Uma Aplicação de Modelos Lineares Mistos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Uma Aplicação de Modelos Lineares Mistos Professor Jomar Antonio Camarinha Filho CURITIBA - PARANÁ SETEMBRO/2003ÍNDICE

2 Modelos Mistos Prof. Jomar 1 ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO EXEMPLOS NUMÉRICOS EXEMPLO 1: EXPERIMENTO COM DADOS BALANCEADOS Programa SAS para análise do exemplo Saída do PROC GLM Saída do PROC MIXED EXEMPLO 2: EXPERIMENTO COM DADOS DESBALANCEADOS Saída do PROC GLM Saída do PROC MIXED EXEMPLO 3: EXPERIMENTO COM DADOS BALANCEADOS E COM UMA CASELA VAZIA Saída do PROC MIXED EXEMPLO 4: EXPERIMENTO COM DADOS DESBALANCEADOS E COM UMA CASELA VAZIA Saída do PROC GLM Saída do PROC MIXED...24 BIBLIOGRAFIA...27

3 Modelos Mistos Prof. Jomar 2 1 Introdução Este trabalho tem por finalidade exemplificar a metodologia de modelos lineares mistos. Utilizou-se 4 exemplos, cada qual com sua peculiaridade em função do experimento ser ou não completo com dados balanceados ou desbalanceados e na presença de caselas vazias. O pacote estatística SAS, versão 8, foi utilizado para analisar os experimentos. Os dados a seguir referem-se à produtividade de grãos (kg/parcela de 18 m 2 ) de cinco híbridos de milho avaliados no delineamento inteiramente casualizado com duas repetições em dois locais: Híbrido Local Para análise destes dados será considerado o seguinte modelo: y ijk = µ + α j + β i + (αβ ) ij + e ijk em que: y ijk é o valor observado µ é uma constante inerente a todas as observações; α j é o efeito do j-ésimo local ( j = 1,2) considerado fixo; β i é o efeito do i-ésimo híbrido (i=1,2,...,5), t i ~ NID (0, σ 2 t) (αβ ) ij é o efeito da interação entre o i-ésimo híbrido e o j-ésimo local, (lt) ij ~ NID (0, σ 2 tl) e ijk é o erro aleatório associado à observação y ijk, e ijk ~ NID (0, σ 2 ) A título de ilustração e discussões provocou-se desbalanceamento e perda de casela no experimento acima, criando-se deste modo, quatro exemplos.

4 Modelos Mistos Prof. Jomar 3 2 Exemplos Numéricos Exemplo 1: Experimento com Dados Balanceados Programa SAS para análise do exemplo options nonumber nodate ps=60; data exemplo; input loc rep trat pg; datalines; ; proc glm; class loc rep trat; model pg=loc trat; random trat trat*loc/test; lsmeans loc/pdiff; run; proc mixed ord; class loc rep trat; model pg= loc; random trat trat*loc/ solution; lsmeans loc/pdiff; run;

5 Modelos Mistos Prof. Jomar Saída do PROC GLM General Linear Models Procedure Dependent Variable: PG Sum of Mean DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE PG Mean DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT Observa-se que todas as somas de quadrados são idênticas no caso do balanceamento. Assim, as hipóteses testadas são equivalentes. Type III Expected Mean Square LOC Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) + 4 Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Após o desdobramento dos graus de liberdade do modelo, vê-se que há evidência de diferença significativa entre os locais. Porém, o padrão do GLM utiliza como denominador para realização dos testes na análise de variância, para todos os efeitos, o quadrado médio do resíduo, cujo valor é: 1,0588, quando o quadrado médio apropriado deveria ser àquele associado à interação. Essa conclusão pode ser tirada pela simples análise das esperanças matemáticas dos quadrados médios. Destarte, em resumo, os quadrados médios apropriados para testar os efeitos deveriam ser: Para o LOCAL, a interação LOC*TRAT; Para TRATAMENTOS (híbridos), a interação LOC*TRAT; Para a interação LOC*TRAT, o quadrado médio do resíduo.

