Pró-Reitoria de Graduação Curso de Física Trabalho de Conclusão de Curso

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1 Pró-Reitoria de Graduação Curso de Física Trabalho de Conclusão de Curso Interação de Fótons com a Matéria: Proposta de um Modelo Computacional para Simulação do Efeito Fotoelétrico Autor: Anderson Basilio Beserra Orientador: Msc. Thiago Borduqui Ferrari Brasília - DF

2 Interação de Fótons com a Matéria: Proposta de um Modelo Computacional para Simulação do Efeito Fotoelétrico (Interaction of Photons with Matter: Proposal for a Computational Model for Simulation of Photoelectric Effect) Anderson Basilio Beserra ¹ Thiago Borduqui Ferrari ¹ 1 Curso de Física - Universidade Católica de Brasília Resumo: A interação dos fótons com a matéria é um assunto importante na física quântica, sendo relevante para a medicina atual, principalmente, nas áreas de Radioterapia, Medicina Nuclear e de Radiodiagnósticos (PIANOSCHI, 2008). Desta forma, propomos neste trabalho um modelo computacional, baseada em um algoritmo simplificado, que permita o estudo da interação de fótons com a matéria por meio do efeito fotoelétrico e também a determinação do coeficiente de atenuação de determinados materiais. Acreditamos que o modelo tem boas finalidades didáticas, mas deve sempre ser tratado com suas limitações. Palavras chave: Efeito fotoelétrico, Simulação computacional. Abstract: The interaction of photons with matter is an important issue in quantum physics, being relevant to modern medicine, especially in the areas of Radiotherapy, Nuclear Medicine and Radiology (PIANOSCHI, 2008). Thus, we propose in this paper a computational model based on a simplified algorithm, which allows the study of the interaction of photons with matter through the photoelectric effect and also the determination of the attenuation coefficient of certain materials. We believe that the model has good teaching purposes, but should always be treated with its limitations. Keywords: Photoelectric effect, computer simulation. 1. INTRODUÇÃO Desde a descoberta dos Raios-X, por Wilhelm Conrad Roentgen, e do primeiro radionuclídeo, em 1896, por Maire Curie, as radiações ionizantes têm, cada vez mais, contribuído com a melhoria da qualidade de vida do homem (PIANOSCHI, 2008, p. 1). Dentro desta área de pesquisa, as simulações computacionais podem representar, em alguns casos, uma alternativa conveniente se comparado aos métodos experimentais, já que apresentam a vantagem de propiciar estudos detalhados, em diferentes condições, de diversos processos que envolveriam procedimentos experimentais demorados, complexos e de alto custo (SEMPAU et al, apud PIANOSCHI, 2008, p.1-2). Ou seja, muitas vezes ela pode ser mais 1

3 viável, economicamente, se comparada com a realização de alguns experimentos, sendo, em alguns casos, mais segura e com condições mais controladas. Em nosso trabalho, com o uso de simulação computacional das interações dos fótons com a matéria pelo efeito fotoelétrico, usando o software Dev-C++, foi possível analisar as interações ocorridas e determinar o coeficiente de atenuação do Alumínio e do chumbo, provando assim, que estas interações dependem do tipo de material utilizado como absorvedor e da energia de incidência dos fótons. Nas seções seguintes serão abordados: o referencial teórico utilizado em nosso modelo; a metodologia, onde será explicado o algoritmo, além de descrever as etapas experimentais (o código em linguagem C está mostrado no anexo 1-I); os resultados são apresentados em seção própria (os resultados brutos para o Alumínio e fótons com energia de 70eV podem ser encontrados no anexo1-ii, a fim de ilustrar a maneira como os resultados são gerados). Na seção de discussão tratamos das principais limitações do modelo e das vantagens. É importante destacar a escolha, de trabalharmos com fótons ao invés de partículas carregadas, pois ao contrário das radiações eletromagnéticas (fótons), as partículas carregadas têm 100% de probabilidade de interagir no meio material, pois há cargas distribuídas no meio e a força coulombiana é de longo alcance (YOSHIMURA, 2009, pág. 60). Sendo assim, pensando na interação ou não das radiações com a matéria, optamos por trabalhar com o efeito fotoelétrico. 2. REFERENCIAL TEÓRICO 2.1 Interações entre os fótons e a matéria Segundo Yoshimura (2009) na faixa de energia dos raios-x e gama, podem existir diversas interações possíveis com o núcleo ou com elétrons das camadas de um átomo, mas há também uma grande possibilidade de não ocorre nenhuma interação, ou seja, radiações eletromagnéticas podem 2

