SÉRIES DE FOURIER E O FENÔMENO DE GIBBS

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1 UNIVERSIDADE FEDERA DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SÉRIES DE FOURIER E O FENÔMENO DE GIBBS UIZ FERNANDO NAZARI FORIANÓPOIS, JUNHO DE 8

2 UIZ FERNANDO NAZARI SÉRIES DE FOURIER E O FENÔMENO DE GIBBS Tabaho de Cocusão de Cuso apesetado ao Cuso de Matemática iceciatua Depatameto de Matemática Ceto de Ciêcias Físicas e Matemáticas Uivesidade Fedea de Sata Cataia Oietado: D. Féi Pedo Quispe Gómez FORIANÓPOIS SC Juho de 8

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4 Agadecimetos Agadeço aos meus pais, uiz Caos Nazai e Rosei Teeziha Nazai, po me popocioaem a chace de obte um futuo meho, a miha amoada, Raíssa Spidoa, e Famiiaes, peo icetivo, caiho, amo e po sempe aceditaem em miha capacidade, e aos meus amigos Adé Pastoe, Fabíoa Vigoa e Diego Staub, peo icetivo, ajuda e compaheiismo. Agadeço a meu oietado, Féi Pedo Quispe Gómez, pofesso e amigo, pea paciêcia, empeho, dedicação e po compatiha um pouco de seu gade cohecimeto. Agadeço a baca eamiadoa, po aceitaem o meu covite, e a todos os pofessoes do cuso de matemática que cotibuíam em miha fomação acadêmica.

5 Sumáio Itodução Notas históicas Jea Baptiste Joseph Fouie Coceitos Básicos Feômeos Físicos e suas Equações difeeciais Cassificações Soução de uma equação difeecia pacia iea Codições de Foteia Supeposições de souções Método de Fouie Fuções Otoomais Séies de Fouie Fuções Peiódicas Covegêcia uifome Coeficietes de Fouie Séies de Fouie Odas e Cao Pobema da coda vibate Difusão do Cao Pobema da difusão do cao Feômeo de Gibbs Feômeo de Gibbs em séies de Fouie Fução Sato

6 6.. Fução Pogamas Fução Fução Sato Fução... 6 Cocusão Refeêcias Bibiogáficas

7 Itodução Seá apesetado a segui apesetado um pequeo históico da aáise hamôica a pati dos pimeios estudos com tetativas de se esove os pobemas da coda vibate e da codução do cao, dado êfase as Séies de Fouie até chega ao feômeo de Gibbs. A picipio seão apesetados coceitos básicos de equações difeecias paciais, que seão de gade utiidade paa o desevovimeto do tabaho. E ao ogo destes coceitos vamos veifica que as equações difeeciais têm apicações em divesas áeas da ciêcia, como a Física, ode as equações difeeciais paciais podem epeseta feômeos físicos. Paa que isto acoteça, a equação difeecia, com um cojuto de codições de foteia, deve cote soução úica, pois este caso o cojuto de dados em um feômeo físico, os eva à um úico esutado. Aém disto, se houve uma pequea mudaça as codições de foteia, estas devem esuta em pequeos desvios a soução, pois as codições são obtidas atavés de epeiêcias que ocasioam pequeos eos, e estes eos ão devem poduzi gades desvios as souções. Fouie estudou estas equações, e em meio a seus estudos descobiu um método de esoução paa equações difeecias paciais, deomiado como método de Fouie. O método de Fouie baseia se a combiação do picipio da supeposição com o método de sepaação de vaiáveis. Aém de deduzi este método paa a esoução de equações difeeciais paciais, duate a esoução de pobemas como a codução de cao e o da coda vibate,(esovidos o decoe do tabaho), Fouie aegou que toda fução peiódica, de peíodo, podeia se escita a foma de um somatóio de seos e cosseos, ou seja, podeia se escita a foma a f a b ( ) cos se 1 6

8 com a k e bk costates. Estes coeficietes possuem uma foma gea, que é obtida quado f é igua a séie de Fouie, ou seja, quado a séie covege potuamete paa a fução f. No decoe deste tabaho seá apesetado como obte estes coeficietes, paa quais tipos de fuções é possíve a epesetação em séies de Fouie, e em que setido a séie covege paa detemiada fução. E é este útimo ítem ode Gibbs cocetou seus estudos, ee obsevou a ocoêcia de um feômeo especia a apoimação da fução pea séie em seus potos de descotiuidade, deomiado como feômeo de Gibbs. 7

9 1. Notas históicas Uma séie tigoomética é uma epessão da foma: a acos b se 1 (1.1) ode a, a e b com 1,,3... são costates. Se esta séie covege paa,, etão esta epessão pode epeseta uma fução peiódica de peíodo. O pobema de se epeseta uma fução f( ) quaque, de peíodo, em uma séie de seos e cosseos (1.1) sugiu o sécuo XVIII, com Eue ( ) e D. Beouii (17 178) com seus estudos sobe o pobema da coda vibate. Em seus estudos, Beouii chega ao poto de esceve a soução do pobema da coda vibate em foma de séies tigoométicas a pati de cosideações do tipo físico, o que os eva a pesa que a coda oscia descevedo váias feqüêcias ao mesmo tempo, cujas ampitudes depedem da foma iicia da vibação. Esta possibiidade, descobeta po Beouii, é o que chamamos hoje do picipio da supeposição, este esutado é de gade impotâcia os amos da físicamatemática. Mas Eue ão aceitava assim tão facimete a idéia de Beouii, de que uma fução abitáia pudesse se escita a foma de uma séie tigoomética, pois esta idéia etava em cofito com agus coceitos matemáticos da época. Temos que eva em cota que paa os matemáticos cotempoâeos de Eue, as cuvas se dividiam em duas casses: as cuvas cotíuas e as cuvas geométicas. Uma cuva ea dita cotíua se suas odeadas e abscissas podiam coecta-se atavés de aguma fómua do tipo y f ( ). E uma fução deomiava-se geomética, se pudesse se desehada de aguma foma com taços cotíuos, e estas eam epessas po váias fómuas. Assim, uma fução abitáia pode se epessa, po eempo, po uma séie de cosseos, equivaia a dize que quaque cuva geomética de peíodo 8

