OTIMIZAÇÃO DO MAKESPAN EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO COM MÚLTIPLOS ESTÁGIOS E MÁQUINAS ÚNICAS

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1 OTIMIZAÇÃO DO MAKESPAN EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO COM MÚLTIPLOS ESTÁGIOS E MÁQUINAS ÚNICAS R. P. da ROCHA 1, M. de F. MORAIS 1, T. J. P. BOIKO 1, M. A. da S. S. RAVAGNANI 2, P. R. PARAÍSO 2, C. M. G. ANDRADE 2 1 Universidade Estadual do Paraná, Campus de Campo Mourão, Colegiado de Engenharia de Produção Agroindustrial 2 Universidade Estadual de Maringá, Departamento de Engenharia Química para contato: ronypeterson_eng@hotmail.com RESUMO Na indústria química, as necessidades de Programação da Produção (PP) são cada vez mais acentuadas, principalmente em Sistemas de Produção (SP) por Bateladas. Esse tipo de sistema classifica-se em estágio único (unidades únicas ou paralelas) ou múltiplo estágios (multipropósito (Job-Shop) ou multiprodutos (Flow- Shop)). Neste trabalho será apresentado um Problema de PP em um ambiente Flow Shop, cujo objetivo é a Minimização do Tempo Total de Conclusão das Tarefas (Makespan). O estudo abrangeu o sequenciamento da produção em cenários de 6 tarefas (n) com até 98 máquinas (m). As experimentações foram implementadas no Excel/VBA, utilizando um computador com processador Intel Corel 2 Duo, 2,20 GHz de freqüência, 1,75 GB de memória RAM. As análises foram realizadas em relação ao critério de Porcentagem de Sucesso (%S) e Tempo Médio Computacional (TMC). Os resultados mostraram um bom desempenho médio para os dois critérios analisados (%S e TMC). 1. INTRODUÇÃO A otimização é para Williams (1999 Apud Stebel, 2006); Camm e Evans (2000) e Lachtermacher (2004) um problema de programação matemática que visa resolver uma função numérica de maximização ou minimização sujeita a certas restrições. Esse tipo de problema, segundo Arenales et al. (2007), pode estar presente em diversas áreas, tais como: energia; transportes; telecomunicações; circuitos eletrônicos; biologia molecular; medicina e saúde; criptografia; aviação e finanças. A programação matemática é subdividida segundo Lachtermacher (2004) em programação linear (PL), programação linear inteira mista (PLIM) e programação não linear inteira mista (PNLIM). Caixeta-Filho (2004) afirma que a PL é uma técnica aprimorada de resolução de sistemas de equações lineares por inversões sucessivas de matrizes, que procura segundo Laesch e Hein (2009) resolver problemas de maximização ou minimização de um determinado objetivo. Taha (2008) afirma que PLI são programações em que as variáveis estão restritas a valores inteiros, isto é,

2 discretos. Quando apenas algumas variáveis, segundo Hillier e Lieberman (2010), apresentarem valores inteiros, esse modelo é caracterizado como Programação Linear Inteira Mista (PLIM). Existem decisões restritas apenas a dois valores, 0 e 1, tais variáveis são chamadas de binárias, logo, problemas de PLI que apresentam apenas variáveis binárias são ditos como problemas de Programação Linear Inteira Binária (PLIB). Diante do exposto, o presente artigo visa apresentar um estudo da utilização da PLIM para um problema de Programação da Produção (PP) em um ambiente Flow Shop Permutacional ou Batelada. Brown e Scherer (1995) descrevem a PP como um problema de Scheduling estudado frequentemente por pesquisadores das áreas de pesquisa operacional, ciências da computação e inteligência artificial. Esse surgiu, segundo Domingos et al. (2008) do núcleo dos problemas em manufatura, telecomunicações, logísticas e demais contextos onde reserva de recursos são demandados. As atividades de Scheduling envolve segundo Pinedo (1995) o problema de escalonamento, que objetiva alocar recursos limitados às tarefas que ocorrem em um determinado tempo. Wild (2003) explica que as atividades de Scheduling estão diretamente relacionadas com o tipo de Sistema de Produção (SP), ou seja, se este é do tipo: Projeto; Job Shop; batelada ou repetitivos. Na indústria química, a complexidade da PP está principalmente no SP por bateladas. No geral, Severo (2007), Méndez et al. (2006) e Reklaits (1995) mostram que em um SP por bateladas há o