ÊÆÌÇ ËÊ ÊÇÁÆËÃÁ ÍÅ ËÌÍÇ ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÖØÓ ÔÖ ÒØ Ó ÈÖÓÖÑ È ¹ÖÙÓ Ñ ÅØÑ Ø ÔÐ ËØÓÖ Ò ÜØ ÍÒÚÖ ÖÐ Ó ÈÖÒ ÓÑÓ ÖÕÙ ØÓ ÔÖÐ ÓØÒÓ Ó ØØÙÐÓ Å ØÖ Ñ ÅØÑ Ø Ôк ÇÖÒ

Transcrição

1 ÍÆÁÎÊËÁ ÊÄ Ç ÈÊÆý ÊÆÌÇ ËÊ ÊÇÁÆËÃÁ ÍÅ ËÌÍÇ ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÍÊÁÌÁ ¾¼½

2 ÊÆÌÇ ËÊ ÊÇÁÆËÃÁ ÍÅ ËÌÍÇ ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÖØÓ ÔÖ ÒØ Ó ÈÖÓÖÑ È ¹ÖÙÓ Ñ ÅØÑ Ø ÔÐ ËØÓÖ Ò ÜØ ÍÒÚÖ ÖÐ Ó ÈÖÒ ÓÑÓ ÖÕÙ ØÓ ÔÖÐ ÓØÒÓ Ó ØØÙÐÓ Å ØÖ Ñ ÅØÑ Ø Ôк ÇÖÒØÓÖ ÈÖÓº Öº ÐÒ ÊÙÞ ÖØ Ö ÍÊÁÌÁ ¾¼½

3

4

5

6 ÖÑÒØÓ ü ÔÖÓ ÓÖ ÐÒ ÊÙÞ ÖØ Ö ÔÐ ÓÖÒØÓ Ò ÒÑÒ¹ ØÓ ÒÒØÚÓ ÔÖÒÔÐÑÒØ ÔÓÖ ØÖ Ñ ÓÐÓ ÒÓ ÑÓÑÒØÓ ÕÙ Ù Ñ ÔÖ Úº ü ÑÒ ÓÑÔÒÖ ØÓÓ Ó ÑÓÑÒØÓ ÂÒÒ ËÓÐ ÕÙ ÓÖ Ö Ó ÓÖÒÓÑ ÖÓÞÒ ÔÐÓ ÔÓÓ ÒÒ ÚÐ Ò ØÑ ÚÐ ÔÐ ÓÑÔÖÒ Ó ÒÓÒÓÒÐ ÑÒ ÑÔÖ ÐÑØ ÔÐ ÚÐÓ Ù ÙÖÒØ ÖÐÞÓ Ø ØÖÐÓº ü ÈË ÔÐÓ ÙÜÐÓ ÒÒÖÓº

7 Ê ÙÑÓ Æ Ø ØÖÐÓ Ó ØÙÓ ÕÙØÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖ ÖÚÓ ÕÙ Ó Ó Ò ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ Öغ Ø ÑØÓÓ ÓÖÑ Ø ØÓ ÓÑÔÖÓ Ñ ÅÌÄ Ù ÒÓ ÙÒ Ù ¹ Ò ÙÒ Òº Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÔÖ Ñ R ÒØÓ ÓÖÑ Ö ØÖØ Ó ÒØÖÚÐÓ Ö π,π º Ô Ö Ó ÑØÓÓ ÖØÓ ÖÑ Øй Ó ÔÖ ÙÒ ÔÖ ÓÒ ØØÓÙ¹ ÕÙ ÕÙÒÓ Ó ÒÑÒÓ Ü ÒØÒ Ð ØÚÖÑ ÑÐÓÖ ÑÔÒÓ Ó ÕÙ Ó ÑØÓ¹ Ó Ñ ÖØÓ ØÖÙÒÓ º ÉÙÒÓ Ó ÒÑÒÓ Ù ÖÒ Ó Ð Ó ÑØÓÓ Ñ ÖØÓ ÓÖÑ ÙÑ ÔÓÙÓ Ñ ÔÖ Ó º ÈÐÚÖ ¹Ú ÅØÓÓ ÔØÖк ÖÚÓ ÒÙÑÖº ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖº

8 ØÖØ ÁÒ Ø ÛÓÖ ÓÙÖ ÖÒØØÓÒ ÔØÖÐ ÑØÓ Ö ØÙ Û Ö ÓÒ ËÑ ÖØ Ò ÖØ ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖÑ º Ì ÑØÓ ÛÖ Ø Ø Ò ÓÑÔÖ Ò ÅÌÄ Ù Ò Ù Ò ÙÒØÓÒ Ò Ò ÙÒØÓÒ º Ì ÙÒØÓÒ Ö ÒÓØ ÔÖÓ Ò R Ó ØÝ ÛÖ Ö ØÖØ ØÓ Ø ÒØÖÚÐ Ö π,π º ÐØÓÙ Ø ÖØ ÑØÓ Ö Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙÒØÓÒ Ø Û ÓÙÒ ØØ ÛÒ Ø ÔÒÓÑÒÓÒ Ó ÐÓÛ ÒØÒ ØÝ ØÝ ØØÖ ÔÖÓÖÑÒ ØÒ Ø ØÖÙÒØ Ñ ÖØ ÑØÓ º ÏÒ Ø ÔÒÓÑÒÓÒ Ð ØÓ ÐÖ Ó ÐÐØÓÒ Ø Ñ ÖØ ÑØÓ ÛÖ ÐØØÐ Ø ÑÓÖ ÙÖغ ÃÝ ÛÓÖ ËÔØÖÐ ÑØÓº ÆÙÑÖÐ ÖÒØØÓÒº ÓÙÖÖ ÌÖÒ ÓÖÑ º

9 Ä Ø ÙÖ º½ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ ÙÒÓ Ù Ò º º º º º º º º º ½ º¾ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ ÙÒÓ ÐØ º º º º º º º º º º º º º ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ ÙÒÓ ÐØ ÔÖ º º º º º º º½ ÙÒÓ ØØ ÂÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÔÖÓÜÑÓ ÙÒÓ ØØ ÂÓ º º º º º º º º º º º º º º ÓÒÚÖÒ ØØ ÂÓ ÔÖ Ù Ò º º º º º º º º ÖÖÓ Ó ÑØÓÓ Ó ÔÖÓÜÑÖ ÙÒÓ Ù Ò º º º º º º ¼ º ÖÖÓ Ó ÑØÓÓ Ó ÔÖÓÜÑÖ ÙÒÓ Ù Ò º º º º º º ½ º ÖÖÓ Ó ÑØÓÓ Ó ÔÖÓÜÑÖ ÖÚ Ù Ò º º º ¾ º ÖÖÓ Ó ÑØÓÓ Ó ÔÖÓÜÑÖ ÖÚ Ù Ò º º º º ÖÒ ÒØÖ ÙÒ Ò Ò ÔÖ º º º º º º º º º ÖÒ ÒØÖ Ò Ò ÔÖ ÕÙÒÓ h º º º º º½¼ ÔÖÓÜÑÓ ÙÒÓ Ò Ú Ì ÒØÖÔÓÐÓÖ º º º º º º º½½ ÖÚ Ò Ú Ì ÒÑÒÓ º º º º º º º º º½¾ ÖÒ ÒØÖ S ½ h Ó Ö ÙÐØÓ Ó ÑØÓÓ Ú Ì º º º º º º ¼ º½ Ç ÐÓ S ½ hôπõ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½ ÔÖÓÜÑÓ ÖÚ Ò ÒÓÖÒÓ Ó ÜØÖÑÓ º º º º½ ÔÖÓÜÑÓ ÖÚ Ù Ò ÒÓÖÒÓ Ó ÜØÖÑÓ º½ ÖÒ ÒØÖ ÖÚ Ò Ò ÔÖ º º º º º º½ ÖÚ Ò ÔÖ Ú Ì º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÖÚÓ ÔØÖÐ Ú Ø ÓÑ ÞÖÓ ÔÒ º º º º º º º º º º º½ ÔÖÓÜÑÓ ÖÚ Ù Ò ÓÑ Ñ Ó º º º º º¾¼ ÔÖÓÜÑÓ ÖÚ Ò ÓÑ Ñ Ó º º º º º º º º¾½ ÔÖÓÜÑÓ ÖÚ Ò ÓÑ Ò Ñ Ó º º º º ¼

10 ËÙÑ ÖÓ ½ ÁÒØÖÓÙÓ ½½ ¾ ÊÚ Ó Ò Ð ÓÙÖÖ ½ ¾º½ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÅØÓÓ ÔØÖ ÖÚÓ ¾ º½ ÈÖÑÖÓ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÙÒ ÒÓ ÈÖ º º º º º ¾ º½º½ ÁÒØÖÔÓÐÓÖ ÐØ ÃÖÓÒÖ ¹ ÙÒÓ ËÒ º º º ¾ º½º¾ ÁÒØÖÔÓÐÓÖ Ñ l h º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ËÙÒÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ¹ ÓÖÑ ÐØÖÒØÚ º º º º º º½º ÈÖ Ó Ó ÑØÓÓ ÔØÖÐ º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ÌÖÖÓ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÙÒ ÈÖ º º º º º º º ½ º¾º½ ÁÒØÖÔÓÐÓÖ ÐØ ÃÖÓÒÖ ¹ ËÒ ÔÖ º º ¾ º¾º¾ ÁÒØÖÔÓÐÓÖ Ñ l N º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÉÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ¹ ÓÖÑ ÐØÖÒØÚ º º º º º º Ì Ø Ñ ÅÌÄ º½ ØÙÓ Ù Ò Ì Ø ÈÖ Ó º º º º º º º º º º º º¾ ØÙÓ ËÒ ËÒ ÈÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÙØÖ ØÒØØÚ ØÒÙÖ Ó ÒÑÒÓ º º º º º º º ÓÒÐÙ Ó ½ Ó ÙÖ Ó ÔØÙÐÓ ÈÖÓÖÑ Ó ÔØÙÐÓ ÊÖÒ ½ ½¼½

11 ÔØÙÐÓ ½ ÁÒØÖÓÙÓ Ç ÓØÚÓ ÒØÖÐ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ ÖÚÓ ÔÖÓÜÑÖ ¹ ÖÚ ÙÑ ÙÒÓ R Ñ C ÙØÐÞÒÓ ÔÒ ÚÐÓÖ ÓÐÓ ÓÙ Ö¹ ØÓ ÓÑ Ó ÓØÚÓ ÑÔÐÑÒØÓ ÓÑÔÙØÓÒк Ç ÑØÓÓ ÔØÖ Ó ÙÑ ØÖ ÖÒ ØÒÓÐÓ ÔÖ Ö ÓÐÙÓ ÒÙÑÖ ÕÙ ÖÒ ÓÖÒ Ö ÔÖ Ç È µ Ó ÐÓ Ó ÑØÓÓ ÖÒ ÒØ Ó ÑØÓÓ ÐÑÒØÓ ÒØÓ º ÓÒ ÕÙÒØÑÒØ ¹ Ø ÑØÓÓ ÔÓ ÙÑ ÙÑ ÑÔÐÓ ÓÔÓ ÔÐ ÑÒ Ó ÙÓ ÑÒ ÕÙÒØ ÒÑÒÓ ÚÖØÖÓ ÓÒÙÐØÖÓ Ò Ð ÓÑÔÐÜ ÒØÖ ÓÙØÖ Ö º ÉÙÒÓ Ó Ó ÕÙ ÒÑ Ó ÔÖÓÐÑ Ó ÙÚ Ñ ÙÑ ÓÑÒÓ ÑÔÐ ÔÖ Ö ÓÐÚÖ ÙÑ Ç ÓÙ ÙÑ È ÓÑ ÔÖ Ó ÐØ ÖÐÑÒØ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ Ó ÑÐÓÖ ÖÖÑÒغ Ð ÔÓÑ ØÒÖ Ñ ÐÙÒ Ó Þ Ó ÔÖ Ó ÓÒØÖ Ó ÓÙ ØÖ ØÓ ÔÐÓ ÑØÓÓ ÖÒ ÒØ ÓÙ ÐÑÒØÓ ÒØÓ º ÐÑ Ó ÔÖ ÔÖ ÑÒÓÖ Ð ÜÑ ÑÒÓ Ù ØÓ ÓÑÔÙØÓÒÐ Ó ÕÙ Ó ÓÙØÖÓ ÑØÓÓ º Ç ÑØÓÓ Ñ ÕÙ ØÓ Ó ÑÓ ÔØÖ ÔÓÖÕ٠ѹ ÒÓ ÔØÖÓ ÙÒÓ ÓÙ ÒÓ ÚÐÓÖ Ù ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖº ÈÓÖ ÓÒ ÙÒØ Ó ÔÖ ÒØ ØÖÐÓ Ò¹ ÓÑ ÙÑ ÖÚ Ó Ò Ð ÓÙÖÖ ÒÓ ÔØÙÐÓ ¾ ÓÒ Ó ÒÙÒÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÕÙ ÓÒ ØØÙÑ ØÖ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ ÖÚÓº ÆÓ ÔØÙÐÓ Ó ÔÖ ÒØÓ ØÐÑÒØ ÕÙØÖÓ ÑØÓÓ Ô¹ ØÖ ÖÚÓº Ç Ó ÔÖÑÖÓ ÙÒÑÒØѹ Ò ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ÙØÐÞÑ ÙÑ ÕÙÒØ ÒÒØ Ó Ó Õ٠ѹ Ô Ù ÑÔÐÑÒØÓ ÓÑÔÐغ Å ÑÓ Ñ Ð ÓÖÑ ÑÔÐÑÒØÓ ÔÖÐÑÒØ ÒÓ ÔØÙÐÓ ØÖÚ Ó ØÖÙÒÑÒØÓ Ó ÒØÖÚÐÓ Ó Ó¹ ÑØÖÓ Ñ ÓÑÔÖÖ Ù ÑÔÒÓ ÓÑ Ó ØÖÖÓ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ º Ø Ó ÐØÑÓ Ó ÒÓ ÓÑ Ò ÌÖÒ ÓÖÑ ½½

12 ÈÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇÍÇ ½¾ ÓÙÖÖ ÖØ ÔÓÖ Ó ÙØÐÞÑ ÙÑ ÕÙÒØ ÒØ Ó º ÈÓÖ Ñ Ó ÔØÙÐÓ Ó Ø ØÖ Ø ÑØÓÓ ÔØÖ ÖÚÓ ÒÓ ÓØÛÖ ÅÌÄ ÚÖ Ó º Ç ÜÑÔÐÓ ÓÐÓ ÔÖ Ó ÜÔÖÑÒØÓ Ó ÙÒ Ù Ò ÜÑÔÐÓ Ð Ó Ñ Ò Ð ÓÙÖÖµ ÙÒ Ò Ò ÔÖ ÕÙ Ó Ó ØÖ ØÔÓ ÙÒ ÙØÐÞ ÒÓ ÔØÙÐÓ ÔÖ ÐÙ ØÖÖ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ º ÓÑ ØÖ ÕÙ ÒÓ ÒÚÓÐÚÑÒØÓ Ó ÔÖÑÖÓ Ó ØÖ¹ ÖÓ ÑØÓÓ ÔÖ ÒØÓ Ó ÒÓ ÒØÖÔÓÐÓÖ ÙÒÓ ÓÖÒÐ ÔÓÖÑ Ó ÓØÚÓ Ó ÔÖ ÒØ ØÖÐÓ ÒÓ ÞÖ ÙÑ ØÙÓ Ó ÑØÓÓ ÒØÖÔÓÐÓ ÔØÖÐ Ñ ÔÖÓÜÑÖ Ó ÚÐÓÖ ÖÚ ÙÒÓ ÓÖ¹ ÒÐ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÙÑ ÑÐ Öغ ÓÑ ÒÓ ÚÐÓÖ ÙÒ Ò Ø ÑÐ ÕÙ Ó ØÓ Ó Ø Ø Ó ÔØÙÐÓ º ÌÓÓ Ó Ó ÅÌÄ ÙØÐÞÓ ÔÖ ÖÖ Ó Ó ÙÖ Ó ÔØÙÐÓ ØÓ Ð ØÓ ÒÓ ÔÒ Ö ÔØÚÑÒغ

13 ÔØÙÐÓ ¾ ÊÚ Ó Ò Ð ÓÙÖÖ Ø ÔØÙÐÓ ÓÒ ØØÙ ÙÑ ÖÚ ÖÚ Ó Ò Ð ÓÙÖÖ ÓÒ Ó Ü ÒÓØ Ó ÒÙÒÓ Ñ ÑÓÒ ØÖÓ Ó ÔÖÒÔ Ö ÙÐØÓ ØÓÖ ÕÙ ÖÓ ÙØÐÞÓ ÒÓ ÔØÙÐÓ ÙÒØ º ¾º½ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Æ Ø Ó Ó ÓØÚÓ ØÙÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÔÖ ÙÒ R ÑC ÓÑÒÓ ÔÐ ÙÒ ÑÙÐÓ ÒØÖ ÚÐ ÙÒÓ Ä Ù ÔÖ ÕÙ ÌÖÒ ÓÖÑ Ò ÔÐ ÖÑÙÐ ÒØÖк Ñ Ù Ó ØÙÓ ÓÙØÖÓ ÔÓ ÓÒ Ó ÓÔÖÓÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÔÓ Ö ØÒÓº ÒÓ ¾º½º½º Ç ÓÒÙÒØÓ ÙÒ ÓÐÙØÑÒØ ÒØÖ Ú ¹ ÒÓ ÔÓÖ ÓÒ L ÔRÕ Øu : R C; u ÑÒ ÙÖ ÚÐ ÐuÐ Ù, ÐuÐ uôxõdx. ÒÓ ¾º½º¾º ÈÖ u È L ÔRÕ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Ôu : R C Ò ÔÓÖ ÔuÔkÕ uôxõe ikx dx. ÖÑÙÐ ¾º½µ Ø Ñ Ò ÔÖ u È L ÔRÕ ÔÓÖÕÙ e ikx º ¾º½µ ½