10 ea também uma cuva cotíua, o que ea icíve paa Eue e os matemáticos do seu tempo. 1.1 Jea Baptiste Joseph Fouie O pobema de uma fução se epesetada po uma séie tigoomética eapaece com o matemático facês J. Fouie ( ), ode mais tade a pati de seus estudos estas séies tigoométicas acabaam sedo deomiadas como séies de Fouie. Fouie em 1 de dezembo de 187 apesetou a academia facesa de ciêcias, a aáise hamôica, também cohecida como a aáise de Fouie, que foi um gade maco a históia da matemática. Fouie havia deduzido a equação do cao, que descevia à codução do cao atavés de copos sóidos. Em meios a estes estudos acabou deduzido um método paa esove equações difeeciais paciais. Na esoução da equação do cao, apicado o método de sepaação de vaiáveis, Fouie esceveu a soução da equação em foma de uma séie tigoomética, e isto evou a Fouie aega que toda fução peiódica de peíodo podeia se escita a foma: a f a b ( ) ~ cos se 1 da séie: E aida Fouie acabou ecotado fómuas que cacuavam os coeficietes 1 a f ( )cos d 1 b f ( )se d 9

11 Essas idéias de Fouie ão foam aceitas em pimeio mometo, mas aos depois, acabaam sedo aceitas e epostas em sua oba de 18, Théoie aaytique de a chaeu. 1

12 . Coceitos Básicos Nos capítuos seguites seão estudados divesos tipos de equações difeeciais paciais ( EDP ), que são assim chamadas pois são equações que cotém deivadas paciais, isto é, a vaiáve depedete deve se uma fução de duas ou mais vaiáveis idepedetes, pois, caso cotáio ão haveiam deivadas paciais. Po eempo: u u u 4yu (.1) y z u u (.) y ode, y, z a equação (.1) epesetam as vaiáveis idepedetes, equato u u(, y, z) a vaiáve depedete. Já o caso (.), u é uma fução de duas vaiáveis, u u(, y). Toda equação difeecia pacia possui uma odem, que é estabeecida pea maio odem da deivada da fução depedete. u u u y z A equação acima, mais cohecida como equação de apace em tês vaiáveis, é um eempo de equação de seguda odem. Já a equação seguite: 6y u yu u, é um eempo de equação de pimeia odem. As equações difeeciais paciais aém de seem cassificadas po sua odem, também são cassificadas como ão-ieaes e ieaes. Uma equação difeecia pacia iea é caacteizada peo fato de que a vaiáve depedete e suas deivadas estão o pimeio gau, e também po ão ocoe poduto ete a vaiáve depedete e suas deivadas paciais. ( ) y 4 u u yu (.3) 11

13 u u u (.4) k 1 y t A equação (.3) é um eempo de uma equação ão-iea, já a equação (.4) cohecida como equação de codução ou difusão do cao é um caso de equação difeecia pacia iea. No decoe de ossos estudos estaemos dado êfase a casos paticuaes de equações difeeciais paciais ieaes que epesetam feômeos físicos, deiado de ado as equações ão-ieaes. Uma equação difeecia pacia iea pode se cassificada como homogêea e ão-homogêea, e o que caacteiza esta equação se homogêea é o fato de que cada temo da equação deve cote ou a vaiáve depedete, ou uma das suas deivadas paciais. u u u (.5) y A equação (.5) cujo e são costates abitáias, epeseta uma equação iea homogêea. Equato a equação (.6): u yu f (, y) (.6) ode f (, y ) é uma fução dada, é uma equação iea ão - homogêea. E como o caso das equações difeeciais odiáias ieaes homogêeas, caso u1, u, u3..., u foem souções de uma equação difeecia pacia iea homogêea, etão uma combiação iea destas souções u c1u 1 cu c3u3... cu ode os coeficietes c1, c, c3..., c são costates abitáias, também é soução da mesma equação difeecia. Chamamos este esutado de picípio de supeposição. Mais adiate demostaemos este picípio. 1

14 .1 Feômeos Físicos e suas Equações difeeciais. Muitas das equações difeeciais que seão estudadas estaão epesetado feômeos físicos, mostado que as eis da física podem se escitas em temos de equações difeeciais paciais. Agumas destas equações são as seguites: 1 c 1 ) u t u k equação de codução ou difusão do cao. 3) u equação de apace. 1) u equação da oda. t u 4) u u equação de Hemhotz. 5) u f (, y, z) equação de Poisso. 1 6) u equação bi-hamôica t u da oda ode u ( u). p u 7) u equação bi-hamôica. 8) u E V (, y, z) u equação de Schödige. 9) u equação de Kei-Godo. Em todas as equações é opeado apaciao defiido como: y y z (em duas vaiáveis y, ) em tês vaiáveis, y, z depededo do úmeo de dimesões do espaço, é o opeado D Aembetiao, 1 defiido t, t a vaiáve do tempo, e, c, k,, p,, E são costates e f e c V fuções dadas. embado que esta é uma pequea ista de equações difeeciais paciais impotates a física matemática. 13

15 . Cassificações Estas eis da física em fomas de equações difeeciais paciais discutidas somete em duas vaiáveis idepedetes fomam casos especiais de equações difeeciais paciais ieaes homogêeas de seguda odem, caso gea: a u h u b u f u g u eu (.7) y y y ode a, h, b, f, g, e são costates ou fuções de e y. Se obsevamos bem a equação (.7) se paece com a equação gea da côica: a hy by f gy e E sabemos que esta equação epeseta: uma eipse se ab h uma paáboa se ab h uma hipéboe se ab h E devido a essa semehaça cassificaemos a equação difeecia (.7) como: eíptica quado ab h paabóica quado ab h hipebóica quado ab h Po eempo: A equação de codução ou de difusão do cao as vaiáveis e t, tu é do tipo paabóico po que k 1 u ab h 1.. A equação de Hemhotz u u u é do tipo eíptico po que y ab h

16 Em casos que a, h, b sejam fuções de e y, estas equações podem muda de cassificação quato à egião do pao y. Po eempo, a equação 1 u yu yu 3u é eíptica quado 4 1, paabóica quado 4 1 e hipebóica quado 4 1. Veja o gáfico: toado-se do tipo paabóico as etas Figua 1 1 e 1. Devido a esta cassificação podemos impo codições de foteia que os foeceam souções úicas paa a equação. 15

17 .3 Soução de uma equação difeecia pacia iea. Defiimos como soução gea de uma EDP iea, uma soução da mesma que coteha fuções abitáias, fomado assim um cojuto de todas as souções paticuaes da equação. Paa epica meho cosideamos o seguite eempo: Seja u(, y) f ( y) (.8) ode f ( y ) é uma fução abitáia de y. Difeeciado u pimeiamete em eação a (.9) e depois em eação a y (.1) temos: u (, ) ( ) (.9) u ( y, ) ( ) (.1) somado agoa (.9) com (.1) ecotamos: u(, y) u(, y) f ( y).( y ) y sabedo que f ( y) u po (.9), tiamos a seguite equação difeecia pacia y u u yu.( y ) y u y u yu u y u u (.11) y que tem como soução gea (.8), pois dada quaque fução f ( y ), u f ( y) é soução desta equação. Po eempo, u. y e u se(. y) 16

