˆ θ ) = A BA ln L A= E ' θθ ' ln L ln L B= E θ θ Bollerslev e Wooldridge (99) XIV Congresso da SPE (006) 4

15 Modelo DCC generalizado (GDCC) MODELO DCC - Extensões ( ) Q = Q AQA BQB + Aε ε A+ BQ B ' ' ' ' ' t t t t ( ) q = aa bb q + aa ε ε + bb q ij, t i j i j ij i j i, t j, t i j ij, t (,, L, ) (,, L, ) A = diag a a a B = diag b b b k k XIV Congresso da SPE (006) 5

16 MODELO DCC - Extensões Modelo DCC assimétrico e generalizado (AGDCC) ( ) Q = Q AQA BQB + G NG+ Aε ε A+ BQ B+ Gη η G ' ' ' ' ' ' ' ' t t t t t t ' [ 0] o ηt = I εt < εt N = E ηη t t ( ) q = q aaq bbq ggn + aaε ε + bbq + ggη η ij, t ij i j ij i j ij i j ij i j i, t j, t i j ij, t i j i, t j, t (,, L, ) (,, L, ) (,, L, ) A = diag a a a B = diag b b b G = diag g g g k k k XIV Congresso da SPE (006) 6

17 Aplicação Empírica Amostra Fonte dos dados Universo Construção de índices Variáveis Periodicidade dos dados DATASTREAM Empresas cotadas na zona Euro com capitalização bolsista superior a 500 milhões de Large, Mid/Large, Mid, Mid/Small e Small Taxa de retorno instantânea de cada índice Semanal Período Após a introdução da moeda única (Janeiro de 999 a Agosto de 006) XIV Congresso da SPE (006) 7

18 Evolução dos Índices XIV Congresso da SPE (006) 8

19 Evolução dos Retornos XIV Congresso da SPE (006) 9

20 Estatísticas Descritivas L ML M MS S Nº de observações Média (%) 0,0 0,0 0,8 0,4 0,095 Desvio-Padrão (%) 3,09,303,00,00,07 Skewness -0,38-0,788-0,894 -,073 -,53 Kurtosis 6,539 5,859 5,577 5,47 8,37 Jarque-Bera 4,6 76,35 6,69 77,3 557,49 P-Value JB 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ASSIMETRIA NEGATIVA NÃO NORMALIDADE XIV Congresso da SPE (006) 0

21 MODELOS GARCH UNIVARIADOS ( ) h = ω+ αr + βh GARCH, : t t t ( ) GJR-GARCH,, : h = ω+ αr + γi[ r < 0] r + βh t t t t t Índice Modelo ω α γ β Large Caps GJR 0,504 0,055 * 0,7 0,763 Mid/Large Caps GARCH 0,496 0,5-0,696 Mid Caps GJR 0,979 0,000 * 0,347 0,584 Mid/Small Caps GJR 0,870 0,007 * 0,37 0,58 Small Caps GARCH 0,5 0,5-0,749 * Não significativo para um nível de significância de 5%. XIV Congresso da SPE (006)

22 Evolução da Volatilidade Condicionada XIV Congresso da SPE (006)

23 MODELOS CCC Modelo CCC L Caps M/L Caps M Caps M/S Caps S Caps L Caps 0,90 0,879 0,860 0,804 M/L Caps,000 0,935 0,9 0,884 M Caps,000 0,940 0,884 M/S Caps,000 0,898 S Caps,000 Ln L = -654,7 XIV Congresso da SPE (006) 3

24 MODELOS DCC Modelo α β a i b i g i Ln L DCC(,) 0,084 0, , L Caps - - 0,04 0,964 - M/L Caps - - 0,689 0, GDCC(,) M Caps - - 0,08 0, ,8 M/S Caps - - 0,059 0, S Caps - - 0,57 0, L Caps - - 0,034 0,9539 0,40 * M/L Caps - - 0,474 0,9440 0,455 AGDCC(,) M Caps - - 0,7 0,940 0, ,0 M/S Caps - - 0,668 0,943 0,66 S Caps - - 0,05 0,963 0,697 * Não significativo para um nível de significância de 5% XIV Congresso da SPE (006) 4

25 Testes da razão de verosimilhança ( L lnl ) χ ln r u q Qual o melhor modelo? a Modelo GDCC Nota: Foutz and Srivastave (977), Liang and Self (996) referem que quando um modelo é estimado em duas fases a estatística apresentada é uma soma χ ponderada de q variáveis independentes. XIV Congresso da SPE (006) 5

26 Correlação Condicionada Modelo GDCC XIV Congresso da SPE (006) 6

27 News Impact Surface XIV Congresso da SPE (006) 7

28 Análise por país País Correlações entre as diferentes Caps Modelo Alemanha Dinâmicas GDCC Áustria Constantes CCC Bélgica e Luxemburgo Constantes CCC Espanha Dinâmicas AGDCC Finlândia Constantes CCC França Dinâmicas GDCC Grécia Dinâmicas AGDCC Holanda Dinâmicas GDCC Irlanda Dinâmicas DCC Itália Dinâmicas AGDCC Portugal Dinâmicas DCC XIV Congresso da SPE (006) 8

29 Referências bibliográficas Engle R.F. (00), Dynamic conditional correlation a simple class of multivariate GARCH models, Journal of Business and Economic Statistics, Vol. 0, pp Engle R.F. e K. Sheppard (00), Theorical and empirical properties of dynamic conditional correlation MVGARCH, UCSD Working Paper n Cappiello L., R.F. Engle e K. Sheppard (003), Asymmetric Dynamics in the Correlations of Global Equity and Bond Returns, ECB Working Paper n. 04. Bauwens L., S. Laurent e J.V.K. Rombouts (006), Multivariate Garch Models: a Survey, Journal of Apllied Econometrics, Vol. 0, pp Bollerslev, T., J. Wooldridge (99), Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances, Econometrics Reviews, Vol., pp XIV Congresso da SPE (006) 9