Experimento. O experimento. Mensagens secretas com matrizes. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia

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1 Números e funções O experimento Experimento Mensagens secretas com matrizes Objetivos da unidade 1. Introduzir o conceito de criptografia; 2. Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes. licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Mensagens secretas com matrizes O experimento Sinopse Neste experimento, seus alunos aprenderão uma das diversas maneiras de criptografar mensagens: usando matrizes. Inicialmente, dividindo a classe em grupos, o professor deve explicar como isso pode ser feito e fornecer uma mensagem codificada, pedindo para que eles tentem decifrá-la. Depois, cada grupo deve criar sua própria mensagem criptografada e trocá-la com os outros. O desafio é tentar decifrar o que o outro grupo quis dizer sabendo a matriz chave que usaram. Conteúdos Matrizes: Propriedades, Determinantes Objetivos da unidade Introduzir o conceito de criptografia; Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes. Duração Uma aula simples.

3 Introdução A palavra criptografia tem origem grega (kripto = oculto; grapho = grafia) e diz respeito à arte ou ciência de escrever mensagens em códigos, de forma que somente certas pessoas possam decifrá-las. Existem métodos criptográficos tão antigos quanto a própria escrita. Eles já estavam presentes no sistema de escrita hieroglífica dos egípcios, e também os romanos utilizavam códigos secretos para comunicar planos de batalha. Atualmente, utilizamos criptografia em transações eletrônicas, como movimentações bancárias e alguns serviços disponíveis na Internet, os quais necessitam de uma comunicação confidencial de dados. [?] Há várias técnicas de criptografia. Uma delas, que é a que utilizaremos neste experimento, é feita encontrando-se uma transformação (função) injetiva f entre um conjunto de mensagens originais (não codificadas) e um conjunto de mensagens codificadas. A função f deve ser inversível para garantir que o processo seja reversível e que as mensagens possam ser reveladas pelos receptores. Portanto, para que um certo método criptográfico seja considerado eficiente, deve-se ocultar muito bem a função f e os mecanismos para sua inversão, de modo que somente pessoas autorizadas possam decifrar a mensagem. Em um esquema destes, f é chamada chave de codificação e sua inversa, f 1, é a chave de decodificação. Neste experimento abordaremos apenas um método de criptografia, o qual utiliza matrizes como chaves, isto é, como peça fundamental para codificar e decodificar as mensagens. Mensagens secretas com matrizes O Experimento 2 / 8

4 Material necessário Apenas papel e lápis; Comentários iniciais Como já mencionado, neste experimento usaremos um método criptográfico que utiliza matrizes como chave. Porém, existem alguns métodos que utilizam funções mais simples como, por exemplo, a função afim de uma variável. Se julgar necessário, desenvolva uma atividade de familiarização com seus alunos, usando funções afim como chave de um método criptográfico. No material Explorando o Ensino de Matemática, volume 3, parte 2, publicado no site do MEC, pode-se encontrar mais detalhes sobre criptografia com esse tipo de função. Seguem as etapas do experimento proposto. Esse material pode ser encontrado no site: portal.mec.gov.br/seb/ arquivos/pdf/ensmed/ expensmat_3_2.pdf

5 Preparação Divida a classe em grupos de dois alunos. Inicialmente, cada dupla buscará métodos para tentar decifrar uma mensagem sua. Depois, eles criarão suas próprias mensagens secretas e irão enviá-las para outra dupla tentar decifrar. Professor, os grupos não devem ser muito grandes, pois não há muitas tarefas neste experimento e alguns integrantes poderiam ficar sem função. Mensagem do professor etapa Nesta etapa, use sua criatividade para inventar uma mensagem e depois criptografá-la, usando uma matriz como chave. Transmita sua mensagem codificada e desafie seus alunos para decifrá-la apenas sabendo como você a codificou. Ou seja, não diga a eles, de início, como decodificar a mensagem. Como criptografar usando matrizes? Para codificar uma mensagem usando este método é necessário que, primeiramente, cada letra do nosso alfabeto e símbolos Neste experimento usaremos a palavra vetor para nos referir a matriz coluna.

6 desejados sejam associados a vetores. A seguir, apresentamos uma tabela com um exemplo para essa associação. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z espaço.,? tabela 1 Exemplo de uma associação entre letras e vetores que o professor pode fazer. Observação Podemos representar esses vetores como pontos de um plano, como mostra a figura 1 a seguir:! Professor, repare que, se cada uma dessas letras e símbolos representarem um ponto num plano cartesiano, eles formarão um retângulo. É interessante que isso continue acontecendo caso queira mudar os valores de cada letra ou símbolo.