18 ode defiimos u. y e u se(. y) como souções paticuaes..3.1 Codições de Foteia As equações difeeciais paciais devem usuamete satisfaze cetas eigêcias, como as equações difeeciais odiáias. Deomiamos essas eigêcias de codições de foteia. Podemos dize que uma equação difeecia pacia e um cojuto de codições de foteias podem epeseta um feômeo físico, se esta tive soução úica, pois apesetado um cojuto de dados em um feômeo físico estes os evam à um úico esutado, e também quado dada uma pequea mudaça as codições de foteia, esutam em apeas pequeos desvios a soução, pois as codições de foteia são obtidas atavés de epeiêcias que ocasioam pequeos eos, e esses eos ão devem ocasioa gades desvios as souções. y u u y Pocuamos agoa uma soução que satisfaça as seguites codições de foteia u (,) 1 u(, y) 1 u(, y) podemos veifica facimete que u(, y) cos. y satisfaz a equação e as codições de foteia. Não é fáci de se obte tipos de codições de foteia que coduzam as equações difeeciais paciais ieaes à souções úicas e estáveis; este estudo é um pouco difíci, mas eistem tês tipos picipais de codições que apaecem feqüetemete em estudos de feômeos físicos: 17

19 Codições de Diichet, que é utiizada quado o feômeo físico atua sobe toda a egião de um copo, ode são cohecidos os vaoes da fução u em cada poto da foteia da egião. Codições de Neuma, que utiizada quado o feômeo físico está atuado as foteias de uma egião, ode são cohecidos os vaoes da deivada oma fução a foteia. u da v Codições de Cauchy, este caso uma das vaiáveis idepedetes é a vaiáve t (tempo) e são cohecidos os vaoes de u e de t u paa t. Um eempo de EDP sujeita a codições de foteias seia a seguite 1 u tu c u(,) tg( ) u(,) ode u u(, t) e como podemos ota as codições são do tipo de Cauchy. t.3. Supeposições de souções Defiimos ateiomete o picípio da supeposição, que diz que se u1, u, u3..., u são fuções que satisfazem uma equação difeecia iea homogêea, etão uma combiação iea destas fuções u c1u 1 cu c3u3... cu ode c,( i 1,,3,..., ) são costates, também seá uma soução da equação. i Podemos veifica este picípio facimete, pois se u1, u são duas fuções de um cojuto de fuções e um opeado que tem as seguites popiedades: 18

20 ( u u ) u u 1 1 ( c u ) c u ode c 1 é uma costate, deomiamos como sedo um opeado iea e do mesmo modo podemos mosta que se u1, u, u3..., u são fuções de um mesmo cojuto e um opeado iea, etão c u c u i i i i i1 i1 ode c i são costates. Se aaisamos agoa d, veificaemos que é um d opeado iea sobe o cojuto de todas as fuções de uma vaiáve, difeeciáve peo meos uma vez. Deomiamos este opeado de opeado difeecia iea. O mesmo acotece se, seá ovamete um opeado difeecia iea, mas agoa do cojuto de todas as fuções de duas ou mais vaiáveis idepedetes, que são difeeciáveis peo meos uma vez em eação a quaque vaiáve. Etão toda equação difeecia pacia iea homogêea pode se escita da seguite foma u ode é um opeado iea e u é vaiáve idepedete. Um eempo seia a equação a segui ode 4 t 4 u tu 4 t u u é o opeado difeecia iea da equação. Agoa se u1, u, u3..., u foem souções de uma EDP iea homogêea etão e como é um opeado iea temos ui 19

21 c u c u i i i i com i 1,,3..., e c i uma costate, etão: c u c u i i i i i1 i1 Isto mosta que uma combiação iea abitáia de souções de uma EDP iea homogêea também é soução da equação, e, este é o picípio de supeposição. Este picípio é de gade utiidade, pois caso seja possíve ecota ceto cojuto de souções de uma equação difeecia pacia iea homogêea, tavez possamos ecota uma combiação iea destas souções que satisfaçam todas as codições de foteias impostas.

22 3. Método de Fouie Método de Fouie é um dos métodos de esoução de EDP s, ee é a combiação do picípio da supeposição de souções com o método de sepaação de vaiáveis, que assume que a vaiáve depedete é igua ao poduto de (duas) ou mais fuções, cada uma depededo apeas de uma das vaiáveis idepedetes. Eempo: Vamos utiiza agoa o método de Fouie paa acha a soução da equação difeecia pacia iea 1 u tu (3.1) c mais cohecida como equação da oda uidimesioa, com as seguites codições de foteias de Diichet u(, t) u(, t), t, u(,) f ( ),, u(,) g( ),, ode f e g são fuções dadas, e uma costate dada. t Soução: Paa apica o método de Fouie vamos admiti uma soução que seja sepaáve da foma: u(, t) X ( ) T( t) ode X é uma fução de e T uma fução somete de t. Assim a equação (3.1) ficaia da seguite foma: 1 X. T. tt X c vamos agoa mutipica ambos os ados po seguite: 1 XT., com XT. etão teemos o 1

23 1 d X 1 d T X d c T dt Se aaisamos, veemos que do ado esquedo da iguadade teemos uma fução somete de e do ado dieito uma fução que só depede de t, etão podemos afima que paa a iguadade se vedadeia é ecessáio que 1 X d 1 c T dt d X dt k, k, ode k é uma costate de sepaação. Podemos ota agoa que tato a pimeia equação como a seguda são equações difeeciais odiáias d X kx, d (3.) 1 c dt dt kt, (3.3) podemos descobi as fuções X e T esovedo cada uma destas equações difeecias odiáias, mas ão podemos esquece que a equação u(, t) X ( ) T( t) deve satisfaze as codições de foteia etão u(, t) X () T ( t), t, u(, t) X ( ) T ( t), t, tomado T, pois caso cotáio iíamos os depaa com a soução tivia u(, t), temos caso k seja zeo, temos como soução da equação (13) X () X ( ), (3.4) X ( ) A B,