4 percorrer uma distância considerável sem modificar-se e sem modificar o material utilizado. Yoshimura (2009) considera que as principais interações das radiações com a matéria e seus efeitos se dividem em (ver Tabela 1): (i) Espalhamento coerente corresponde a absorção e re-emissão da radiação pelo átomo em uma direção que pode não coincidir com a da radiação incidente; (ii) Efeito fotoelétrico o fóton é absorvido pelo átomo e um elétron é liberado para se mover no material; (iii) Efeito Compton ou espalhamento inelástico Espalhamento de um fóton por um elétron livre do material, nesta interação existe a transferência de parte de energia e do momento do fóton incidente para o elétron e a energia restante é emitida em forma de outro fóton com direção diferente do fóton inicial; (iv) Produção de pares fóton absorvido e toda sua energia é convertida em massa de repouso e energia cinética de um par de partícula-antipartícula (elétron e pósitron). Tabela 1: Interações possíveis de ocorrer para radiação eletromagnética ionizante Raios-X, raios gama e fótons de aniquilação e conseqüências das interações (YOSHIMURA, 2009). Interação símbolo da seção de choque O que muda no meio O que muda na radiação incidente Radiação ionizante produzida i - Espalhamento Coerente - (espalhamento da radiação pelo átomo) Direção de propagação, (mantém energia) REM espalhada de mesma energia ii - Fotoelétrico - (ejeção de elétron ligado) Ionização e excitação do átomo, recuo do núcleo Fóton é absorvido Elétron rápido, Raios-X característicos, elétrons Auger iii - Compton - (espalhamento do fóton por um elétron) Ionização do átomo Fóton perde energia e muda de direção Elétron rápido, fóton com menor energia, espalhado iv - Produção de Par - (energia do fóton é consumida na criação do par (e- e+) Recuo do núcleo; aniquilação do pósitron Fóton é absorvido Elétron e pósitron rápidos, Raios-X de aniquilação Se imaginarmos que esta interação esta sendo feita em um corpo humano, devemos saber quais as conseqüências que estes elétrons podem causar para o paciente, ou seja, qual a conseqüência imediata. Na viajem através do tecido, os elétrons de alta velocidade são responsáveis por ionizações, excitação do átomo e quebra de ligações moleculares, resultando 3

5 em danos biológicos (JOHNS, 1983, pág. 133). Desta forma, da mesma maneira que as radiações são responsáveis por diversos tipos de exames médicos, que hoje, acabam facilitando a comunidade médica a diagnosticar e tratar inúmeras doenças, elas também são capazes de danificar de forma permanente qualquer estrutura atômica, seja do corpo humano ou de qualquer outro tipo de material. Em nosso estudo consideraremos apenas o efeito fotoelétrico partindo do princípio que o coeficiente de atenuação faz parte das características do material escolhido. 2.2 Efeito fotoelétrico O efeito fotoelétrico foi descoberto acidentalmente em 1887 por Hertz, através de um experimento que buscava detectar ondas eletromagnéticas (TIPLER, 2004, pág. 87) e sendo analisado, conforme a natureza quântica, em 1905 por Albert Einstein (TIPLER, 2006) Eisberg (1979) nos diz que o efeito fotoelétrico consiste na emissão de elétrons de uma superfície a partir da incidência de um fóton, sendo que a energia de cada fóton é dada por. E = hf (1) Onde E é a energia, h é a constante de Planck e f é a freqüência do fóton (TIPLER, 2006, pág. 4). A equação 1 nos mostra que a energia de cada fóton é concentrada em pacotes, tendo em vista que a constante de Planck trás esta característica. Desta forma, ao se aumentar a intensidade de uma luz incidente em um material ocorre o aumento da quantidade de elétrons que são ejetados, isto se deve ao fato de que tal aumento de intensidade só faz com que mais fótons sejam incididos no material, ou seja, a energia dos fótons não é alterada. Assim, a idéia clássica de que: se deixassem uma fonte luminosa de qualquer freqüência incidindo luz sobre um material o efeito fotoelétrico aconteceria foi sucumbida. 4

6 Tipler (2006) considera que se φ é a energia mínima para remover um elétron de um material, então a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pode ser determinada por: k max = hf φ (2) Onde k max é a energia cinética do fotoelétron (elétron ejetado do átomo) eφ é a função trabalho do material. Pelas leis de conservação de momento e energia pode-se deduzir que o efeito fotoelétrico só pode ocorrer com elétrons fortemente ligados ao átomo, e nunca com o fóton interagindo com um elétron livre. Neste caso, o átomo como um todo retém a diferença entre o momento do fóton incidente (p v = hf/c) e o do fotoelétron [p = 2 2 1/2 v (Ε -Ε0 ) /c], onde E e E são, respectivamente, as energias total e de repouso 0 do fotoelétron. Como a massa nuclear é grande, a energia de recuo do átomo é desprezível (COSTA, 2010) Segundo Costa (2010) 80% de toda absorção fotoelétrica ocorre com elétrons da camada K do material absorvedor. Com este efeito, o átomo é deixado em um estado excitado emitindo uma radiação característica quando retorna ao seu estado fundamental (JOHNS, 1983). Segue abaixo uma representação deste do efeito fotoelétrico. Fóton incidente Elétron ejetado Figura 1 Representação do efeito Fotoelétrico (BARBOZA, 2006) Na medicina atual, podemos dizer que o efeito fotoelétrico faz parte da ciência utilizada nos exames mais comuns, tais como, radiografias de alguma parte do corpo humano e em exames diagnósticos de câncer. Mais da metade de pacientes com câncer são submetidos à radiação em algum ponto durante o curso de tratamento da enfermidade (BARBOZA, 2006, pág. 2). 5