6 Modelos Mistos Prof. Jomar 5 Note que, a relação entre Var (Error) + 2 Var (LOC*TRAT) + Q (LOC) e Var (Error) + 2 Var(LOC*TRAT) fornece um teste exato. Pois, o único termo restante nessa relação é a forma quadrática associada ao LOCAL. Nos exemplos em que há desbalanceamento, essa relação torna-se mais complexa, necessitando uma combinação linear entre dois ao mais graus de liberdade. Daí, o teste passa a ser aproximado. Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG : LOC Error: MS(LOC*TRAT) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: MS(LOC*TRAT) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F Uma vez incluída na programação a opção TEST, nota-se que os quadrados médios utilizados como denominador coincidem com aqueles ditos apropriados. Mas, não se pode perder de vista que ao se utilizar o PROC GLM os efeitos aleatórios não são entendidos como aleatórios, mas como fixos. Motivo pelo qual o teste realizado no quadro de ANOVA não é correto. Least Squares Means LOC PG Pr > T H0: LSMEAN LSMEAN1=LSMEAN Saída do PROC MIXED REML Estimation Iteration History

7 Modelos Mistos Prof. Jomar 6 Iteration Evaluations Objective Criterion Convergence criteria met. Após a construção do sistema de equações, o método REML obtém as estimativas dos efeitos aleatórios que tem por base o método interativo de Newton-Raphson, utilizando como valores iniciais as estimativas fornecidas pelo MIVIQUEO. Vê-se que no presente exemplo houve a necessidade de apenas duas iterações para convergência. Covariance Parameter Estimates (REML) Cov Parm Estimate Std Error Z Pr > Z TRAT LOC*TRAT Residual É de fundamental importância perceber que o PROC MIXED, ao contrário do PROC GLM, aceita dentro de sua programação, os efeitos aleatórios como aleatórios. Sabe-se que os estimadores de máxima verossimilhança (ML) e de máxima verossimilhança restrita (REML) possuem distribuição assintoticamente normal e têm matriz de variância e covariância assintoticamente conhecida. Logo, é possível a construção de intervalos e testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo. A saída referente ao teste de efeitos aleatórios ilustra essa teoria. Testa-se se a estimativa fornecida pelo método REML difere de zero. Pela análise dos p-value, conclui-se que não há evidência de tal diferença. Portanto, os efeitos de TRAT e LOC*TRAT devem permanecer no modelo. Model Fitting Information for PG Description Value Observations Res Log Likelihood Akaike's Information Criterion Schwarz's Bayesian Criterion Res Log Likelihood Essa saída, pode ser utilizada para comparar modelos de efeitos fixos, dada uma estrutura de covariância, quando um modelo é um caso especial do outro. Dados dois modelos, conseqüentemente duas tabelas, pode-se analisá-las pelo valor de AIC. O modelo que possuir o maior valor será o escolhido. Detalhes em Perri (1998). Uma informação também advinda dessa tabela é que o teste da razão de verossimilhança pode ser construído se utilizando dos valores de -2 Res Log Likelihood

8 Modelos Mistos Prof. Jomar 7 dos dois modelos sob investigação. Sabe-se que -2 Res Log Likelihood tem distribuição assintoticamente χ 2 com p graus de liberdade, sendo p o número de graus de liberdade associado a cada um dos modelos. Solution for Random Effects Effect LOC TRAT Estimate SE Pred DF t Pr > t TRAT TRAT TRAT TRAT TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT As estimativas acima são os BLUP s para os efeitos aleatórios, que são muito úteis no melhoramento genético. Tests of Fixed Effects NDF DDF Type III F Pr > F Ord F LOC Least Squares Means Effect LOC LSMEAN Std Error DF t Pr > t Ord t LOC LOC Differences of Least Squares Means Effect LOC _LOC Difference Std Error DF t Pr > t Ord t LOC Para esse exemplo em que não há desbalanceamento a análise realizada pelo PROC MIXED nos fornece os mesmos resultados obtidos pelo PROC GLM, após a indispensável inclusão da opção TEST.

