Plano. Motivação Mecânica quântica Criptografia quântica. Criptoanálise quântica. Troca de chaves com segurança incondicional

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1 Plano Motivação Mecânica quântica Criptografia quântica Troca de chaves com segurança incondicional Criptoanálise quântica Algoritmo de Shor Ataque a a provas de conhecimento nulo

2 Motivação Lei de Moore Gordon Moore (co-fundador da Intel) O número de transístores por polegada quadrada deve duplicar por ano (1965). A miniaturização crescente dos circuitos...relevância dos efeitos quânticos cada vez mais próxima.. Qual é o limite dos sistemas clássicos?

3 Motivação Criptografia distribuição de chave Segurança computacional: A chave distruibuída ésegura apenas contra ataques de adversários com poder polinomial. Segurança perfeita: A chave distribuída é segura contra qualquer adversário. Existe algum protocolo de distribuição de chave por canal público perfeitamente seguro?

4 Criptografia Quântica Paradoxo Einstein-Podolsky-Rosen É a Mecânica Quântica uma teoria completa? (EPR 1935) Teorema de Bell (1964) Entrelaçamento permite correlação à distância, porque não utilizar este efeito para melhorar a comunicação/sincronização?

5 Mecânica quântica 1º Postulado O estado de um sistema quântico fechado é descrito por um vector unitário de um espaço de Hilbert (complexo). Exemplo: qubit onde α 2 + β 2 =1 ψ> = α 0> + β 1>

6 Mecânica quântica 2º Postulado Uma observação de um sistema quântico é definida por uma decomposição ortogonal em subespaços do espaço de estados. Cada componente é observado com probabilidade igual à norma da projecção no subespaço associado. O estado evolui para a projecção (normalizada) no subespaço da componente observada.

7 Mecânica quântica Exemplo: Observação computacional A decomposição computacional do espaço de estados de um qubit é { 0i, 1i }. Seja ψi um qubit no estado α 0i + β 1i, então 0 é observado com probabilidade α 2 1 é observado com probabilidade β 2

8 Mecânica quântica Exemplo: Observação diagonal A decomposição diagonal do espaço de estados de um qubit é { 0i+ 1i/2 1/2, 0i- 1i/2 1/2 }. Seja ψi um qubit no estado α 0i + β 1i, então + é observado com probabilidade α+β 2 /2 - é observado com probabilidade α-β 2 /2

9 Mecânica quântica Aplicação: Geração de números aleatórios Ao aplicar a observação computacional a ψi 0 é obtido com probabilidade ½ 1 é obtido com probabilidade ½ Id quantique

10 Mecânica quântica 3º Postulado O espaço de estado de um sistema composto por dois sistemas é descrito pelo produto tensorial dos espaços das componentes. Exemplo: 2 qubits ψi = α 00i + β 01i + γ 10i + δ 11i onde α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 =1

11 Criptografia quântica Estado EPR de um par de qubits Fazendo uma observação computacional 00 é observado com probabilidade ½ 11 é observado com probabilidade ½ Fazendo uma observação diagonal ++ é observado com probabilidade ½ -- é observado com probabilidade ½

12 Criptografia quântica Alice

13 Criptografia quântica Alice ψ 1 i A ψ 2 i A ψ 3 i A ψ 4 i A ψ 5 i A ψ 6 i A... Partilham n pares EPR ψ 1 i B ψ 2 i B ψ 3 i B ψ 4 i B ψ 5 i B ψ 6 i B...

14 Criptografia quântica Alice 0 ψ 1 i A 1 ψ 2 i A 0 ψ 3 i A 1 ψ 4 i A 0 ψ 5 i A 1 ψ 6 i A... Geram aleatoriamente n bits 0 ψ 1 i B 0 ψ 2 i B 1 ψ 3 i B 1 ψ 4 i B 0 ψ 5 i B 1 ψ 6 i B...

15 Criptografia quântica Alice 0 ψ 1 > A 1 ψ 2 > A 0 ψ 3 > A 1 ψ 4 > A 0 ψ 5 > A 0 ψ 1 i B 0 ψ 2 i B 1 ψ 3 i B 1 ψ 4 i B 0 ψ 5 i B 1 ψ 6 > A... 1 ψ 6 i B... 0 observa-se o qubit com o observável computacional {0,1} 1 observar o qubit com o observável diagonal {+,-}