7 2.3 Seção de choque ou probabilidade de interação Os fótons podem interagir com os átomos por meio de quatro processos diferentes: espalhamento coerente, efeito fotoelétrico, espalhamento Compton e produção de pares. Os dois primeiros absorvem completamente os fótons, enquanto os dois últimos apenas espalham, mas todos eles removem fótons do feixe inicial (EISBERG, 1979, pág. 75). Em qualquer um dos casos, quando tratamos de interações entre fótons e matéria, é necessário que saibamos quais as probabilidades de acontecimento de cada efeito. Eisberg (1979) diz que essa probabilidade é muito importante na blindagem de aparelhos de Raios-X ou de um reator nuclear. A esta probabilidade de interação entre os fótons e o átomo é dado o nome de seção de choque. Pensando no efeito fotoelétrico podemos dizer que: a seção de choque para este efeito é definida pela probabilidade de um fóton, com uma dada energia, ser ou não totalmente absorvido pelo material. Para Baptista (2010) a seção de choque é a probabilidade de ocorrer ou não uma interação com a matéria. A seção de choque e dado em cm² por átomo e para o efeito fotoelétrico, considerando-se todos os ângulos de emissão do fotoelétron, é representada pela equação (PIANOSCHI, 2008, pág. 7): 4 Z µ (3) 3 E onde Z equivale ao número atômico do material e E é a energia contida em cada fóton, o coeficiente assim podemos mostrar que a seção de choque esta diretamente ligada com o número atômico e é inversamente proporcional a quantidade de energia de cada fóton, ou seja, quanto maior for a energia menor será a probabilidade de acontecer o efeito fotoelétrico. Para Yoshimura (2009) quanto maior o número atômico do elemento utilizado maior a probabilidade de acontecer o efeito fotoelétrico (figura 2). 6

8 Figura 2 Gráfico que representa a probabilidade de acontecer o efeito fotoelétrico para elementos de número atômico grande (YOSHIMURA, 2009). Podemos perceber, segundo a figura 3, que para o efeito fotoelétrico quanto maior a energia de incidência do fóton menor a probabilidade de acontecer alguma interação com a matéria. Como a probabilidade desses processos depende de formas diferentes de número atômico, os intervalos de energia nos quais eles dominam são bastante diferentes (EISBERG, 1979, pag. 77). Segundo Eisberg (1979) para o alumínio estes intervalos são: efeito 4 4 Fotoelétrico ( 4,8eV < E < 5 10 ev ); Espalhamento Compton ( 5 10 < E < ev ); Produção de Pares ( 1 10 ev < E ), já para o chumbo: efeito fotoelétrico ( 4,14eV < E < ev ); espalhamento ( 5 10 < E < ev ); produção de pares ( 1 10 ev < E ); Para o efeito fotoelétrico a equação 3 pode ser perfeitamente descrita através do gráfico abaixo: Figura 3 - Seção de choque Atômica para o efeito fotoelétrico em função da energia do fóton (KEMP, 2007) 7

9 2.4 Coeficientes de atenuação linear Costa (2010) diz que o coeficiente de atenuação linear é o parâmetro que permite mensurar a quantidade de fótons que interagiram em um dado material por unidade de comprimento e este coeficiente pode ser descrito como a probabilidade que o fóton sofra uma interação no material absorvedor. Quando um meio é homogêneo, sua espessura pode levar à estimativa do coeficiente de atenuação linear do material (EVANS et al, apud VASCONCELOS, 2003, pág. 85). Este coeficiente está diretamente ligado a espessura do material escolhido e a quantidade de fótons incidentes. Johns (1983) afirma que se N fótons incide sobre uma placa de espessura x, um número n interagirá com o material e será removido, portanto, n dependerá diretamente de N, então, se N for duplicado as chances de interação também serão duplicadas, da mesma forma, que se a espessura x for duplicada as interações também serão dobradas. Assim, n varia com o produto de N e x, como mostra a equação abaixo: n = µ N x (4) Onde µ é o coeficiente de atenuação - constante de proporcionalidade. Se imaginarmos que N = n é o número de fótons que restou no feixe incidente, a equação 4 pode ser reescrita da seguinte forma: N = (µ N x) (5) Onde N e N são puramente números, µ x deve ser adimensional eµ tem dimensões de "um" dividido pelo comprimento, ou seja, se x for expresso em centímetro µ deve ser medido em 1 cm (JOHNS, 1983, pág. 136). Ainda para Johns (1983) para se obter um resultado correto devemos considerar que o material é formado por camadas de espessuras muito fina, ou seja, deve-se aplicar a equação 5 para cada espessura processo extremamente demorado. pág. 137): x do material, tornando assim um Como forma de resolver tal situação usa-se a equação (JOHNS, 1983, N µx = N 0 e (6) 8

10 onde N representa o número de fótons que ultrapassaram o material, N0 o número de fótons inicial e x a espessura do material absorvedor. Esta equação é usada para calcular a atenuação de qualquer espessura de material e mostra como N muda a medida que passa através do material. Yoshimura (2009), afirma que a equação 6 é conhecida como a lei de atenuação de um feixe de fótons, onde relaciona o número de fótons incidentes ( N 0 ) perpendicularmente em um material homogêneo e o número de fótons que emergiu (N) desse meio sem interagir com ele. Simplificando a equação temos para o coeficiente de atenuação. N N 0 e µx = ln N N 0 = µx lne N ln N 0 µ = x (7) Essa equação nos mostra que µ é inversamente proporcional a espessura do material absorvedor. 3. METODOLOGIA Neste trabalho foi desenvolvido um algoritmo para simular a interação de fótons com a matéria e permitir o cálculo teórico do coeficiente de atenuação do material absorvedor. Para este trabalho utilizamos os dados do alumínio (Al) e do chumbo (Pb). O primeiro passo, a ser dado é atribuir as condições iniciais da simulação: número atômico do elemento utilizado (Z), energia do fóton incidente (E), a energia da função trabalho referente ao átomo (T), comprimento de um átomo do material (L), espessura limite na qual nos dará o 9