14 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ½ ÑÓÖ ÔÖÓÔÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖÓ ÒÙÒ Ñ ÒØ Ñ ÙÑ ÔÓ Ñ ÕÙÓ ÔÓÖ ÒÕÙÒØÓ Ö ÑÒÓÒÓ Ó Òк ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÐÒÖ ÔÖ ØÓÓ u,v È L ÔRÕ c È C ÚÐ ßu cv Ôu côv. ÌÓÖÑ ¾º½º º Ë u È L ÔRÕ ÒØÓ ½º ÔuÔkÕ ÐuÐ, k È Rº ¾º Ôu ÐÑØ ÙÒÓÖÑÑÒØ ÓÒØÒÙº º ÎÐ Ó ÐÑ ÊÑÒÒ¹Ä Ù ½ Ôº ½½ ¾µ lim ÔuÔkÕ. k ÒÓ ¾º½ºº Ç ÓÒÙÒØÓ ÙÒ ÕÙÖÓ ÒØÖ ÚÐ ÒÓ ÔÓÖ L ÔRÕ Øu : R C; u ÑÒ ÙÖ ÚÐ ÐuÐ Ù, ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ð Ò ÔÓÖ ÐuÐ uôxõ dxå ß. Ç ÔÖÓÙØÓ ÒØÖÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÒÓØÓ ÔÓÖ Ü, Ý ÒÓ ÔÖ u,v È L ÔRÕ ÔÓÖ Üu,vÝ uôxõvôxõdx. Ç ÖÚÓ ¾º½ºº ÍÑ ØÒØØÚ ÒØÙÖÐ ÖÐÓÒÖ Ó ÔÓ L ÔRÕ L ÔRÕ Ö ÒÐÙ Ó Ñ Ð ÒÓ Ú Ð Ñ ÒÒÙÑ ÒØÓ ÓÙ ½º L ÔRÕ L ÔRÕº ¾º L ÔRÕ L ÔRÕº ÙÖ Ó Ö ÔØÚÓ ÜÑÔÐÓ ½º ÙÒÓ fôxõ x, x, Ó ÓÒØÖ ÖÓ,

15 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ½ ÔÖØÒ L ÔRÕ ÔÓÖÕÙ fôxõdx Ñ ÒÓ ÔÖØÒ L ÔRÕ ÔÓÖÕÙ x dx x, fôxõ dx lim ǫ ǫ dx lim Ôln lnǫõ. x ǫ ¾º ÙÒÓ Ò ÕÙ ÔÖÖ ÒÓ ÔÖÜÑÓ ÔØÙÐÓ senôxπßhõ, x S h ÔxÕ xπßh, x, ÓÒ h ÔÖØÒ Ó ÔÓ L ÔRÕ ÔÓÖÕÙ Ù ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Ó ÐÙÐÓ Ö ØÓ ÒÓ ÔØÙÐÓ µ ÜS h ÔkÕ h, k È π h, π h, Ó ÓÒØÖ ÖÓ, ÔÖØÒ L ÔRÕ Ú Ó ÖÚÓ ¾º½º½½ ØÑ ½º Ó ØÓÖÑ ¾º½º½ µº Å Ð ÒÓ ÔÖØÒ L ÔRÕ ÔÓÖÕÙ Ü Sh ÒÓ ÓÒØÒÙ Ú ØÑ ¾ Ó ØÓÖÑ ¾º½º µº Ç ÖÚÓ ¾º½ºº Ç ÔÓ L ÔRÕ ÓÑÔÐØÓ Ò ÒÓÖÑ Ð Ð Ú Ôº ¾¼µº Ç ÒØÖ ÕÙ ØÖÐÖ ÓÑ ÙÒ Ñ L ÔRÕ Ñ ÖÑÙÐ ¾º½µ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÒÓ ÔÐ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÙÒÓ Ø ÓÒ¹ ÙÒØÓº ÍÑ ÐØÖÒØÚ Ö ÓÒ ÖÖ Ó ÓÒÙÒØÓ L ÔRÕ L ÔRÕ ÕÙ Ò Ó Ñ L ÔRÕ ÓÑ ÖÐÓ ÒÓÖÑ Ð Ð ÔÓÖÑ ÓÒØ ØÓÖÒѹ ÑÙØÓ ÓÑÔÐ º ÈÓÖ Ó Ñ ÑÓ ÕÙ ÔÖÒÔÓ ÔÖ Ñ ÓÑÔÐÓ ÔÖÖÚÐ ÒÖ Ó ÔÓ ËÛÖØÞ ÓÑÓ Ùº ÒÓ ¾º½ºº Ç ÔÓ ËÛÖØÞ Ó ÓÒÙÒØÓ ÙÒ u : R C ÙÚ ÖÔÑÒØ Ö ÒØ ØÓ Ó ÓÒÙÒØÓ SÔRÕ u È C ÔRÕ; sup xèr x m u ÔnÕ ÔxÕ, Ôm,nÕ È N N.

16 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ½ Ç ÖÚÓ ¾º½ºº Ç ÔÓ ËÛÖØÞ SÔRÕ ÙÑ ÙÓÒÙÒØÓ L ÔRÕ L ÔRÕ Ò Ó Ñ L ÔRÕ ÓÑ ÖÐÓ ÒÓÖÑ Ð Ð º ÜÑÔÐÓ ¾º½ºº ÙÒÓ Ù Ò ÙÖ º½ Ë uôxõ e x º ÒØÓ u È C ÔRÕ Ù ÖÚ Ó ÔÖÔÖ u ÚÞ ÙÑ ÔÓÐÒÑÓ lim x pôxõuôxõ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÔÓÐÒÑÓ pº ÓÒ ÕÙÒع ÑÒØ u È SÔRÕº ÐÙÐÓ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ u ÔuÔkÕ e x ikx dx e k 4 e Ôx ikßõ dx. ÈÖ ÐÙÐÖ Ø ÐØÑ ÒØÖÐ Ö Ù Ó Ó ØÓÖÑ ÙÝ ÔÓ ÔÐÓ Ó ÐÑØ ÓÑ ÒØÖÚÐÓ ÒØÖÓ ØÒÒÓ ÒÒØÓº ÈÖ ØÒØÓ U : C C ÜØÒ Ó u ØÓ UÔzÕ e z ÔÖ ØÓÓz x iy È Cº ÜÓ a k È R Ñ Γ,Γ,Γ 3,Γ 4 Ó ÑÒÓ ÒÓ ÒØÓ ÓÖ ÖÓ ÙÓ ØÖÓ Ó trγ Øz È C; ReÔzÕ È Ö a,a,imôzõ Ù, trγ trγ 3 trγ 4 Øz È C; ReÔzÕ a,imôzõ È Ö,kß Ù, Øz È C; ReÔzÕ È Ö a,a,imôzõ kßù, Øz È C; ReÔzÕ a,imôzõ È Ö,kß Ù. ÓÑÓ U ÒÐØ Ñ C Øѹ ÔÐÓ ØÓÖÑ ÙÝ a a e x dx kß Γ UÔzÕdz Γ UÔzÕdz e Ô a iyõ dy a a Γ 3 UÔzÕdz e Ôx ikßõ dx Γ 4 UÔzÕdz, ÐÑØÓ ÒØÖÐ Ñ Γ ÖÒØ ÔÐ ÙÐ kß e Ô a iyõ dy kß e Ô a iyõ dy kß kß e Ôa iyõ dy. e a y dy k e a k ß4, ÑÓ ØÖ ÕÙ Ù ÐÑØ ÞÖÓ ÕÙÒÓ a º Ç Ñ ÑÓ ÖÙÑÒØÓ ÚÐ ÔÖ ÒØÖÐ Ñ Γ 4 º ÈÓÖØÒØÓ ÔÐÒÓ Ó ÐÑØ ÓÑ a Ù ÕÙ e Ôx ikßõ dx e x dx π.

17 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ½ ÇÙ ÔuÔkÕ πe k 4 È SÔRÕ. ÒØ ÒÙÒÖ ÔÖÓÔÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÒÓ ÔÓ ËÛÖØÞ ÔÖ Ó ÒÖ ÌÖ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÁÒÚÖ º ÒÓ ¾º½º½¼º ÈÖ v È L ÔRÕ Ò¹ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÁÒÚÖ Õv : R C ÔÓÖ ÕvÔxÕ π vôkõe ikx dk. ¾º¾µ ÖÑÙÐ ¾º¾µ Ø Ñ Ò ÔÖ u È L ÔRÕ ÔÓÖÕÙ e ikx º Ç ÖÚÓ ¾º½º½½º ι ÖØÑÒØ ÒÓ ÕÙ ÕvÔxÕ π ÔvÔ xõ x È Rº ÌÓÖÑ ¾º½º½¾º Ë u È SÔRÕ ÒØÓ ½º ÖÚ n¹ Ñ u ÔnÕ È SÔRÕ Ýu ÔnÕ i n k n ÔuÔkÕ, k È R. ¾º Ôu È SÔRÕº º ÎÐ ÖÑÙÐ ÒÚÖ Ó uôxõ ÕÔuÔxÕ π º ÎÐ ÒØ ÈÖ ÚÐ ÔuÔkÕe ikx dk, x È R. ÐÔuÐ π ÐuÐ. º Ç ÓÔÖÓÖ ÐÒÖ Ô: SÔRÕ SÔRÕ ÒØÚÓ ÓÖØÚÓ ÓÒØÒÙÓ ÓÑ ÒÚÖ ÓÒØÒÙº Î ½ Ô Ò ½ ½ ½ ½ ½ Ö ÔØÚÑÒغµ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Ö ØÖØ Ó ÔÓ SÔRÕ ÔÓ Ö ØÒ ÓÖÑ Ò Ó ÔÓ L ÔRÕ ÔÐÓ ØÓÖÑ ÜØÒ Ó ÐÒÖ ØÖÒ ÓÖѹ Ó ÓÒØÒÙ Ô Ò ½¼¼ µ Ù ÔØ Ó ÖÒØ ÔÐÓ ØÓÖÑ

18 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ½ ¾º½º½¾ ÔÐ Ó ÖÚ ¾º½º ¾º½ºº Æ Ø Ó ÒÓ Ö Ø ØÒÓ ÒÓØÓ Ô º ÓÑ Ø ÔÖÓ Ó Ô Ö ÖÑÙÐ ¾º½µ ÒÓ ÔÐÖ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÙÒÓ L ÔRÕ ØÓÖÒ¹ ÐØÑÓ ÒÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Ò Ø ÔÓº Ñ ÕÙ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Ö ØÙ ÕÙ ÔÖ ÖÒغ ÌÓÖÑ ¾º½º½ º ÈÖÓÔÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Ë u,v È L ÔRÕ c È C ÒØÓ ½º Ôu,Ôv È L ÔRÕº ¾º ÄÒÖ ß u cv Ôu côvº º ÌÖÒ ÐÓ Ë x È R uôxõ vôx x Õ ÒØÓ ÔuÔkÕ e ikx ÔvÔkÕ k È Rº º ÅÓÙÐÓ Ë k È R fôxõ e ik x ÒØÓ ß Ôf uõôkõ ÔuÔk k Õ k È Rº º ÐØÓ Ë c È R ÒÓ ÒÙÐÓ vôxõ uôcxõ ÒØÓ ÔvÔkÕ ÔuÔkßcÕ c k È Rº º ÓÒÙÓ Ô uôkõ ÔuÔ kõ k È Rº º ÁÒØ ÈÖ ÚÐ ÐÔuÐ π ÐuÐ Î ¾¾ Ôº ½µº ÈÖÓÔÖ ÑØÖ º u ÔÖ ÑÔÖµ Ôu ÔÖ ÑÔÖµº º Im u R ÔuÔkÕ ÔuÔ kõ k È Rº ½¼º Im u ir ÔuÔkÕ ÔuÔ kõ k È Rº ½½º Im u R u ÔÖ Im Ôu R Ôu ÔÖº ½¾º Im u R u ÑÔÖ Im Ôu ir Ôu ÑÔÖº ½ º Im u ir u ÔÖ Im Ôu ir Ôu ÔÖº ½º Im u ir u ÑÔÖ Im Ôu R Ôu ÑÔÖº

19 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ½ ÒÓ ¾º½º½º ÓÒÚÓÐÙÓ Ù ÙÒ u,v : R C Ò ÕÙÒÓ ÒØÖÐ Ü ØÖ ÔÓÖ Ôu võôxõ ÌÓÖÑ ¾º½º½º ÈÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ uôx yõvôyõdy, x È R. ¾º µ ½º Ë u,v È L ÔRÕ ÒØÓ u v È L ÔRÕ Ðu vð ÐuÐ ÐvÐ º ¾º Ë u È L ÔRÕ v È L ÔRÕ ÒØÓ u v È L ÔRÕ Ðu vð ÐuÐ ÐvÐ º º Ë u,v È SÔRÕ ÒØÓ u v È SÔRÕº º ÔλuÕ v λôu võ u ÔλvÕ λ È Cº º Ôu võ w u w v wº º u v v uº º Ôu võ w u Ôv wõº º Ë u,v È L ÔRÕ ÒØÓ ß Ôu võôkõ ÔuÔkÕÔvÔkÕº Î ¾¾ ØÓÖÑ ÀÙ ÓÖ¹ÓÙÒ Ôº ½ ½ Ôº ½½ ½¾ ½ Ôº ¼ºµ ÈÖ ÒÙÒÖ Ó ÔÖÜÑÓ ØÓÖÑ ÔÖ ¹ ÙÒØ Ò ÓÖÑ ÓÒÚÖÒ ÙÒÓ ÚÖÓ ÐÑØ ½º O ÖÒ Þ¹ ÕÙ ÙÒÓ u : R C Ø Þ uôxõ OÔgÔxÕÕ ÕÙÒÓ x, ÕÙÒÓ Ü Ø ÙÑ ÓÒ ØÒØ C ØÐ ÕÙ ÔÖ ØÓÓ x ÙÒØÑÒØ ÖÒ ÚÐ uôxõ CgÔxÕ. ¾º o ÔÕÙÒÓ Þ¹ ÕÙ ÙÒÓ u : R C Ø Þ uôxõ oôgôxõõ ÕÙÒÓ x, ÕÙÒÓ uôxõ lim x gôxõ.

20 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾¼ º ÍÑ ÙÒÓ f ÚÖÓ ÐÑØ f È L ÔRÕ sup gèc ÔRÕ gôxõ fôxõg ½ ÔxÕdx Å. ÉÙÒÓ f ÓÒØÒÙ Ø ÒÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒÓ Ü ØÒ Ó ÐÑØ lim b a Va b Öf, ÓÒ V b a Öf sup nô j fôx j Õ fôx j Õ, ÓÑ Ó ÙÔÖÑÓ ÓÖ ØÓ ÔÖØ a x x x n b Ó ÒØÖÚÐÓ Öa,b n ÒÓ ÜÓµº ÍÑ ØÙÓ ÓÖ ÙÒ ÚÖÓ ÐÑØ ØÓ Ñ ½ Ò Ô Ò ÙÒØ º ÌÓÖÑ ¾º½º½º ËÙÚ ÙÑ ÙÒÓ Ú º u È L ÔRÕ Øѹ ÑÒØÓ Ù Ì ½º Ë u ÔsÕ È L ÔRÕ CÔRÕ ÓÑ s n ÔÖ ÐÙÑ n ÒØÖÓ u ÔnÕ ÚÖÓ ÐÑØ ÒØÓ ÔuÔkÕ OÔk n Õ ÕÙÒÓ k. ¾º u ØÑ ÒÒØ ÖÚ ÓÒØÒÙ Ñ L ÔRÕ ÓÑÒØ ÔÖ ØÓÓ m ÒØÖÓº ÔuÔkÕ OÔk m Õ ÕÙÒÓ k, º ÈÐݹÏÒÖµ ÙÒÓ u a : R C Ò ÔÓÖ Ôu a ÔkÕ e ak ÔuÔkÕ ÓÑ a ÓÒ ØÒØ ÔÖØÒ L ÔRÕ ÓÑÒØ Ü Ø ÙÑ ÓÒ ØÒØ c ØÐ ÕÙ u Ö ØÖÓ Ñ R ÙÑ ÙÒÓ U ÒÐØ Ò Ü Øz È C; Imz aù ÕÙ Ø Þ ÐUÔ iyõð UÔx iyõ dx c, ÔÖ ØÓÓ y a Ú ¾¾ Ôº ½µº º ÈÐݹÏÒÖµ ÔuÔkÕ ØÑ ÙÔÓÖØ ÓÑÔØÓ ÓÒØÓ Ñ Ö a,a a ÓÒ ØÒØ ÓÑÒØ u Ö ØÖÓ Ñ R ÙÑ ÙÒÓ U

21 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾½ ÒÐØ Ñ C ØÐ ÕÙ ÔÖ ØÓÓ z È C UÔzÕ oôe az Õ ÕÙÒÓ z. Ú ½ Ôº ½¾ ½ ½½ Ôº½½µº ¾º¾ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ Ç Ù Ó ÓÑÔÙØÓÖ Ø ÐÑØ Ó ÐÙÐÓ Ó ÖØÓ Ñ ÕÙÒØ Òغ ÓÑÓ ÔÖÑÖÓ Ô Ó Ò Ø Ó Ó ØÙ ÙÒ ÖØÞ ÔÓÖÑ Ò Ñ ÕÙÒØ ÒÒØ ÔÓÒØÓ Ñ ÕÙÒØ ÒØ Ó ÙÒØÓ ÔÖÜÑ Óµ Ñ ÔÖ ÑÒØ ÙÒ ÓÒ ¹ Ö ØÑ ÓÑÓ ÓÑÒÓ Ó ÓÒÙÒØÓ hz Øx j jh È R; j È ZÙ, ÓÙ ÙÑ ÑÐ ÔÓÒØÓ ÕÙ ØÒØ ÕÙÐ Ó ÔÖØÒº Æ Ø Ó v ÓÖ ÙÑ ÙÒÓ Ò ÑhZ Ù ÑÑ Ñ ÔÓÒØÓ Ö ÒÓØ ÓÖÑ ÖÚ vôx j Õ v j º ÒÓ ¾º¾º½º Æ Ø ÓÒØÜØÓ Ó ÔÓ Ñ ÓÒÚÒÒØ ÖÑ ØÖ¹ ÐÓ ÒÓ ÓÑÒÓ Ó ÖÕÙÒ Ó Ö ÔØÚÑÒØ l h Øv : hz C; ÐvÐ l h Ù, L h Øw : Ö πßh,πßh C; w ÑÒ ÙÖ ÚÐ ÐwÐ L h Ù, ÓÒ ÒÓÖÑ Ó Ò ÔÓÖ ÐvÐ l h ô «ß h v j jèz ÐwÐ L h πßh Ó ÔÖÓÙØÓ ÒØÖÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ó ÒÓ ÔÓÖ Üv,wÝ l h h ô jèzv j w j Üv,wÝ L h ß wôkõ dk«, πßh πßh πßh ÆÓ ÒØÒØÓ ØÑÑ Ö Ò ÖÓ ÒÖ Ó ÔÓ l h Øv : hz C; ÐvÐ l h Ù, vôkõwôkõdk.

