MEDIDAS Como surgiu a geometria Medidas medidas Medição de Segmentos comensuráveis

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1 MEDIDAS Como surgiu a geometria As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de conhecimentos geométricos. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto. Medidas Todos os dias medimos coisas, nas mais variadas ocupações e atividades (quais, por exemplo). Afinal, o que é medir? A palavras medidas representa o processo se obter um valor quantitativo (numérico) de uma certa unidade de medida que é tomada como padrão. Caso utilizarmos uma unidade de medida que não é padronizado, podemos obter alguns problemas na comunicação dessas medidas. O palmo, por exemplo, ainda é usado, mas compare o seu palmo com o de outras pessoas: cada palmo pode ser muito diferente. Esta medida não seria útil para a indústria, nem para o comércio. Imagine você pedir 5 palmos de tecido... Palmo de quem? Os instrumentos mais comuns usados para medir comprimento (a régua, a fita métrica e a trena) tem uma unidade de medida válida para qualquer pessoa que a use. Geralmente essa unidade padrão é o metro. Mas há muito tempo, o homem media pequenos objetos usando a polegada. Ainda hoje, principalmente em alguns setores da Indústria, a polegada é utilizada. As medições podem ser feitas ou executadas de duas maneiras: Diretamente: Por exemplo a distância entre dois pontos, pode ser obtida através de medidas realizadas com uma trena (fita métrica). Indireta (Quando não é possível realizar diretamente as medidas): Por exemplo quando mede-se ângulos e distâncias para calcular a altura de um prédio. Medição de Segmentos Para Euclides a medida do segmento de reta AB é um número que deve exprimir quantas vezes o segmento AB contém um segmento u, fixado previamente, que se convencionou tomar como unidade de comprimento, ou como segmento unitário. A explicação que demos acima é bastante ilustrativa para servir de sugestão, mas não serve como uma verdadeira definição matemática porque é demasiadamente vaga. Não está claro o significado da expressão "o número de vezes que o segmento AB contém o segmento u. Suponhamos que, embora AB não contenha u um número inteiro de vezes, exista, entretanto, um segmento menor, w, tal que w esteja n vezes contido em u e m vezes contido em AB, sendo m e n números inteiros. O segmento w é o que se chama um submúltiplo comum de AB e u. O que ocorre na verdade é que fixado o segmento unitário u, o comprimento de um segmento AB é um número racional m/n quando existe um segmento w que esteja contido n vezes em u e m vezes em AB. Neste caso, dizemos que os segmentos AB e u são comensuráveis.

2 Durante algum tempo se acreditava que, de fato, não existissem segmentos incomensuráveis. Inicialmente, Pitágoras e seus discípulos pensavam assim. Eles mesmos, porém, descobriram o primeiro exemplo de um par de segmentos incomensuráveis. Axiomas de Medição de Segmentos Lembramos que na geometria euclidiana a processo de medir segmentos é regida pelos seguintes axiomas: Axioma de medição 1: A todo par de pontos do plano corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se e somente se os pontos são coincidentes. O número a que se refere o axioma é denominado de comprimento do segmento ou distância entre os pontos que define o segmento. Axioma de medição : Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que o módulo da diferença entre estes números meça a distância entre os pontos correspondentes. Fixada uma correspondência, o número que corresponde a um ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto. Portanto, se a e b são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente, então a distância do segmento AB é o valor absoluto da diferença entre os números correspondentes (AB = a b ). Erros em medidas Na prática, como nossos olhos (ou mesmo os instrumentos mais delicados de aferição) têm um limite de percepção (ou precisão), sendo incapazes de distinguir dois pontos que, embora distintos, achem-se situados a uma distância inferior a esse limite. Portanto o processo de medida está sujeito às incertezas (erros), e o valor verdadeira da observação nunca é conhecido. O que podemos fazer é tentar aproximar o valor medido com o valor real. Essa acuracidade da medição depende, de: confiabilidade e calibração do instrumento usado. condições ambientais no momento da medição. (variações da temperatura, da pressão atmosférica, vento, ect). fatores humanos (perícia do operador).