11 tamanho do objeto e a equação que descreve a probabilidade de acontecimento do efeito fotoelétrico (p) equação 3. O passo seguinte consiste em: para cada fóton, baseado na probabilidade de interação (variável p), sortear se o fóton vai interagir ou não na primeira fatia de átomos. Se a interação acontecer passa-se para o fóton seguinte. Se a interação não acontecer é verificado se ele chegou ao limite do obstáculo. Se alcançar o limite, o algoritmo escolhe outro fóton, se não, o fóton avança para a fatia seguinte e o processo se repete até que aconteça a interação ou o limite do obstáculo seja alcançado. O próximo passo é a contagem de quantos fótons conseguiram ultrapassar cada fileira (divisão do obstáculo). O último passo, consiste no cálculo do coeficiente de atenuação, a partir da equação 7. Segue o fluxograma descrevendo os passos da simulação. 10

12 Figura 4 - Fluxograma que descreve a simulação 11

13 Na simulação, foram utilizados dois diferentes materiais absorvedores: o Alumínio (Al) e o Chumbo (Pb) (ver na tabela 2 as características de cada elemento utilizadas na simulação). A simulação foi feita no software Dev C++ versão , utilizando um computador particular que tem a seguinte configuração: processador Pentium Intel Quad Core 9300, com 4Gb de memória RAM, sistema operacional Windows 7 X64 bits, versão ULTIMATE e placa de vídeo com 512 mb. Tabela 2: Características do alumínio e do chumbo utilizadas na simulação. Características Alumínio (Al) Chumbo (Pb) Número atômico Função trabalho 4,8 4,14 Tamanho do átomo (L) * Faixa de energia para o efeito fotoelétrico *Considerando o átomo com uma forma cúbica. 8 2,55 10 cm 3, cm 4,8eV < E < ev 4,14eV < E < ev É importante salientar que estes dados são de fundamental importância, posto que, são eles que direcionaram a simulação. Sendo assim, para calcular o coeficiente de atenuação de outros materiais estes valores devem ser alterados no algoritmo. 4. RESULTADOS Foram feitas duas simulações com energias e espessuras da primeira fileira diferente para cada material. Para o Alumínio, consideramos as energias de 70eV e 500eV, ambos com espessura das fileiras equivalente a No caso do chumbo, consideramos uma energia de 100eV, com espessura da fileira equivalente a equivalentes a 10 3 cm cm, e 100keV, com espessuras das fileiras Por ser uma seqüência dependente de números aleatórios os resultados obtidos para as interações variavam para cada inicialização da simulação, o que pode ficar evidenciado através destes resultados foi o comportamento exponencial que estas interações, tanto no Alumínio quanto no Chumbo, sempre seguiam. Para o cálculo do coeficiente de atenuação foi utilizado 12

14 apenas uma fração do material objeto (tabela 3), pois na simulação nenhum fóton foi capaz de ultrapassar a espessura do objeto escolhida (0,1cm). Como conseqüência, podemos perceber que o resultado do coeficiente de atenuação, dos dois materiais, é muito alto estando de acordo com a equação 7, pois o coeficiente de atenuação e inversamente proporcional a espessura. Tabela 3: Valores para o calculo do Coeficiente de Atenuação e resultados obtidos pela simulação. Espessura da Fileira (cm) Coeficiente de Material Energia do Feixe (ev) -1 Atenuação (cm ) Alumínio Chumbo k , , , , DISCUSSÃO Esta seção é dividida em duas partes, na primeira é dada uma explicação dos resultados obtidos e na segunda, se comentamos sobre às limitações que devem ser levadas em consideração para esta simulação. 5.1 Análises dos Resultados obtidos De acordo com a figura 5 podemos perceber o resultado obtido em nossa simulação, onde, as curvas exponenciais obtidas nas interações do feixe de fótons, comprovam que as interações realmente obedecem a um decaimento exponencial durante seu percurso pelo material absorvedor, nos mostrando que a simulação esta de acordo com a teoria e conforme representado na equação 6. 13

15 (a) (b) (c) (d) Figura 05 - Representa o decaimento exponencial do feixe incidente sobre o material absorvedor. (a) e (b) para o Alumínio com energia de 70eV e 100eV, respectivamente e espessuras da 1º 5 fileira equivalente a 10 ; (c) e (d) para o Chumbo com energias de 100eV e 100KeV 3 espessura da 1º fileira equivalente a 10, respectivamente e Outro ponto importante observado na simulação foi a capacidade do fóton poder penetrar um meio material sem sofrer nenhuma interação (O anexo 1-II é mostrado quantas fatias o fóton ultrapassou antes de interagir, cada fatia tem o comprimento de um átomo). Podemos perceber que alguns fótons são capazes de ultrapassar centenas de átomos sem sofrer nenhuma interação fotoelétrica. Quanto aos valores obtidos para o coeficiente de atenuação evidenciamos uma divergência com os valores encontrados na maioria das 14