22 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾¾ ÓÒ ÒÓÖÑ ÐvÐ l h h ô jèz v j. Ç ÖÚÓ ¾º¾º¾º Ó ÓÒØÖ ÖÓ Ó ÔÓ L ÔRÕ L ÔRÕ ÓÖ ÚÐ ÒÐÙ Ó l h l h. ØÓ v È l h Ü Ø j È N ØÐ ÕÙ v j, j j, v ô j v j, ô j j, h v j h v j, jj jj ÔÓÖØÒØÓ v È l h º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ ÐÓ Ö ÖÑÒ ÑÓ ØÖ ÕÙ ÒÓ ÚÐ ÙÐ ÒØÖ Ó ÓÒÙÒØÓ ÔÓ Ð ÔÖØÒ l h Ñ ÒÓ ÔÖØÒ l h º ÒÓ ¾º¾º º ÈÖ v È l h Ò¹ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ¹ ÖØ Æ v : π, π h h C ÔÓÖ Æ vôkõ h ô v j e ikx j. ¾ºµ jèz Ö ¾ºµ ÔÖÓÜÑ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ¾º½µ ÔÐ ÊÖ Ó ØÖÔÞÓº ØÓ v È l h Ö ØÖÓ u È L ÔRÕ CÔRÕ ÔuÔkÕ lim m m h lim m m uôxõe ikx dx v me ikx m h ô jèzv j e ikx j Æ vôkõ. lim ô m j m m j m m ô v j e j ikx v m e ikxm h Ôv je ikx j v j e ikx j Õ Ç ÔÖÜÑÓ Ö ÙÐØÓ ÜÔÐÑ ÔÓÖ ÕÙ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Ë¹ Ñ ÖØ Ò ÔÒ ÒÓ ÓÑÒÓ Ö π h, π h º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾ºº ÙÒÓ f : R R C Ò ÔÓÖ fôx,kõ e ikx π h ¹ÔÖ ÓÑ ÖÐÓ ÙÒ ÚÖ ÚÐ ÜÓ ÕÙÐÕÙÖ x j È hz Ò ÔÖÑÖ ÚÖ Úк

23 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾ ÑÓÒ ØÖÓ Ë c È Z Å π f x j,k h c e iôk π h cõx j e ikx j.e iπ h cjh e ikx j. fôx j,kõ. Ê Ø ÑÓ ØÖÖ ÕÙ ÒÓ Ü Ø ÒÑÖÓ ÑÒÓÖ ÕÙ π ÕÙ ÔÖÓÓ h ÙÒÓ fôx j, Õ ÔÖ ØÓÓ j È Zº ØÓ k È R ØÐ ÕÙ k π h ÒØÓ fôx j,k k Õ e iôk k Õx j e ikx j.e iôkhõj, ÓÑÓ k h π ÔÖ j Ù ÕÙ e ik h ÔÓÖØÒØÓ fôx,k k Õ fôx,kõ. ÓÖÓÐ ÖÓ ¾º¾ºº v È l h ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ØÒ ÖØ ØÓ ÔÐ ÖÑÙÐ Æ vôkõ h ô e ikx j v j, k È R, π h ¹ÔÖº jèz ÓÖÚÒØ ÕÙÒÓ Ò ÖÓ Æv È L h Ö ÓÒ Ö ÓÑ ÓÑÒÓ R π ¹ÔÖº h ÌÓÖÑ ¾º¾ºº ÖÑÙÐ Ð Ò ÓÙ Ó ÓÑØÖÓ ÈÓ ÓÒ Ë u È L ÔRÕ ØÑ ÔÖÑÖ ÖÚ ÚÖÓ ÐÑØ v Ö ØÖÓ u ÑÐ hz ÒØÓ ÔÖ ØÓÓ k È Ö πßh,πßh Æ vôkõ ô π Ôu k Å. h j jèz ÒÓ ¾º¾ºº ÈÖ w È L h ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ÁÒÚÖ w Ç : hz C Ò ÔÓÖ Ç wôx j Õ π π h π h ÓÒ E j È L h Ò ÔÓÖ E j ÔkÕ e ikx j º wôkõe ikx j dk Üw,E j Ý L h, j È Z, ¾ºµ ÒØÖÐ Ñ ¾ºµ ÔÖÓÜÑ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÁÒÚÖ ¾º¾µ ÔÓÖ ØÖÙÒÑÒØÓ ÒØÖк

24 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾ ÌÓÖÑ ¾º¾ºº ÈÖÓÔÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ Ë v,w È l h c È C ÒØÓ ½º Æ v, Æ w È L h º ¾º Ç ÓÔÖÓÖ Æ : l h L h ØÚÓº Î ½ Ôº ½ ºµ º ÄÒÖ Ôv cwõ Æ Æ v c Æ wº º ÌÖÒ ÐÓ Ë j È Z w j v j j ÒØÓ Æ wôkõ e ikx j Æ vôkõ k È Rº º ÅÓÙÐÓ Ë k È R f j e ik xj ÒØÓ Ôf.vÕ Æ ÔkÕ Æ vôk k Õ k È Rº º ÓÒÙÓ Æ vôkõ Æ vô kõ k È Rº º ÁÒØ ÈÖ ÚÐ Ð Æ vð L h π ÐvÐ l h º Î ½ Ôº ½ ºµ º ÁÒÚÖ Ó v j Ç Æ vôxj Õ π h π e ikx Æ π jvôkõdk j È Zº h ÈÖÓÔÖ ÑØÖ º v ÔÖ ÑÔÖµ Æ v ÔÖ ÑÔÖµº ½¼º Im v R Æ vôkõ Æ vô kõ k È Rº ½½º Im v ir Æ vôkõ Æ vô kõ k È Rº ½¾º Im v R v ÔÖ Im Æ v R Æ v ÔÖº ½ º Im v R v ÑÔÖ Im Æ v ir Æ v ÑÔÖº ½º Im v ir v ÔÖ Im Æ v ir Æ v ÔÖº ½º Im v ir v ÑÔÖ Im Æ v R Æ v ÑÔÖº ÒÓ ¾º¾ºº ÓÒÚÓÐÙÓ Ñ ÖØ Ù ÙÒ v,w : hz C Ò ÔÓÖ ÕÙÒÓ Ó ÓÑØÖÓ ÓÒÚÖµ Ôv wõ m h ô jèzv m j w j, m È Z. ¾ºµ

25 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾ Ö ¾ºµ ÔÖÓÜÑ ÓÒÚÓÐÙÓ ¾º µ ÒÓ ÔÓÒØÓ hz ÔÐ ÊÖ Ó ØÖÔÞÓº ØÓ v È l h Ö ØÖÓ u È L ÔRÕ CÔRÕ w È l h Ö ØÖÓ y È L ÔRÕ CÔRÕ ÒØÓ n Ôu yõôx m Õ lim uôx m xõyôxõdx n n ô n lim n j n h lim n h Ôv m jw j v m Ôj Õ w j Õ v m nw n n ô j n h ô jèzv m j w j Ôv wõ m. Ôv m j w j Õ v m nw n Æ Ø ÓÒØÜØÓ ÓÒÚÓÐÙÓ Ñ ÖØ ØÑÑ ØÑ ÔÖÓÔÖ ÕÙ v È l h w È l h ÓÙ Ú¹ÚÖ ÒØÓ v w È l h Ôv wõ Æ ÔkÕ Æ vôkõ Æ wôkõ. ÌÓÖÑ ¾º¾º½¼º ØÓ ÖØÞÓ Ò ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ u È L ÔRÕ ÓÑ u ½ ÚÖÓ ÐÑØ v Ö ØÖÓ u ÑÐ hz Øѹ ÔÖ ØÓÓ k È π h, π h ½º Ë u ØÑ n ÖÚ ÓÒØÒÙ Ñ L ÔRÕ ÔÖ ÐÙÑ n ÒØÖÓ u ÔnÕ ÚÖÓ ÐÑØ ÒØÓ Æ vôkõ ÔuÔkÕ OÔh n Õ ÕÙÒÓ h. ¾º Ë u ØÑ ÒÒØ ÖÚ ÓÒØÒÙ Ñ L ÔRÕ ÒØÓ ÔÖ ØÓÓ k È π, π h h Æ vôkõ ÔuÔkÕ OÔh m Õ ÕÙÒÓ h, ÔÖ ØÓÓ m ÒØÖÓº º Ë Ü ØÑ ÓÒ ØÒØ a,c Ø ÕÙ u Ö ØÖÓ Ñ R ÙÑ ÙÒÓ U ÒÐØ Ò Ü Øz È C; Imz aù ÕÙ Ø Þ ÐUÔ iyõð UÔx iyõ dx c, ÔÖ ØÓÓ y a,

26 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾ ÒØÓ ÔÖ ØÓÓ ǫ Æ vôkõ ÔuÔkÕ OÔe πôa ǫõßh Õ ÕÙÒÓ h. º Ë u Ö ØÖÓ Ñ R ÙÑ ÙÒÓ U ÒÐØ Ñ C Ü Ø a Ø ÕÙ ÔÖ ØÓÓ z È C ÒØÓ ÕÙ h πßa UÔzÕ oôe az Õ ÕÙÒÓ z, Æ vôkõ ÔuÔkÕ. ¾º ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ ÓÖ Ñ Ó ÓÒØÜØÓ ÙÒ ÖØÞ ÓÑ ÕÙÒØ ÒØ Ó ÓÙ ÔÖ ÔÖÓÓ πº Å ÔÖ ÑÒØ ÚÒÓ Ó ÒØÖÚÐÓ Ö,π Ñ ÙÑ ÒÑÖÓ ÔÖ N ÔÖØ Ù ÓÑ ÓÑÔÖÑÒØÓ h πßn Ó ÓÒ Ö ÙÒ v : hz C Ø ÕÙ j m ÔÑÓ NÕ ÒØÓ v j v m. Æ Ø Ó ÔÓ¹ ÞÖ ØÑÑ ÕÙv ÙÑ ÙÒÓN¹ÔÖ ÓÑ ÖÐÓ Ñк ÕÙÓ π h N ¾ºµ Ö ÖÕÙÒØÑÒØ ÙØÐÞº ÒÓ ¾º º½º Æ Ø ÓÒØÜØÓ Ó ÔÓ ÖÑ ØÖÐÓ ÒÓ ÓÑÒÓ Ó ÖÕÙÒ Ó Ö ÔØÚÑÒØ l N Øv : hz C; v N¹ÔÖ ÓÑ ÖÐÓ ÑÐÙ, L N Øw : Z C; w N¹ÔÖ ÓÑ ÖÐÓ ÑÐÙ, Ö ÔØÚ ÒÓÖÑ Ó Ò ÔÓÖ ÐvÐ l N h Nô j v j «ß ÐwÐ L N ô Nß k Nß w k ß.

27 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾ Ç ÔÓ l N L N ØÑ ÑÒ Ó ÒØN ÒÓÖÑ Ó ÑÔÖ ÒØ ÔÓ Ó ÓÑØÖÓ ØÑ ÙÑ ÒÑÖÓ ÒØÓ ØÖÑÓ º ÒÓ ¾º º¾º ÈÖ v È l N ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ v : Z C Ò ÔÓÖ vk h Nô j v j e ikx j. ¾ºµ Ç ÓÑØÖÓ ¾ºµ ÔÖÓÜÑ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ¾ºµ ÔÓÖ ØÖÙÒÑÒØÓº Ç ÖÚÓ ¾º º º Ñ ÚÖØÙ ÔÖÓÔÓ Ó ¾º¾º ÓÑÓ v N¹ÔÖ ÓÑ ÖÐÓ ÑÐ hz Ù ÕÙ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ N¹ÔÖ ÓÑ ÖÐÓ ÑÐ Zº ÒÓ ¾º ºº ÈÖ w È L N ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ ÁÒÚÖ w : hz C Ò ÔÓÖ w j π Nß ô k Nß w k e ikx j. ¾ºµ ÌÓÖÑ ¾º ºº ÈÖÓÔÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ Ë v,w È l N c È C ÒØÓ ½º v, w È L N º Î ÔÖÓÔÓ Ó ¾º¾ºµ ¾º ÄÒÖ Ôv cwõ v c wº º ÌÖÒ ÐÓ Ë j È Z w j v j j ÒØÓ w k e ikx j vk k È Zº º ÅÓÙÐÓ Ë k È Z f j e ik xj ÒØÓ Ôf.vÕ k v k k k È Zº º ÓÒÙÓ v k v k k È Zº º ÁÒØ ÈÖ ÚÐ Ð vð L N π ÐvÐ l N º º ÁÒÚÖ Ó v k πh v k k È Zº º ÖÑÙÐ ÒÚÖ Ó v j vôxj Õ π Nß k Nß eikx j v k j È Zº ÈÖÓÔÖ ÑØÖ

28 ÈÌÍÄÇ ¾º ÊÎÁËÇ ÆýÄÁË ÇÍÊÁÊ ¾ º v ÔÖ ÑÔÖµ v ÔÖ ÑÔÖµº ½¼º Im v R v k v k k È Zº ½½º Im v ir v k v k k È Zº ½¾º Im v R v ÔÖ Im v R v ÔÖº ½ º Im v R v ÑÔÖ Im v ir v ÑÔÖº ½º Im v ir v ÔÖ Im v ir v ÔÖº ½º Im v ir v ÑÔÖ Im v R v ÑÔÖº ÒÓ ¾º ºº ÓÒÚÓÐÙÓ ÖØ Ù ÙÒ v,w È l N Ò ÔÓÖ Ôv wõ m h Nô j v m j w j, m È Z. ¾º½¼µ ÓÑÓ v w Ó ÔÖ Ñ ÑÓ ÔÖÓÓ v w ØÑÑ Ó º Ç ÓÑØÖÓ ¾º½¼µ Ó ØÖÙÒÑÒØÓ ÓÒÚÓÐÙÓ Ñ ÖØ ¾ºµº Æ Ø ÓÒØÜØÓ ÓÒÚÓÐÙÓ ÖØ ØÑÑ ØÑ ÔÖÓÔÖ ÕÙ v,w È l N ÒØÓ Ôv wõ ÔkÕ v kwk. ÍÑ ØÓ ÑÔÓÖØÒØ ÓÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ ÕÙ Ð ÔÓ Ö ÐÙÐ ÓÑÔÙØÓÒÐÑÒØ ÓÖÑ ÑÙØÓ Ö Ô ÔÐÓ ÐÓÖØÑÓ ÖÙÖ ÚÓ ÓÒÓ ÔÓÖ ÌÖÒ ÓÖÑ Ê Ô ÓÙÖÖ Ì Ø ÓÙ¹ ÖÖ ÌÖÒ ÓÖѵº ÍÑ ÑÔÐÑÒØÓ ÖØ ¾ºµ ÓÙ ¾ºµ ÖÕÙÖ ÙÑ ÒÑÖÓ ÓÔÖ Ò ÓÖÑ N ÒÕÙÒØÓ ÕÙ Ó ÒÑÖÓ ÓÔÖ Ó ÐÓÖØÑÓ Ì Ø Ò ÓÖÑ ÔÒ N log N ÕÙÒÓ N ÙÑ ÔÓØÒ º ÍÑ ØÙÓ Ñ ÔÖÓÙÒÓ ÓÖ Ì ØÓ Ñ ½¼ º Ç ÅÌÄ ØÖÞ Ó ÐÓÖØÑÓ Ì ÑÔÐÑÒØÓº Ç ÓÑÒÓ Ø ÐÙÐ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ Ó ÓÑÒÓ Ø ÐÙÐ ÌÖÒ ¹ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ ÁÒÚÖ º Ð ÖÓ ÙØÐÞÓ ÒÓ ÜÔÖÑÒØÓ Ó ÔØÙÐÓ º ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ØÙ Ò Ø ÔØÙÐÓ Ñ ÓÑÓ Ù ÔÖÒÔ ÔÖÓÔÖ ÓÒ ØØÙÑ ØÖ ÕÙ ÙÒÑÒØ Ó ÑØÓ¹ Ó ÔØÖ ÖÚÓ ÕÙ ÖÓ ÔÖ ÒØÓ ÒÓ ÔØÙÐÓ º

29 ÔØÙÐÓ ÅØÓÓ ÔØÖ ÖÚÓ Ç ÔÖÓÐÑ ÓÒ ÖÓ Ò Ø ÔØÙÐÓ Ó ÙÒØ ÓÒÒÓ Ó Ú¹ ÐÓÖ ÙÑ ÙÒÓ u Ò ÑÐ hz ØuÔx j ÕÙ ÓÑÓ ÔÖÓÜÑÖ ÖÚ u Ù ÒÓ ÔÒ Ø Ó Ç ÑØÓÓ ÔÖ ÒØÓ ÔÖ Ø Ñ Ó ÑÓ ÔØÖ ÔÓÖÕÙ Ó Ó ÒÓ ÔØÖÓ ÙÒÓ u ØÓ Ó ÚÐÓÖ ÒÓ ÓÑÒÓ ÖÕÙÒ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ÓÙ Öص ÙÒÓº Æ ÔÖÑÖ Ó Ó ÓÒ Ö ÙÒ ÒÓ ÔÖ ÔÓÖØÒØÓ Ò ÖÓ ØÖÐÖ ÓÑ ÙÑ ÕÙÒØ ÒÒØ Ó ÓÒ ÙØÐÞ¹ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ Öغ Æ ÙÒ Ó ØÓ Ó Ñ ÑÓ ØÙÓ ÔÓÖÑ ÙÔÓÒÓ ÕÙ u ÔÖ Ó ÕÙ ÖÙÞ ÙÑ ÒÑÖÓ ÒØÓ Ó ÔÓÖØÒØÓ ÙØÐÞ¹ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ Öغ º½ ÈÖÑÖÓ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÙÒ ÒÓ ÈÖ Ç ÓØÚÓ Ó ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÖ ÒØÓ ÙÖ ÔÖÓÜÑÖ Ö¹ Ú ÙÑ ÙÒÓ u : R C ÒÓ ÔÓÒØÓ ÑÐ hzº Ñ ØÓ Ó ÖØÞÓ ÙÒÓ u Ó ÔÓÒØÓ ÑÐ ÒÓØ ÔÓÖ v ÓÑ v È l h º ¾

