Visualização via Maple 12 de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em ponto algum do domínio

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1 Visualização via Maple 2 de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em ponto algum do domínio Adilandri M. Lobeiro, Diogo H. Macowski, Wellington J. Corrêa, Sara C. Silva. UTFPR - Coeme , Campo Mourão, PR alobeiro@utfpr.edu.br, wcorrea@utfpr.edu.br, dmacowski@utfpr.edu.br, sarasilva@utfpr.edu.br, Liliana Madalena Gramani UFPR - Departamento de Matemática Centro Politécnico , Curitiba, PR gramani@ufpr.br. Resumo: Aprenta- a função de Weierstrass a qual induz a implementação de uma outra função de características melhantes que é reprentada por uma soma finita de funções reais. Devido ao fato das somas parciais dessas funções reais envolverem domínios diferentes, tornou manualmente impraticável a obtenção destas somas quando o número de funções é grande. Neste caso, a disponibilidade de tecnologia com o uso do Maple 2 torna- adequada para a visualização geométrica do gráfico destas somas parciais. Então construiu- um algoritmo que gerou as funções cujos gráficos induzem visualmente ao gráfico de uma função contínua em toda reta real que não possui derivada em ponto algum. Palavras-chave: Continuidade, Derivabilidade, Série de funções, Algoritmo via Maple 2. Introdução A disponibilidade de tecnologia nos dias de hoje, quando usada adequadamente, torna ainda mais importante a compreensão dos conceitos que fundamentam as imagens que obrvamos na tela. É uma ferramenta valiosa na compreensão dess conceitos. Todavia, a tecnologia computacional vem despertando um maior interes para ilustrar e reforçar alguns conceitos dentro do ensino-aprendizagem de matemática. Deve- mpre decidir quando é mais apropriado utilizar a mão ou a máquina, ou ambas. No caso da reprentação gráfica de funções o uso de tecnologia implementa uma importante compreensão visual. Em particular, nes trabalho procuraremos gerar a visualização de uma função contínua em toda reta real porém não derivável em ponto algum do domínio, com o auxílio do Maple 2. Desta forma, a estrutura des artigo está organizada em mais quatro ções descritas brevemente abaixo: Na ção 2 é aprentada de uma forma suscinta a exposição do problema; Na ção 3 descrevemos detalhadamente o método de construção da visualização da função; A ção é caracterizada por aprentar como resultado obtido o algoritmo; 60

2 Finaliza- o trabalho na ção 5 onde é aprentada a conclusão. 2 Exposição do Problema Sabemos que toda função derivável no u domínio é contínua nes domínio. Entretanto, existem funções contínuas no ponto x i, do u domínio, que não são deriváveis ness pontos. Como por exemplo, a função m : IR IR definida por m(x) = x no ponto x = 0. No entanto, o matemático Karl Weierstrass publicou a primeira função que possue a patologia de r contínua em toda a reta real embora não possua derivada em ponto algum do domínio. Essa função, conhecida como função de Weierstrass [6], é definida como: w : IR IR x w(x) = a n cos(b n πx) onde a (0,) e b é um inteiro positivo ímpar tal que ab > + 3π 2. O objetivo principal deste artigo é após considerar uma determinada função g : IR IR que rá utilizada na definição de uma função f : IR IR dada como soma de uma série infinita de funções reais, ( criar um algoritmo via Maple 2 para construir o gráfico de uma soma n finita de funções reais f i ). Inicialmente para gerar o algoritmo, fazemos os gráficos das i=0 funções f 0,f 0 +f, f 0 +f +f 2, etc, em um domínio comum de forma a induzir uma visualização de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em ponto algum do domínio. n=0 3 Método ou formulação utilizados A princípio, consideremos a função g : IR IR defina por que satisfaz a guinte condição: a) g(x) = x 0 x 2 x < x 2, b) para todo x IR, g(x + 2) = g(x). O item a) define g no intervalo de [0, 2] enquanto que o item b) garante que g é periódica, com período 2. O gráfico da função periódica g é dado por: Figura : Função periódica g Utilizando a função g definida por a), para cada n IN = 0,, 2, }, definimos f n dada por: f n : IN IR IR ) n (n, x) f n (n, x) = f n (x) = g( n x). Aplicando a definição a) em f n obtemos a guinte definição: ( 3 6