9 Modelos Mistos Prof. Jomar 8 Na área de genética e melhoramento é comum conduzir-se experimentos no intuito de avaliar o potencial genético de uma população para o melhoramento, nessas situações os materiais avaliados (genótipos) são por definição aleatórios e os demais fatores, como locais, por exemplo podem ser considerados de efeitos fixos. O procedimento usual nesse caso é de se realizar uma análise do experimento através de um modelo misto (genótipos aleatórios e locais fixo), testar a hipótese de que a variância genética entre estes materiais seja diferente de zero, o que pode ser realizado pelo PROC GLM. Caso esta hipótese seja rejeitada, o melhorista terá interesse em identificar quais são os melhores genótipos dentre os avaliados, para tanto utiliza-se de suas médias ou médias ajustadas. Neste ponto, o melhorista abandona a pressuposição de que o efeito de genótipos é aleatório e os considera fixos (pois suas médias não são estimáveis quando estes são considerados aleatórios) devendo refazer a análise para obtenção das estimativas destas médias. Uma outra opção seria utilizar a teoria de modelos mistos apresentada neste trabalho, e realizar a seleção dos materiais com base no BLUP e não nas médias, deste modo o melhorista não necessita de mudar suas pressuposições no decorrer da análise, além de obter todas as informações que necessita em um único procedimento SAS, pois o PROC MIXED fornece as estimativas dos componentes de variância, com seus respectivos testes, testes sobre os efeitos fixos do modelo, e BLUP s Exemplo 2: Experimento com Dados Desbalanceados Do exemplo 1 eliminou-se três observações: 1ª, 9ª e 16ª, tornando o experimento desbalanceado. A maioria das dificuldades encontrada quando se utiliza o PROC GLM para experimentos desbalanceados com modelos mistos pode ser contornada pelo uso do PROC MIXED Saída do PROC GLM General Linear Models Procedure Dependent Variable: PG Sum of Mean DF Squares Square F Value Pr > F Model Error

10 Modelos Mistos Prof. Jomar 9 Corrected Total R-Square C.V. Root MSE PG Mean DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type II SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type IV SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT Nesse caso, as somas de quadrados diferem, pois, há o desbalanceamento. Apenas as somas de quadrados dos tipos III e IV não diferiram devido ausência de casela vazia. Os exemplos 3 e 4 ilustram o fato. Type I Expected Mean Square LOC Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Type II Expected Mean Square LOC Var(Error) Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Type III Expected Mean Square

11 Modelos Mistos Prof. Jomar 10 LOC Var(Error) Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Type IV Expected Mean Square LOC Var(Error) Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Da mesma forma do exemplo 1, os testes para os efeitos do modelo estão incorretos. Faz-se primordialmente necessária a análise das esperanças dos quadrados médios para cada um dos tipos (I, II, III e IV). Assim, discutindo para o efeito fixo LOCAL: Tipo I: não é adequada, pois, não está ajustada para TRAT; Tipo II: pode ser adequada. Porém, o teste será aproximado, pois, a relação entre Var (Error) Var (LOC*TRAT) + Q(LOC) e Var (Error) Var (LOC*TRAT) não isola o termo Q(LOC). A combinação entre quadrados médios, com já discutido, será necessária; Tipo III: Será a mais adequada. Pois, a relação entre Var (Error) Var (LOC*TRAT) + Q(LOC) e Var (Error) Var (LOC*TRAT), embora também não proporcione o isolamento da forma quadrática Q(LOC), fornece um teste de melhor aproximação em relação ao Tipo II. Isso ocorre porque a diferença entre 1,55385 e 1,64 (Tipo III) é menor que a diferença 1,7333 e 1,64 (Tipo II); Tipo IV: Equivale a do Tipo III. A seguir, apenas como ilustração e advertência, tem-se os quadros das análises de variância para todos os tipos. Porém, como discutido opta-se pela Tipo III após a análise dos quadros das esperanças dos quadrados médios. Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG

12 Modelos Mistos Prof. Jomar 11 : LOC Error: *MS(TRAT) *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F : LOC Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F : LOC Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F

13 Modelos Mistos Prof. Jomar 12 : TRAT Error: MS(LOC*TRAT) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F Veja que o quadrado médio apropriado para o teste de LOCAL é dado pela combinação linear de quadrados médios: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) e que os graus de liberdade associado a esse quadrado médio vale 4,44, ambos os procedimentos visam obter uma melhor aproximação para a realização do teste. A obtenção desses resultados são executados das seguintes formas: A Combinação Linear dos Quadrados Médios *MS(LOC*TRAT) *MS(Error): Primeiramente, deve-se calcular uma estimativa para o denominador apropriado, σ σ 2 tl. Do quadro das Esperanças dos Quadrados Médios (Tipo III), tem-se que: MS(ERROR) é uma estimativa de σ 2 ; MS(LOC*TRAT) é uma estimativa de σ σ 2 tl. Depois, isolando-se σ 2 tl de σ σ 2 tl, segue: σ 2 tl = (MS(LOC*TRAT) - σ 2 )/ 1.64 Logo, a estimativa de σ σ 2 tl fica: MS(ERROR) + 1,5385 x ((MS(LOC*TRAT) - MS(ERROR))/1.64)= MS(ERROR) MS(LOC*TRAT) MS(ERROR)= = *MS(LOC*TRAT) *MS(ERROR) = Agora, o valor de 4,44 do número de graus de liberdade do denominador apropriado é obtido pela fórmula de Satterthwaite que estima os graus de liberdade pela combinação linear entre os quadrados médios associada ao quadrado médio apropriado. Assim, sejam MS 1,..., MS k, quadrados médios independentes com graus de liberdade df 1,..., df k, respectivamente. Então, a combinação linear:

14 Modelos Mistos Prof. Jomar 13 MS = a 1 MS 1 + a 2 MS a k MS k fornece uma aproximação dos graus de liberdade, dada por: df = (a1ms1) df 1 2 (MS) 2 (akms df k k ) 2 Para esse exemplo, MS = ; MS 1 = ; df 1 = 7 e a 1 = ; MS 2 = ; df 2 = 4 e a 2 = Portanto, a estimativa df fica: df = 4,44 Least Squares Means LOC PG Pr > T H0: LSMEAN LSMEAN1=LSMEAN Saída do PROC MIXED REML Estimation Iteration History Iteration Evaluations Objective Criterion Convergence criteria met. Covariance Parameter Estimates (REML) Cov Parm Estimate Std Error Z Pr > Z TRAT LOC*TRAT Residual

15 Modelos Mistos Prof. Jomar 14 Model Fitting Information for PG Description Value Observations Res Log Likelihood Akaike's Information Criterion Schwarz's Bayesian Criterion Res Log Likelihood Solution for Random Effects Effect LOC TRAT Estimate SE Pred DF t Pr > t TRAT TRAT TRAT TRAT TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT Tests of Fixed Effects NDF DDF Type III F Pr > F Ord F LOC Least Squares Means Effect LOC LSMEAN Std Error DF t Pr > t Ord t LOC LOC Differences of Least Squares Means Effect LOC _LOC Difference Std Error DF t Pr > t Ord t LOC Nota-se que o p-value para o teste para o efeito fixo dado pelo PROC GLM, depois das devidas correções, é 0,0204, aproximadamente dez vezes maior que o fornecido pelo PROC MIXED (0,0028). E, as estimativas dadas pelo LSMEANS nas duas declarações também diferem. Isso ocorre porque, como já dito, o