30 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ¼ ÈÖÑÖÓ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÙÑ ÙÒÓ u : R C Ù ÖØÞÓ v È l h È Ó ½º ÐÙÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ Æ v ÔÓÖ ¾ºµº È Ó ¾º ØÒÖ Æ v ÖØ ØÓ ÞÖÒÓ ÓÖ Ó ÒØÖÚÐÓ Ö π h, π h ÆÓØÓ ÙÒÓ ØÒ Ôp v º ÐÙÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÁÒÚÖ Ôp v ÔÓÖ ¾º¾µ ÙÒÓ Ö ÙÐØÒØ p v Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ vº È Ó º ÐÙÐÖ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ p ½ vº È Ó º ÒÖ w : hz C ÔÓÖ w j p ½ vôx j Õº ÙÒÓ w Ò ÒÓ Ô Ó Ó ÑØÓÓ ÕÙ ÔÖÓÜÑ Ó ÚÐÓÖ ÖÚ u ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñк ÙÖ º½ ÙÑ ÖÔÖ ÒØÓ Ó ÑØÓÓ ÔÖ ÙÒÓ Ù Ò uôxõ e x º ÙÒÓ w ÒÓ Ø ÖÔÖ ÒØ Ò ÙÖ Ñ Ð ÖØÞÓ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ Ù Ò ÒÓ ÓÑÒÓ Ó ØÙ Ò ÐØÑ ÐÒ ÔÖÑÖ ÓÐÙÒ ÙÖº Ç Ô Ó ¾ ÔÖ ÓÑÔÐÓ Ñ Ð ÔÓ Ö ÑÔÐÓº ÈÖÑÖ¹ ÑÒØ Ò¹ ÙÒÓ Ôp v ÔkÕ ÆvÔkÕ k È π, π h h k Ê π, π h h º ÔÓ ÔÓ¹ ÒÓÒØÖÖ ÙÒØ ÖÑÙÐ ÔÖ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ π h p v ÔxÕ ÕÔp v ÔxÕ π Æ pv ÔkÕe ikx dk π π h Æ vôkõe ikx dk. º½µ ÈÓÖØÒØÓ Ó Ô Ó ¾ Ö Ùѹ ÔÐÓ ÖÑÙÐ º½µº Ç ÖÚÓ º½º½º ÓÑÓ Ôp v È L ÔRÕ ØÑ ÙÔÓÖØ ÓÑÔØÓ ÓÒØÓ ÒÓ ÒØÖ¹ ÚÐÓ π h, π h ÔÐÓ ØÑ Ó ØÓÖÑ ¾º½º½ Øѹ ÕÙ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ pv ÙÑ ÙÒÓ ÒÐØ ÓÑ ÑÒØÓ ÜÔÓÒÒÐ ÕÙÒÓ x º

31 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ½.5 Gaussiana no Domínio físico contínuo.5 Transformada da Gaussiana no Domínio contínuo das Frequências.5 Ô Õ Gaussiana no Domínio físico semidiscreta.5 Gaussiana no Domínio limitado das Frequências.5 Æ Ç Interpolador da Gaussiana no Domínio físico.5 Interpolador da Gaussiana no Domínio das Frequências.5 Ô Õ Derivada do Interpolador da Gaussiana no Domínio físico Derivada do Interpolador da Gaussiana no Domínio das Frequências (parte imaginária) Ô Õ ÙÖ º½ ÊÔÖ ÒØÓ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ ÙÒÓ Ù Ò e x º

32 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ¾ º½º½ ÁÒØÖÔÓÐÓÖ ÐØ ÃÖÓÒÖ ¹ ÙÒÓ ËÒ ÈÖ m È Z Ò¹ ÙÑ ÙÒÓ ÐØ ÃÖÓÒÖ δ m È l h ÔÓÖ δ m Ôx j Õ j m j mº Ç ÖÚÓ º½º¾º Ç ÓÒÙÒØÓ Øδ m Ù mèz ËÙÖ l h Ôº µº ØÓ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÙÒÓ v È l h Øѹ ÙÐ ÔÓÒØÙÐ v j ô mèzv m δ m Ôx j Õ, j È Z, ÔÓÖÕÙ Ó ÓÑØÖÓ ÔÓ Ù ÙÑ ÒÓ ØÖÑÓ ÒÓ ÒÙÐÓ ÐÓÓ v Nô m N m v m δ ÓÙ Øѹ ÙÐ l h Nô ô h v j v m δ m Ôx j Õ ô jèz m N h v j, ÕÙÒÓ N, jn v ô mèzv m δ m º¾µ Ò ÒÓÖÑ Ð Ð l h º Ç ÖÚÓ º½º º Ç ÓÒÙÒØÓ Øδ m Ù mèz l h ÓÖØÓÓÒÐ ÔÓÖÕÙ ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÐØÓº ØÓ Üδ m,δ n Ý l h h ô jèzδ m Ôx j Õδ n Ôx j Õ h, m n, m n, ÓÑÔÐØÓ ÔÓ l h ÔÓ ÀÐÖØ v È l h ØÐ ÕÙ vãøδm Ù mèz Øѹ Üv,δ m Ý l h, m È Z, h ô jèzv j δ m Ôx j Õ, m È Z, hv m, m È Z,

33 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ v È l h, Ú ÖØÖÞÓ ÓÒÙÒØÓ ÓÑÔÐØÓ Ñ Ôº ½µº ËÙ ÜÓ ÔÐÓ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ Ô Ó Ô Ó ÔÖ ÙÒ δ m ÔÖ m ÙÖ º¾ ÐÙ ØÖ Ó Ó m µº È Ó ½º ÐÙÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ δ m Æ δ m ÔkÕ h ô jèzδ m Ôx j Õe ikx j he ikxm. º µ Ç ÖÚÓ º½ºº Ñ ÔÖØÙÐÖ Æ δ ÔkÕ he ikx hº È Ó ¾º ÐÙÐÖ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ δ m ÔÖ x x m p δ môxõ π ÔÖ x x m π h π h Æ δ m ÔkÕe ikx dk h π π h π h h e iπ h Ôx xmõ e iπ h Ôx xmõ πôx x m Õ i p δ môx m Õ h π π h π h e ik dk. e ikôx xmõ dk sen π Ôx x h mõ π Ôx x, h mõ ÇÙ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ δ m ÙÒÓ Ò ØÖÒ Ð Ñ x m ÒÓØ ÔÓÖ S h Ôx x m Õ p δ môxõ S h Ôx x m Õ sen π h Ôx xmõ π h Ôx xmõ x x m x x m º ºµ Ç ÖÚÓ º½ºº Ó ÖÚÓ º½º½ ÔÖÚ ÕÙ ÙÒÓ p δ m ÒÐغ ÈÓ¹ ÓÒÖÑÖ Ø ØÓ ÙØÐÞÒÓ ÓÒ ÜÔÒ Ó Ñ Ö Ô Õ ÔÓØÒ ÙÒÓ ÒÓ senôxõ j j Ôj Õ! xj ÓÒ Ù ÕÙ p δ môxõ ô j Ô Õ j Ôj Õ! π h Ôx x mõ j, x È R. ºµ Ø Ö ÓÒÚÖÒØ ÔÖ ØÓÓ x È R Ó ÕÙ ÚÖ¹ ÔÐÓ Ø Ø

34 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ.5 Delta no Domínio físico Delta no Domínio das frequências.5 Æ Ç Interpolador da Delta: Função Sinc Interpolador da Delta no domínio das frequências.5 Ô Õ Derivada da Sinc Derivada do Interpolador da Delta no domínio das frequências (parte imaginária) Ô Õ ÙÖ º¾ ÊÔÖ ÒØÓ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ ÙÒÓ ÐØ δ º

35 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÖÞÓ lim j Ô Õ j ÔÔj Õ Õ! Ô Õj Ôj Õ! π Ôx x Õ h mõ Ôj π Ôx x h mõ j lim j π Ôx x h mõ Ôj 3ÕÔj Õ. ÈÓÖØÒØÓ ØÓ p δ m ÒÐØ ÓÒ ÕÙÒØÑÒØ Ù ÖÚ p ½ δ m ØÑÑ Ó º È Ó º ÐÙÐÖ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÔÖ x x m ÖÚÒÓ ØÖÑÓ ØÖÑÓ Ö ÔÓØÒ ºµ ÓÑÓ p ½ δ môxõ S½ h Ôx x mõ j Ôj Õ! p ½ δ môxõ ô ô j Ô Õ j j π Ôj Õ! h π h Ôx x mõ j. j j Ôj Õ! Ôj Õ! Ôj Õ! ÔjÕ! Ôj Õ! Ù Ô Õ j j Ô Õ j j j ÔjÕ! Ô Õ j ÔjÕ! π π h h Ôx x mõ π Ôx x h mõ j j x x m cos π h Ôx x mõ S h Ôx x m Õ x x m. Ôj Õ! Ô Õ j Ôj Õ! π π h h Ôx x mõ π Ôx x h mõ j j ÈÖ x x m ÓÑÓ p ½ δm ÒÐØ Ø ÐÙÐÖ Ó ÐÑØ Ú ÊÖ Ð³ÀÔØе p ½ δ môx mõ S ½ hôõ lim p ½ δ môxõ xx m ÔÓÖØÒØÓ p ½ δ môx mõ º lim cos π xx m x x m h Ôx x mõ S h Ôx x m Õ π h sen π h Ôx x mõ S ½ h Ôx x mõ lim xx m S ½ hôõ,

36 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÇÙ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ p ½ δ môxõ S½ h Ôx x mõ cos π h Ôx xmõ S hôx x mõ x x m x x m x x m º ºµ È Ó º ÈÖ x j È hz ÓÑ j m ÐÑÖÒÓ ÕÙ x j x m Ôj mõh ÓÑ j m È Zµ Å p ½ δ môx senπôj mõ jõ cosπôj mõ Ô Õj m Ôj mõh πôj mõ Ôj mõh. Ô Õ j m ÈÓÖØÒØÓ Ó ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ ÙÒÓ δ m Ö ÙÐØ Ñ w j p ½ δ môx jõ Ôj mõh j m j mº ºµ º½º¾ ÁÒØÖÔÓÐÓÖ Ñ l h ÔÐÓ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÖ ÙÑ ÙÒÓ v È l h ÕÙй ÕÙÖ ÐØ ÔÐÓ Ö ÙÐØÓ ÓØÓ ÔÖ ÙÒ ÐØ ÃÖÓÒ¹ Öº Ó ÕÙ Ö ÖØÓ ÙÖ Ô Ó Ô Óº È Ó ½º ÖÒÓ ÕÙ Æ δ m ÔkÕ he ikxm Æ vôkõ h ô ÔÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ¾ºµ Ðѹ mèzv m e ikxm ô mèz v m Æ δ m ÔkÕ, k È π h, π. ºµ h È Ó ¾º ÐÙÐÖ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÔÐ ÜÔÖ Ó º½µ p v ÔxÕ π π h π h ô Æ v m π mèz ô mèz v m π Æ vôkõe ikx dk π δ m,e i x π h π h L h Æv,e i x π ô mèz L h Æ δ m ÔkÕe ikx dk ô mèzv m p δ môxõ, v m Æ δ m,e i x L h

37 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÔÖ ØÖÓÖ ÓÖÑ Ó ÓÑØÖÓ ÓÑ Ó ÔÖÓÙØÓ ÒØÖÒÓ Ù ¹ ÐÒ¹ Ö Ó ÔÖÓÙØÓ ÒØÖÒÓ ÙÐ ÙݹËÛÖÞº Î Ôº ½ µº ÇÙ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ v ÖØÓ ÓÑÓ ÓÑÒÓ ÙÒ Ó ØÔÓ Ò Ñ ºµ p v ÔxÕ ô mèz v m p δ môxõ ô mèzv m S h Ôx x m Õ. ºµ Ç ÖÚÓ º½ºº ÆÓ ÔÓÒØÓ ÑÐ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÓÒ ÓÑ ÙÒÓ ÓÖÒÐ p v Ôx j Õ ô mèzv m S h Ôx j x m Õ v j ô mèz mj sen π Ôj mõh h v m π Ôj mõh v j uôx j Õ. h Ç ÖÚÓ º½ºº ÆÓ Ó ÔÖØÙÐÖ Ñ ÕÙ ÙÒÓ u È L ÔRÕ ÙÔÓÒÓ¹ ÕÙ Ù ÖØÞÓ v È l h µ Ò ÐÑØ ÓÒØ ÒÓ ÒØÖÚÐÓ π, π h h ØÓ ØÐ ÕÙ ÔuÔkÕ ÔÖ ØÓÓ k Ê π, π h h Ó ØÓÖÑ ÑÓ ØÖÑ ËÒÒÓÒ Ôº ½½µ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ p v ÓÒ ÓÑ ÙÒÓ u ÓÙ Ñ ÓÙØÖ ÔÐÚÖ ÙÒÓ u ÔÓ Ö ÖÓÒ ØÖÙ ÔÖØÖ Ó Ù ÚÐÓÖ Ò ÑÐ hz uôxõ p v ÔxÕ ô mèzuôx m ÕS h Ôx x m Õ. È Ó º ÐÙÐÖ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ p ½ v ÔxÕ ô mèzv m p ½ δ môxõ. ÈÓÖØÒØÓ p ½ vôxõ ô mèz ô v m ShÔx ½ cos π x m Õ v Ôx x h mõ S h Ôx x m Õ m. º½¼µ x x mèz m x mx

38 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ È Ó º ÚÐÖ p ½ v Ñ x j È hz w j p ½ v Ôx jõ ô mèz v m p ½ δ môx jõ ô mèz mj v m Ô Õ j m Ôj mõh. º½½µ ÖÚ ÙÑ ÙÒÓ Ù ÖØÞÓ ÓÒ ÓÑ v È l h ÔÖÓ¹ ÜÑ Ò ÑÐ ÔÐ ÙÒÓ w : hz C Ò ÔÐ ÕÙÓ º½½µº Ø ÕÙÓ ÔÓ Ö ÖÔÖ ÒØ ÑØÖÐÑÒØ ÙÒØ ÑÒÖ º w w w w w º Æ h ºº º ºº º ºº º ºº º ºº º ººº ººº ººº ººº 3 ººº Æ º v v v ÓÒ ÑØÖÞ ÙÔÐÑÒØ ÒÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÑ ÓÔÖÓÖ Ñ l h Ó ØÔÓ ÌÓÔÐØÞº v v º Æ, º½º ËÙÒÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ¹ ÓÖÑ ÐØÖÒØÚ ÇÙØÖÓ ÑØÓÓ ÔÖ ÖÚÓ ÔØÖÐ ÕÙÚÐÒØ Ó ÔÖÑÖÓ ¹ Ó Ò ÔÖÓÔÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÙÒÓ ÖÚ Ô u ½ ÔkÕ ikôuôkõ ØÓÖÑ ¾º½º½¾ ØÑ ½ µº ÙÖ Ó ÔÖ ÒØÓ Ó ØÐ ËÙÒÓ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÙÑ ÙÒÓ u : R C Ù ÖØÞÓ v È l h È Ó ½º ÐÙÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ Æ v ÔÓÖ ¾ºµº È Ó ¾º ÒÖ Æ w v ÔkÕ ik Æ vôkõº È Ó º ÐÙÐÖ w v ÔÖØÖ Æ w v ÔÓÖ ¾ºµº Ø ÔÖÓ Ó ÔÓ Ö ÔÐÓ ÙÒ δ m

39 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ È Ó ½º  ÐÙÐÓ Ñ º µ Æ δ m ÔkÕ he ikxm. È Ó ¾º ÒÖ Æ w δ môkõ ikδ Æ m ÔkÕ ikhe ikxm. È Ó º ÈÖ j m Ù ¹ ÒØÖÓ ÔÓÖ ÔÖØ w δ môx j Õ π ih π π h ik Æ δ m ÔkÕe ikx j dk π h ke ihôj mõk π h ihôj mõ iôj mõπ π h eiôj mõπ e hôj mõ cos Ôj mõπ Ôj mõh ih π ih π π h π h ihôj mõ ke ihôj mõk dk π h e ihôj mõk dk iôj mõπ π h eiôj mõπ e senôj mõπ πhôj mõ iπhôj mõ Ô Õj m Ôj mõh. ÔÖ j m w δ jôx j Õ ih π π h π h ke dk. ÓÖ Ù ÒÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÓØÓ ÔÖ ÙÒ δ m ÔÓ¹ ÔÐÖ Ó ÙÒÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÖ ÙÑ ÙÒÓ v È l h ÕÙÐÕÙÖº È Ó ½º  ÐÙÐÓ Ñ ºµ Æ vôkõ ô mèz v m Æ δ m ÔkÕ. È Ó ¾º ÒÖ ô Æ w v ÔkÕ v m ikδ Æ m ÔkÕ. mèz

40 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ¼ È Ó º ÐÙÐÖ w v Ôx j Õ π ô mèz π h π h v m π e ikx j ô π h π h mèz ô mèzv m w δ môx j Õ. ik Æ δ m ÔkÕv m dk ik Æ δ m ÔkÕe ikx j dk ÈÓÖØÒØÓ ô Ô Õ j m w v Ôx j Õ v m Ôj mõh. mèz mj º½¾µ Ô Ö Ó ÑÒÓ Ó Ó ÑØÓÓ ÔÖ ÒØÓ ÖÑ ÖÒØ Ó Ö ÙÐØÓ ÓØÓ Ñ º½¾µ Ó Ñ ÑÓ ÕÙ Ñ º½½µº Æ Ø ÒØÓ Öѹ ÕÙ Ó Ó ÑØÓÓ Ó ÕÙÚÐÒØ º º½º ÈÖ Ó Ó ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÌÓÖÑ º½ºº u È L ÔRÕ ÓÑ u ÔnÕ n µ ÚÖÓ ÐÑØ w : hz C ÙÒÓ Ö ÙÐØÒØ n ÔÐ Ù Ú Ó ÑØÓÓ ÔØÖÐ Ö ØÖÓ u ÑÐ hzº Ìѹ ½º Ë u ØÑ m ÖÚ ÓÒØÒÙ Ñ L ÔRÕ ÔÖ ÐÙÑ m n ÒØÖÓ u ÔmÕ ÚÖÓ ÐÑØ ÒØÓ ÔÖ ØÓÓ j È Z w j u ÔnÕ Ôx j Õ OÔh m n Õ ÕÙÒÓ h. ¾º Ë u ØÑ ÒÒØ ÖÚ ÓÒØÒÙ Ñ L ÔRÕ ÒØÓ j È Z ÔÖ ØÓÓ l ÒØÖÓº w j u ÔnÕ Ôx j Õ OÔh l Õ ÕÙÒÓ h, º Ë Ü ØÑ ÓÒ ØÒØ a,c Ø ÕÙ u Ö ØÖÓ Ñ R ÙÑ ÙÒÓ U ÒÐØ Ò Ü Øz È C; Imz aù ÕÙ Ø Þ ÐUÔ iyõð UÔx iyõ dx c, ÔÖ ØÓÓ y a,