envolvimento de (a) tarefas, (b) receita, (c) recursos, (d) estados, (e) unidades, (f) restrições e (g) critérios de performance, tais como descrito a seguir: a) Tarefas (takes): são operações que agem nos materiais, tais como mistura, separação, reação, estoque, transporte, etc.; b) Receita: são roteiros de todas as tarefas para produção de um determinado produto, isto inclui os tempos de processamento e as unidades a ser realizada a produção e a quantidade necessária de materiais para a produção de cada um dos produtos; c) Recursos (resources): são as entradas necessárias para realização de receitas, tais como: matéria-prima; utilidades; energia elétrica; mão de obra e etc.; d) Estados: são as matérias primas, produtos, intermediários e finais; e) Unidades: são os equipamentos utilizados na produção ou armazenagem, por exemplo: tanques; reatores; colunas e etc.; f) Restrições: são limitações ao processo, pode ser as tecnologias, custos, prazos e etc.; g) Critérios de performance: são medidas de desempenho do processo, que implica diretamente na função objetivo do problema de programação. O problema de PP tratado neste trabalho é do tipo Batelada - Multiprodutos - Flow Shop Permutacional. Flow-Shop, na visão de Maccarthy e Liu (1993) e Baker (1974) é um tipo de processo onde as tarefas possuem o mesmo roteiro de processamento em todas as máquinas e o número de máquinas em cada estágio de produção é igual a um. Segundo Polon (2010), as plantas por Batelada- Multiprodutos, em geral, são empregadas para um conjunto de produtos cuja a estrutura de receita é a mesma e as linhas de produção podem ser denominadas também de Flow Shop. Muitas indústrias de processo químico, tais como óleo e tintas, indústrias farmacêuticas e o setor de química fina se encaixam nesta categoria. Assim, neste trabalho será abordado um estudo da criação de uma planilha eletrônica do Excel com interface amigável (PEIA) entre o usuário e a planilha, cujo o objetivo é minimizar o Tempo Total de Conclusão das Tarefas (Makespan) de um ambiente de PP Flow Shop Permutacional, para o caso hipotético de PP em ambiente com múltiplos estágios e máquinas únicas.

3 2. MATERIAIS E MÉTODOS Para o desenvolvimento do modelo de Programação da Produção (PP) proposto neste estudo, considerou-se o sequenciamento da produção de (n) produtos em (m) máquinas, por meio de um roteiro definido de produção com as seguintes restrições: (i) A armazenagem de produtos intermediários não deve estar disponível entre as unidades de processamento, isto é, caso um determinado produto esteja processado na unidade j e a unidade j+1 não esteja disponível no momento desta conclusão, o produto pronto deve ser mantido na unidade j, até a unidade j+1 estar desocupada; (ii) Ao finalizar o processamento de um produto na última unidade (equipamento), esse é imediatamente enviado ao estoque de produtos acabados, neste caso, assume-se que os tempos necessários para transferir produtos de uma unidade para outra são negligenciáveis comparado com o tempo de processamento; (iii) Todas as unidades estão inicialmente vazias no tempo zero e a manufatura de qualquer produto pode ser atrasada numa quantidade de tempo arbitraria para mantê-lo na unidade anterior e; (iv) O ordenamento das tarefas em cada processador é o mesmo. No ambiente de PP proposto modelou-se o estudo abrangendo cenários de n {6} e m {2,3,4,...,98}. Na modelagem matemática destes cenários, foram utilizadas as Equações 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A Equação 1 representa o objetivo do problema, onde N diz respeito aos números de produtos ou tarefas e M ao número de máquinas ou processadores. As Equações 2 e 3 são de ordens binárias, sendo que o subscrito i representa a tarefa a ser processada no recurso e k representa a posição dessa mesma na ordem de sequenciamento, é uma variável binária definida como: = 1 se a tarefa i está na posição k e = 0, caso contrário. A Equação 4 representa outra restrição do problema, onde: = tempo de fim de processamento no processador j da tarefa ocupando a posição k na sequência; j = processadores ou estágios; k = posição na sequência; N = número de tarefas; = variável