16 Modelos Mistos Prof. Jomar 15 GLM não reconhece os efeitos aleatórios como aleatórios. Conclui-se, portanto, que o PROC MIXED é mais apropriado na presença de desbalanceamento Exemplo 3: Experimento com Dados Balanceados e com uma Casela Vazia. Do exemplo 1 eliminou-se apenas a casela referente ao tratamento 4 no local 2 tornando o experimento incompleto, porém, balanceado Saída do PROC GLM General Linear Models Procedure Dependent Variable: PG Sum of Mean DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE PG Mean DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type II SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type IV SS Mean Square F Value Pr > F LOC 1*

17 Modelos Mistos Prof. Jomar 16 TRAT 4* LOC*TRAT * NOTE: Other Type IV Testable Hypotheses exist which may yield different SS. Embora a análise de variância esteja incorreta, dado que os quadrados médios para os denominadores não são os apropriados, vê-se que as somas de quadrados dos Tipos II, III e IV são iguais. Logo, os testes serão equivalentes. Porém, na verdade, isso só ocorre porque há apenas dois níveis para o efeito fixo LOCAL. Caso houvesse mais de dois níveis a hipótese do Tipo III será diferente da do Tipo IV. Esse fato pode ser visto pelo fator TRAT. Type I Expected Mean Square LOC Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Type II Expected Mean Square LOC Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Type III Expected Mean Square LOC Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Type IV Expected Mean Square LOC Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) + 2 Var(LOC*TRAT) De modo análogo ao exemplo 2, pode-se perceber que o quadrado médio apropriado será o da interação (LOC*TRAT). Mas, consegue-se isolar a forma quadrática sem a necessidade de se encontrar combinações lineares dos quadrados médios, pois, os coeficientes de var (LOC*TRAT) são iguais e de valor 2. Com a introdução do comando /TEST, tem-se as especificações dos testes apropriados e suas saídas são: Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG

18 Modelos Mistos Prof. Jomar 17 : LOC Error: *MS(TRAT) *MS(LOC*TRAT) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: MS(LOC*TRAT) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG : LOC Error: MS(LOC*TRAT) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: MS(LOC*TRAT) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG : LOC

19 Modelos Mistos Prof. Jomar 18 Error: MS(LOC*TRAT) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: MS(LOC*TRAT) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG : LOC Error: MS(LOC*TRAT) DF Type IV MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: MS(LOC*TRAT) DF Type IV MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type IV MS DF MS F Value Pr > F Least Squares Means LOC PG LSMEAN 2 Non-est Devido à casela vazia não foi possível estimar a média para o local 2.

20 Modelos Mistos Prof. Jomar Saída do PROC MIXED REML Estimation Iteration History Iteration Evaluations Objective Criterion Convergence criteria met. Covariance Parameter Estimates (REML) Cov Parm Estimate Std Error Z Pr > Z TRAT LOC*TRAT Residual Model Fitting Information for PG Description Value Observations Res Log Likelihood Akaike's Information Criterion Schwarz's Bayesian Criterion Res Log Likelihood anteriores. As explicações para esses quadros são as mesmas dadas para o exemplos Solution for Random Effects Effect LOC TRAT Estimate SE Pred DF t Pr > t TRAT TRAT TRAT TRAT TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT

21 Modelos Mistos Prof. Jomar 20 LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT Tests of Fixed Effects NDF DDF Type III F Pr > F Ord F LOC Least Squares Means Effect LOC LSMEAN Std Error DF t Pr > t LOC LOC Differences of Least Squares Means Effect LOC _LOC Difference Std Error DF t Pr > t Ord t LOC Observa-se, novamente, que existem diferenças nos resultados entre as duas declarações. Uma vez que, além da perda da casela o GLM ignora o efeito aleatório. Utilizando-se o PROC MIXED é possível obter a estimativa da média ajustada mesmo na presença de caselas vazias Exemplo 4: Experimento com Dados Desbalanceados e com uma Casela Vazia Do exemplo 2 eliminou-se a casela referente ao tratamento 4 no local 2 tornando o experimento desbalanceado e incompleto. Esse caso é visto na literatura como o mais complexo, requerendo, portanto uma atenção redobrada Saída do PROC GLM General Linear Models Procedure