41 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ½ ÒØÓ ÔÖ ØÓÓ ǫ w j u ÔnÕ Ôx j Õ OÔe πôa ǫõßh Õ ÕÙÒÓ h. º Ë u Ö ØÖÓ Ñ R ÙÑ ÙÒÓ U ÒÐØ Ñ C Ü Ø a ØÐ ÕÙ ÔÖ ØÓÓ z È C ÒØÓ ÕÙ h πßa UÔzÕ oôe az Õ ÕÙÒÓ z, w j u ÔnÕ Ôx j Õ. Ç ÖÚÓ º½ºº Ç ØÓÖÑ º½º ÓÒ ÕÙÒ Ó ØÓÖÑ ¾º¾º½¼º ÇÙØÖÓ ÑÒÓ ÔÖ ÑÓÒ ØÖÖ Ó ØÑ ÙØÐÞÒÓ Ó ØÑ Ó ØÓÖÑ ¾º½º½ Ó ØÓÖÑ ÑÓ ØÖÑ ËÒÒÓÒ Ú Ó ÖÚÓ º½ºµº º¾ ÌÖÖÓ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÙÒ È¹ Ö Ç ÓØÚÓ ÓÖ Ò ÐÓÓ Ó Ó ÒØÖÓÖ Ñ ÓÒ ÖÒÓ ÙÒ u : R C ÕÙ Ó π¹ôö ÓÑ ÖØÞÓ v ÔÖØÒÒØ l N ÓÑ N ÔÖº Ø ÙÔÓ Ó Ø ÔÖ Ø Ó ÒØÖº ÒØ ÔÖ ÒØÖ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÑÔÓÖØÒØ ÞÖ Ð¹ ÙÒ ÓÑÒØ ÖÓ ÓÖÑ ØÒ ÔÖ ÚØÖ ÔÖÓÐÑ ÓÑ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÕÙ ÒÓ ÙÖº Ç ÔÖÓÐÑ ÕÙ Ò ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ ÁÒÚÖ ¾ºµ ÑÓÖ ÖÕÙÒ ÒÓ ØÑ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒØ ÑØÖÓ Ò ÑÒÓÖ ÖÕÙÒ ÒØÚº Á ØÓ ÔÓ Ó ÓÒÖ Ö ÙÐØÓ Ò Ú ÔÖ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ Ú ÜÑÔÐÓ Ñ ½¾ Ôº ½µº ÈÓ¹ ÓÖÖÖ Ø ÔÖÓÐÑ ÖÕÙÐÖÒÓ ÐØÑ ÖÕÙÒ ÓÑÓ v Nß v Nß Ú Ó ÖÚÓ ¾º º µ e inx j e iπj Ù ÕÙ e in x j v Nß eiôn N Õx j v Nß N ei x jv Nß eiô N Õx jv Nß N ei x jv Nß. ÈÓÖØÒÓ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ ÁÒÚÖ ¾ºµ ÔÓ Ö Ö ÖØ

42 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ¾ ÓÑÓ Ù v j π Nß ô k Nß e ikx jvôkõ π Nß ô k Nß ½ e ikx j vôkõ, ÓÒ ÐÒ ÖÒØ Ó ÓÑØÖÓ Ò ÕÙ Ó ØÖÑÓ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ó Ò k Nß Ó ÑÙÐØÔÐÓ ÔÓÖ º ÓÖ Ñ ÓÑ ÖÕÙÒ ÑØÖ ÔÓ¹ ÒÖ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÔÐ ÖÑÙÐ p v ÔxÕ Nß ½ ô vôkõe ikx. º½ µ π k Nß Ç ÖÚÓ º¾º½º Ç ÒØÖÔÓÐÓÖ p v ÙÑ ÙÒÓ π¹ôö Ú Ó Ö¹ ÚÓ ¾º º µ ÒÐØ ÓÑØÖÓ ÒØÓ ÙÒ ÒÐØ µº ÌÖÖÓ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÙÑ ÙÒÓ u : R C π¹ôö Ù ÖØÞÓ v È l N È Ó ½º ÐÙÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ v ÔÓÖ ¾ºµº È Ó ¾º ÐÙÐÖ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ p v ÔÓÖ º½ µº È Ó º ÐÙÐÖ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ p ½ vº È Ó º ÒÖ w : hz C ÔÓÖ w j p ½ vôx j Õº º¾º½ ÁÒØÖÔÓÐÓÖ ÐØ ÃÖÓÒÖ ¹ ËÒ ÔÖ¹ ÈÖ m È Z Ò¹ ÙÑ ÙÒÓ ÐØ ÃÖÓÒÖ ÔÖ δ m È l N ÔÓÖ δ m Ôx j Õ j m ÔÑÓ NÕ j m ÔÑÓ NÕº ËÙ ÜÓ ÔÐÓ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ Ô Ó Ô Ó ÔÖ ÙÒ δ m ÔÖ m ÙÖ º ÐÙ ØÖ Ó Ó m µº

43 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ.5 Delta Periódica no Domínio físico Delta Periódica no Domínio das frequências Interpolador da Delta Periódica: Sinc Periódica Interpolador da Delta Periódica no Domínio das frequências Derivada da Sinc Periódica Derivada da Delta Periódica no Domínio das frequências (parte imaginária) ÙÖ º ÊÔÖ ÒØÓ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ ÙÒÓ ÐØ ÔÖ δ º

44 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ È Ó ½º ÔÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ ¾ºµ δ m ÔkÕ h Nô j δ m Ôx j Õe ikx j he ikxm. Ç ÖÚÓ º¾º¾º Ñ ÔÖØÙÐÖ ÔÖ m δ ÔkÕ he ikx hº º½µ È Ó ¾º ÐÙÐÖ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ δ m ÔÓÖ º½ µº ÈÖ x È R ÓÖ ÑÐ Øx j È hz; j m ÔÑÓ NÕÙ Nß ô p δ môxõ π h π k Nß ½ δ m ÔkÕe ikx ô Nß k Nß h π e ikôx xmõ Nß ô k Nß ½ Nß ô k Nß ÞÒÓ ÑÙÒ ÚÖ Ú Ó ÓÑØÖÓ j k Ö ÔØÚÑÒØ Ù p δ môxõ h N ô π h π j e i Ôx xmõ e i Ôx xmõ h π cos Ôx x mõ e ikôx xmõ e ikôx xmõ. N j k N e iô N jõôx xmõ e iô N «jõôx xmõ«n ô Åe iô N j e iô N jõôx xmõ ô ÕÔx xmõ N ÈÐ ÖÑÙÐ ÓÑ ÙÑ ÔÖÓÖ Ó ÓÑØÖ ÒØ j e ijôx xmõ. p δ môxõ h e π cos Ôx x mõ Åe in Ôx xmõ e i Ôx xmõ inôx x mõ cos mõ Ôx x Ôx xmõ e in Ôx xmõ e in h π e iôx xmõ e i Ôx xmõ e iôx xmõ Å

45 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ h π cos Ôx x mõ e i Ôx xmõ e i Ôx xmõ i Ôx x mõ h cos πsen sen N π e in Ôx xmõ e in Ôx xmõ i Å N Ôx x mõ sen Ôx x mõ Ôx x mõ tan Ôx x h mõ. ÔÖ x Ò ÑÐ Øx j È hz; j m ÔÑÓ NÕÙ ÓÑÓ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÙÑ ÙÒÓ ÒÐØ Ø Ù Ö ÊÖ Ð³ÀÔØÐ p δ môx m Õ lim xx m sen π π h tan Ôx x h mõ Ôx x mõ lim xx m cos π h Ôx x mõ cos Ôx x mõ Å «. ÈÓÖØÒØÓ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ δ m ÙÒÓ Ñ Ò π¹ôö ØÖÒ Ð Ñ x m ÒÓØ ÔÓÖ S N Ôx x m Õ senô π p δ môxõ S N Ôx x m Õ ÓÒ M Øx j È hz; j m ÔÑÓ NÕÙº h Ôx xmõõ π h tanô x Ê M x È M º½µ È Ó º ÐÙÐÖ ÔÖ x Ê Øx j È hz; j m ÔÑÓ NÕÙ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ p ½ π δ môxõ cos π Ôx x h h mõtan x xm sen π Ôx x h mõsec x xm h Ôx x mõ 4π h tan x xm cos π tan Ôx x mõ sen π 4π h sen Ôx x mõ. h Ôx x mõ ÔÖ x È Øx j È hz; j m ÔÑÓ NÕÙ Ø Ó ÖÚÖ ÕÙ p δ ÙÑ ÙÒÓ ÔÖ ÒØÓ Ù ÖÚ p ½ δ Ú Ö ÙÑ ÙÒÓ ÑÔÖ ÔÓÖØÒØÓ p ½ δ ÔÕ º ÔÖÓ p ½ δ ÞÖ Ñ ØÓÓ Ó ÑÐØÔÐÓ ÒØÖÓ πº ÓÑÓ p ½ δ m ÔÒ ØÖÒ ÐÓ Ñ x m p ½ δ Ù ÕÙ

46 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ p ½ δ môxõ S½ N Ôx x mõ cosô π Ôx xmõõ h tanô Ôx xmõõ ÓÒ M Øx j È hz; j m ÔÑÓ NÕÙº senôπ h h sen Ô Ôx xmõõ 4π x Ê M x È M º½µ È Ó º ÈÐ ÕÙÓ º½µ ÚÐÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ x j w j p ½ cot Ôj mõh δ môx jõ Ô Õj m, j m ÔÑÓ NÕ, j m ÔÑÓ NÕ. º½µ º¾º¾ ÁÒØÖÔÓÐÓÖ Ñ l N ÔÐÓ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÖ ÙÑ ÙÒÓv È l N ÕÙÐÕÙÖ ÐØ ÔÐÓ Ö ÙÐØÓ ÓØÓ ÔÖ ÙÒ ÐØ ÃÖÓÒÖ ÔÖ º Ó ÕÙ Ö ÖØÓ ÙÖ Ô Ó Ô Óº È Ó ½º ÔÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ ¾ºµ ÐÑÖÒÓ ÕÙ δ m ÔkÕ he ikxm vôkõ h Nô m v m e ikxm Nô m v m δ m ÔkÕ. º½µ È Ó ¾º ÐÙÐÖ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ º½ µ p v ÔxÕ π Nß ô k Nß Nô v m m ½ N ô π Nß ô m k Nß v m δ m ÔkÕ ½ «e ikx δ m ÔkÕe ikx Nô m v m p δ môxõ. Ñ Ö ÙÑÓ p v ÔxÕ Nô v m p δ môxõ Nô m m v m S N Ôx x m Õ. º½µ

47 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ È Ó º ÐÙÐÖ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ p ½ v ÔxÕ d dx N ô m v m p δ môxõ «Nô v m Nô p ½ δ môxõ m m v m S ½ N Ôx x mõ. º¾¼µ È Ó º ÚÐÖ Ñ x j È hz w j p ½ v Ôx jõ Nô m mjôñónõ v m Ô Õj m cot Ôj mõh Å. º¾½µ ÖÚ ÙÑ ÙÒÓ Ù ÖØÞÓ ÓÒ ÓÑ v È l N ÔÖÓ¹ ÜÑ ÔÐ ÙÒÓ w : hz C Ò ÔÐ ÕÙÓ º¾½µº Ø ÕÙÓ ÔÓ Ö ÖÔÖ ÒØ ÑØÖÐÑÒØ ÙÒØ ÑÒÖ w cot h cot h cot h v º ººº º w j º w N Æ º cot h cot h º ººº cot h cot h cot h Æ v j º v N Æ, º¾¾µ ØÒÒÓ w hz ÔÐ ÔÖÓº ÐÑ Ö ÌÓÔÐØÞ ÓÑÓ ÑØÖÞ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ø ÑØÖÞ ÖÙÐÒغ º¾º ÉÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ¹ ÓÖÑ ÐØÖÒØÚ ÓÑÓ Ò Ó ÒØÖÓÖ ÙÑ ÓÖÑ ÐØÖÒØÚ ÔÖ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÖÚÓ ÔØÖÐ Ó Ò ÔÖÓÔÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÙÒÓ ÖÚ Ô u ½ ÔkÕ ikôuôkõ ØÓÖÑ ¾º½º½¾ ØÑ ½ µ ÕÙ ÔÖ ÒØÓ ÙÖ

48 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÉÙÖØÓ ÅØÓÓ ÔØÖÐ ÙÑ ÙÒÓ u : R C π¹ôö Ù ÖØÞÓ v È l N È Ó ½º ÐÙÐÖ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÖØ v ÔÓÖ ¾ºµº È Ó ¾º ÒÖ w v ÔkÕ ik vôkõ, k Nß ÔÑÓ NÕ, k Nß ÔÑÓ NÕ. È Ó º ÐÙÐÖ w v ÔÖØÖ w v ÔÓÖ ¾ºµº ÆÓ Ô Ó ¾ ÕÙÒÓ ÑÙÐØÔÐÓ ÔÓÖ ik ÙÒÓ ÔÖ ÔÖÓ ÒÓ ÜØÖÑÓ Ó ÒØÖÚÐÓ ÓÒ ÖÓ ÔÓÖ Ó Ò ÖÓ ÞÖÖ Ó ÜØÖÑÓ ÔÖ ÕÙÐÖÖ Ó ÚÐÓÖ ÙÒÓ Ò Ø ÖÕÙÒ º ÙÖ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ ÙÒ δ m È Ó ½º  ÐÙÐÓ Ñ º½µ δ m ÔkÕ he ikxm. È Ó ¾º ÒÖ w δ môkõ ik δ m ÔkÕ ikhe ikxm, k Nß ÔÑÓ NÕ, k Nß ÔÑÓ NÕ. È Ó º ÐÙÐÖ ÔÓÖ ¾ºµ w δ môx j Õ π ô N N ô ikδ m ÔkÕe ikx j ih ke ikhôj mõ. π k N k N ÆÓ Ó Ñ ÕÙ j m ÔÑÓ NÕ Ü Ø c È Z ØÐ ÕÙ j m cn c π h ÔÐ ÕÙÓ ¾ºµº ÄÓÓ e ikhôj mõ e ikhcπ h e iπkc º Ñ w δ môx j Õ ih π ô N k N k, j m ÔÑÓ NÕ. º¾ µ

49 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ Ë j m ÔÑÓ NÕ Øѹ e ikhôj mõ º Æ Ø Ó w δ môx j Õ ih π ih π N ô ô k N k e ihôj mõ k k N k e ihôj mõ k ô N k k e ihôj mõ k. ÞÒÓ l k ÒÓ ÔÖÑÖÓ ÓÑØÖÓ Ù ÒÓ ¾ºµ ÒÓ ÓÒØ Ñ ÚÒ w δ môx j Õ i N N ÔÐÒÓ ÖÑÙÐ nô k k ô l l e ihôj mõ l ô N k k e ihôj mõ k. ka k a Ö Ôn Õan na n Ô aõ, º¾µ Ô Ò Ó ÔÒ Ó ÐÚÖÓ ¾ ÓÑ a e ihôj mõ n N ÓØѹ N ô k e ihôj mõ k e ihôj mõ Ne ihôj mõôn Õ N e ihôj mõn Ô e ihôj mõ Õ. Í ÒÓ ¾ºµ ÒØ e iπ ô N k k e ihôj mõ k e ihôj mõ N e iπôj mõ e ihôj mõ N Ô e ihôj mõ Õ e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ e ihôj mõ Ô e ihôj mõ Õ N e iπôj mõ N Ô Õ Ôj mõ Ôj mõ e ihôj mõ e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ Ô Õ Ô e ihôj mõ Õ.

50 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ¼ ËÙ ØØÙÒÓ Ñ º¾µ ÓØѹ w δ môx j Õ i N ËÓÑÒÓ Ö w δ môx j Õ i N e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ Ô e ihôj mõ Õ eihôj mõ e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ N Ô e ihôj mõ Õ Ô e ihôj mõ Õ e ihôj mõ e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ N Ô e ihôj mõ Õ Ô e ihôj mõ Õ ÐÙÐÒÓ Ó ÔÖÓÙØÓ ÒÓ ÒÙÑÖÓÖ e ihôj mõ e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ e ihôj mõ e ihôj mõ N Ô Õ Ôj mõ e ihôj mõ N Ô Õ Ôj mõ e ihôj mõ Ô e ihôj mõ Õ ihôj mõ Ô Õ Ôj mõ e ihôj mõ Ô Õ Ôj mõ e.. º¾µ N Å Ô Õ Ôj mõ e ihôj mõ Å e ihôj mõ N N Å Å Ô ÕÔj mõ Ô Õ Ôj mõ e ihôj mõ e ihôj mõ N N Å Å Ô ÕÔj mõ Ô Õ Ôj mõ e ihôj mõ Ôj mõ NÔ ÕÔj mõ e ihôj mõ ÔN ÕÔ Õ N Å e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ e ihôj mõ Ô Õ Ôj mõ e ihôj mõ Å

51 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ½ ihôj mõ N Å ihôj mõ e ihôj mõ e Ô Õ Ôj mõ e ihôj mõ e N Å Ô ÕÔj mõ ÔN ÕÔ Õ Ôj mõ Å Ô Õ Ôj mõ Ne ihôj mõ N e ihôj mõ cosôhôj mõõ ÔN ÕÔ Õ Ôj mõ cosôhôj mõõ N Å Ô ÕÔj mõ ÔN ÕÔ Õ Ôj mõ Å NÔ Õ Ôj mõ e ihôj mõ e ihôj mõ. ÆÓع ÕÙ ÔÒ ÐØÑ ÐÒ Ñ ØÑ Ó ÒÐ ÔÓÖØÒØÓ Ó Ù Ø¹ ØÙÖ Ñ º¾µ Ò ÕÙ ÒÓ ÒÐ ihôj mõ NÔ Õ Ôj mõ e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ e w δ môx j Õ i N ÔÔ e ihôj mõ Õ Ô e ihôj mõ ÕÕ ihôj mõ NÔ Õ Ôj mõ e ihôj mõ N Ô ÕÔj mõ e ÔÔ e ihôj mõ Õ Ô e ihôj mõ ÕÕ ihôj mõ i NÔ Õ Ôj mõ e ihôj mõ e N Ô e ihôj mõ e ihôj mõ ihôj mõ Õ N Ô ÕÔj mõ e ihôj mõ e Ô e ihôj mõ e ihôj mõ Õ isenôhôj mõõ isenôhôj mõõ iô Õ Ôj mõ Ô cosôhôj mõõõ senôhôj mõõ senôhôj mõõcosôhôj mõõ Ô Õ Ôj mõ 4 Ô cosôhôj mõõõ mõõ Ô cosôhôj mõõõ Ô ÕÔj mõsenôhôj Ô cosôhôj mõõõ senôhôj mõõ Ô ÕÔj mõ cosôhôj mõõ Ô ÕÔj mõ sen hôj mõ cos hôj mõ cos hôj mõ sen hôj mõ