24 como X () X ( ), cocuímos que AB e assim caímos ovamete a soução tivia. Caso k seja positivo ( k w ), como faamos vamos os depaa com uma equação difeecia odiáia iea de seguda odem (3.), que tem o seguite poiômio caacteístico. w w ode as aízes deste poiômio são paticuaes da equação (3.) são w, e w que são aízes eais, etão duas souções X ( ) e X ( ) e peo picípio da supeposição temos que w w e w w X ( ) Ae B e, w w também é soução da equação (3.), e este caso é o soução gea, pois e, e são ieamete idepedete, paa cofima isto basta cacua o Woskiao e veifica que ee esuta em um úmeo difeete de zeo impicado que as duas fuções são ieamete idepedetes. f g Woskiao( f, g) det f g e etomado temos ovamete po (3.4) que AB e ovamete os depaamos com a soução u(, t). Caso k seja egativo ( k w ), este caso o poiômio caacteístico da equação (3.) é o seguite. w w 3

25 ode as aízes deste poiômio são wi, e souções paticuaes da equação (3.) são esovedo ovamete o Woskiao wi que são aízes compeas, etão duas X ( ) cos w X ( ) se w das fuções acima, veemos que eas são ieamete idepedetes e etão ecotamos como soução gea da equação (3.) e que peas codições de foteia, temos tiamos que X ( ) Acos w Bse w, X () Acos w B se w Acos Bse A X ( ) Acos w Bse w Acos w Bse w Bse w Como ão queemos B, pois seão teemos ovamete a soução tivia, se w Esta iguadade impica que w, 1,,3... (3.5) ecuímos o caso, que os dá w e esutaia ovamete a soução tivia. Resovedo agoa a equação (3.3), com caacteístico teia duas aízes compeas, wci, ecotamos a seguite equação gea T( t) C cos wct Dse wct k w, ovamete o poiômio wci, e fazedo os devidos passos, 4

26 ode Ce Dsão costates de itegação. Usado agoa ossa idéia iicia que u(, t) X ( ) T( t) temos u(, t) se w.( C cos wct Dse wct) (3.6) ote que a costate abitáia B foi iguaada a 1, paa faciita os cácuos. Mas ohado ovamete paa (3.5), otamos que w assume uma ifiidade de vaoes, e pa cada vao de w fomamos uma soução paticua que tem a foma (3.6) ct ct w1, u1(, t) se.( C1 cos D1 se ), ct ct w, u(, t) se.( C cos D se ), ct ct w, u (, t) se.( C cos D se ),. (3.7) ode C, C, C..., C,..., D, D,..., D,... são costates abitáias. Cada uma destas epessões de u(, t ) acima são souções da EDP iea (3.1), e estas satisfazem a codição de foteia u(, t) u(, t), t. Agoa peo picípio da supeposição podemos afima que quaque combiação iea destas souções também é soução da equação da oda (3.1), ou seja, a seguite combiação iea também é soução ct ct u(, t) C cos D se se 1 (3.8) e esta é a soução gea, satisfazedo como dito ates, apeas a seguite codição de foteia u(, t) u(, t), t. Agoa vamos satisfaze as codições u(,) f ( ),, u(,) g( ),, t 5

27 e estas codições como veemos detemiaam a costates abitáias C e D. Cosideamos pimeiamete u(,) f ( ),, etão temos (3.8) em t c. c. u(,) C cos D se se 1 u(,) C cos D se se 1 u(,) C se 1 e substituido u(,) f ( ) temos f ( ) C se (3.9) 1 Agoa utiizado a útima codição de foteia u (, ) g t ( ),, paa descobi D vamos deiva (3.8) em eação a t e apica em t. Assim teemos ct ct u(, t) C cos D se se 1 ct c ct c tu(, t) C. -se. D. cos. se 1 c. c c. c tu(,) C. -se. D. cos. se 1 c c tu (, ) C. -se. D. cos. se 1 c tu(,) D. se 1 c tu(,) D. se 1 e como u (,) g t ( ),, etão c g( ) D. se. (3.1) 1 6

28 Agoa os coeficietes C e D podem se detemiados atavés de (3.9) e (3.1) espectivamete, paa isso utiizaemos uma técica de séies de Fouie (que seá cometada o póimo tópico) e assim teemos C f ( ) se d (3.1) D g( ) se d c (3.13) ode 1,,3,.... Agoa substituido em (3.8) as costates C e D temos ct u(, t) f ( ) se d cos se 1 ct g( ) se d se se c ode é a vaiáve de itegação e deotamos assim paa ão cofudimos com que é a vaiáve idepedete. Esta fução é soução gea da equação da oda (3.1) com as seguites codições de foteia u(, t) u(, t), t, u(,) f ( ),, u(,) g( ),. t 3.1 Fuções Otoomais Quado os depaamos com a iguadade f ( ) C se, 1 como vimos ateiomete podemos pocede da seguite foma 7

29 s s f ( ) se C se se 1 s s f ( ) se d C se se d 1 s s f ( ) se d C se se d 1 sedo e siteios positivos, e como podemos ota a itegação de, s s se se d 1, s etão s s f ( ) se d C se se d 1 s f ( ) se d C s C f ( ) se d como havíamos feito ateiomete paa descobi as costates da fução (3.8). Esse método é o método das séies de Fouie, e assume que fuções assim epadidas satisfazem as codições de Diicheet que gaate que as séies covegem paa as fuções dadas em cada poto, meos os potos de descotiuidade. foma Podemos esceve agoa, s s se se d 1, s da seguite s se se d esta itega agoa vai esuta o seguites vaoes, s, 1, s( ). 8

30 Caso escevamos f ( ) se, 1,,3,... etão,, s f( ) fs( ) d 1, s. As fuções ode a itega de f ( ) f ( ), paa s, são iguais a zeo vamos deomiá-as fuções otogoais o itevao (, ) e as fuções f ( ) f ( ), paa s( ), ode a itega é igua a um, são chamadas de fuções omaizadas à uidade em (, ). As fuções que são otogoais e omaizadas à uidade em (, ) são chamadas de otoomais em (, ). s s 9

31 4. Séies de Fouie 4.1 Fuções Peiódicas Uma fução f : R R é dita peiódica de peíodo T se f ( T) f ( ). Eempo: A fução cos é peiódica de peíodo. Vamos etão agoa detemia o peíodo de 3 f( ) se. Soução: sabedo que f ( T) f ( ) etão: 3 ( ) 3 se T se se T se Vamos substitui 3 y etão: Isto impica que 3 T, pois 3 T se y se y se y é uma fução peiódica de peíodo : 3 T 4 T 3 ogo 3 f( ) se é peiódica de peíodo 4 3. OBS: Se T é o peíodo da fução f( ) etão quaque mútipo de T, T,com Z, também é peíodo de f( ). Ode o meo peíodo positivo é chamado de peíodo 3