16 bibliografias, o que pode ser facilmente explicado, pois em nossa simulação consideramos a probabilidade de interação apenas pelo efeito fotoelétrico, limitando assim, a margem de obtenção de resultados. Já o que é encontrado nas bibliografias os valores são determinados considerando todas as probabilidades de acontecimento de interação (Espalhamento Coerente, Efeito Fotoelétrico, Espalhamento Compton e Produção de Pares). Portanto, os resultados obtidos por esta simulação servem apenas de parâmetro do que se encontraria se considerássemos que apenas um efeito fosse realizado durante uma interação fóton-matéria. 5.2 Análises das limitações Simulação apenas do efeito fotoelétrico Nosso modelo leva em conta apenas o efeito fotoelétrico, por se tratar de uma simulação mais simples. Podemos justificar esta opção a partir observação da figura 2 podemos perceber, que para algumas faixas de energia e dependendo do número atômico do elemento, o efeito fotoelétrico se torna totalmente preponderante sobre qualquer outro tipo de interação. Ainda baseado na figura 2 e de acordo com Yoshimura (2009) elementos com número atômico muito baixo tem maior probabilidade de realizar o efeito Compton, independente da energia do fóton incidido, desta forma limitamos também a simulação para elementos que não sejam de número atômicos muito pequenos (menor que 13). Outro ponto importante, que deve ser levado em conta, é a probabilidade de 80% dos fótons interagirem com a camada K, conforme afirma Costa (2007), ou seja, não desconsideramos as outras camadas do átomo, até porque, isto estaria indo contra a descrição quântica, onde a função de onda que descreve a posição dos elétrons tem relação direta com as camadas atômicas (níveis de energia). Assim como, Pianoschi (2008) também consideramos uma condição ideal, em que cada fóton é completamente absorvido em uma simples interação, não produzindo fótons espalhados e secundários e que o fotoelétron não interage novamente com o obstáculo. 15

17 5.2.2 Estrutura cristalina do átomo com formato cúbico Outro fator importante que devemos levar em consideração e a largura "L" do material, pois para esta simulação consideraremos o átomo com um formato cúbico e que a incidência de todos os fótons será perpendicular a uma face de cubo, segue abaixo o método que foi utilizado para encontrar o comprimento do átomo: ρ = m V V m ρ m = 4, ρ = 2,697 g 3 cm 4, V = 2,697g V = 1, V = L = L = 2, g g cm cm 1, cm cm Onde ρ representa a densidade do elemento, m a massa e V o volume do átomo e L o comprimento da aresta do cubo. O calculo representado acima foi feito para o Alumínio, mas pode ser feito para qualquer outro tipo de material. 8 Nas bibliografias o raio atômico é aproximadamente 1,43 10 cm e, 8 conseqüentemente, seu diâmetro 2,86 10 cm, aproximadamente 10% a mais do valor encontrado por nós acima Equação utilizada para descrever a seção de choque Tal incerteza se dá pelo fato de a seção de choque, do efeito fotoelétrico, ser encontrada nas bibliografias apenas como uma aproximação. A seção de choque para a absorção fotoelétrica atômica pode equivaler n Z 2 à aproximadamente aτ k (cm /"atomo") m, onde n e m são índices que (hv) sofrem alteração em função da energia do feixe e do material (...) o valor de m tende a 4 e n tende a 3 (ATTIX, apud FIRMINO, 2010, pág. 42). Segundo documento informativo da CNEN, o efeito fotoelétrico é predominante para baixas energias (...) a probabilidade de ocorrência aumenta com 4 Z e decresce 16

18 rapidamente com o aumento da energia (CNEN/IRD, apud FIRMINO, 2010, pág. 42). Frimaio (2006) nos diz que essa probabilidade cresce com 3 Z. Já para Pianoschi (2008) a seção de choque por átomo, para o efeito fotoelétrico, considerando todos os ângulos de incidência pode ser representada por Z τ E 4 3. Desta forma, optamos por esta ultima equação para representar a seção de choque na simulação. Abaixo está a representação gráfica da probabilidade de interação do Alumínio e do Chumbo. (a) (b) Figura 06 - (a) Gráfico da probabilidade de interação para o alumínio - (b) Gráfico da probabilidade de interação para o Chumbo Números pseudo-aleatórios A limitação se encontra na não confiabilidade de ser realmente um número aleatório, pois estas seqüências são completamente determinísticas. Qualquer seqüência de número gerada por um algoritmo terá a propriedade de u + que pode ser determinado a partir do conhecimento de K 1 u 1,u2,...uK, não sendo assim aleatório no sentido pretendido. As margens destes números foram definidas a partir da figura 6, onde para cada material é definido um valor aproximado de probabilidade, limitada à energia da função trabalho. Por exemplo, na Figura 6-(a) percebemos que a probabilidade de acontecimento do efeito fotoelétrico, com fóton maior que a função trabalho, deverá ser menor que

19 5.2.5 Efeito fotoelétrico (clássico x quântico) Eisnberg (1979) faz uma distinção bastante interessante sobre três aspectos que não podem ser explicados pela teoria ondulatória clássica da luz, mas que Einstein com a física quântica conseguiu resolver: O primeiro diz respeito a energia cinética dos elétrons ejetados, onde para a teoria clássica quando se aumentasse a intensidade da luz aumentaríamos também a energia cinética dos elétrons ejetados, mas a física quântica mostra, experimentalmente, que aumentando a intensidade da luz meramente estamos aumentando o número de fótons e. Portanto aumentando a corrente fotoelétrica, ou seja, a energia do fóton não aumenta; O segundo é sobre a ocorrência do efeito fotoelétrico, para a teoria clássica este efeito deveria acontecer para qualquer freqüência de luz, desde que essa luz fosse intensa o bastante para dar energia necessária à ejeção dos elétrons, mas a teoria quântica consegue remover esta idéia imediatamente, pois se considerarmos que na equação 2 K max é igual a zero teremos: hf 0 = φ que significa que o fóton tem exatamente a energia necessária para remover o elétron, assim se a freqüência for menor que f 0 os fótons não conseguiriam arrancar este elétron, ou seja, não se observa o efeito com qualquer freqüência de luz; O terceiro é o retardamento da ejeção dos elétrons. Na teoria clássica, a energia luminosa esta uniformemente distribuída sobre a frente de onda, com isso deveria existir um intervalo entre a incidência da luz e a ejeção do elétron. Mas a mecânica quântica rebate essa afirmação pela ideia do fóton possuir energia sob pacotes concentrados, ou seja, o fóton incidido será absorvido ou não pelo elétron, dependendo então, da energia do fóton Métodos mais Utilizados em Simulações com Radiações Durante toda a pesquisa bibliográfica não foi encontrado nenhuma simulação semelhante a este trabalho. O que pode ser verificado com certa 18