22 Modelos Mistos Prof. Jomar 21 Dependent Variable: PG Sum of Mean DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE PG Mean DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type II SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F LOC TRAT LOC*TRAT DF Type IV SS Mean Square F Value Pr > F LOC 1* TRAT 4* LOC*TRAT * NOTE: Other Type IV Testable Hypotheses exist which may yield different SS. Type I Expected Mean Square LOC Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Type II Expected Mean Square LOC Var(Error) Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Type III Expected Mean Square

23 Modelos Mistos Prof. Jomar 22 LOC Var(Error) Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Type IV Expected Mean Square LOC Var(Error) Var(LOC*TRAT) + Q(LOC) TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) Var(TRAT) LOC*TRAT Var(Error) Var(LOC*TRAT) De forma similar ao exemplo 2 conclui-se que o Tipo IV é a que fornecerá uma melhor aproximação para o teste em comparação com as dos Tipos III e IV. Pois, 1,5366 (Tipo IV) está mais próximo de 1,5439 que 1,6265 (Tipo III). A do Tipo I não é vista como apropriada. Caso o efeito TRAT fosse fixo, a do Tipo IV seria, também, a escolhida. Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG : LOC Error: *MS(TRAT) *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type I MS DF MS F Value Pr > F Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG : LOC

24 Modelos Mistos Prof. Jomar 23 Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type II MS DF MS F Value Pr > F Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG : LOC Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type III MS DF MS F Value Pr > F Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance Dependent Variable: PG

25 Modelos Mistos Prof. Jomar 24 : LOC Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type IV MS DF MS F Value Pr > F : TRAT Error: *MS(LOC*TRAT) *MS(Error) DF Type IV MS DF MS F Value Pr > F : LOC*TRAT Error: MS(Error) DF Type IV MS DF MS F Value Pr > F Least Squares Means LOC PG LSMEAN 2 Non-est Especificando, assim, os testadores adequados Saída do PROC MIXED REML Estimation Iteration History Iteration Evaluations Objective Criterion Convergence criteria met. Covariance Parameter Estimates (REML)

26 Modelos Mistos Prof. Jomar 25 Cov Parm Estimate Std Error Z Pr > Z TRAT LOC*TRAT Residual Model Fitting Information for PG Description Value Observations Res Log Likelihood Akaike's Information Criterion Schwarz's Bayesian Criterion Res Log Likelihood Solution for Random Effects Effect LOC TRAT Estimate SE Pred DF t Pr > t TRAT TRAT TRAT TRAT TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT LOC*TRAT Tests of Fixed Effects NDF DDF Type III F Pr > F Ord F LOC Least Squares Means Effect LOC LSMEAN Std Error DF t Pr > t Ord t LOC LOC

27 Modelos Mistos Prof. Jomar 26 Differences of Least Squares Means Effect LOC _LOC Difference Std Error DF t Pr > t Ord t LOC Para esse caso, cabe a mesma discussão feita para os exemplos 2 e 3.

28 Modelos Mistos Prof. Jomar 27 Bibliografia GRAYBIL,F.A. Theory and application of the linear model. Duxbury, North State, Massachusetts, 1976, p. HARTLEY,H.O. ; RAO, J.N.K. Maximum likelihood estimation for the mixed analysis of variance model. Biometrika, 54, p , HENDERSON,C.R. Estimation of variance and covariance components, Biometrics, 17:226-52, 1953 SEARLE, S.R. Linear Models for Unbalanced data. New York: John Wiley, p. SEARLE, S.R. Linear models. New York, John Wiley & Sons, p. SEARLE, S.R. Variance Component. New York, John Wiley & Sons, p.