3 Por melhores que sejam os equipamentos empregados, melhores operadores e condições ideais do meio ambiente que são realizadas as medições, os resultados podem se aproximar do valor verdadeiro, mas nunca são exatas. Um exemplo desse fato é quando a soma dos quadrados dos catetos de um triangulo retângulo medidos por um o aluno é diferente do quadrado da hipotensa também medida pelo mesmo aluno. Outro exemplo é quando a soma os três ângulos internos de um triângulo plano medidos por um aluno não é iguais a 180º. O metro A definição atual do metro, dada em 1983 pela é a seguinte: O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/ de segundo. (coletado de Exercícios 1) Medir tem um pouco de contar? ) Como lidar com a seguinte situação: Seu aluno acabou de aprender o teorema de Pitágoras, e quer comprova que o teorema é verdadeiro. Ele mediu (com uma régua) os catetos de dois catetos de um triangulo retângulo plano e obteve os respectivos valores 16 cm e 3 cm. Porem quando esse mesmo aluno mediu a hipotensa desse triangulo retângulo, obteve o 8 cm. 3) Ioana queria comprar um pedaço de pano para fazer uma toalha de mesa. Como não tinha fita métrica, tirou as medidas da mesa usando seu palmo. Obteve as seguintes medidas: largura = 4 palmos e comprimento = 7 palmos. Ela sabia que seu palmo mede 18 centímetros. Quais as medidas do pano que ela comprou? 4) Pela lei, o pé-direito (distância do chão ao teto) mínimo de um apartamento deve ser de m e 70 em. Qual a altura mínima de um prédio de 0 andares?

4 ÁREAS Calculando áreas Existem muitas situações práticas que envolvem o cálculo de áreas, como veremos nos exemplos a seguir. Um pedreiro, ao ser chamado para colocar azulejos em uma parede, começará seu trabalho calculando a área das paredes que vão ser revestidas. Depois, ele vai comprar o material e, quando pedir os azulejos, o balconista certamente lhe perguntará quantos metros quadrados ele deseja. Assim, calculando a área das paredes, e das portas e janelas, o azulejista poderá pedir a quantidade certa de azulejos, evitando a falta ou o desperdício de material. Uma vez elaborado o projeto de uma casa, é necessário preparar seu orçamento. É preciso saber, por exemplo, qual a quantidade de tijolos a ser usada na obra. Para isso, devemos saber quantos metros quadrados de parede a casa terá. Esse cálculo é necessário não apenas para saber a quantidade de material que se deve comprar, mas também para avaliar o custo da mão-de-obra que vai ser utilizada. Esses são alguns dos exemplos que mostram que o cálculo de áreas faz parte do dia-a-dia de muitos profissionais. Definição geral de área É possível associar a cada polígono P um número real não-negativo, chamado de área de P, com as seguintes propriedades: 1) Polígonos congruentes tem áreas iguais. ) Se P é um quadrado com lado unitário, então área de P é igual a 1. 3) Se P pode ser decomposto coma reunião de n polígonos P 1,, P n tais que dois quaisquer deles tem em comum no máxima alguns lados, então a área de P é a soma das áreas dos P i. Como medir áreas Convencionaremos tomar como unidade de área um quadrado cujo lado mede 1 unidade de comprimento. Esse quadrado é chamado de quadrado unitário. Logo para medir a área de uma figura comparamos com o quadrado unitário. O resultado da comparação é um número positivo, ao qual chamamos de área. Unidade de área Quando medimos uma área, queremos saber o espaço que uma superfície ocupa. Para isso, temos unidades de medida específicas. Se a unidade for o metro ou seja a área é 1 m então a área desse quadrado é 1 metro quadrado ou 1 m². Vamos recordar as unidades de área mais usuais. Metro quadrado (m²): é a superfície de um quadrado de 1 metro (1 m) de lado. Quilômetro quadrado (km²): é a superfície de um quadrado de 1 quilômetro (1 km) de lado. Centímetro quadrado (cm²): é a superfície de um quadrado de 1 centímetro (1 cm) de lado. Existem ainda: o hectômetro quadrado (hm²), o decâmetro quadrado (dam²), o decímetro quadrado (dm²) e o milímetro quadrado (mm²).