52 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ¾ hôj mõ Ô ÕÔj mõsen hôj mõ Ô ÕÔj mõcos sen hôj mõ sen hôj mõ Ô ÕÔj mõ cot hôj mõ cos hôj mõ Å, j m ÔÑÓ NÕ. ÉÙ Ó Ñ ÑÓ Ö ÙÐØÓ ÓØÓ Ñ º½µº ÓÖ Ù ÒÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÓØÓ ÔÖ ÙÒ δ m ÔÓ¹ ÔÐÖ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÖ ÙÑ ÙÒÓ v È l N ÕÙÐÕÙÖº È Ó ½º  ÐÙÐÓ Ñ º½µ vôkõ Nô m v m δ m ÔkÕ. È Ó ¾º ÒÖ w v ÔkÕ ³² ³± Nô m v m ik δ m ÔkÕ, k Nß ÔÑÓ NÕ, k Nß ÔÑÓ NÕ. È Ó º ÐÙÐÖ ÔÓÖ ¾ºµ Ù ÒÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÒÓÒØÖÓ ÔÖ ÙÒ δ m w v Ôx j Õ π Nô m N ô k N v m π w v ÔkÕe ikx j π N ô ikδ m ÔkÕe ikx j k N N ô ô N k N Nô m m v m ik δ m ÔkÕ v m w δ môx j Õ. «e ikx j

53 ÈÌÍÄÇ º ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÈÓÖØÒØÓ w v Ôx j Õ Nô m mjôñónõ v m Ô Õj m cot Ôj mõh Å. º¾µ Ô Ö Ó ÑÒÓ Ó ØÖÖÓ ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÖÑ ÖÒØ Ó Ö ÙÐØÓ ÓØÓ Ñ º¾½µ Ó Ñ ÑÓ ÕÙ Ñ º¾µº Æ Ø ÒØÓ Ó Ó ÑØÓÓ Ó ÕÙÚÐÒØ º ÌÒØÓ Ò Ó ÒØÖÓÖ ÓÑÓ Ò Ø Ó ÑÒÓ ØÒØÓ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ ÖÚÒÓ ÒÓ ÓÑÒÓ Ó ÓÙ ÒÓ ÓÑÒÓ ÖÕÙÒ Ò ØÓÖ Ó ÕÙÚÐÒØ º Å Ò ÔÖ Ø Ò Ñ Ú Ö ÕÙ Ò ÑÔÐÑÒØÓ ØÑ ÐÙÑ ÖÒ ÓÒÚÖÒ Ñ Ñ ÓÖ ÔÖ Ó ÔØÖÐ Ó ØÖÖÓ ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÓÑÔÖ ÚÐ ÓÑ Ó Ó ÔÖÑÖÓ Ø ÙÒØÓ Ö ÓÖÓ ÔÖÐÑÒØ ÒÓ ÔÖÜÑÓ ÔØÙÐÓº

54

55 ÔØÙÐÓ Ì Ø Ñ ÅÌÄ ÔÖ ÒØÓ Ó ÕÙØÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖ ÖÚÓ ÒÓ ÔØÙÐÓ ÓÖ Ó ÑÓÑÒØÓ Ø Ø ¹ÐÓ ÓÑÔÖ ¹ÐÓ ÓÑÔÙØÓÒÐÑÒغ ÙÒ¹ ÓÐ ÔÖ Ó ÜÔÖÑÒØÓ Ó ÕÙÐ ÙØÐÞ ÒÓ ÔØÙÐÓ ÔÖ ÐÙ ØÖÖ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ ÙÒÓ Ù Ò ÙÒ Ò Ò ÔÖ º ÌÓÓ Ó Ó ÅÌÄ ÙØÐÞÓ Ò Ø ÔØÙÐÓ ØÓ Ð ØÓ ÒÓ ÔÒ º ÓÑ ØÖ ÕÙ ÓÑÔÖ Ø ÔØÙÐÓ Ó ÒÓ ÔÓÒ¹ ØÓ ÙÑ ÑÐ Ô Ö Ó ÔÖÑÖÓ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ Ô ÖÑ ÔÓÖ ÙÑ ÒØÖÔÓÐÓÖº º½ ØÙÓ Ù Ò Ì Ø ÈÖ Ó ÔÐÓ Ó ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÙÒÓ Ù Ò Ó ÐÙ ØÖ Ò ÙÖ º½º Ç Ó Ø ÙÖ ØÓ ÒÓ ÔÒ º Ç ÓØÚÓ Ø Ó Ó ÔÖÓÙÒÖ Ó ØÙÓ ÙÒÓ Ù Ò ÐÖÖ Ó ØÐ ÓÖ ÙÖ º½ ÞÖ ÐÙÒ Ø Ø ÓÒÚÖÒ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ÖØ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ ÓÑ ÙÒÓ Ù Òº ÔÖÑÖ ÐÒ ÙÖ º½ ÓÑÔÓ Ø Ö ÔØÚÑÒØ ÔÐ Ù ¹ Ò uôxõ e x ÔuÔkÕ πe k 4 ÔuÔkÕ Ó ÐÙÐ ÒÓ ÜÑÔÐÓ ¾º½ºµº Æ ÙÒ ÐÒ Øѹ ÖØÞÓ Ù Ò v j e x j Ù ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ÙÓ Ö Ó Ø ÖÔØÓ ÓÖÑ ÑÔÐ Ò ÙÖ º½º Ø Ö Ó ÒÓ Ó ØÖÙÒÑÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ Ù Ò ÓÑÓ ÔÓ

56 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ÙÖ º½ ÑÔÐÓ Ó Ö Ó ÐÒ ¾ ÓÐÙÒ ¾ ÙÖ º½º ÔÖÖ ÔÖÑÖ Ú Øº Á Ó ÔÓ Ö Ó ÖÚÓ ÔÐ ÖÑÙÐ Ð Ò Æ vôkõ ô Ôu k π e ô 4 Ôk πjßhõ π e k 4 e π h j πk h j, jèz π h j Å ô jèz jèz Æ vôkõ ÔuÔkÕ ô jèze π h j πk h j. º½µ ÓÑÓÔu ÙÑ Ù Ò ÕÙÒÓ ÑÙÐØÔÐ ÔÐÓ ÓÑØÖÓ ÐÚÑÒØ ÔÖØÙÖº Ç ÓÑØÖÓ Ñ º½µ ÙÑ ÙÒÓ ØØ ÂÓ ÕÙ Ò Ò Ô Ò ¾¾ ½ ÔÓÖ ô Θ Ôz,λÕ jèze πλj ijz, ÔÖ z kπi h λ π h ÓÑ h ÜÓº ÇÙ Æ vôkõ ÔuÔkÕ Θ kπi h, π h Å. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ ÐÓ ÔÓ¹ Ù Ö ÔÖÔÖ ÒÓ ÌÖÒ ÓÖÑ

57 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ ¾ºµ ÔÖ ÓÑÔÖÖ ÓÑ ÙÒÓ ØØ ÂÓº ØÓ Æ vôkõ h ô e h j ijkh, º¾µ Ù ÕÙ ÔÖ z kh λ h π jèzv j e ikxj h ô jèze xj e ikxj h ô jèz ÓÑ h ÜÓ Å. Æ vôkõ h Θ kh, h π ÈÓÖØÒØÓ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ËÑ ÖØ Ù Ò ÙÑ ÙÒÓ ØØ ÂÓ ÚÐ Ñ ÒØ ÂÓ ½ Ôº ¾¾µ Æ vôkõ h Θ kh, h π Å ÔuÔkÕ Θ kπi h, π h Å. Ø Ù ÑÒÖ ÖÚÖ ÙÒÓ Æ v Ú ÖÑÙÐ Ð Ò Ú ÒÓ ÜÑ ÔÖÙÒØ ÕÙÐ ÓÒÚÖ Ñ ÖÔÑÒØ ÈÖ ØÒØÖ Ö ÔÓÒÖ Ø ÕÙ ØÓ ÓÐÖ ÙÑ ÖÑÙÐ ÔÖ ÑÔÐÑÒØÓ Ó ÓÑÔÖÓ Ó ØÖÑÓ Ó ÓÑØÖÓ ÕÙ º½µ º¾µ ÒÓØÓ ÔÓÖ a j e π h j πk h j b j e h j ijkh. Ç ÑÒØÓ ÖÐØÚÓ ÒØÖ Ó ØÖÑÓ ÓÒ ÙØÚÓ Ó º µ ºµ a j a j e πk h e π h Ôj Õ, j, a j a j e πk h e π h Ôj Õ, j, ºµ b j b j e h Ôj Õ, j, b j b j eh Ôj Õ, j. ºµ ÙÖ º¾ ÙÑ ÓÑÔÖÓ ÔÖ h ÜÓ ÒØÖ ÜÔÖ Ñº Ç ÚÐÓÖ k ÓÐÓ ÔÖ ÚÐÖ ºµ j µ Ó Ó ÚÐÓÖ Ñ ÜÑÓ a j a j Ö k πº h ÎÖ¹ ÕÙ ÖÑÙÐ Ð Ò ÓÒÚÖ ÑÙØÓ Ñ ÖÔÑÒغ ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ Ó ÚÐÓÖ Ó ÔÖÑÖÓ ÕÙÓÒØ Ó a a e 9º À Ò Ñ ÙÑ ÚÒØÑ ÖÑÙÐ Ð Òº Ø ÓÖ ÓÑÔ¹ Ö ÓÖÑ Ø ÓÑ h ÜÓº Å ÔÓÖ ÓÙØÖÓ ÐÓ ÕÙÒÓ h ÜÒÓ

58 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ quociente j ÙÖ º¾ ÔÖÓÜÑÓ ÙÒÓ ØØ ÂÓº Ñ ÞÙÐ µ Ú ÖÑÙÐ Ð Ò ÕÙÓÒØ ºµ Ñ ÚÖÑÐÓ Óµ Ú ÒÓ ÕÙÓÒØ ºµº 5 erro N=π/h ÙÖ º ÓÒÚÖÒ Æ v ÔÖÔu ÕÙÒÓ h Ú ÖÑÙÐ Ð Òº

59 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ÓÖ Ó Ò j Ó ØÖÑÓ º µ ØÒÑ ÞÖÓ ÒÕÙÒØÓ ÕÙ Ó ØÖÑÓ ºµ ØÒÑ ÙѺ Á ØÓ ÙÖ ÕÙ ÓÒÚÖÒ Æ v ÔÖ Ôu ÕÙÒÓ h ØÑÑ Ñ Ö Ô ÔÐ ÖÑÙÐ Ð Òº ÙÖ º ÑÓ ØÖ Ó Ö Ùй ØÓ Ú ÖÑÙÐ Ð Ò ÓÒ Ó ÖÖÓ Ñ ÜÑÓ Ó ÚÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ø Ñ Ð ÐÓÖØѺ ÎÖ¹ ØÑÑ ÔÖ ÙÒÓ Ù Ò ÕÙ ÔÓ Ö ØÒ Ò¹ ÐØÑÒØ ÙÑ Ü ÕÙ ÓÒØÑ ÖØ Öе Ó ÕÙ Ó ÔÖÚ ØÓ ÔÐÓ ØÑ Ó ØÓÖÑ ¾º¾º½¼ ÓÙ ÕÙ Ó ÑÒØÓ ÖÒ ÒØÖ Æ v Ôu ÕÙÒÓ h ÜÔÓÒÒк ÈÓÖØÒØÓ ÔÖ ÞÖ Ó Ö Ó ÙÒ ÐÒ ÙÒ ÓÐÙÒ ÙÖ º½ Ó ÓÐ ÖÑÙÐ Ð Òº ÚÒØÑ ÖÑÙÐ Ð Ò ÕÙ ÔÖ Ó ÓÒÖ ÔÖÚ¹ ÑÒØ ÌÖÒ ÓÖÑ ÓÙÖÖ ÙÒÓ Ó ÕÙ ÔÓ Ö ÓÑÔÐÓ ÔÖ ÐÙÑ ÙÒ º ÆÓ Ó Ù Ò ØÓ ÒÓ ÔÖÓÐÑ ÙÑ ÚÞ ÕÙ Ù ÌÖÒ ÓÖÑ Ó ÐÙÐ ÒÓ ÜÑÔÐÓ ¾º½ºº È ÒÓ ÔÖ ØÖÖ ÐÒ ÙÖ º½ Ò ÙÒ ÓÐÙÒ ÓÑÓ ØÐ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÖÔع Ó Ö Ó Æ v ØÒ¹ ÖØ ØÓ ÞÖÒÓ ÓÖ Ó ÒØÖÚÐÓ π h, π h º ÔÖÑÖ ÓÐÙÒ Ó ÒØÖÔÓ¹ ÐÓÖ u ÕÙ Ó ÔÖÓÖÑÓ ÓÑ Ò ÖÑÙÐ ºµ ÓÑ ØÖÙÒÑÒØÓ ÑØÖÓ Ó ÓÑØÖÓº Ç ÔÖÜÑÓ ÜÔÖÑÒØÓ Ø Ó Ó ÓÑ ÓÑÒÓ ØÖÙÒÓ ÒÓ Ò¹ ØÖÚÐÓ Ö π,π º ÙÖ º ÓÑÔÖ Ó ÖÖÓ ÕÙÒÓ h N µ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÑÐ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÒÓ ÔÐÓ ÔÖÑÖÓ ÔÐÓ ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖ ÔÖ ÙÒÓ Ù Ò uôxõ e x º Ç ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ó ÑÔÐÑÒØÓ ÔÐ ÖÑÙÐ ºµ ÓÑ ØÖÙÒÑÒØÓ ÑØÖÓ Ó ÓÑØÖÓ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ Ó ÑÔÐÑÒØÓ ÙØÐÞÒÓ Ó ÓÑÒÓ Ø Ø Ó ÅÌĺ Æ ØÓÖ ÖÑÙÐ ºµ ÓÒ ÓÑ ÙÒÓ Ò ÑÐ ÓÑÓ ÑÓ ØÖÓ Ò Ó ÖÚÓ º½ºº ÈÓÖÑ ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ Ò ÓÑÔÐÓº ÙÖ º ÑÓ ØÖ ÕÙ ÔÖ ÚÐÓÖ ÔÕÙÒÓ N π Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ h ÖÓ ÔÐ ÖÑÙÐ ºµ Ó ÕÙ ÑÐÓÖ ÔÖÓÜÑ ÙÒÓ Ù Ò ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñк Å ÔÖ ÚÐÓÖ ÑÓÖ N ÕÙÒÓ ÔÖÑ Ñ ØÖÑÓ ÓÖÑ π sen Ôx h j x m Õ π h Ôx j x m Õ ÖÑÙÐ ºµ Ó ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ ÙÑÙÐÑ ÔÖÓÜÑÓ Ú Ì Ô Ö ÑÐÓÖ Ô Ö ØÑÑ ÔÖÖ ÙÑ ÔÓÙÓ ÔÖ Ó ÔÖØÖ ÔÖÓÜÑÑÒØ N 6º Ç ÖÚÓ º½º½º ÅØÓÓ ÔØÖ ÖÐÑÒØ ØÑ ÓÒ Ö ÙÐØÓ ÓÑ

60 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ¼ 3 x 6.5 erro.5.5 erro N=π/h 9 x N=π/h 4 x 6 erro N=π/h ÙÖ º ÖÖÓ Ó ÑØÓÓ Ó ÔÖÓÜÑÖ ÙÒÓ Ù Òº Ñ ÞÙÐ µ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ñ ÚÖÑÐÓ Óµ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ Ú Ìº

61 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ½ x 4 erro N=π/h ÙÖ º ÖÖÓ Ó ÑØÓÓ Ó ÔÖÓÜÑÖ ÙÒÓ Ù Òº Ñ ÞÙÐ µ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ñ ÚÖÑÐÓ Óµ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ Ú º½µº ÚÐÓÖ ÔÕÙÒÓ Nº Ò ÓÖ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÙÖ º Þ ÙÑ ÓÑÔÖÓ ÒØÖ ÓÒÚÖÒ ÓÑ h ØÒÒÓ ÞÖÓ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÖÓ ÔÐÓ ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÒÓÚÑÒØ ØÖÙÒÒÓ ÖÑÙÐ ºµ ÓÑ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÖÓ ÔÐÓ ØÖÖÓ ÑØÓÓ Ñ ÓÖ ÔÐ ÖÑÙÐ º½µ Ó ÒÚ Ù Ö Ó Ó¹ ÑÒÓ Øº ÓÑÓ ÖÑÙÐ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔÖ Ö ØÖÙÒ Ó Ó Ó Ù Ñ Ó Ñ ÑÓ Ó ÔÖ Ó ÐÙÐÓº ÈÓÖÑ ÙÑ ÖÒ ÒØÖ Ù ÖÑÙÐ ÙÑ ÓÑ Ò ÓÙØÖ ÓÑ Ò ÔÖº ÎÖ¹ ÕÙ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÔÖÓ ÒÓ ØÑ Ñ Ñ ÔÖ¹ Ó ÓÑÓ Ú ØÓ Ò ÙÖ º Ó ÖÖÓ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÖÓ ÔÐÓ ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÓÖÑ 6 ÓÙ 5 ÒÕÙÒØÓ ÕÙ Ó ÖÖÓ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÖÓ ÔÐÓ ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÓÖÑ 5 ÓÙ 4 º ÒÐÑÒØ ÐØÑ ÐÒ ÙÖ º½ ÓÑÔÓ Ø Ò ÔÖÑÖ ÓÐÙÒ ÔÐ ÖÚ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÑÔÐÑÒØ ÓÑ Ò ÖÑÙÐ º½½µº Ò ÙÒ ÓÐÙÒ ÔÐ ÖÚÓ ÒÓ ÓÑÒÓ ÖÕÙÒ ÓÑÓ ¹ ØÐ Ó Ô Ó ¾ Ó ÙÒÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÓÒ Ó Ö Ó ÔÖØ ÑÒ Ö ÙÒÓº Æ ØÓÖ Ø Ó ÑÒÓ ÞÖ ÖÚÓ ÔØÖÐ Ó ÕÙ¹ ÚÐÒØ ØÒØÓ ÒÓ ÓÒØÜØÓ Ñ ÖØÓ ÓÑÓ ÒÓ ÖØÓ ÑÓÒ ØÖÓ ÒÓ ÔØÙÐÓ ÒØÖÓÖµº Å Ò ÔÖ Ø Ü Ø ÐÙÑ ÖÒ Ò ÓÒÚÖÒ Ó ÑØÓÓ ÕÙÒÓ h ØÒ ÞÖÓ ÈÖ ØÒØÖ Ö ÔÓÒÖ Ó ÑÔÐÑÒØÓ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÓÑ Ò

62 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ¾ erro N=π/h x 4 3 erro erro N=π/h x N=π/h x 4 6 erro N=π/h ÙÖ º ÖÖÓ Ó ÑØÓÓ Ó ÔÖÓÜÑÖ ÖÚ Ù Òº Ñ ÞÙÐ µ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ñ ÚÖÑÐÓ Óµ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓº

63 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ.5..5 erro N=π/h x erro N=π/h ÙÖ º ÖÖÓ Ó ÑØÓÓ Ó ÔÖÓÜÑÖ ÖÚ Ù Òº Ñ ÞÙÐ µ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ Ñ ÚÖÑÐÓ Óµ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓº ÖÑÙÐ º½½µ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÓÑ Ó ÓÑÒÓ Ø Øº Ö ÙÐØÓ Ó ÓÑÔÖÓ ÓÑ ÖÚ ÜØ Ù Ò u ½ ÔxÕ xe x Ó ÕÙ ÓÖÒÓÙ ÙÖ ºº ÓÙ ÐÖÓ ÕÙ ÔÖ ÚÐÓÖ ÖÒ N π Æ ÔÖµ Ó ÔÖÑÖÓ h ÑØÓÓ ÔÖ Ò ÔÓÖ Ù Ó ÑÙÐÓ ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ ØÖÙÒÑÒØÓ Ó ÖÖÓ ÙÑÒØ ÓÖÑ ÐÒÖº ÈÓÖÑ ØÒÓ Ñ Ú Ø Ó ÖÚÓ º½º½ Ñ Ð Ö ÕÙÐ Ó ÑÐÓÖ ÑØÓÓº ÈÖ 4 N Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ Ó ÑÐÓÖ Ñ ÔÖ N 46 Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ó ÑÐÓÖ ÕÙÒÓ ÔÖÑÒ ÔÖÓÜÑÑÒØ ÓÒ ØÒغ Ò Ö Ø ÙÑ ÔÖÙÒØ Ö ÕÙ ÑÔÐÑÒØÓ ÖÑÙÐ º¾½µ ÒÓÒØÖ Ò ØÓÖ ÔÐÓ ØÖÖÓ ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ØÖ ÙÑ ÓÒÚÖÒ ØÒ ÓØ Ú Ì ÙÖ º Þ Ø ÓÑÔÖÓº ι ÕÙ ÔÖ ÙÒÓ Ù Ò ÒÓ ÓÙÚ ÖÒ ÒØÚº

64 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ Ç ÖÚÓ º½º¾º ÓÖÑ ÔÖ Ó 4 Ò ÒÓ ÔÖ ÔÖ ÑØÓÓ ÔØÖ ÖÚÓº ÈÖ ÙÒ ÔÖ ÓÑ ÖØ ÓÖÑ ÖÒÐ Ø ÑØÓÓ ÔÓÑ ØÒÖ ÐÑÒØ ÔÖ Ó ÒØÖ 6 º Å ÒØ ÖÓ Ú Ø ØÒ ÔÖ ÑÐÓÖÖ ÙÑ ÔÓÙÓ Ø Ö ÙÐØÓ º º¾ ØÙÓ ËÒ ËÒ ÈÖ ÙÖ º¾ º ÐÙ ØÖÑ ÔÐÓ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ ÖÚ¹ Ó ÙÒ ÐØ ÐØ ÔÖ ÙÓ ÒØÖÔÓÐÓÖ Ó ÙÒ Ò Ò ÔÖ Ö ÔØÚÑÒغ Ç Ó Ø ÙÖ ØÓ ÒÓ ÔÒ¹ º Ç ÓØÚÓ Ø Ó Ó ÔÖÓÙÒÖ Ó ØÙÓ ÙÒ Ò Ò ÔÖ ÞÖ ÐÙÒ Ø Ø ÓÒÚÖÒ Ó ÑØÓÓ ÔØÖ ÓÑ Ø ÙÒ º Æ Ø Ó ØÒØÓ ÙÒ π¹ôö ÓÑÓ ÒÓ ÔÖ Ó Ö ØÖØ Ó ÒØÖÚÐÓ Ö π,π Ñ ÐÙÒ Ó Ó ÜØÖÑÓ ÕÙÖÓ π ÓÒ ÖÓµº ÙÒ ÒÓ ÔÖ Ó ÑÔÐ ÑÒØ ØÖÙÒ Ò Ø ÒØÖÚÐÓº ÉÙÐ ÖÒ ÒØÖ Ò Ò ÔÖ ÒÓ ÒØÖÚÐÓ Ö π,π ÈÖ Ö ÔÓÒÖ Ø ÔÖÙÒØ Ó Ø ÙÖ ºº ÄÑÖÒÓ ÕÙ ÔÖ h ÜÓ ÙÒÓ Ò ÕÙÓ ºµ ÓÑ m µ ÓÒ Ö ÓÖ senô π ÔÖ N π h ÓÖ S h ÔxÕ h xõ π h x x È Ö π,π ØÙ x ºµ ÔÖ Ò ÔÖ ÕÙÓ º½µ ÓÑ m µ ÓÒ Ö senô π xõ h S N ÔxÕ π h tanôx Õ x º x È Ö π,π ØÙ ºµ ÙÒ ÓÐÙÒ ÙÖ º ÙÖ ÓÙØÖ ÔÖÙÒØ ÖÒ ÔÓÒ¹ ØÙ ÒØÖ ÙÒ Ò Ò ÔÖ ÓÒÚÖÑ ÞÖÓ ÕÙÒÓ h Ö ÔÓ Ø ÖÑØÚº ØÓ ÔÖ x ÖÒ ÞÖÓ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ

65 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ÙÖ º ÓÐÙÒ ½ S h Ñ ÞÙÐ S N Ñ ÚÖÑÐÓ ÔÖ h.7 h.4 h.º ÓÐÙÒ ¾ ÖÒ ÔÓÒØÙÐ ÙÒ ÓÐÙÒ ½º

66 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ erro N=π/h ÙÖ º ÖÒ Ñ ÜÑ ÓÐÙØ ÒØÖ S h S N º h ÔÖ x lim h S h ÔxÕ S N ÔxÕ lim h h π x sen π h x sen π x tan, ÔÓ Ó ÐÑØ Ó ÔÖÓÙØÓ ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ ØÒ ÞÖÓ ÔÓÖ ÙÑ ÙÒÓ ÐÑØ Ñ hº ØÜ ÓÒÚÖÒ Ø Ø ÔÐ ÙÖ º Ñ Ð ÐÓÖØѵº ÈÓ¹ ÖÒØÖÔÖØÖ Ø ÓÒÚÖÒ ÙÒØ ÑÒÖº Ë S h ÙÑ ÙÒÓ Ò ÓÑ h π N ÔÖ Ò ÒÓ ÒØÖÚÐÓ Ö π,π º N ÖØÞÓ S h Ò ÑÐ hz Ô π,π S h Ôx j Õ δ Ôx j Õ j j ÔÖ Nß j Nߺ ÓÑÓ Ú ØÓ Ò Ó º¾º½ Ó ÒØÖÔÓÐÓÖ ÒÓ ÔÐÓ ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÖ ÙÒÓ ÐØδ ÙÒÓ Ò ÔÖ S N Ñ Ö π,π Ú º½µµº ÈÓÖØÒØÓ ÕÙÒÓ ÐÖÙÖ ÑÐ ÙÒÓÖÑ Ñ Ñ ÕÙ Ó Ò h ÒÓ Ò ÙÒÓ Ò ÔÖ S N ÒØÖÔÓÐ ÙÒÓ Ò S h ÓÑ ÔÖ Ó ÑÓ ØÖ Ò ÙÖ º Ñ Ð h x

67 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ 9 x erro N=π/h ÙÖ º½¼ ÖÖÓ ÔÖÓÜÑÓ S h Ú ÖÑÙÐ ºµ Ñ ÞÙÐ µ Ú Ì Ñ ÚÖÑÐÓ Óµº ÐÓÖØѵº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ ÐÓ ÑÒØÒÓ h π ÜÓ ÙÒÓ Ò S N h ÖØÞ ÔÓÖ ÙÑ ÒÓÚ ÑÐ h Z Ô π,π ÓÒ h h h π N ÓÑ N ÔÖµ ÒÓ ÙÑ ÔÒ Ó ÚÐÓÖ ³ ÓÑÓ ÒØ ÒÓ ÙÒÓ δ Ò ÑÐ h Z Ô π,π µº ÈÓÖØÒØÓ ÒÓ ÔÓ¹ Ù Ö Ó Ö ÙÐØÓ Ó º¾º½º Ç ÕÙ ÔÓ Ö Ø ØÓ Ò Ø Ó Ó ÖÖÓ ÓÑ ÖÐÓ ÔÖÔÖ ÙÒÓ Ò S h ÖÓ ÔÐ ÔÐÓ Ó ÓÑÒÓ Ø Ñ Ù Ø ÒÓ ÚÐÓÖ S h Ò ÒÓÚ Ñк Ç Ñ ÑÓ ÔÓ Ö ØÓ ØÖÚ Ó ØÖÙÒÑÒØÓ ÖÑÙÐ ºµº ÙÖ º½¼ ÑÓ ØÖ Ø ÖÖÓ ÔÖ Ú ÖÓ ÚÐÓÖ h π ÑÔÖ N ÓÑ Ó ÖÒÑÒØÓ h h º Ìѹ ÙÑ ÜÐÒØ ÔÖÓÜÑÓ S h ÓÑ Ó ÓÑÒÓ Ø Ó ÖÖÓ ØÓ ØÓÓ Ò ÓÖÑ 6 Ñ ÑÒÓÖ ÕÙ Ó Ö ÙÐØÓ ÓØÓ Ò ÙÖ ºº ÔÖÓÜÑÓ ÔÐ ÖÑÙÐ ºµ ØÑÑ Ó Ó Ñ Ð ÔÖ ÔÖ Ó Ñ ÕÙ Ó ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ ÙÑÙÐѺ È ÒÓ ÔÖ ÖÚ Ò ÔÓ¹ ØÒØÖ ÔÖÓÜÑÖ S ½ h ÔÐÒÓ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÙÒÓ S h ÓÑ Ó ÓÑÒÓ Ø Ö ÙÐØÒÓ ÒÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÒÓØ ÔÓÖ w Sh º Ç Ñ ÑÓ ÔÓ Ö ØÓ ÔÐÒÓ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÓÑ Ó ØÖÙÒÑÒØÓ ÖÑÙÐ º½½º Ø Ø Ø ÓÖÑ

68 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ØÓ ÔÖ N ÔÖ Ø ÓÙ ÔÖ Ú ÖÓ ÚÐÓÖ h π N ÓÑ ÖÒÑÒØÓ ÑÐ h h º Ç ÖÖÓ ÓÐÙØÓ Ñ ÜÑÓ Ó ÐÙÐÓ ÓÑÔÖÒÓ ÓÑ ÜÔÖ Ó ÜØ cosô π S ½ h ÔxÕ h xõ S hôxõ x È Ö π,π ØÙ x x ºµ Ú ÕÙÓ ºµµº Ç Ö ÙÐØÓ ÓÖÑ ÔÖÓÜÑÑÒØ ÓÒ ØÒØ º ÈÖ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ Ð Ó ÐÖÑ ÒØÖ , º½¼µ ÔÖ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ð Ó ÐÖÑ ÒØÖ º½½µ Ç ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ó ÙÑ ÔÓÙÓ ÑÐÓÖ Ñ ÚÖ ÕÙ Ó Ó ØÓ ÖÙÒ º Æ Ù Ó ÕÙ Ù ØÒ ØÖÓ ÓÒÒØÖ ÒÓ ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖк Æ ØÒØØÚ ÒØÒÖ ÔÓÖ ÕÙ Ó ÖÖÓ Ñ ÜÑÓ ÖÒ ÒÓ ÑÒÙ ÕÙÒÓ h ÑÒÙ Ó Ù Ó Ó Ñ ÑÓ ÔÖÓÖÑ ÔÖ ÔÐÓØÖ Ó Ö Ó ÙÒ S ½ h w S h ÓÑ h.45 ÜÓ ÑÐ Ò ÔÓÖ h 5 π Ò ÙÖ º½½º ÖÒ ÒØÖ Ø Ù ÙÒ Ó ÔÐÓØ Ò ØÖÖ ÐÒ ÙÖ º½¾º Ù ÔÖÑÖ ÐÒ ÙÖ º½¾ Ó ÖÒ ÒØÖ S ½ h w Sh ÓÑ h.45 Ñ ÓÑ ÑÐ Ò ÔÓÖ h π h 5 π Ö ÔØÚ¹ ÑÒغ ι ÕÙ w Sh Ø ÔÖÓÜÑÒÓ ÙÒÓ Sh ½ Ñ ÙÑ ÔÖÓÐÑ ÒÓ ÜØÖÑÓ Ó ÒØÖÚÐÓº Ø ÔÖÓÐÑ ÓÓÖÖÙ ÔÓÖÕÙ Ó ÞÖ Ó ØÖÙÒ¹ ÑÒØÓ Ø ÙÒÓ Ò Ñ Ö π,π Ó ÕÙ Ö ÔÖÓÜÑÓ ÔÐ ÙÒÓ w Sh Ù ÜØÒ Ó ÔÖ ÕÙ ÒÓ ÖÒ ÚÐ Ò ÜØÖÑ Ó ÒØÖ¹ ÚÐÓº Æ Ø Ó Ó ÚÐÓÖ ÖÚ S ½ h ÔÓ ØÚÓ ÔÓÖ ÙÑ ÐÓ ÒØÚÓ ÔÐÓ ÓÙØÖÓ ÓÑ Ó Ñ ÑÓ ÑÙÐÓº Á ØÓ Þ ÓÑ ÕÙ Ó ÚÐÓÖ w Sh ÒÓ ÜØÖÑÓ Ó ÒØÖÚÐÓ ÞÖÓ ÓÙ Ñ Ó ÚÐÓÖ lim xπ S ½ h ÔxÕ lim xπ S ½ hôxõ Ú ½ Ôº ¼µº Ø ÓÑÔÓÖØÑÒØÓ Ó ÐØÖÓ ÔÖØÓ ÓÒØÒÙ Ó ØÔÓ ÐØÓ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ ØÒÙ ÓÑ Ó ÙÑÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÑÐ ÓÒÓ ÓÑÓ ÒÑÒÓ Ú º ÕÙ Ó ÒÑÒÓ Ö ØÒÙÓ ÙÑ ÑÒÖ ÑÙØÓ ÑÔÐ ÓÐÒÓ ÙÑ ÙÒÓ Ò Ù ÖÚ ÒÙÐ Ñ π ÓÒ ÕÙÒع ÑÒØ Ñ πµº Ñ ÓÙØÖ ÔÐÚÖ ÔÖ Ó ÒÓÒØÖÖ ÚÐÓÖ h Ø ÕÙ S ½ hôπõ º ÐÙÒ Ð ÓÖÑ ÔÖÓÜÑÓ ÓÑÔÙØÓÒÐÑÒØ Ñ Ù Ó ÔÐÓ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ Ú Ì Ò ÙÒÓ Ò S h

69 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ÙÖ º½½ Ñ ÚÖÑÐÓ ÙÒÓ w Sh Ñ ÞÙÐ Sh ½ ÓÑ h.45 Ó ÒØÖÚÐÓ ÖØÞÓ ÔÓÖ h π º ÙÒ ÐÒ ÙÑ ÞÓÓÑ ÔÖÑÖ 5 ÔÖØÓ ÜØÖÑ Öغ

70 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ¼ ÙÖ º½¾ ÖÒ ÒØÖ S ½ h w S h ÓÑh.45 Ó ÒØÖÚÐÓ ÖØÞÓ ÔÓÖ h π h π 5 h π 5 Ö ÔØÚÑÒغ

71 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ½ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÓÑ Ó Ñ ÑÓ ÔÖÓÖÑ Ù Ó ÔÖ ÖÖ ÙÖ º½½ ÓÑ ÒØÖÚÐÓ ÖØÞÓ ÔÓÖ h π º Ç ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ØÑÑ Ó Ø ØÓ 5 ÓÑ Ó Ñ ÑÓ ÔÖÑØÖÓ º Ç Ö ÙÐØÓ ØÓ Ð ØÓ Ò ØÐ º½º h ÖÖÓ Ú Ì ÖÖÓ ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ e e e e e e e e e ÌÐ º½ ÔÐÓ Ó ÕÙÖØÓ ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖ º ÈÐÓ ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÓÖÑ Ô ÑÓ º ÓÑÓ ÓÒ ØØÓ ÔÖ Ù Ò Ø ÑØÓÓ ÒÓ ÓÑ ÔÖ ÑÐ ÓÑ ÑÙØÓ ÔÓÒØÓ º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ ÐÓ ÒÓ Ó Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ Ó ÖÖÓ ÑÒÙÙ ØÒØ ÓÑ ÖÐÓ Ó ÚÐÓÖ Ñ º½¼µº ÆÓ ÒØÒÓ Ó ÖÖÓ ÓØÓ ÔÖ Ó ÔÖÑÖÓ ÚÐÓÖ h ÒÓ ÓÖÑ ÑÙØÓ ÓÒ º Á ØÓ ÓÒØÙ ÔÓÖÕÙ ÙÒÓ S ½ h ÔπÕ ÓÑÓ ÙÒÓ hµ Ó Ð ÑÙØÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÔÖÜÑÓ ÞÖÓ Ú ÙÖ º½ µ ÒØÓ ÙÑ ÔÕÙÒÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ ÔÓ Ù Ö ÙÑ ÖÒ ÖÒ ÒÓ Ö ÙÐØÓº ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ Ó Ò ÖÖ Ñ ØÓ ÒÓ ÔÖÑÖÓ ÚÐÓÖ h ØÐ º½ Ó Ö ÙÐØÓ Ò ÔÖ Ó ÓÒÓÖÑ ÑÓ ØÖÓ Ò ØÐ º¾ ÒÕÙÒØÓ ÕÙ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÒÓ ØÚ ÙÑ ÑÐÓÖ ÒØÚº h ÖÖÓ Ú Ì ÖÖÓ ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ e ÌÐ º¾ ÔÐÓ Ó ÕÙÖØÓ ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖ º Ô Ö Ø ØÖØ ÔÖ ØÒÙÖ Ó ÒÑÒÓ ØÖ ÙÒÓÒÓ ÓÖÑ Ø ØÖ Ó ÓÔÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÔÐ ØÒØ Ö ¹ ØÖØÓº ÈÖ ÙÒ Ñ ÕÙ Ó ÒÑÒÓ ÑÒ Ø ÔÓ¹ ØÒØÖ ÒÓÖÖ ÐÙÒ ÔÓÒØÓ ÔÖÜÑÓ Ó ÜØÖÑÓ Ó ÒØÖÚÐÓ Ñ