7 fig. 1 Decidido qual associação usar, construa uma matriz de apenas 2 linhas e codifique uma mensagem. Para isso, basta colocar os vetores que representam as letras da mensagem um na frente do outro. Vamos, por exemplo, colocar a mensagem Boa aula. em uma matriz, usando a associação da tabela 1: Professor, o ideal é que sua mensagem tenha no máximo 20 caracteres, para não exigir muitas contas por parte dos alunos na hora de decifrá-la. Agora, crie uma matriz para usar como chave. Ela deve ser inversível para garantir que a mensagem poderá ser decodificada. Você pode usar, por exemplo, a matriz mostrada a seguir:! Professor, lembre-se que uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.

8 Por fim, criptografe sua mensagem, transformando-a em uma matriz. Para isso, deve-se fazer a multiplicação. Usando o exemplo de mensagem, temos: Agora, transmita aos alunos a tabela com a associação entre as letras e os vetores, a matriz chave e a matriz com a mensagem codificada. Explique o processo descrito anteriormente para criptografar sua mensagem original e peça para que eles tentem decifrar sua frase. Se perceber que alguns alunos conseguiram decodificar a mensagem, peça para que eles compartilhem com a classe a maneira que eles usaram para descobrir. Mas lembre-se: inicialmente, não conte a eles como decifrar a mensagem. Deixe-os pensar bastante antes de dizer que para decodificá-la basta encontrar a matriz inversa de e multiplicar por pois Professor, observe que, na multiplicação, algumas letras de podem não ser transformados em outras letras. Por exemplo, o vetor! não representa nenhuma letra da tabela inicial. Professor, tome cuidado para que seus alunos não vejam sua mensagem original.! Professor, pode ser que seus alunos consigam descobrir a mensagem original sem o uso da inversa, através de vários sistemas lineares. Tente descobrir como!

9 Troca de mensagens etapa Agora que seus alunos já sabem criptografar uma mensagem, deixe-os praticar. Nesta etapa, cada grupo deverá inventar uma frase com no máximo 20 caracteres e codificá-la. Em seguida, eles trocarão mensagens com outro grupo, sempre fornecendo apenas a matriz codificada ( ) e a chave ( ). O desafio é decifrar a mensagem do outro grupo. Fazendo isso, eles estarão fixando conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes de um modo divertido.! Professor, provavelmente alguns grupos usarão matrizes não inversíveis como chave. Isso fará com que a mensagem eventualmente não seja decifrável. Se achar que deve, alerte-os para o uso apenas de matrizes inversíveis como chave.

10 Relembre seus alunos sobre os requisitos para existência de inversa de uma matriz (determinante diferente de zero), e o modo de calculá-la. Caso o conceito de matriz inversa ainda não seja conhecido pelos seus alunos, este experimento pode servir como uma aula introdutória do tema. Se achar interessante, comente com seus alunos sobre o fato de que, ao criptografar uma mensagem pelo método descrito neste experimento, estamos aplicando uma função que leva pontos do plano a outros pontos do plano. Por exemplo, as letras da mensagem Boa aula. podem ser representadas da seguinte forma: fig. 2

11 E, plotando cada letra dessa frase depois de multiplicadas pela matriz do nosso exemplo, temos: fig. 3 Observe o que acontece com cada vetor letra na transformação: Outro fato interessante é o efeito da multiplicação de um bloco de pontos, que representam letras, pela matriz chave.

12 A figura abaixo mostra um bloco de quatro letras do alfabeto representado por pontos (não preenchido) e o efeito que a multiplicação por causou (preenchido): fig. 4 Mais detalhes sobre a representação das letras por pontos no plano podem ser encontrados no Guia do Professor. Por fim, comente com seus alunos que com o conhecimento das transformações de apenas duas letras no nosso método criptográfico, já é possível que um espião descubra a matriz chave. Assim, se, por exemplo, ele souber que e são levados em e,

13 respectivamente, ele saberia que, se a matriz chave for igual a, então: e E daí, Resolvendo o sistema, ele encontraria que,, e e portanto,. Daí vem a importância de se guardar todas as transformações em segredo.! Se usássemos uma associação das letras à vetores, com a matriz chave sendo, a determinação de seria dificultada, pois precisaríamos de mais uma informação para tal. Comente isto com seus alunos!

14 Ficha técnica Autor Leonardo Barichello Coordenação de Redação Rita Santos Guimarães Redação Felipe M. Bittencourt Lima Revisores Matemática Antônio Carlos do Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

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