binária e é o tempo de processamento da tarefa i no processador j. Equação 5 mostra que o Makespan da Tarefa de ordem no processador j é maior ou igual ao Makespan da Tarefa de ordem no processador j-1 mais o somatório do produto entre a variável binária e o tempo de processamento, tomando o início no processador (2) e o término no processador (3). A Equação 6 apresenta a restrição que o Makespan da tarefa posicionada na sequência 1 da PP no processador j é maior ou igual ao Makespan da tarefa posicionada na sequência 1 da PP no processador j-1 mais o somatório do produto da variável binária e o tempo de processamento (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

4 . Nesta Equação, o processador j deve iniciar no processador 2 e terminar no processador 3, conforme o modelo proposto no início. A Equação 7 mostra que o Makespan da tarefa sequenciada na ordem 1 no processador 1 deve ser maior ou igual ao produto da variável binária e os tempos de processamentos (. A Equação 8 mostra que o Makespan sequenciado na ordem k no processador j deve ser maior ou igual ao Makespan sequenciado na ordem k-1 no processador j+1, partindo da ordem de sequência 1 no processador 1. A Equação 9 diz respeito à questão de não negatividade do modelo. Todas as equações matemáticas do modelo foram transcritas para planilhas do Excel e resolvidas pelo aplicativo Solver. Na experimentação computacional do modelo pela planilha do Excel foi utilizado um computador com processador Intel Corel 2 Duo, 2,20 GHz de frequência 1,75 GB de memória RAM. Primeiramente foi organizado os dados em uma planilha do Excel, separando as células que representavam as variáveis de decisão e a função objetivo. Para cada restrição do problema foi criado uma fórmula numa célula separada na planilha que correspondia ao lado direito (left-hand side LHS) e ao lado esquerdo (right-hand-side RHS) da restrição. Após inserir todas as equações do modelo, utilizou-se o Solve. Na caixa de Parâmetros do Solver, ajustou-se um tempo máximo de 100 segundos, quantidade de iterações de 1000, precisão de 0,000001, tolerância de 5%, convergência de 0,001, presumindo modelo linear e não negativo. Após definido os parâmetros na caixa Opções do Solver, escolhe-se a opção Ok, que abrirá uma nova caixa de diálogo, com opção de escolher os relatórios do Solver. Neste caso, escolhe-se o relatório de Resposta. A ferramenta Solver escolhida para realização da otimização do Makespan resolve todas as iterações até chegar à solução ótima. Para criação da interface amigável entre o usuário e a planilha do Excel foi necessário primeiramente, definir uma planilha padrão. A planilha padrão refere-se a uma planilha eletrônica do Microsoft Excel, composta com todas as equações descritas no estudo, organizadas em um modelo padrão. Esse modelo padrão significa colocar cada uma das equações em um arranjo de linhas e colunas, disponível para realizar a generalização do modelo. Para criar a generalização desse modelo utilizou-se da linguagem de programação Visual Basic Application (VBA). A implementação do código VBA na planilha possibilitou a generalização do modelo em configuração (m) processadores. Com a implementação do código VBA, o usuário deverá apenas informar o número de (m) processadores e o tempo de processamento de cada produto nos respectivos processadores, clicar no botão Otimizar a Programação de Ordens, para obter a melhor sequência de produção que minimize o Makespan. A avaliação da coerência das equações generalizadas na planilha do Excel com interface amigável foi realizada por meio da comparação dos resultados encontrados com as planilhas do Excel executada de forma manual e da desenvolvida com Interface Amigável, pela Linguagem VBA. Os testes além de observar a veracidade de cada uma das equações expandidas na planilha do Excel com interface amigável, procurou encontrar os limites de células ajustáveis da planilha. Entende-se por células ajustáveis, o maior número de processadores (m) em cada uma das classes (n), que apresentam a possibilidade de resolução da função objetivo na planilha do Excel com interface amigável, independente da solução final.