32 fudameta, que é o peíodo que os iteessa, etão quado os efeimos a peíodo estaemos faado do peíodo fudameta. Vamos mosta agoa que toda fução peiódica, de peíodo, pode se escita a foma (1.1). Mas é cao que ão é assim tão simpes assumi esta iguadade, pecisamos agoa sabe paa que tipo de fuções é possíve esta epesetação, quado é váida a iguadade (1.1) e quem são os coeficietes a,, a b. Paa espode estas questões vamos faze agumas defiições. 4. Covegêcia uifome Uma séie f ( ) ode f : I R são fuções eais defiidas em um 1 itevao I R covege potuamete, se paa cada I fiado, a séie f ( ) covegi, isto é dado e I, eiste um iteio N, depededo de e de, ta que 1 m j f ( ) j paa todos m tais que N. Agoa uma séie f ( ) covege uifomemete, se dado, eisti um 1 iteio N, depededo agoa apeas de, ta que m j f ( ) j paa todos m N. 31

33 Quado a séie covegi uifomemete, podemos dize de foma ifoma, que a itega do somatóio é igua ao somatóio das itegais, e cao se eisti as itegais de f o itevao I, ou seja, b f ( ) d f ( ) d a 1 1 b a 4.3 Coeficietes de Fouie Seja a f ( ) acos b se 1 (4.1) paa descobi os coeficietes a, a e b vamos supo que esta iguadade seja vedadeia e que a séie covija uifomemete, e com isso podemos itega ambos os ados da iguadade. Como f( ) é peiódica de peíodo, vamos estudá-a apeas o itevao,. Itegado ambos os ados de (4.1) teemos: a f ( ) d acos b se d 1 a f d d a b d ( ) cos se 1 a f d d a d b d ( ) cos se 1 como cos d se d temos: 3

34 f ( ) d a d f d a ( ). a 1 f ( ) d (4.) Paa obte a e b vamos usa as eações de otogoaidade, citadas ateiomete, etão após itegamos ambos os ados de (4.1) a f ( ) d acos b se d 1 mutipicá-os-emos po cos k, ode k 1, paa descobi a : k f ( )cos d a k k k cos d a cos cos d b se cos d 1 e sabedo que: k cos d k se k cos cos d (coceito de otogoaidade) se k k se cos d Etão: 33

35 k k k f ( )cos d ak cos cos d k f ( )cos d ak 1 k ak f ( )cos d (4.3) De foma aáoga descobimos b k, basta mutipicamos (4.1) po se k, com k 1, e itegamos ambos os ados da iguadade o itevao, e teemos: 1 k bk f ( ) se d. (4.4) Estas são as fómuas paa descobimos os coeficietes das séies de Fouie, de uma fução f( ) peiódica de peíodo. Agoa paa cotiuamos ossos estudos vamos isei a seguite defiição: Uma fução é deomiada cotíua po seções, se esta é descotíua somete em um ceto úmeo fiito de potos em um itevao ab, e aida, os imites ateais da f em seus potos de descotiuidades devem eisti. 4.4 Séies de Fouie Teoema de Fouie: Seja f uma fução peiódica de peíodo. Se f e f são ambas cotíuas po seções em,, etão f é epesetada pea séie (4.1), sedo os coeficietes a, a e b cacuados po (4.), (4.3), (4.4) espectivamete, com o seguite setido de covegêcia: 34

36 A séie covege paa ( ) f em cada poto, em que f é cotíua. A séie covege paa 1 im f ( k) im f ( k) que f é descotíua. em cada poto, k k em A séie covege paa 1 im f ( k) im f ( k) k k em cada etemo: e. Eempo: Seja A demostação deste teoema fica como poposta paa tabahos seguites. se f( ) se (4.5) peiódica de peíodo. Vamos cacua a séie de Fouie associada a f. a f a b ( ) cos se 1 Soução: Pimeiamete vamos cacua os coeficietes da séie: 1 a f ( )cos d 1 a cos d.cos d 35

37 1 a.cos d 1 se se a. d paa a 1 cos a 1 cos 1 cos 1 1 cos 1 a se pa se ímpa Agoa vamos cacua a a 1 f ( ) d 1 a d d a 1 d a 1 1. e po útimo vamos cacua b 36

38 1 b f ( )se d 1 b.se d.se d 1 b.se d 1 cos cos b. d paa 1 cos 1 b. cos d b 1 cos 1 1 cos. se. 1 b 1 se pa se ímpa Etão a séie de Fouie associada a f é: 1.se..cos se.cos se... 4 b, que podemos esceve da foma: cos se f( ) Paa aaisa meho o que seia desceve f( ), em foma de uma soma de seos e cosseos, vejamos gaficamete a apoimação de f po sua N-ésima soma pacia de sua séie de Fouie descita po S N N cos 1 N k k 1 k. k1 k k1 k se ( )

39 Assumido a soma até N, teemos a seguite apoimação: Figua Se aumetamos o úmeo de temos somados, teemos uma meho apoimação, vejamos agoa paa N 8 Figua 3 38

40 5. Odas e Cao Como cometado o item 1.1, todo este estudo de Fouie que o evou a deduzi as séies de Fouie se deu em meio à aáise hamôica, ode Fouie deduziu a equação do cao, que descevia a codução de cao atavés de um copo sóido. 5.1 Pobema da coda vibate Vamos cosidea o seguite pobema: (, )(,+ ),, u C u tu,, t u(, t) u(, t), t u(,) f ( ), tu(,), (5.1) Este sistema é um modeo simpes paa a aáise das vibações de uma coda de compimeto, que está fia os etemos e. A icógita u u(, t), que depede do espaço e do espaço t, desceve a atua que se ecota o poto de distâcia do etemo (o itevao (, ) ), o istate t. Ohado paa o sistema (5.1) otaemos que a equação da oda é dada em foma de uma EDP, ode as tês utimas equações estabeecem as codições iicias, que ditam os vaoes da fução u(, t) os etemos e o istate t. Assim obtemos uma equação difeecia pacia iea, com codições iicias. Etão agoa vamos esove á. Soução: Vamos admiti uma soução sepaáve paa (5.1): u(, t) X ( ) T( t) ode X é uma fução de e T uma fução somete de t. Assim a equação ficaia da seguite foma: u u t 39