16 Criptografia quântica Alice 1Ã0 ψ 1 i A +Ã1 ψ 2 i A 0Ã0 ψ 3 i A -Ã1 ψ 4 i A 1Ã0 ψ 5 i A 1Ã 0 0Ã 0 ψ 1 i B ψ 2 i B +Ã 1 ψ 3 i B - Ã 1 ψ 4 i B 1Ã 0 ψ 5 i B +Ã1 ψ 6 i A... +Ã 1 ψ 6 i B... 0 observa-se o qubit com o observável computacional {0,1} 1 observar o qubit com o observável diagonal {+,-}

17 Criptografia quântica Alice 1Ã0 ψ 1 i A +Ã1 ψ 2 i A 0Ã0 ψ 3 i A -Ã1 ψ 4 i A 1Ã0 ψ 5 i A 1Ã 0 0Ã 0 ψ 1 i B ψ 2 i B +Ã 1 ψ 3 i B - Ã 1 ψ 4 i B 1Ã 0 ψ 5 i B +Ã1 ψ 6 i A... +Ã 1 ψ 6 i B... Publicam a sequência gerada aleatoriamente

18 Criptografia quântica Alice 1Ã0 ψ 1 i A +Ã1 ψ 2 i A 0Ã0 ψ 3 i A -Ã1 ψ 4 i A 1Ã0 ψ 5 i A 1Ã 0 0Ã 0 ψ 1 i B ψ 2 i B +Ã 1 ψ 3 i B - Ã 1 ψ 4 i B 1Ã 0 ψ 5 i B +Ã1 ψ 6 i A... +Ã 1 ψ 6 i B... Ignoram as observações para os quais o bit aleatório não coincide

19 Criptografia quântica Alice 1Ã0 ψ 1 i A +Ã1 ψ 2 i A 0Ã0 ψ 3 i A -Ã1 ψ 4 i A 1Ã0 ψ 5 i A 1Ã 0 0Ã 0 ψ 1 i B ψ 2 i B +Ã 1 ψ 3 i B - Ã 1 ψ 4 i B 1Ã 0 ψ 5 i B +Ã1 ψ 6 i A... Confirmam que não há interferência da Eva +Ã 1 ψ 6 i B...

20 Criptografia quântica Alice 1Ã0 ψ 1 i A +Ã1 ψ 2 i A 0Ã0 ψ 3 i A -Ã1 ψ 4 i A 1Ã0 ψ 5 i A 1Ã 0 0Ã 0 ψ 1 i B ψ 2 i B +Ã 1 ψ 3 i B - Ã 1 ψ 4 i B 1Ã 0 ψ 5 i B +Ã1 ψ 6 i A... +Ã 1 ψ 6 i B... A chave partilhada é obtida pelas restantes observações

21 Criptografia quântica Alice 1Ã0 ψ 1 i A +Ã1 ψ 2 i A 0Ã0 ψ 3 i A -Ã1 ψ 4 i A 1Ã0 ψ 5 i A 1Ã 0 0Ã 0 ψ 1 i B ψ 2 i B +Ã 1 ψ 3 i B - Ã 1 ψ 4 i B 1Ã 0 ψ 5 i B +Ã1 ψ 6 i A... +Ã 1 ψ 6 i B... Teorema (Shor e Preskill 01): O protocolo Ekert 91 tem segurança perfeita.

22 Criptografia quântica Vectis Sistema comercial de QCrypto Muito inve$timento e investigação: Sistemas de de QCrypto por satélite Routers para qubits Massificação do uso da informação quântica

23 Criptoanálise quântica 4º Postulado A evolução de um sistema quântico fechado é descrito por uma transformação unitária sobre o espaço de Hilbert associado. Corolários Teorema da não clonagem (dinheiro não clonável) Computação quântica é reversível

24 Criptoanálise quântica Computador quântico Memória sistema de qubits + sistema de bits Controlo - comandos imperativos usuais enriquecidos com: Aplicação de uma transformação unitária a um conjunto de qubits; Observação de qubits, guardando o resultado da observação num conjunto de bits Um computador quântico é probabilístico!!!

25 Criptoanálise quântica Algoritmo de factorização de Shor Peter Shor (Prémio Nevanlinna 1998 Prémio Gödel 1999) O algoritmo de Shor permite atacar eficientemente todos os sistemas criptográficos de chave pública de uso comercial com um computador quântico!!!