20 freqüência são simulações feitas em softwares que utilizam métodos mais complexos e que geralmente utiliza o "Método Monte Carlo" para obtenção dos números aleatórios. Este método é largamente utilizado na solução de problemas envolvendo processos estatísticos da emissão da radiação (...) que não podem ser modelados por código computacionais que utilizam métodos determinísticos (ANTOLIN, 2007). Os códigos de simulação utilizam diferentes algoritmos (...) em diferentes níveis de dificuldade de uso, acurácia nos resultados e desempenho nas simulações, como exemplo de simulador, podemos citar o Código de Simulação Monte Carlo PENELOPE (PENetration and Energy LOss of Positron and Eletrons) que é normalmente utilizado para aplicações com feixes de alta energia (PIANOSCHI, 2008). 6. CONCLUSÃO Neste trabalho avaliou-se a utilização de um algoritmo simplificado para análise do efeito fotoelétrico e conseqüentemente a obtenção do coeficiente de atenuação do Alumínio e do Chumbo. Apesar de existir alguns simuladores que descrevem a interação das radiações com a matéria, nenhum utilizou um método relativamente simples para esta análise. A metodologia permitiu determinar o comportamento de um feixe de fótons com baixa e alta energia, nos mostrando o comportamento de cada fóton dentro do material. Mesmo demonstrando todas as limitações, o algoritmo se mostrou totalmente condizente com a teoria apresentada na literatura, podemos perceber e visualizar através dos dados obtidos na sessão resultados que esta simulação pode ser apresentada como uma ferramenta de aprimoramento do conhecimento sobre as interações dos fótons com a matéria. Portanto, este trabalho além de ajudar na assimilação de conceitos da física moderna, ele dá uma abertura para ser melhorado em outros trabalhos futuros, podendo ser adicionado outros efeitos, tais como espalhamento Raylight e Compton. 19

21 AGRADECIMENTOS Gostaria de agradecer: Aos professores que tive durante esta minha dura caminhada, em especial ao meu orientador Thiago Borduqui Ferrari que foi de fundamental importância para a conclusão deste trabalho; Aos meus amigos Humberto Zacarias, Ítalo Augusto Camargos, Thiago Cardoso e Tiago Araújo, que sempre estiveram do meu lado; Aos meus filhos, Guilherme e Breno, que são os verdadeiros motivos de tanto esforço e dedicação; A minha maior inspiração, razão pela qual me despertei para a vida acadêmica, minha mulher (Te Amo Muito); A minha mãe, que mesmo não estando mais presente, foi quem me ensinou a ser quem eu sou hoje. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BAPTISTA, Patrícia Isabel; LIMEDE, Jorge de Medeiros. Caracterização das Qualidades de Radiação X de Diagnóstico, segundo a Norma Internacional IEC Lisboa POR, Dissertação (Mestre em Engenharia Biomédica), Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade de Lisboa. BARBOZA, Cecília Bollini; Planejamento do Tratamento por Radioterapia Através de Métodos de Pontos Interiores. Pesquisa Operacional, v.26, n.1, p.1-24, janeiro a abril de COSTA, Paulo R. Laboratório de Física Moderna ( ) Interação da Radiação γ com a Matéria. Disponível em: < diacao_com_a_materia_final3.pdf> acessado dia EISBERG, Robert Martin; RESNICK, Robert. Física quântica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos e partículas. Rio de Janeiro: Campus, c p. ISBN FIRMINO, Sandro Fernandes. Transmissão e Fluência de Fótons na Área de Radiodiagnóstico para Diferentes Configurações de Feixe de Blindagem. Porto Alegre, Dissertação (Mestre em Engenharia), Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 20