5 No Brasil, costuma-se usar o hectare (ha) ou o alqueire para medir grandes extensões de terra. Um hectare (ha) é igual m². Já o alqueire não é uma medida uniforme para todo o país. Existem: - o alqueire paulista, que vale 4 00 m²; - o alqueire mineiro, que vale m² (o dobro do paulista) e - o alqueire do Norte, que vale 7 5 m². Mudando de unidade Sabendo que em 1 centímetro cabem 10 milímetros, então em 1 centímetro quadrado cabem 100 milímetros quadrados, ou seja: 1 cm² = 10mm 10 mm = 100 mm² Um problema de herança Um homem decidiu dividir um terreno entre seus filhos: Abel e Cássio. Após desenhar a planta do terreno em papel quadriculado, ele chegou à divisão mostrada na figura seguinte. Afinal, a divisão foi justa? Podemos considerar cada quadradinho como uma unidade de área. Contando os quadradinhos da parte que coube, por exemplo, a Abel, temos 1 unidades de área. Fazendo o mesmo com a parte que cabe a Cássio também temos 1 unidades. Sendo assim, houve justiça na divisão do terreno, pois todos receberam a mesma área. Área de retângulos O retângulo é uma das figuras geométricas mais comuns que encontramos na vida diária, como podemos constatar em nossas casas, móveis e utensílios. No problema da herança, para calcular a área de terreno que coube a cada filho, contamos quantos quadradinhos (unidades de área) cabem em cada terreno. Chegamos a 1 unidades, nos dois casos. Mas, não era necessário contar os quadradinhos um por um. É fácil observar que: O terreno de Abel tem: 6 = 1 unidades de área. O terreno de Cássio tem: 3 4 = 1 unidades de área. Portanto: a área de um retângulo é igual ao produto dos seus lados. Área do retângulo = comprimento largura A = ba Área do paralelogramo Da área do retângulo, passa-se facilmente para a área do paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero no qual os lados opostos são paralelos. Quando se toma um lado do paralelogramo como base, chama-se altura do paralelogramo a um segmento de perpendicular que liga a base ao lado oposto (ou ao seu prolongamento). Observe as figuras abaixo. Podemos cortar um pedaço do paralelogramo e encaixá-lo do outro lado, transformando o paralelogramo num retângulo: A área do paralelogramo é, assim, igual à área do retângulo obtido, ou seja, ao produto das medidas da base pela altura: A = bh

6 Área do losango O losango é uma figura geométrica de lados iguais e diagonais perpendiculares. Podemos construir um retângulo de tal forma que o losango fique inscrito nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do losango é metade da área do retângulo, sendo determinada em função de suas diagonais: Diagonal maior (D) diagonal menor (d). A = Dd Área do trapézio O trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados bases: Construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de cabeça para baixo em relação ao outro. A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Dessa forma, a área do trapézio é: (B + b)h A = Exemplo Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 100 m na base maior e 40 m de altura. Qual a área desse terreno? ( ) 40 A = = = 7000 = 3500 Logo, a área do terreno é de m. Área do triângulo Usaremos um raciocínio semelhante ao que usamos para determinar a área do trapézio. Assim, construímos dois triângulos iguais: Encaixando-os, como na figura da esquerda, obtemos um paralelogramo cuja área é o dobro da área do triângulo. Como a área do paralelogramo é determinada pelo produto da base pela altura, a área do triângulo é igual à área do paralelogramo dividida por dois.