26 Criptoanálise quântica Transformada de Fourier quântica Espaço de Hilbert H de dimensão n (log(n) qubits, e a base é { 0i, 1i,..., n-1i}) QFT: H! H

27 Criptoanálise quântica Factorizar reduz-se a encontrar a fase de um vector próprio de um operador unitário U ψi = e iθ ψi Encontrar esta fase reduz-se a aplicar a inversa da transformada de Fourier quântica a um estado alcançável a partir de ψi A transformada de Fourier quântica pode ser calculada em tempo polinomial por um computador quântico

28 Criptoanálise quântica Computador quântico da IBM Computador com 7 qubits, que em 2005 foi estendido para 1 qubyte Nature 2006 Breakthrough in Quantum computing

29 Criptoanálise quântica Provas de conhecimento nulo Domínio de aplicação Identificação Bilhete de identidade digital Compra anónima de artigos Eleições electrónicas Moedas electrónicas Suporta a grande maioria dos problemas em segurança para além das cifras/assinaturas

30 Provas de conhecimento nulo Objectivos e propriedades de segurança Alice Alice deseja identificar-se ao para poder comprar chá, mas...

31 Provas de conhecimento nulo Objectivos e propriedades de segurança Alice 1. Correcção 2. Adequação

32 Provas de conhecimento nulo Objectivos e propriedades de segurança Sou a Alice Alice Eva Conhecimento nulo

33 Provas de conhecimento nulo Objectivos e propriedades de segurança A Alice comprou-me chá Eva 1. Correcção 2. Adequação 3. Conhecimento nulo 4. Impossibilidade de transferência da prova

34 Prova de conhecimento nulo Protocolo de Goldreich, Micali e Wigderson 84 Alice σ : G 1! G 0 G 0 ' G 1

35 Prova de conhecimento nulo Protocolo de Goldreich, Micali e Wigderson 84 Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 ao. G 0 ' G 1

36 Prova de conhecimento nulo Protocolo de Goldreich, Micali e Wigderson 84 Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 ao. G 0 ' G 1 2. Escolher r 2 {0,1} e envia r à Alice.

37 Prova de conhecimento nulo Protocolo de Goldreich, Micali e Wigderson 84 Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 à Paula. G 0 ' G 1 2. Escolher r 2 {0,1} e envia r à Alice. 3. Envia τσ r ao

38 Prova de conhecimento nulo Protocolo de Goldreich, Micali e Wigderson 84 Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 ao. 3. Envia τσ r ao G 0 ' G 1 2. Escolher r 2 {0,1} e envia r à Alice. 4. P verifica se o iso que recebe vai de G r para G 2

39 Ataque - quântico Utilização de pares EPR (Einstein-Podolsky-Rosen 1935) partilhados pelo e a Eva. Gerador aleatório puro. Não há necessidade de transferir o smartcard fisicamente (usando desigualdades de Bell).

40 Ataque quântico h:γ! S = {0,1} k Eva a. Prepara pares EPR { 00i+ 11i x } x2 S numa máquina selada e envia metade de cada par à Paula.

41 Ataque quântico h:γ! S = {0,1} k Eva a) Prepara pares EPR { 00i+ 11i x } x2 S numa máquina selada e envia metade de cada par ao.

42 Ataque quântico Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 à Paula. 3. Envia τσ r à Paula G 0 ' G 1 { 0i+ 1i x } x2 S 2. Escolher r 2 {0,1} e envia r ao Vítor. 4. P verifica se o iso que recebe vai de G r para G 2

43 Ataque quântico Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 ao. 3. Envia τσ r à Paula G 0 ' G 1 { 0i+ 1i x } x2 S 2. Escolher r 2 {0,1} e envia r ao Vítor. 4. P verifica se o iso que recebe vai de G r para G 2

44 Ataque quântico Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 ao. 3. Envia τσ r à Paula G 0 ' G 1 { 0i+ 1i x } x2 S 2. r é o resultado da medição do qubit h(g 2 ). 4. P verifica se o iso que recebe vai de G r para G 2

45 Ataque quântico Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 ao. 3. Envia τσ r ao G 0 ' G 1 { 0i+ 1i x } x2 S 2. r é o resultado da medição do qubit h(g 2 ). 4. P verifica se o iso que recebe vai de G r para G 2

46 Ataque quântico Alice σ : G 1! G 0 1. Gera um isomorfismo τ:g 0! G 2 e envia G 2 ao. 3. Envia τσ r ao G 0 ' G 1 { 0i+ 1i x } x2 S 2. r é o resultado da medição do qubit h(g 2 ). 4. Verifica se o iso que recebe vai de G r para G 2. Envia os qubits à Eva bem como G 2 e o iso

47 Ataque quântico h:γ! S Eva b) Verifica se os qubits s de h(g 2 ) estão no estado EPR e confirma o resultado do restante qubit.

48 Questões para o futuro Que protocolos quânticos poderão ser realizados com segurança perfeita Que outros ataques poderão ser feitos com sistemas quânticos?