3 a2) f n (x) = 3 n x 0 x 3 n n 3 2 n x 2n < x n 2 2n ; que satisfaz a guinte condição: ( b2) para todo x IR, f n x + ) 2 2n = f n (x). [ ] O item a2) define f n no intervalo de 0, 2 2n enquanto que o item b2) garante que f n é periódica, com período para todo n IN. Obrvando a periodicidade da função g 22n e conquentemente da função f n, esboçaremos os gráficos das somas finitas das funções reais somente no intervalo de [0, 2]. Partindo do primeiro número natural n considerado, ou ja, n = 0, temos que a2) fornece f 0 = g, de período 2, que está reprentada graficamente através da Figura. Substituindo n = em a2), obtemos f (x) = 3x 0 x 3 2 3x < x 2, com período 2. Adicionando f 0 a f temos, s (x) = f 0 (x) + f (x) = (f 0 + f )(x) definida por: s (x) = x 0 x 2x < x 2 x < x 3 3 2x + 3 < x + 2x < x x 5 < x x 3 2 < x 7 7 x < x 2 Devemos salientar que foi necessário transladar a função f de domínio [0, 2 ] para o domínio [0, 2] permitindo assim efetuar a soma da mesma com a função f 0. Este procedimento foi possível devido ao fato da função f ter período 2 que reprenta um quarto do período da função f 0. Aprentamos o gráfico da função s = f 0 + f :. Substituindo n = 2 em a2), obtemos Figura 2: Função periódica f 0 + f. f 2 (x) = 9x 0 x 9 9x < x 2, 62

4 com período. Adicionando f 0, f e f 2 temos, s 2 (x) = f 0 (x)+f (x)+f 2 (x) = (f 0 +f +f 2 )(x) definida por: 3x 0 x 0 + x < x 7 5x + 9 < x 73 3x 9 < x 3 7x 7 < x 9 9 5x < x + x 9 < x 9 7x 3 < x 5 7x 9 < x 5 9 x < x 3 + 5x 5 < x 2 5 7x 5 3 < x 7 3x 2 < x 7 x + 6 s 2 (x) = < x 7 + 5x < x x 3x 6 2 < x 9 ; s 2 (x) = < x x 5x < x 5 2 < x x 57 5 < x 7x 25 < x x + 2 < x 3 + x 3 < x x 5 3 < x 3 7x 27 < x 7 3 x < x 7 + 5x 7 < x x 39 7 < x 5 3x 29 < x 5 5 x + 2 < x 7 + 5x 5 < x x [ ] < x 2 Devemos salientar que foi necessário transladar a função f 2 de domínio 0, para o domínio [0, 2] permitindo assim efetuar a soma da mesma com a função f 0 e f. Este procedimento foi possível devido ao fato da função f 2 ter período que reprenta um dezesis avos do período da função f 0. Aprentamos o gráfico da função s 2 = f 0 + f + f 2 : Figura 3: Função periódica f 0 + f + f 2 Neste momento é importante obrvar que foram feitas três translações para a função f e quinze translações para a função f 2 de forma que ambas alcançasm o domínio de [0, 2] da função f 0 = g. Se considerarmos n = 3, a função f 3 deverá r transladada 63 vezes. Sendo assim conforme aumentamos o número n, o número de translações é dado por 2 2n, pois o período da f n é de 22n. O aumento das translações reprenta uma dificuldade algébrica para esboçar o gráfico da função soma, ou ja, é manualmente impraticável essa construção para n > 2, ndo es o motivo principal para geração do algoritmo. Portanto considerarmos a soma finita das n + primeiras funções f i, 0 i n, obteremos s n (x) = f 0 (x) + f (x) + f 2 (x) + + f n (x) = n ( ) 3 i g( i x), i=0 63