7 A = bh Se o triângulo for retângulo, a área pode ser calculada multiplicando-se os catetos e dividindo o resultado por. A = bh Decompondo figuras planas Usando a definição (c) de volume, podemos obter a área de qualquer polígono pode ser dividido num certo número de triângulos, quadros ou outros polígonos mais simples cuja as áreas são mais fácies de serem calculadas. EXEMPLO Calcule a área da figura: Podemos decompor essa figura da seguinte maneira: Calculamos, então, a área de cada uma das figuras: (1) é um trapézio de área: (3 + 4,5) 1,5 = 5,65 cm () é um paralelogramo de área: 4,5,5 = 11,5 cm (3) é um triângulo de área: 4,5 3 = 6,75 cm Somando os três resultados, temos a área da figura dada: 5, ,5 + 6,75 = 3,65 Assim, a área da figura é 3,65 cm². Cálculo aproximado de áreas Existem figuras planas cujas áreas são obtidas por cálculos aproximados. EXEMPLO Qual é a área figura do terreno?

8 Quadriculamos a figura tomando, por exemplo, o centímetro quadrado como unidade de área: Contando os quadradinhos internos e os que cobrem a figura, temos: Figura A 43 quadradinhos internos Figura B 80 quadradinhos que cobrem a figura A área da figura, portanto, está entre 43 cm² e 80 cm². Aproximamos os valores encontrados por meio de média aritmética: = 61,5 cm A área da figura é, portanto, 61,5 cm². Observação: Se usarmos uma unidade de área menor, como por exemplo o milímetro quadrado (mm²), o resultado obtido será mais preciso. Exercícios 1) Calcule a área deste terreno desenhado em papel quadriculado: a) Contando os quadradinhos de área unitária. b) Separando-o em retângulos e calculando as respectivas áreas. ) Calcule a área destes paralelogramos: a) b) c) 3) Sabemos que os losangos, são uma classe especial de paralelogramo. Assim demostre a área losango a partir da área do paralelogramo. 4) Calcule a área da figura: 5) Considerando o quadradinho como unidade de área (u), determine o valor aproximado da área da figura:

9 6) Responda as seguintes questões 1. a) O que é maior: 1 ha ou 1 km²? b) Quantas vezes um é maior que o outro? c) Dê um exemp~o da aplicação dessas unidades na vida real. 7) Imagine que você tenha uma sala que pretende alugar. Para isso, precisa calcular a área da sala. Seu chão é coberto de lajotas quadradas cujo lado mede aproximadamente um palmo de 3 cm. A sala é retangular: num lado, existem 17 lajotas, e, no outro, 13. Qual a área da sala? Explique como você resolveu o problema. 8) Um mineiro e um paulista estão discutindo qual deles tem o maior terreno. O paulista diz que é claro que é o seu: "Pois, compadre, se eu tenho 0 alqueires e o compadre só tem 10, quem pode ter mais?" Na realidade, os dois terrenos têm a mesma área. Como se explica isso? 9) A tabela abaixo mostra a áreas, para a área dos estados brasileiros. Estado Área Estado Área Acre (AC) ,5 km² Alagoas (AL) 1.86,6 km² Amapá (AP) ,5 km² Amazonas (AM) 1.567,953,1 km² Bahia (BA) ,5 km² Ceará (CE) ,9 km² Distrito Federal (DF) 5.794, km² Espírito Santo (ES) ,0 km² Goiás (GO) ,9 km² Maranhão (MA) ,8 km² Mato Grosso (MT) ,1 km² Mato Grosso do Sul (MS) ,5 km² Minas Gerais (MG) ,3 km² Pará (PA) ,1 km² Paraíba (PB) , km² Paraná (PR) ,9 km² Pernambuco (PE) 101,03,4 km² Piauí (PI) 51.73,3 km² Rio de Janeiro (RJ) ,3 km² Rio Grande do Norte (RN) ,6 km² Rio Grande do Sul (RS) km² Rondônia (RO) ,1 km² Roraima (RR) 5.017,0 km² Santa Catarina (SC) ,3 km² São Paulo (SP) 48.55,1 km² Sergipe (SE) 1.86,6 km² Tocantins (TO) 77.31,9 km² Responda as perguntas abaixo a) Qual é o maior e o menor estado? b) Quantos hectare medem cada estado. Você sábia? Para estimar o número de pessoas presentes em um show ou em um comício, é preciso saber apenas saber o tamanho da Área do local em metros quadrados, multiplicar essa área por 4 se as pessoas estiverem espaçadas, por 5 se elas estiverem mais juntas.