5 A análise geral dos resultados obtidos com a utilização do Excel/VBA foi realizada mediante o critério de Correlação entre o número de produtos (n) e processadores (m) das subclasses limitantes do modelo, Porcentagem de Sucesso (%S) e Tempo Médio Computacional (TMC) para a Minimização do Tempo Total de Conclusão das Tarefas (Makespan). Para avaliar a relação do número de produtos (n) e processadores (m) das subclasses limitantes do modelo de PP da planilha do Excel com interface amigável, utilizou-se do coeficiente de correlação (r) dado por Moreira (2000 p 327). O desempenho do modelo testado para as classes n {6}, em relação ao critério de desempenho Porcentagem de Sucesso (%) foi calculado pela quantidade de vezes em que a Planilha do Excel forneceu a otimização da função objetivo do modelo, dividido pelo total de problemas analisados por subclasse (Eq. 11): Onde: : quantidade de vezes em que a Planilha do Excel forneceu uma solução otimizada; T : total de problemas analisados na subclasse (número de produtos x número de máquinas x intervalo de tempo). O tempo médio de computação do modelo da Planilha do Excel ( ) é calculado pela soma dos tempos de computação de cada cenário de classe de problemas testado na Planilha, dividido pelo número total de problemas resolvidos (Eq.12). Onde: : tempo de computação (s) em que a Planilha do Excel levou para apresentar a resposta do Makespan de um determinado problema; P : total de problemas resolvidos. 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES Inicialmente foram implementadas cada uma das equações (1 a 9) em uma planilha eletrônica do Microsoft Excel e no código VBA. Na planilha foram realizados testes nas classes de problemas n {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} e m {2,3,4,5,6,7,8,9,10,15,20,25,30,40,60 e 98}, com intervalos de tempo [1,99]. A Tabela 1 apresenta um resumo dos limites de programação encontrados a partir dos testes realizados. Observando os limites apresentados na Tabela 1, vê-se uma redução do número de processadores (m) a partir do aumento do número de produtos (n). O coeficiente de correlação (r) apresentou um valor de -0,89, mostrando uma correlação inversamente proporcional muito alta, entre o número de produtos (n) e o número de processadores (m), ou seja, para as células ajustáveis da PEIA, conforme aumenta-se o número de produtos, o número de processadores diminui, acarretando em uma redução do número de processadores a ser programados. (11) (12)

6 Tabela 1 Limites para programação das classes e subclasses de problemas. CLASSE SUBCLASSE 2 {2,2};{2,3};... ;{2,10};{2,15}; {2,20};{2,25};{2,30};{2,40};{2,60};{2,98} 3 {3,2};{3,3};... ;{3,10};{3,15}; {3,20}; {3,25};{3,30};{3,40};{3,62}; 4 {4,2}; {4,2};... ;{4,10};{4,15};{4,20}; {4,25};{4,30};{4,40};{4,46}; 5 {5,2};{5,3};... ;{5,10};{5,15}; {5,20}; {5,25};{5,30};{5,35}; 6 {6,2};{6,3};... ;{6,10};{6,15}; {6,20};{6,25};{6,27}; 7 {7,2};{7,3};... ;{7,10};{7,15}; {7,20}; {7,21}; 8 {8,2};{8,3};... ;{8,10};{8,15}; {8,17}; 9 {9,2};{9,3};... ;{9,10};{9,13}; 10 {10,2};{10,3};... ;{10,10}; 11 {11,2};{11,3};... ;{11,7}; 12 {12,2};{12,3};{12,4}; 13 {13,2}; Depois de identificado os limites de programação realizaram-se testes de cenários com a classe n {6}. Nas subclasses de problemas {6,2},{6,3},...,{6,10},{6,15},{6,20}, {6,25},{6,27} foram verificadas que as equações estão coerentes ao modelo genérico. Assim, no estudo da análise do desempenho do modelo de PP no Excel/VBA, realizada para a classe 6, foram testadas todas as subclasses já apresentadas em intervalos de tempo {[1,8]; [1,12]; [1,24]; [1,45] e [1,99] }, tal como visto na Figura 1. Figura 1 - Porcentagem de Sucesso da PEIA para a classe 6 de problemas No intervalo de tempo [1,8], as subclasses {6,2}, {6,3} e {6,4} mostraram que 100% dos cenários testados na PEIA (10 cenários/subclasses) apresentaram a otimização da função objetivo do problema de PP. As subclasses {6,5}, {6,6}, {6,7}, {6,8}, {6,9}, {6,10}, {6,15}, {6,20}, {6,25}, {6,27} apresentaram 90, 90, 80, 90, 40, 40, 0, 0, 0 e 0%, respectivamente. No intervalo de tempo [1,12], as subclasses {6,2}, {6,3}, {6,4}, {6,5} e {6,6}, mostraram que 100% dos cenários testados na PEIA (10 cenários/subclasses) apresentaram a otimização da função objetivo do problema de PP. As subclasses {6,7}, {6,8}, {6,9}, {6,10}, {6,15}, {6,20}, {6,25} e {6,27} apresentaram 90, 70, 30, 70,

7 40, 0, 0 e 0%, respectivamente. No intervalo de tempo [1,24], as subclasses {6,2}, {6,3} e {6,4} mostraram que 100% dos cenários testados na PEIA (10 cenários/subclasses) apresentaram a otimização da função objetivo do problema de PPPB, já as subclasses {6,5}, {6,6}, {6,7}, {6,8}, {6,9}, {6,10}, {6,15}, {6,20}, {6,25} e {6,27} apresentaram 90, 70, 70, 50, 60, 30, 40, 0, 0 e 0%, respectivamente. No intervalo de tempo [1,45], as subclasses {6,2}, {6,3} e {6,4}, mostraram que 100% dos cenários testados na PEIA (10 cenários/subclasses) apresentaram a otimização da função objetivo do problema de PP, já as subclasses {6,5}, {6,6}, {6,7}, {6,8}, {6,9}, {6,10}, {6,15}, {6,20}, {6,25} e {6,27} apresentaram 70, 50, 50, 40, 50, 50, 10, 0, 0 e 0%, respectivamente. No intervalo de tempo [1,99], as subclasses {6,2} e {6,3} mostraram que 100% dos cenários testados na PEIA (10 cenários/subclasses) apresentaram a otimização da função objetivo do problema de PP, já as subclasses {6,4}, {6,5}, {6,6}, {6,7}, {6,8}, {6,9}, {6,10}, {6,15}, {6,20}, {6,25} e {6,27} apresentaram 60, 80, 70, 50, 20, 40, 30, 0, 0 e 0%, respectivamente. Em geral, os resultados dos testes de % da classe 6, mostram que 24,62% dos cenários testados na PEIA apresentaram 100% de respostas (otimização da função objetivo), 7,69% apresentaram 90%, 3,08% apresentaram 80%, 9,23% apresentaram 70%, 3,08% apresentaram 60%, 9,23% apresentaram 50%, 9,23% apresentaram 40%, 4,62% apresentaram 30%, 1,54% apresentaram 20%, 1,54% apresentaram 10% e 26,15% não apresentaram respostas. Os resultados do para as subclasses {6,2}, {6,3},...,{6,10}, {6,15}, {6,20}, {6,25} e {6,27} mostraram um crescimento moderado no entre as classes de problemas {6,2} e {6,4} e um aumento intensificado do a partir da classe de problemas {6,5}. Nesta classe de problemas não houve crescimento do entre os intervalos de tempos de processamento, estas variações permaneceram aleatórias, conforme apresentado na Figura 2. Figura 2 - Tempo Médio de Computação da PEIA para a classe 6 de problemas 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Com os resultados encontrados no ambiente de PP proposto, pode-se afirmar que para o objetivo de Minimização do Tempo Total de Conclusão das Tarefas (Makespan), é possível utilizar o