41 X. T T. X t vamos agoa mutipica ambos os ados po 1, etão teemos o seguite: XT. 1 d X 1 d T X d T dt Pode se ota que do ado esquedo da iguadade teemos uma fução somete de e do ado dieito uma fução que só depede de t, etão podemos afima que paa a iguadade se vedadeia é ecessáio que 1 X d 1 T dt d X dt k, k, ode k é uma costate. Podemos ota agoa que tato a pimeia equação como a seguda são equações difeeciais odiáias d X kx, d dt kt, dt e podemos descobi as fuções X e T esovedo cada uma destas equações difeecias odiáias, mas ão podedo esquece que a equação u(, t) X ( ) T( t) deve satisfaze as codições de foteia pesetes os sistema (5.1), etão u(, t) X () T ( t), t, u(, t) X ( ) T ( t), t, paa evitamos a soução tivia u(, t) vamos ecui Tt ( ) etão X () X ( ), caso k seja zeo, temos como soução da equação d X kx, d 4

42 X ( ) A B, como X () X ( ), tiamos que AB e assim teemos como soução de d X kx, d a soução tivia. Caso k seja positivo ( k w ), vamos os depaa com uma equação difeecia odiáia iea de seguda odem, que tem o seguite poiômio caacteístico. w w ode as aízes deste poiômio são w, e w que são aízes eais, etão duas souções paticuaes da equação d X d kx são X ( ) e X ( ) e peo picípio da supeposição temos que w w e w w X ( ) Ae B e. Como X () X ( ), etão X Ae B e w. w. () X () A B B A w w X ( ) Ae B e w w X ( ) Ae Ae A B e ovamete os depaamos com a soução tivia u(, t). seguite Caso k seja egativo ( k w ), este caso o poiômio caacteístico é o 41

43 . w w ode as aízes deste poiômio são wi, e wi e como são aízes compeas, teemos como souções paticuaes da equação d X d kx X ( ) cos w X ( ) se w Como as duas souções são ieamete idepedetes etão temos como soução gea da equação d X d kx X ( ) Acos w Bse w, que utiizado a codição de foteia X () X ( ), temos X () Acos w Bse w Acos Bse A tiamos que X ( ) Acos w Bse w Acos w Bse w Bse w Como ão queemos B, pois seão teemos ovamete a soução tivia, se w Esta iguadade impica que w, 1,,3... 4

44 (ecuímos o caso, que esutaia ovamete a soução tivia) ogo a soução de d X d kx é paa a equação. X ( ) Bse w com w, 1,,3... O fato de vaia impica que paa cada vao de obtemos uma soução Resovedo agoa a equação dt caacteístico teá duas aízes compeas, wi, ecotamos a seguite equação gea dt kt com T( t) C cos wt Dse wt como w assume váios vaoes w, 1,,3... etão T ( t) C cos w t D se w t k w, o poiômio wi, e fazedo os devidos passos, ode C e D são costates de itegação. Usado agoa ossa idéia iicia que u(, t) X ( ) T( t) temos u (, t) se w.( C cos wt D se w t) ote que a costate abitáia B foi iguaada a 1, paa faciita os cácuos. Note também que paa cada vao de temos uma soução de u u t 43

45 t t w1, u1(, t) se.( C1 cos D1 se ), t t w, u(, t) se.( C cos D se ), t t w, u (, t) se.( C cos D se ), e estas satisfazem a codição de iicia u(, t) u(, t), t. Agoa peo picípio da supeposição, podemos afima que quaque combiação iea destas souções é também soução da equação da oda u u, etão t t t u(, t) C cos D se se 1 Como esta soução satisfaz apeas a pimeia codição iicia vamos agoa satisfaze as codições u(,) f ( ),, u(,),, t e estas codições como veemos detemiaam a costates abitáias C e D. Cosideamos pimeiamete u(,) f ( ),, etão.. u(,) C cos D se se 1 u(,) C cos D se se 1 u(,) C se 1 e substituido u(,) f ( ) temos 44

46 f ( ) C se, 1 e com o cohecimeto de séies de Fouie tiamos que f( ) é uma fução peiódica de peíodo e C é um coeficiete da séie etão C f ( )se d. Agoa atavés da codição iicia u t (,), descobiemos D. t t u(, t) C cos D se se 1 t t tu(, t) C. -se. D. cos. se 1.. tu(,) C. -se. D. cos. se 1 tu(,) C. -se. D. cos. se 1 tu(,) D. se 1 1 tu(,) D. se 1 D. se Como esta também é uma séie de Fouie D pode se cacuado da seguite foma: D D.se d Etão a soução do pobema (5.1) é: s t u(, t) f ( s)se ds cos se 1. 45

47 Fouie em seus estudos ão apeas esoveu a equação da oda da foma que mostamos, aém disso, descobiu um método de esoução paa equações difeeciais paciais ieaes como já havíamos dito. Beoui também chegou a este esutado epesetado u po um somatóio de seos e cosseos, só que atavés de picípios físicos, já d Aembet descobiu a seguite soução gea paa a equação da oda sem codições iiciais: u(, t) f ( t) g( t) sedo f e g fuções abitáias. 5. Difusão do Cao 5..1 Pobema da difusão do cao Fouie aém de aaisa a equação da oda, também aaisou o pobema da difusão do cao, evado a estabeece a pati de picípios físicos a equação gea que devia satisfaze a tempeatua u u u u u y z t que é a equação (tidimesioa) do cao. cao: Mas estudaemos agoa o seguite pobema da equação (uidimesioa) do 46

48 (, )(,+ ),, u C u tu,, t u(, t) u(, t), t u(,) f ( ), (5.) Este pobema desceve a vaiação de tempeatua ao ogo do fio de compimeto. Vamos supo que em cada secção pepedicua do fio a tempeatua é costate. A codição iicia u(, t) u(, t) idica que a tempeatua os etemos é igua a zeo. Já a codição iicia u(,) f ( ) desceve a tempeatua em cada poto, o istate iicia. Vamos agoa esove este pobema da difusão do cao. Soução: Admitiemos uma soução sepaáve paa (5.): u(, t) X ( ) T( t) ode X é uma fução de e T uma fução somete de t. Assim a equação u u t ficaia da seguite foma: X. T T. X t vamos agoa mutipica ambos os ados po 1, etão teemos o seguite: XT. 1 d X 1 X d d T T dt 47