5 que permitirá, devido ao procedimento das somas anteriores, criar um algoritmo via Maple 2, para esboçar o gráfico de qualquer soma finita s n para n IN. Calculando o limite da função s n quando n tende a infinito, obtemos a função f definida por ( ) 3 n f(x) = g( n x), n=0 que é contínua em IR, mas não derivável em nenhum ponto de IR. A demonstração deste fato encontra- em [3]. Essa função f reprenta uma soma infinita de funções reais. A construção do algoritmo via Maple 2, nos fornece o gráfico de s n = f 0 +f +f f n que induzirá a visualização gráfica da tão procurada função f = lim n s n. Os resultados obtidos Algoritmo As figuras acima foram obtidas pelos guintes comandos: Comandos gráfico:=proc(n) local func,f; f := (n,x) > piecewi( 0 <= x and x <= /ˆn, 3ˆn*x, /ˆn<x and x<= /2ˆ(2*n-), -3ˆn*x+3ˆn/2ˆ(2*n-)): func:=proc(n) local S,y,k,f,L: S := 0: f := (n,x) > piecewi( 0 <= x and x <= /ˆn, 3ˆn*x, /ˆn<x and x<= /2ˆ(2*n-), -3ˆn*x+3ˆn/2ˆ(2*n-)): L:=[q(2*i/2ˆ(2*n),i=..ˆn-)]: for k from to ˆ(n) do S := add(f(n,x-i),i=l)+func(n-,x): end do: S := simplify(s, piecewi ); end: plot(simplify (func(n)+add(f(i,x),i=0..n) +add(f(i,),i=2..n), piecewi ),x=0..2): end: gráfico(n); Descrição definição do procedimento variáveis locais definindo a função procedimento de construção de f n variáveis locais primeiro elemento fixado definindo a função f para o procedimento func definindo a quência loop add(f(n,x-i),i=l) fornece a adição das f com i L e func(n-,x) procedimento de f n fim do loop simplificação da soma de funções em uma única função definida por partes fim do procedimento func após a simplificação, plota o gráfico da função fim do procedimento gráfico plota o gráfico da soma f 0 + f + f f n. Tabela : Descrição dos Procedimentos Com uso do algoritmo conguimos plotar diretamente o gráfico de s n dado n, m a necessidade de fazer manualmente as translações. Para isso, após a execução do algoritmo atribui- 6

6 o valor de n no procedimento gráfico(n). Aprentamos a guir, como exemplo, os gráficos das funções s 3 e s obtidos com uso do algoritmo atribuindo- os valores 3 e, respectivamente, para n em gráfico(n): Figura : Função periódica f 0 + f + f 2 + f 3 para o procedimento gráfico(3). Figura 5: Função periódica f 0 + f + f 2 + f 3 + f para o procedimento gráfico(). 5 Conclusões Inicialmente a função de Weierstrass, pioneira no caso de uma função contínua em todo u domínio porém não derivável em ponto algum do domínio, rviu de inspiração para a implementação de uma outra função de características melhantes reprentada por uma soma finita de funções reais. As somas parciais envolvem a adequação do domínio das funções gerando uma dificuldade manual conforme o número de funções aumenta, tornando manualmente impraticável a obtenção do gráfico para a soma de um certo número de funções. Portanto, a visualização gráfica dessa soma é cuidadosamente gerada com a tecnologia do Maple 2. Isso atinge o principal objetivo des artigo, ou ja, criar um algoritmo via Maple 2 para construir o gráfico de uma soma finita de funções reais. 65

7 Concluímos que a principal contribuição do Maple 2 foi na indução da visualização geométrica do gráfico da função s n = f 0 + f + f f n, que deu com o uso do algoritmo gerado através da análi da soma finita, a qual era manualmente impraticável quando considerou- n > 2. Todavia, a perspectiva de utilização cada vez mais abrangente de softwares matemáticos no ensino da matemática, não torna obsoletos o papel e o lápis, porém muitos vezes é preferível utilizar a tecnologia para ilustrar certos conceitos que envolvem dificuldades algébricas. Sendo assim, a preparação des artigo envolveu uma visão tecnológica de uma soma finita de funções contínuas em todos os pontos do u domínio incluindo a geração de um algoritmo que motivou a indução visual da soma infinita de funções reais contínuas em u domínio que não são deriváveis em ponto algum des domínio. Referências [] D. H. Bailey & J. M. Borwein & N. J. Calkin & R. Girgensohn & D. R. Luke & V. H. Moll, Experimental Mathematics in Action, Wellesley, MA: A. K. Peters, [2] B.R. Gelbaum & J.M.H. Olmstead, Counterexamples in Analysis, Holden Day Publisher, 96. [3] H.L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Vol., 3 a edição, LTC, Rio de Janeiro, 999. [] G. H. Hardy, Weierstrass s Non-Differentiable Function, Trans. Amer. Math. Soc. 7, , 9. [5] J. Thim, Continuous Nowhere Differentiable Functions, té de mestrado da Lulea University of Technology [6] de Weierstrass. Acesso em 5/0/