72 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ¾ h ÙÖ º½ Ç ÐÓ S ½ hôπõ ÔÖ h ÔÖÜÑÓ ÞÖÓº ÓØÖ ÙÑ ÔÖÓÜÑÓ ÙÑ ÔÓÙÓ ÑÐÓÖº ÙÖ º½ ÑÓ ØÖ Ó Ö ØÙÐØÓ Ø ØÒØØÚ ÔÖ ÙÒÓ S ½ hº ÓÒ ÖÒÓ ØÓÓ Ó ÒØÖÚÐÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÓÒ ØÒØ ÔÓÖ Ù Ó ÒÑÒÓ º ÜÐÙÒÓ Ó ÜØÖÑÓ Ñ ÐÙÒ ÔÓÒØÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÒÖÑ ÙÑ ÓÖÑ ÔÖ Óº ÙÖ º½ ØÑÑ ÑÓ ØÖ Ó Ö ÙÐØÓ ÔÐÓ Ó ÔÖÑÖÓ Ñ¹ ØÓÓ ÔØÖÐ ØÖÚ ÖÑÙÐ º½¼ ÓÒ ÖÒÓ ØÓÓ Ó ÔÓÒØÓ Ó ÒØÖÚÐÓ ØÑÑ ÜÐÙÒÓ Ó ÜØÖÑÓ Ñ ÐÙÒ ÔÓÒØÓ º ι ÕÙ Ø ÑØÓÓ ØÚ ÙÑ ÑÔÒÓ ÑÐÓÖ Ó ÕÙ Ú Ìº Å ÑÓ ÜÐÙÒÓ ÐÙÒ ÔÓÒØÓ ÔÖÜÑÓ Ó ÜØÖÑÓ Ó ÒØÖÚÐÓ ÒÓ Ó Ò ÔÖÓÜÑÓ Ò ÖÙÑ Ñ Ø ØÒ ÔÓ Ö ÙØÐÞ ÔÖ ÑÐÓÖÖ ÓÖÑ ÔÖ Ó ÔÖ ÓÙØÖ ÙÒ º ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ Ó ÑØÓÓ ÔÐÓ ÙÒÓ Ù Ò Ò Ó ÒØÖÓÖ ØÑÑ ÑÒ ØÓÙ Ó ÒÑÒÓ ÙÑ ÚÞ ÕÙ ØÒ ÔÖÓÑÒØ Ð ÒÓ ÖÒ ÚÐ ÒÓ ÜØÖÑÓ Ó ÒØÖÚÐÓ Ô π,π º ÓÑÓ ÓÖÑ ÔÖ Ó ÓØ Ò ÙÖ º Ó 4 Ó ÒÑÒÓ ÔÓ Ô Ö ÔÖÓº ÙÖ º½ ÑÓ ØÖ Ó Ö ÙÐØÓ Ø Ñ Ñ ØÒ ÔÐ ÙÒÓ Ù Òº Æ Ø Ó ÓÖÑ ÔÖ Ó Ô ÓÙ 4 ÔÖ 5 Ó ÙÒØ ÔÖ ÖÚÓ Ú Ì ÙÔÖÖ Ó ÑÔÒÓ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ Ñ ØÓÓ Ó ÔÓÒØÓ º ÆÓ ÔÖÓÖÑ ÕÙ ÖÓÙ ÙÖ º½ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ØÑÑ Ó Ø ØÓ ÒÓÖÒÓ ÔÒ Ó ÔÓÒØÓ π Ñ ÒÓ ÓÙÚ ÐØÖÓ ÒÓ Ö ÙÐØÓ ÓÒÒÓ ÓÑ Ó ØÖ Ó ÞÙ º Ç ÖÚÓ º¾º½º Æ Ø ØÒ ÒÓÖÖ ÐÙÒ ÔÓÒØÓ Ó ÜØÖÑÓ Ó ÒØÖÚÐÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÑÓ ØÖÓ Ó ÒÓÖÒÓ ÙÑ ÕÙØÖÓ ÔÓÒØÓ º ÆÓ Ò¹ ØÒØÓ ÓÖÑ Ø Ø ÓÙØÖ ÕÙÒØ ÔÓÒØÓ Ñ ÒÓ ÓÙÚ ÑÐÓÖ ÒØÚº ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÓÒ ÖÒÓ ÔÒ Ó ÒØÖÚÐÓ Ö π, π ÓÖÑ ÔÖ Ó Ò Ñ Ñ ÕÙ ÜÐÙÒÓ Ó ÕÙØÖÓ ÔÓÒØÓ Ó ÜØÖÑÓ º

73 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ.3.5. erro N=π/h ÙÖ º½ ÈÖÑÖÓ ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔÐÓ S h ÔÖh.45 ÑÐ h π º Ê ÔØÚÑÒØ ÞÙÐ µ ÚÖÑÐÓ Óµ ÓÑ ØÓÓ Ó ÔÓÒØÓ N h Z Ô π,π ÑÖÐÓ µ ÖÓ µ ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ö π h,π h ÚÖ µ ÔÖØÓ Üµ ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ö π 4h,π 4h º 6 x erro N=π/h ÙÖ º½ ÔÖÓÜÑÓ ÖÚ Ù Òº Ñ ÞÙÐ µ Ñ ÚÖÑÐÓ Óµ Ó Ó Ñ ÑÓ Ó ÙÖ ºº Ñ ÖÓ µ Ó Ö ÙÐØÓ Ú Ì Ñ Ö π h,π h º Ñ ÔÖØÓ Üµ Ú Ì Ñ ÚÖ µ Ú ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ÓÒ ÖÒÓ Ó ÖÖÓ Ñ Ö π 4h,π 4h º

74 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ÓÑÔÖ Ø ÒØÖ ÙÒ Ò Ò ÔÖ ÔÓÑ Ö Ø ÔÖ Ù ÖÚ º ÉÙÐ ÖÒ ÒØÖ S ½ h S½ N ÒÓ ÒØÖÚÐÓ Ö π,π ÙÖ º½ Ó Ø ÔÖ Ö ÔÓÒÖ Ø ÔÖÙÒغ ÄÑÖÒÓ ÕÙ ÖÚ Ò ÔÖ S N ÔÐ ÕÙÓ º½µ S ½ NÔxÕ cosô π h xõ tanô x Õ senôπ h xõ 4π h sen Ô x Õ x È Ô π,πõ ØÙ x π,,πº º½¾µ ÓÑÓ ÓÑÒØÓ ÒØÖÓÖÑÒØ ÕÙÒÓ Ø ÖØÞÓ S h Ò ÑÐ hz Ô π,π Ù ÒØÖÔÓÐÓÖ ÒÓ ÔÐÓ ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ S N º Æ Ø Ó Ó ÔÐÖ Ó ØÖÖÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ S h ÙÒÓ ÓØ ÒÓ Ô Ó ÔÖ ÑÒØ ÖÚ Ò ÔÖ SNº ½ ËÖ ÕÙ S ½ N ØÒ ÔÖS½ h ÕÙÒÓ h Ñ ÓÑÓS N ØÒ ÔÖS h ÈÖ ØÒØÖ Ö ÔÓÒÖ Ó ÐÙÐ ÖÒ Ñ ÜÑ ÓÐÙØ ÒØÖ S ½ h SN ½ ÒÓ ÒØÖÚÐÓ Ö π,π ØÖÚ ÖÑÙÐ ºµ º½¾µ Ö ÔØÚÑÒØ ÔÖ N ÔÖ Ø ÓÙ ÔÖ Ú ÖÓ ÚÐÓÖ h π ÓÑ N ÖÒÑÒØÓ ÑÐ h h º Ç ÚÐÓÖ ÖØÓÖÒÓ ÓÖÑ ØÓÓ Ó Ñ ÑÓ º½ µ Ø ÚÐÓÖ ÔÖÙ ÒÓ Ö ÙÐØÓ ÕÙÒÓ Ó ÚÖÓ Ó ÒÑÒÓ Ñ º½¼µº Å Ó Ö ÙÐØÓ ÒÓ ÓÒ ØÒØ ÔÖ ØÓÓ h ÒØÓ ÔÓÖ ÕÙ Ó ÚÐÓÖ Ò ÜÔÖ Ó º½ µ Ò Ø Ñ ÔÖÖ Ö ÔÓ Ø ÕÙ Ò Ø ÔÖÓÖÑ Ó Ù ÖÐÓ h π ÓÑ N ÔÖº Æ Ø Ó Ó ÖÖÓ Ñ ÜÑÓ N ØÒÓ Ñ π ÒØÓ Øѹ S ½ h ÔπÕ S½ N ÔπÕ π π π cos sen h h h π 3 h πn cos πn sen πn π Ô Õ π N πn «π Á ØÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ S ½ N ÔxÕ ÒÓ ÓÒÚÖ ÔÖ S½ hôxõ ÕÙÒÓ h ÓÑÓ Ö ÔÖÖ ÔÐÓ ÓÑÔÓÖØÑÒØÓ ÙÒ ÓÐÙÒ ÙÖ º½º Å Ö ÕÙ ÔÖ Ó ÚÐÓÖ h ÙØÐÞÓ ÔÖ ØÒÙÖ Ó ÒÑÒÓ ÔÖÓÜÑÓ S ½ h ÔÓÖ S½ N ØÑ ÙÑ ÑÐÓÖ ÒØÚ Á ØÓ Ó Ø ØÓ ÓÑ Ó Ñ ÑÓ ÔÖÓÖÑ ÕÙ ÖÓÙ Ó Ö ÙÐØÓ º½ µ ÓÑ ÒØÖÚÐÓ ÖØÞÓ ÔÓÖ h π Ó Ö ÙÐØÓ ØÓ Ð ØÓ Ò ØÐ º º 5

75 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ ÙÖ º½ ÓÐÙÒ ½ S ½ h Ñ ÞÙÐ S½ N Ñ ÚÖÑÐÓ ÔÖ h.7 h.4 h.º ÓÐÙÒ ¾ ÖÒ ÔÓÒØÙÐ ÙÒ ÓÐÙÒ ½º

76 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ h ÖÖÓ ÔÖÓÜÑÓ ÌÐ º ÖÒ Ñ ÜÑ ÓÐÙØ ÒØÖ S ½ h S½ Nº Ø ÚÞ ÒÓ ÓÙÚ ÑÐÓÖ ÒÓ Ö ÙÐØÓ Ó Ò ÖÖ Ñ ØÓ Ò ÔÖÓÜÑÓ ÖÞ S ½ hôπõ Ñ hº ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ØÐ º ÑÓ ØÖ Ó Ö ÙÐØÓ Ø ØÒØØÚ ÔÖ Ó ÔÖÑÖÓ ÚÐÓÖ h ØÐ º º h ÖÖÓ ÔÖÓÜÑÓ ÌÐ º ÖÒ Ñ ÜÑ ÓÐÙØ ÒØÖ S ½ h S½ N º ι ÕÙ Ö ÔÓ Ø ÔÖÙÒØ ÒØÚº ÈÓÖØÒØÓ ÔÖ ÔÖÓÜÑÖ ÖÚ ÙÒÓ Ò S h ÔÐÓ ÑØÓÓ ÔØÖ ÔÖ ÒØÓ ÑÐÓÖ ÖØÞ ¹Ð ÓÑ h hº ÈÖ ÒÐÞÖ Ö Ø ÓÑÔÖÖ Ó Ö ÙÐØÓ ÓØÓ Ø ÓÖ ÓÑ Ôй Ó Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÙÑ ÙÒÓ ÔÖ ÔÓ Ù Ò Ò ÒÓ Ó ÔÖ Ò Öغ ÔÖ¹ ÕÙ Ó Ö ÙÐØÓ Ñ ÑÐÓ¹ Ö ÙÑ ÚÞ ÕÙ Ó ØÖÖÓ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖ ÓÖÑ ØÐÓ ÙÔÓÒÓ Ù ØÑÒØ ÔÖÓº ÙÖ º½ ÑÓ ØÖ Ø Ö ÙÐØÓ ÔÖ ÙÒ Ò ÔÖ S N Ñ ÓÑÔÖÓ ÙÒ ÜØ SN ½ ÔÖ Ú ÖÓ ÚÐÓÖ N π ÓÑ h ÖÒÑÒØÓ h.5hº ÓÑÓ Ö ÔÖÓ ÔÖÓÜÑÓ Ó ÑÙØÓ ÑÐÓÖ Ó ÕÙ ÙÒ ÒÓ ÔÖ ÖÖÓ Ò ÓÖÑ 4 6 ÒÓ ÕÙ Ó ÑÐÓÖ Ö ÙÐØÓ ÓØÓ ÒØÖÓÖÑÒØ Ó ÓÖÑ 7 º

77 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ 7 x erro N=π/h ÙÖ º½ ÉÙÖØÓ ÑØÓÓ ÔØÖÐ ÔÐÓ Ò ÔÖ S N º º ÇÙØÖ ØÒØØÚ ØÒÙÖ Ó ÒÑÒÓ Ó ÐÚÒØ ÔØ ÙØÐÞÖ ØÒ ÓÒ ÔÓÖ ÞÖÓ¹ÔÒ ÔÖ ØÒØÖ ØÒÙÖ Ó ÒÑÒÓ º Ç ÞÖÓ¹ÔÒ ÙÑ ØÒ ÒØÖÔÓÐÓ ÕÙ ÓÒ Ø Ñ Ö ÒØÖ ÞÖÓ ÒÓ ÓÑÒÓ ÖÕÙÒ Ú ½ µº Á ØÓ ÔÓ Ö ØÓ ÒÓ ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ Ú Ì Ö ÒØÒÓ ÖÕÙÒ Ñ ÐØ ÞÖ ÒØ ÚÓÐØÖ ÔÖ Ó ÓÑÒÓ Ó Ú ÁÌ ØÖÒ ÓÖÑ Ö Ô ÓÙÖÖ ÒÚÖ µº Á ØÓ ÒÓ ÔÓ ÚÐ ÒÓ ÑØÓÓ ÕÙ ÖÚÑ ÒÓ ÓÑÒÓ Ó ÔÓÖ Ó ÖÓ ÔÖ ÒØÓ ÔÒ ÜÔÖÑÒØÓ ÒÙÑÖÓ ÓÑ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓº ÙÖ º½ ÑÓ ØÖ Ó ÖÖÓ Ñ ÜÑÓ ÓÐÙØÓ ÔÖ ÙÒÓ Ù Ò ÓÑ ÙØÐÞÓ Ø ØÒº ι ÕÙ Ó Ö ÙÐØÓ Ó Ó Ñ ÑÓ ÓØÓ ÒØÖÓÖÑÒØ Ñ ÞÖÓ¹ÔÒ ÙÖ ºµº Æ ÚÖ Ø ØÒ Þ ÙÑ ÒØÖÔÓÐÓ Ñ ÒØÖÖÖ ÒÓ Ö ÙÐØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÑÐ ÓÖÒÐ ÔÓÖØÒØÓ Ð ÒÓ ØÒÙ Ó ÒÑÒÓ º ÇÙØÖ ØÒØØÚ ØÒÙÖ Ó ÒÑÒÓ Ó ÙØÐÞÖ Ñ Ó ÐÑ Ó ÒØÖÚÐÓ Ö π,π º Ç ÒØÖ ÓÒØÒÙ ÒÓ ÔÖÓÜÑÖ ÖÚ

78 ÈÌÍÄÇ º ÌËÌË Å ÅÌÄ x erro N=π/h ÙÖ º½ ÉÙÖØÓ ÑØÓÓ ÓÑ ÞÖÓ¹ÔÒ ÔÐÓ Ù Òº ÙÒÓ Ñ Ö π,π ÔÓÖÑ ÓÖ ÖÓ ÙØÐÞÓ Ó ÚÐÓÖ ÙÒÓ ÓÖÒÐ ÒÓ ÒØÖÚÐÓ Ô π,π Ô 3π,3π Ñ ÔÓÖ Òغ ÙÖ º½ ÑÓ ØÖ Ó ÖÖÓ Ñ ÜÑÓ ÓÐÙØÓ Ñ Ö π,π ÔÖ Ó ÔÖ¹ ÑÖÓ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÙØÐÞÒÓ Ó Ó Ô π,π ÙÒÓ Ù ¹ Òº ι ÕÙ Ó Ö ÙÐØÓ ÓÖÑ ÑÙØÓ ÑÐÓÖ Ó ÕÙ Ó ÓØÓ ÙØй ÞÒÓ Ó ÔÒ ÒÓ ÒØÖÚÐÓ Ô π,π ÙÖ ºµ Ô ÒÓ ÓÖÑ ÔÖ Ó 4 ÔÖ 5 º Æ Ø Ó ÒÓ ÓÙÚ ÖÒ ÒØÚ Ó ÙØÐÞÖ Ñ Ó ÙÒ¹ Ó Ù Ò ÓÖÑ ÔÖ Ó 5 ÔÖÑÒ ÔÖ ÒØÖÚÐÓ ÑÓÖ º Ø ØÒ Ó Ø Ø ØÑÑ ÔÖ ÖÚ ÙÒ Ò S h ÔÖ h π N ÓÑ N ÔÖ ÚÖÒÓ 4 Ø ÖÒÑÒØÓ ÑÐ h h º ÙÖ º¾¼ ÑÓ ØÖ Ó ÖÖÓ Ñ ÜÑÓ ÓÐÙØÓ Ñ Ö π,π ÔÖ Ó ÔÖÑÖÓ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ ÙØÐÞÒÓ Ó Ó Ò Ñ Ô π,π º ÀÓÙÚ ÙÑ ÑÐÓÖ ÓÖÑ ÔÖ Ó ÔÖ 4 ÓÙ Ø 5 Ñ ÐÙÒ Ó ÔÖ Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓµº ÊÔØÒÓ Ó ÜÔÖÑÒØÓ ÓÒ ÖÒÓ Ó Ó ÒÓ ÒØÖÚÐÓ Ô 5π,5π ÖÓÙ¹ ÙÖ º¾½º ÓÖ ÓÖÑ ÔÖ Ó Ó 5 6 º ÈÓ¹ ÓÒ ÖÖ ÒØÖÚÐÓ Ò ÑÓÖ Ñ Ó Ù ØÓ ÓÑÔÙØÓÒÐ Ö ÓÒ ÖÚÐÑÒØ Ó ÒÓ ÔÖ Ó ÚÞ ÑÒÓÖº ÈÓÖ Üѹ ÔÐÓ ÔÖ Ñ Ñ ÙÒ Ò ÔÖ Ö ÙÑ ÔÖ Ó ÓÖÑ 8 ÓÑ Ó ÕÙÖØÓ ÑØÓÓ Ú Ì Ó ÔÖÑÖÓ ÑØÓÓ ØÓÖÒÓÙ ÑÙØÓ ÐÒØÓ ÓÑ ØÒØÓ Ó µ Ó Ò ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ó ÒØÖÚÐÓ Ô 4π,4π º