49 Se aaisa a equação ateio, pode se ota que do ado esquedo da iguadade teemos uma fução somete de e do ado dieito uma fução que só depede de t, assim podemos afima que paa a iguadade se vedadeia é ecessáio que 1 d X k, X d 1 dt k, T dt ode k é uma costate. E assim tato a pimeia equação como a seguda são equações difeeciais odiáias d X kx, d dt dt kt. Podemos descobi as fuções X e T esovedo cada uma destas equações difeecias odiáias, mas ão podedo esquece que a equação u(, t) X ( ) T( t) deve satisfaze as codições de foteia: u(, t) X () T ( t), t, u(, t) X ( ) T ( t), t, paa evitamos a soução tivia u(, t) vamos ecui Tt ( ) etão X () X ( ). Caso k seja zeo ou k, como vimos ateiomete teemos como soução da equação d X kx, d a soução tivia. Já o caso k seja egativo ( k w ), teemos como soução da equação d X kx, d 48

50 X ( ) Bse w com w, 1,,3... dt Agoa vamos esove a equação kt. dt Soução: Pimeiamete vamos mutipica ambos os ados po kt e, etão dt dt kt kt e e kt dt dt kt kt e e kt kt kt T. e T. e C T C. e kt com k w, ogo T C. e wt. Como w assume váios vaoes w, 1,,3... etão T () t C e t ode C é uma costate de itegação. Usado agoa ossa idéia iicia que u(, t) X ( ) T( t) temos (, ) se u t B. Ce t seja D C. B etão 49

51 u(, t) Dse. e t m um(, t) Dse. e 1 t m t 1 u(, t) D se. e (5.3) Esta é a soução de (5.) satisfazedo apeas a pimeia codição iicia, agoa pecisamos satisfaze a codição iicia u(,) f ( ) e atavés dea descobiemos a costate D u(,) Dse 1 que atavés de ossos cohecimetos de séies de Fouie, podemos cacua seguite foma D da D f ( ) se d E substituido em (5.3) a costate D temos t 1 u(, t) f ( s) se s ds se. e E esta é a soução de (5.) que desceve a vaiação de tempeatua ao ogo do fio de compimeto satisfazedo as codições iiciais u(, t) u(, t) e u(,) f ( ). 5

52 6. Feômeo de Gibbs Cosideamos agoa uma fução f de peíodo, ode f e f são ambas cotíuas po seções. Como citado ateiomete, a séie de Fouie que apoima f, covege potuamete paa os potos ode ão há descotiuidade. Já os potos de descotiuidade ão ocoe o mesmo, Gibbs estudou a covegêcia da séie de Fouie a vizihaça destes potos, descobido uma petubação, este feômeo é cohecido como feômeo de Gibbs. 6. Feômeo de Gibbs em séies de Fouie A pati de agoa apesetaemos gaficamete a apoimação de agumas fuções po suas somas paciais de suas espectivas séies de Fouie, assim podedo obseva os citéios de covegêcia, em especia o feômeo de Gibbs Fução Sato Cosideamos a fução f como sedo 1 se f( ) 1 se A N-ésima soma pacia coespodete a sua séie de Fouie é epessa po a S a k b k N N ( ) k cos( ) k se ( ) k 1 ode os coeficietes de Fouie são cacuados utiizado as fómuas (4.3) e (4.4): 51

53 1 ak f ( )cos k d 1 ak cos k d cos k d a k 1 se k 1 se k k k a k com k 1,,3,4,..., icusive paa. 1 bk f ( )se ( k) d 1 bk se ( k) d se ( k) d b k 1 cos ( k) 1 cos ( k) k k b k 1 1 cos ( k) 1 cos ( k) 1 k k k k b k k 1 cos ( k) 1 ( 1) k k k Po tato, paa fução sato, a soma pacia de Fouie seá N k 1 ( 1) SN ( ) se ( k) k1 k. Com o pogama MATAB podemos aaisa gaficamete as somas paciais de Fouie paa a fução sato. Uma vez guadado o comado sompa., paa ativá-o basta esceve sompa(n). Caso N 1 teemos a seguite apoimação da fução sato pea soma pacia de Fouie 5

54 Figua 4 A medida que aumetamos o úmeo de temos somados podemos ota que as somas paciais de Fouie covegem potuamete a f( ) em seus potos de cotiuidade e em zeo seu poto de descotiuidade covege a Paa N 1 a apoimação já é a seguite 1 1 im f ( ) im f ( )

55 Figua 5 Cofimado que à medida que aumetamos N teemos uma meho apoimação da f( ). Obsevado a vizihaça do poto de descotiuidade podemos ota o feômeo de Gibbs. Nota - se caamete que há uma petubação as edodezas, ou seja, a soma pacia de Fouie ecede a fução o poto de descotiuidade. Po eempo, a dieita do poto se vê como o gáfico das soma pacia de Fouie sobessaem a fução sato. Na figua a segui apicamos uma feameta do pogama MATAB, podemos obseva que apicado-se um zoom, pode - se ota com mais faciidade este feômeo. 54

56 Figua 6 Se aaisamos os pimeios gáficos pode - se ota que o mesmo acotece com os etemos do itevao (, ). O feômeo de Gibbs também ocoe estes potos, pois como visto a soma pacia de Fouie apoima se da fução sato que é peiódica, de peíodo, e isto impica que os potos k, k Z, ocoem casos de descotiuidade. Pode se demosta, paa esta fução ( [1], PP ) que o máimo da soma pacia aos edoes do poto, pea dieita, acotece o poto ode im SN Si 1,179. (6.1) N Ode Si é uma fução epessa po se t Si( ) dt. t 55

57 Paa apoima Si( ), pode-se utiiza o comado do MATAB, siit pi 1, , já que a pimitiva de se t, ão pode-se epessa com fuções t eemetaes. O cácuo (6.1) idica que a apoimação das somas paciais de Fouie ecedem do vao ea da fução que é 1, a dieita. Teoema: Seja f uma fução ea de vaiáve ea, peiódica de peíodo. Supohamos f e f ambas cotíuas po seções em,. Seja S ( ) a soma pacia de odem N de Fouie. Etão, em um poto a de descotiuidade, os gáficos das fuções S ( ) covegem ao segmeto vetica (ve figua 7) de compimeto Si 1 ( ) f ( a ) f ( a ) cetado o poto a, ( ) (. f a f a A azão ete a compimeto do segmeto e o compimeto do sato da descotiuidade, que é epessa po f ( a ) f ( a ), se deomia costate de Gibbs e seu vao é Si( ) que coicide com o obtido paa o caso paticua (6.1). 56

58 Figua Fução Cosideamos a fução como sedo se f( ) se A N-ésima soma pacia coespodete a sua séie de Fouie é epessa po a S a k b k N N ( ) k cos( ) k se ( ) k 1 Vamos cacua agoa os coeficietes da séie de Fouie 57