22 FRIMAIO, Audrew; Desenvolvimento de um Material Cerâmico para Utilização em Proteção Radiológica Diagnóstica. São Paulo, Dissertação (Mestre em Ciência na Área de Tecnologia Nuclear Materiais. Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares, Universidade de São Paulo. JOHNS, Harold Elford; CUNNINGHAM, John Robert. The Physics of Radiology. Charles C. Thomas Publisher. Fourth Edition, Springfield Illionois, KEMP, Ernesto. F550 - Radiações: Interação e Detecção aula 20. Disponível em:< aula20-2s.pdf> Acesso em PIANOSCHI, Thatiane Alves. Avaliação do Código de Simulação Monte Carlo PENELOPE para Aplicações em geometria Delgada e Feixes de Radiodiagnósticos, Ribeirão Preto, Dissertação (Mestre em Ciências Física Aplicada à Medicina e Biologia), Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto da Universidade de São Paulo. TIPLER, Paul Allen; BIASI, Ronaldo Sérgio de (Trad.). Física moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2001. xiii, 515 p. ISBN TIPLER, Paul Allen. Física para cientistas e engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, v. ISBN (v.1) VASCONCELOS, Wagner E. ; SANTOS, Valdemir A. ; DANTAS, Carlos C. Determinação do Coeficiente de Atenuação-Gama de um Catalisador de Craqueamento Catalítico Fluido; Revista Química & Tecnologia, ano 2; nº 01, p , jan./jun YOSHIMURA, E.M. Física das Radiações: interação da radiação com a matéria. Revista Brasileira de Física Médica. 2009; 3(1): Disponível em: Simulação: geração de números pseudo-aleatórios. Disponível em: < Acesso em

23 ANEXO 1 I. Algoritmo da Simulação (Dev-C++ versão ) //programa escrito por Thiago Borduqui em 07/05/2011 para o Trabalho de conclusão de curso do Anderson Basilio Beserra #include<iostream> #include<math.h> #include<ctime> #include<fstream> #include<stdio.h> using namespace std; int main(void) system("title Efeito Fotoeletrico para o Aluminio(Al)"); ofstream arq; arq.open("dados.txt"); int Z = 13; // n atômico int E = 100; // energia do fóton double T = 4.8; // função trabalho do material double L = 2.55*pow(10, -8); // tamanho de um átomo cúbico double lim = 1.0*pow(10, -1); // espessurado do material absorvedor double p = pow(z, 4)/pow(E, 3); // probabilidade de interação para um dado material double dist = 0.0; // armazena valor atual da distância percorrida por cada foton double mat1[50]; // armazena distancia percorrida por cada foton double Rand = 0.0; // guarda o n randomico double Aten = 0.0; // coeficiente de atenuação int k = 0; // controle do while que avança o fóton int cont = 0; // conta a quantidade de fótons que atravessaram o obstáculo int fatia = 0; // conta quantas fatias o foton andou antes de interagir int hist[10]; // monta histograma de distâncias double N = 0.0; // conta quantos fótons interagiram double esp = pow(10,-5); // ordem de grandeza de cada espessura arq << " A energia do foton e de " << E << " ev" << endl << endl; arq << " O numero atomico do material e " << Z << " u.a." << endl << endl; arq << " O diametro do atomo e de " << L << " cm" << endl << endl; arq << " Secao de choque e de " << p << " cm2/atomo" << endl << endl; arq << " Espessura da Primeira Fileira " << esp << " cm" << endl << endl << endl; arq << " Inicio da Simulcao " << endl << endl << endl; srand(static_cast<unsigned int>(time(0))); // permite a geração de numeros aleatorios if( E > T ) for( int i=0; i<50; i++ ) // laço para varrer Fótons arq << "*** Foton " << (i+1) << " *** " << endl; cout << "*** Foton " << (i+1) << endl; dist = 0.0; k = 0; fatia = 0; Rand = 0.0; do Rand = (rand()%250+0); // gera o aleatorio if( Rand <= p ) mat1[i] = dist; k = 1; arq << "" << endl; cout << "" << endl << endl; cout << "O foton avancou " << fatia << " fatia(s) antes de interagir" << endl; arq << "O foton avancou " << fatia << " fatia(s) antes de interagir" << endl; arq << "percorreu " << dist << " cm dentro do obstaculo" << endl << endl; cout << "percorreu " << dist << " cm dentro do obstaculo" << endl << endl; else dist = dist + L; fatia = fatia + 1; if( dist >= lim ) 22

24 k = 1; cont = cont + 1; // incrementa os que passaram sem interagir mat1[i] = 0.0; arq << "Nao interagiu" << endl << endl; cout << "Nao interagiu" << endl << endl; while( k < 1 );// fim do while // fim do for else arq << "Nao acontece o efeito fotoeletrico" << endl << endl; cout << "Nao acontece o efeito fotoeletrico" << endl << endl; arq.close(); system("pause"); return 0; //preenche a matriz do histograma for( int n=0; n<10; n++ ) hist[n] = 0; for( int j=0; j<50; j++ ) if( mat1[j] < 1 * esp ) hist[0] = hist[0] + 1; else if( mat1[j] < 2 * esp ) hist[1] = hist[1] + 1; else if( mat1[j] < 3 * esp ) hist[2] = hist[2] + 1; else if( mat1[j] < 4 * esp ) hist[3] = hist[3] + 1; else if( mat1[j] < 5 * esp ) hist[4] = hist[4] + 1; else if( mat1[j] < 6 * esp ) hist[5] = hist[5] + 1; else if( mat1[j] < 7 * esp ) hist[6] = hist[6] + 1; 23