8 Excel/VBA obtendo um bom desempenho, tanto em relação à Porcentagem de Sucesso (%S) como o Tempo Médio Computacional (TMC). Apenas as classes de problemas {6,20}, {6,25} e {6,27} para todos os intervalos de tempos apresentaram um baixo índice de Porcentagem de Sucesso (%S), caracterizando a limitação de células ajustáveis para PP deste problema no Excel/VBA. No quesito Tempo Médio Computacional (TMC), verifica-se que no geral o Solver não ultrapassa 100 s para apresentar uma solução ao problema. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARENALES, Marcos. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, BAKER, K. R. Introduction to Sequencing and Scheduling. New York: John Wesley & Sons, Inc., BROWN, D. E.; SCHERER, W. T. Intelligent Scheduling Systems. Kluwer, 276 p., CAIXETA-FILHO, José Vicente. Pesquisa Operacional: Técnicas de Otimização Aplicadas a Sistemas Agroindustriais. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, CAMM, Jeffrey D. EVANS, James R. Management Science and Decision Technology. South-Western College Publishing: Thonson Learning, DOMINGOS, Jean C.; RODRIGUES, Cláudio V.; PEREIRA, Néocles A.; POLITANO, Paulo R.; BACHEGA, Stella J. Um Sistema de Apoio à Decisão para Scheduling em Job Shop, Utilizando Lógica Fuzzi. Anais do XXVIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO (XXVIII ENEGEP), Rio de Janeiro, RJ, 13 a 16 de Outubro de HILLER, F. S. Introdução a Pesquisa Operacional. 8 ed. Porto Alegre: AMGH, LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: Modelagem com Excel. 2. Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 LAESCH, C.; HEIN, N. Pesquisa Operacional: Fundamentos e modelos. São Paulo: Saraiva, MACCARTHY, B. L.; LIU, J. Y. Adressing the gap in scheduling research: a review of optimization and heuristic methods in production scheduling. Intern. Jour. of Prod. Res., London, v. 31, n. 1, p , MÉNDEZ, C. A.; CERDÁ.; GROSSMANN, I. E. Statge-of-the-art Review of Optimization Methods for Shor-term Scheduling of Batch Processes. Comp. Chem. Eng.,30,913, MOREIRA, D. A. Administração da Produção e Operações. 5 ed. São Paulo: Pioneira, PINEDO, M. Scheduling: Theory, Algorithms and Systems. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 378 p POLON, P. E. Otimização da Produção da Indústria de Embutidos.115 f. Tese (Doutorado em Engenharia Química) PEQ, Programa de Pós Graduação em Engenharia Química UEM, Universidade Estadual de Maringá, REKLAITIS, G. V. Schedulin Approaches for the Batch Process Industries. ISA Transactions 34, , SEVERO, Larissa S. Aplicação de Modelo de Programação da Produção na Indústria de Couros. 107 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Química) PEQ, Programa de Pós Graduação em Engenharia Química UFRGS, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, STEBEL, Sérgio Leandro. Técnicas de Otimização Aplicada em Problemas de Scheduling dos Recursos de Estocagem. Dissertação de Mestrado, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, TAHA, H. A. Pesquisa Operacional: Uma Visão Geral. 8 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, WILD, R. Operations Management. 6 th edition, Thonson Learning, London, 870 p., 2003.