59 1 ak f ( )cos k d 1 ak cos k d cos k d 1 ak cos k d cos k d cos k d cos k d 1 ak cos k d cos k d cos k d a k 1 cos k d a k 1 1 cos a k k icusive paa, 1 bk f ( )se k d 1 bk se k d se k d 1 bk se k d se k d se k d se k d 1 bk se k d se k d se k d b b k k k k k 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 k k k 1 k 58

60 Po tato, paa fução, a soma pacia de Fouie seá N 1 SN ( ) se ( k). k k 1 Aaisado gaficamete, caso N 5 teemos a seguite apoimação da fução pea soma pacia de Fouie Agoa paa N 9 Figua 8 59

61 Figua 9 Novamete, podemos ota que à medida que somamos mais temos obteemos uma apoimação meho de f( ), e o poto o poto de descotiuidade de f obsevaemos ovamete o feômeo de Gibbs. Paa um estudo aaítico do feômeo de Gibbs este eempo devemos estuda o somatóio de Fejé, ( que são as médias das somas paciais das séies de Fouie). O que mosta como caacteística picipa é que as petubações são deimitadas peos gáficos das somas paciais de Fouie e as de Fejé. Eas se ecotam os seus potos de míimos o itevao, e po simetia, em seus máimos o itevao,, eceto o caso 1. 6

62 7. Pogamas Paa a eaização deste tabaho, em paticua os gáficos das somas paciais de Fouie, utiizamos o softwae matemático Matab. A segui estaemos apesetado os códigos dos pogamas que esutam os gáficos apesetados o tabaho. Que com agumas modificações podem se adapta a quaque fução. 7.1 Fução 4.5 fuctio sompa3() %somas paciais de Fouie da fução 3 %f()= se -pi<< % se <<pi % é o úmeo de temos somados % fução 3 = -pi:.1:pi; f=.*(<)+.*(>); % somas paciais de Fouie s = zeos(size()); fo k=1: s=s+(-/pi*(cos((*k-1)*)/(*k-1)^))+((-1)^(k+1)*si(k*)/k); ed s = (4/pi)+s-(1/); % gáfico das somas paciais da fução 3 pot(, s, '',, f, 'b'),gid; tite('séie de Fouie'); % fim do pogama sompa Fução Sato fuctio sompa() %somas paciais de Fouie da fução sato %f()= -1 se -pi<< % 1 se <<pi % é o úmeo de temos somados 61

63 % fução sato = -pi:.1:pi; f=-1*(<)+1.*(>); % somas paciais de Fouie s = zeos(size()); fo k=1: s=s+((1-(-1)^k/k)*si(k*)); ed s = (/pi)*s; % gáfico das somas paciais da fução sato pot(, s, '',, f, 'b'),gid; tite('feômeo de Gibb s'); % fim do pogama sompa. 7.1 Fução fuctio sompa() %somas paciais de Fouie da fução %f()=-/-pi/ se -pi<< % -/+pi/ se <<pi % é o úmeo de temos somados % fução = -pi:.1:pi; f=(-/-pi/).*(<)+(-/+pi/).*(>); % somas paciais de Fouie s = zeos(size()); fo k=1: s=s+(1./k)*si(k.*); ed % gáfico das somas paciais da fução pot(, s, '',, f, 'b'),gid; tite('feômeo de Gibbs'); % fim do pogama sompa. 6

64 Cocusão A aáise hamôica foi de gade impotâcia a física matemática. Pois como visto duate o tabaho, feômeos físicos podem se epesetados como equações difeeciais, e com a aáise hamôica podemos descobi a soução paa estas equações, que apoimam as fuções dos feômeos, muitas vezes ão cohecidas. Os estudos paa as esouções destes pobemas evaam Fouie a aega que todas as fuções peiódicas, de peíodo, podem se apoimadas po uma séie de seos e cosseos a foma a acos b se 1 ode a, a e b com 1,,3,..., são costates. Caso a fução seja cotíua a séie covege potuamete paa a fução, ou seja, podemos esceve a seguite iguadade a f ( ) acos b se 1 ode 1 a f ( )cos d 1 b f ( )se d. Já quado a fução fo uma fução cotíua po secções a iguadade ão acotece. A séie covege potuamete aos potos ode ão há descotiuidade, já os potos de descotiuidade e etemos a séie covege paa 1 im f ( k) im f ( k), k k acotecedo uma petubação a vizihaça destes potos, ou meho, a séie ecede o 63

65 vao da fução. E as somas paciais de Fouie, de odem N, covegem paa o segmeto vetica de ogitude, (figua 4), Si 1 ( ) f ( a ) f ( a ) cetado o poto a, ( ) (. f a f a ode a é um poto de descotiuidade. Este feômeo é cohecido po feômeo de Gibbs. Mesmo que a séie ão covija potuamete paa a fução, temos uma ótima apoimação paa f a medida que somamos mais temos as somas paciais de Fouie. Toado assim as séies de Fouie uma ótima feameta, já que em agus pobemas ão é possíve descobi a fução, mas apeas a séie que a epeseta, evado o pobema a se estudado como depedete da mesma ao ivés da fução. 64

66 Refeêcias Bibiogáficas [1] F. Djaio Guedes. Aáise de Fouie e Equações Difeecias Pacias, Edgad Büche, Basi, [] B. Richad, Modea Itodução as Equações Difeecias, taduzido po Afedo Aves Faias, evisão técica Robeto Romao, Mc Caw-Hi, São Pauo, Basi, [3] T.M. Aposto. Aáisis Matemático, Seguda Edição, Revete, Baceoa, 198. C.B Boye. Históia de a matemática, Aiaza Uivesidad Tetos, Madid, [3] H.S Casaw. A Itoductio to the Theoy of Fouie s Seies ad Itegas, Dove, Nova Yok, 195. [4] T.H. Fay y P.H. Koppes. The Gibb s pheomeo, It. J. Math. Educ. Sci. Techo, 1. [5] T. Myit-U. Patia Diffeetia Equatios of Mathematica Physics, Esevie Noth Hoad, Nova Yok, 198. [7] A. Nachbi. Some Mathematica Modes fo Wava Popagatio, Cubo Matemática Educacioa,. [8] R. Rodíguez-de-Río. Matemáticas e e Aua de Ifomática. [9] D.G. Zi. Ecuacioes Difeeciaes co apicacioes de modeado, seta edição, Méico, [1] R.K Nage e E.B. Saff. Fudametos Ecuacioes Difeeciaes, Méico,