25 else if( mat1[j] < 8 * esp ) hist[7] = hist[7] + 1; else if( mat1[j] < 9 * esp ) hist[8] = hist[8] + 1; else if( mat1[j] < 10 * esp ) hist[9] = hist[9] + 1; // fim da matriz histograma //imprime a matriz hist for( int m=0; m<10 ; m++ ) cout << endl << "Interagiram na fileira " << (m+1) << " : " << hist[m] << endl; arq << endl << "Interagiram na fileira " << (m+1) << " : " << hist[m] << endl; double media = 0.0; // calcula a penetração média for( int s=0; s<50; s++ ) media = media + mat1[s]; media = media/50; arq << endl << " " << cont << " fotons nao interagiram" << endl << endl; cout << endl << " " << cont << " fotons nao interagiram" << endl << endl; arq << " O espaco medio percorrido foi de " << media << " cm" << endl << endl; cout << " O espaco medio percorrido foi de " << media << " cm" << endl << endl; // calculo do nº de fotons que atravessaram o material N = 50 - hist[0]; arq << endl << " " << N << " fotons atravessaram a primeira fileira" << endl << endl; cout << endl << " " << N << " fotons atravessaram a primeira fileira " << endl << endl; // calculo do coeficiente de atenuação Aten = -( log (N/50))/( esp ); arq << endl << " O coeficiente de atenuacao para a primeira fileira e " << Aten << " cm^(-1) " << endl << endl; cout << endl << " O coeficiente de atenuacao para a primeira fileira e " << Aten << " cm^(-1) " << endl << endl; arq.close(); system("pause"); return 0; 24

26 II. Resultado para Alumínio com energia de 70eV. A energia do foton e de 70 ev O numero atomico do material e 13 u.a. O diametro do atomo e de 2.55e-008 cm Secao de choque e de cm2/atomo Espessura da Primeira Fileira 1e-005 cm Inicio da Simulcao *** Foton 1 *** O foton avancou 3 fatia(s) antes de interagir percorreu 7.65e-008 cm dentro do obstaculo *** Foton 2 *** O foton avancou 118 fatia(s) antes de interagir percorreu 3.009e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 3 *** O foton avancou 161 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 4 *** O foton avancou 695 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 5 *** O foton avancou 10 fatia(s) antes de interagir percorreu 2.55e-007 cm dentro do obstaculo *** Foton 6 *** O foton avancou 288 fatia(s) antes de interagir percorreu 7.344e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 7 *** O foton avancou 490 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 8 *** O foton avancou 76 fatia(s) antes de interagir percorreu 1.938e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 9 *** O foton avancou 47 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 10 *** O foton avancou 57 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 11 *** O foton avancou 86 fatia(s) antes de interagir percorreu 2.193e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 12 *** O foton avancou 62 fatia(s) antes de interagir percorreu 1.581e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 13 *** O foton avancou 143 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 14 *** O foton avancou 420 fatia(s) antes de interagir percorreu 1.071e-005 cm dentro do obstaculo 25

27 *** Foton 15 *** O foton avancou 486 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 16 *** O foton avancou 285 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 17 *** O foton avancou 333 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 18 *** O foton avancou 97 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 19 *** O foton avancou 231 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 20 *** O foton avancou 344 fatia(s) antes de interagir percorreu 8.772e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 21 *** O foton avancou 286 fatia(s) antes de interagir percorreu 7.293e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 22 *** O foton avancou 25 fatia(s) antes de interagir percorreu 6.375e-007 cm dentro do obstaculo *** Foton 23 *** O foton avancou 237 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 24 *** O foton avancou 135 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 25 *** O foton avancou 130 fatia(s) antes de interagir percorreu 3.315e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 26 *** O foton avancou 22 fatia(s) antes de interagir percorreu 5.61e-007 cm dentro do obstaculo *** Foton 27 *** O foton avancou 116 fatia(s) antes de interagir percorreu 2.958e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 28 *** O foton avancou 737 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 29 *** O foton avancou 994 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 30 *** O foton avancou 15 fatia(s) antes de interagir percorreu 3.825e-007 cm dentro do obstaculo *** Foton 31 *** 26

28 O foton avancou 1013 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 32 *** O foton avancou 245 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 33 *** O foton avancou 467 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 34 *** O foton avancou 211 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 35 *** O foton avancou 116 fatia(s) antes de interagir percorreu 2.958e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 36 *** O foton avancou 382 fatia(s) antes de interagir percorreu 9.741e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 37 *** O foton avancou 156 fatia(s) antes de interagir percorreu 3.978e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 38 *** O foton avancou 66 fatia(s) antes de interagir percorreu 1.683e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 39 *** O foton avancou 167 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 40 *** O foton avancou 794 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 41 *** O foton avancou 423 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 42 *** O foton avancou 512 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 43 *** O foton avancou 462 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 44 *** O foton avancou 147 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 45 *** O foton avancou 117 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 46 *** O foton avancou 94 fatia(s) antes de interagir percorreu 2.397e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 47 *** O foton avancou 419 fatia(s) antes de interagir percorreu e-005 cm dentro do obstaculo *** Foton 48 *** 27

29 O foton avancou 129 fatia(s) antes de interagir percorreu e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 49 *** O foton avancou 300 fatia(s) antes de interagir percorreu 7.65e-006 cm dentro do obstaculo *** Foton 50 *** O foton avancou 208 fatia(s) antes de interagir percorreu 5.304e-006 cm dentro do obstaculo Interagiram na fileira 1 : 37 Interagiram na fileira 2 : 10 Interagiram na fileira 3 : 3 Interagiram na fileira 4 : 0 Interagiram na fileira 5 : 0 Interagiram na fileira 6 : 0 Interagiram na fileira 7 : 0 Interagiram na fileira 8 : 0 Interagiram na fileira 9 : 0 Interagiram na fileira 10 : 0 0 fotons nao interagiram O espaco medio percorrido foi de e-007 cm 13 fotons atravessaram a primeira fileira O coeficiente de atenuacao para a primeira fileira e cm^(-1) 28